Analysisskript von Prof. Kinnebrock (WS02/03) - der

INHALTSVERZEICHNIS
ANALYSIS
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
INHALTSVERZEICHNIS
I
DIE REELLEN ZAHLEN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
II
Grundlagen
1.1
Mengenlehre
1.2
Symbole der Mathematik
1.3
Axiome der Analysis
Algebra
Zahlentypen
3.1
Die Reellen Zahlen
3.2
Die Dezimalzahlen
Summen, Produkte, Potenzen, Wurzeln
Betrag einer Reellen Zahl
Die komplexen Zahlen
6.1
Die Grundlagen
6.2
Graphische Darstellung komplexer Zahlen
Gleichungen
Ungleichungen
Kombination
9.1
Permutation
9.2
Binominalkoeffizient
9.3
Kombinationen
FOLGEN UND REIHEN
1
2
3
4
III
ANALYSIS
Endliche Folgen
Unendliche Folgen
Grenzwerte bei unendlichen Folgen
3.1
Definitionen
3.2
Brechnung von Grenzwerten (Beispiele)
3.3
Die Zahl e
3.3.1
Der Grenzwert
3.3.2
Stetige Verzinsung
Reihen
FUNKTIONEN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Grundlagen
Polynome (ganzrationale Funktionen)
2.1
Definition
2.2
Polynome 1. Grades
2.3
Polynome 2. Grades
2.4
Division zweier Polynome
2.5
Die Nullstellen eines Polynoms
Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
3.1
Grenzwerte
3.2
Stetigkeit einer Funktion
Gebrochenrationale Funktionen
Nichtrationale Funktionen (Kegelschnitte)
5.1
Der Kreis
5.2
Ellipse
5.3
Hyperbel
5.4
Parabel
5.5
Geometrie und Kegelschnitte
5.6
Die Gleichnung der Kegelschnitte
Exponentialfunktion, Logarithmus
6.1
Exponentialfunktion
6.2
Umkehrfunktion
Die Trigonometrische Funktionen
7.1
Winkel
7.2
Trigonometrische Funktionen
7.3
Additionstheorien der trigonometrischen Funktionen
7.4
Trigonometrische Formeln
7.5
Die Arcus-Funktion
7.6
Trigonometrische Funktionen und komplexe Zahlen
7.6.1
Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen
7.6.2
Exponentialdarstellung
7.6.3
Wurzeln
Die hyperbolischen Funktionen
Darstellung von Funktionen
9.1
Das kartesische Koordinatensystem
9.2
Polarkoordinaten
9.3
Funktionen in Parameterdarstellung
9.4
Übersicht über die elementare Funktionen
9.5
Die nicht elementare Funktionen
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INHALTSVERZEICHNIS
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
1
2
3
4
V
2
3
Das unbestimmte Integral
1.1
Stammfunktion
1.2
Grundformeln zur Integration
1.3
Einfache Integrationsregeln
1.4
Integration durch Substitution
1.5
Partielle Integration
Das bestimmte Integral
2.1
Flächenberechnung
2.2
Das bestimmte Integral
2.3
Beispiele zur Flächenberechnung
2.4
Sätze der Integralrechnung
2.5
Anwendungen
Uneingentliche Integrale
ANWENDUNG DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
1
2
3
4
5
VII
Die Ableitung
1.1
Berechnung der Ableitungen
1.2
Das Symbol dy dx
Die Ableitungen der elementaren Funktionen
2.1
y = x n und y = e x
2.2
Ableitungsregeln
2.3
Die trigonometrische Funktionen
2.4
Die Arcusfunktionen
2.5
Hyperbolische Funktionen, Areafunktionen
2.6
Potenzen und Logarithmen
2.7
Ableitungsregeln
Sätze und Definitionen zur Differentialrechnung
3.1
Satz von Rolle, Mittelwertsatz
3.2
Höhere Ableitungen
3.3
Differentiation von Funktionen in Parameterdarstellung
3.4
Differentiation in Polarkoordinaten
Anwendung der Differentialrechnung
4.1
Extrema
4.2
Extremwertaufgaben
4.3
Geschwindigkeit und Beschleunigung
4.4
Fehlerrechnung
INTEGRALRECHNUNG
1
VI
ANALYSIS
Taylor – Reihen
1.1
Potenzreihen
1.2
Taylor-Reihe
1.3
Potenzreihen der elementaren Funktionen
Rotationskörper
Fourierreihen
3.1
Einführung
3.2
Trigonometrische Polynome
3.3
Fourierreihen
3.4
Gerade und ungerade Funktionen
Die Regeln von de l’Hospital
Die Integration rationaler Funktionen
5.1
Integration von Grundfunktionen
5.2
Integration rationaler Funktionen
5.2.1
Polynome
5.2.2
Partialbruchzerlegung
5.2.3
Integration rationaler Funktionen
5.2.4
Partialbruchzerlegung bei komplexen Nullstellen
DIFFERENTIALRECHNUNG VON FUNKTIONEN IN MEHREREN VARIABLEN
1
2
Funktionen in zwei Variablen
1.1
Grundlagen
1.2
Koordinatensysteme
1.2.1
Kartesische Koordinaten
1.2.2
Kugelkoordinaten (räumliche Polarkoordinaten)
1.2.3
Zylinderkoordinaten
1.3
Stetigkeit
Differentialrechnung für Funktionen in zwei Variablen
2.1
Partielle Ableitung
