Merkblatt zur 2. Schulaufgabe 1. Ableiten der Sinus

Merkblatt zur 2. Schulaufgabe
6. Logarithmusfunktion (Rechenregel → vgl. u.a. FS)
x
a =b
•
1. Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion:
f  x =sinx ⇒
f  x =cosx ⇒
f '  x=cosx
f '  x=−sinx
•
Beispiel: log 2 8=3
x=log a b
⇒
denn 2 3=8
Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist eine Logarithmusfunktion:
2. Umkehrfunktion
f umkehrbar ↔ Verschiedene x-Werte des Definitionsbereichs besitzen verschiedene
Funktionswerte. Beim Übergang von f nach f - 1 vertauschen sich D und W.
Bilden der Umkehrfunktion:
•
Auflösen nach x
•
Vertausche x und y
Natürliche Logarithmus: e a =b → a=ln b:=log e b
Sätze:
•
•
Wenn eine Funktion f in einem Intervall I streng monoton ist, dann ist sie in I umkehrbar.
f '  x0 oder f '  x0 für alle x ∈ I
•
Ableitung: f  x =ln x → f '  x=
•
Stammfunktion: f  x =
•
g  x=ln[ v  x ] ⇒
⇒ f umkehrbar
3. Verkettung von Funktionen + Ableitung: f  x =u v  x  →
2
2
Beispiel: f  x =sin  x x  → f '  x=cos  x x ⋅ 2x1
f '  x=u ' v  x⋅v '  x
(„Nachdifferenzieren)
4. Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
1
x
1
→ F  x =ln | x |
x
g '  x=
1
⋅v '  x 
v  x
Allgemeine Logarithmusfunktion: f  x =log a x=
1
⋅lnx
lna
7. Exponentialfunktion und Exponentialgleichungen
lnx
Wichtige Gleichungen:
Beispiel:
3⋅e
x5
e =x
=e
ln 3⋅e
2x
x5
x ∈ℝ
ln e x =x

x ∈ℝ
| ln
=lne 2x 
ln3ln e x5=2x
ln3 x5=2x
→
x=ln35≈ 6,1
p
−1
p
p
Ableitung: f  x =a⋅x q → f '  x= ⋅a⋅x q
q
5. Exponentialfunktion
8. Wichtige Grenzwerte
lim x ∞
xr
=0
ex
lim x ∞
lnx
=0
r
x
x
•
f  x =e = f '  x → Ableitung = Stammfunktion (Einzige Funktion)
•
f  x =e v x ⇒
f '  x =e v  x⋅v '  x 
x
Allgemeine Exponentialfunktion: f  x =a =e
Beispiel: f  x =2 x =e ln2 x

x⋅ln a
f '  x=2 x⋅ln2
lim x ∞ e x −e r =∞
lim x 0  x r⋅lnx =0
r ∈ℝ
r ∈ℝ
r∈ℝ
e x wächst schneller als jede Potenz
lnx wächst langsamer als jede Potenzfunktion „Loser“
9. Wahrscheinlichkeit
•
Axiome von Kolmogorow
•
Zusammengesetzte Ereignisse, Gesetze von de Morgan
•
Additionssatz:
•
Unabhängigkeit von Ereignissen
P  A∪B=P  AP  B−P  A∩B
◦ Gilt P A  B=P  B so nennt man zwei Ereignisse A und B
stochastisch unabhängig.
◦
•
P  A∩ B=P  A⋅P  B → Unabhängigkeit
Vierfeldertafel
Sonstiges:
Manipulationen von Funktionstermen
Alle Angaben sind ohne Gewähr! Verpflichtend ist der in der Schule behandelte Stoff!