2.2
Die Richtungsableitung
2.3
Das totale Differential
2.4
Implizite Funktionen
2.5
Extremwertaufgaben
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INHALTSVERZEICHNIS
3
VIII
2
3
4
2
3
4
Ebene Kurven in kartesischen Koordinaten
1.1
Die Bogenlänge
1.2
Tangente und Normale
1.3
Krümmung einer Kurve
1.4
Kurvenscharen
Ebene Kurven in Vektordarstellung
Parameterdarstellung einer Kurve
Raumkurven
4.1
Raumkurven in Vektordarstellung
4.2
Raumkurven in Parameterdarstellung
VEKTORANALYSIS
1
2
3
4
5
6
7
8
XI
Zweifache Integrale
1.1
Einführung
1.2
Volumenberechnung in kartesischen Koordinaten
1.3
Volumenberechnung in Zylinderkoordinaten
Raumintegrale und mehrfache Integrale
2.1
Beispiele
2.2
Anwendung in der Mechanik
Raumintegrale in Kugelkoordinaten
Die Guldin’sche Regel
DIFFERENTIALGEOMETRIE
1
X
Funktionen in n Variablen
3.1
Definitionen und Beispiele
3.2
Partielle Ableitung
3.3
Der Gradient
3.4
Das Totale Differential
3.5
Richtungsableitung
3.6
Extremwertaufgaben
MEHRFACHE INTEGRALE
1
IX
ANALYSIS
Vektorfelder
Flächenintegral
Der Integralsatz von Gauß
Quelllen und Senken
Kurvenintegrale (Linienintegrale)
Wirbelfreie Felder
Potentialtheorie
Die Maxwell’schen Gleichungen
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
1
2
Einführung und Grundbegriffe
1.1
Beispiele
1.2
Grundbegriffe
Differentialgleichung erster Ordnung
2.1
Das Richtungsfeld
2.2
Die Dgl y ′ = f ( x )
2.3
2.4
2.5
3
4
5
Die lineare homogene Dgl
Die lineare inhomogene Dgl
Die Dgl y ′ = f ( x ) ⋅ g ( x ) (Trennung der Variablen)
Differentialgleichungen höherer Ordnung
Lineare Differentialgleichungen
4.1
Grundlagen
4.2
Lineare Dgl mit konstanten Koeffizienten
4.2.1
homogene Dgln
4.2.2
inhomogene Dgln
Anwendung von Differentialgleichungen
5.1
Anfangswertproblem (AWP)
5.2
Randwertproblem (RWP)
5.3
Eigenwertproblem (EWP)
ANHANG: KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN
1
2
3
4
5
6
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funktionen
Logarithmusfunktion
Potenzen
Hyperbolische Funktionen
Die ganze lineare Funktion
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I
DIE REELLEN ZAHLEN
1
Grundlagen
I
DIE REELLEN ZAHLEN
1
Grundlagen
1.1
Mengenlehre
Def. 1.1
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ANALYSIS
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von eindeutig definierten Objekten, den Elementen
Beispiele:
(1)
Menge der Fenster in 0-115
M = { a , b, c , d }
(2)
M = {1, 2,3, 4,
(4)
}
A = { x | 0 ≤ x ≤ 1}
(5)
Menge Geld ≠ Menge
(3)
Darstellung einer Menge:
(a)
aufzählend: M = {a1 , a2 , a3 ,
}
(b)
durch Eigenschaft: A = { x | 0 ≤ x ≤ 1}
(6)
M = {n | n natürl. Zahlen}
Def. 1.2
x Element von M ⇔ x ∈ M
A Teilmenge von B ⇔ wenn x ∈ A, dann x ∈ B ⇔ A ⊂ B
M = {0,1, 2,3, 4,
(7)
g = {2, 4, 6,8,
Def. 1.3
}
}
⇔
g⊂M
(1) Leere Menge = ∅ = {
}
(2) Durchschnitt von A und B = Elemente die sowohl in A als auch in B sind
⇔
{ x | x ∈ A und x ∈ B} A ∩ B
{ x | 0 < x} ∩ { x | x < 1} = { x | 0 < x < 1}
(8)
(9)
A
A∩ B
B
(10)
A = { x | x < 3} B = { x | x < 4}
1.2
Symbole der Mathematik
A∩ B = ∅
2
⇔
daraus folgt wechselseitig
3
∀
für alle
( A antivalent zu B )
( A äquivalent zu B )
( ∀x ∈ M : x < 0 )
4
∃
es gibt
∀n ∈
1
daraus folgt
∃ Nachfolger
Seite 5
∀x ∈ M
∃y∈M
:x< y
I
DIE REELLEN ZAHLEN
1
Grundlagen
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ANALYSIS
1.3
Axiome der Analysis
Bsp.
Beweise 2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 2 = (1 + 1)(1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
a ( b + c ) = ab + ac
← Grundgesetze (Axiome)
Axiome der Analysis
= Menge ( a ∈ , b ∈ , c ∈ ,
∀a ∈ , b ∈
)
∃ Operationen +, ⋅
so dass: a + b ∈
a ⋅b ∈
Dabei gelten folgende Gesetze:
1 Axiome der Anordnung
[1]
a, b ∈
a = b oder a < b oder a > b
[2]
a = b, b = c
a=c
[3]
a ≤ b, b < c
a<c
2 Axiome der Addition
[4]
a+b = b+a
[5]
( a + b ) + c = a + (b + c )
[6]
a+x =b
x eindeutig
[7]
a<b
a+c <b+c
3 Axiome der Multiplikation
[8]
a ⋅b = b⋅a
[9]
( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )
[10]
a⋅x = b
[11]
a < b, c > 0
(Kommutativgesetz)
(Assoziativgesetz)
(Kommutativgesetz)
(Assoziativgesetz)
x eindeutig
ac < bc
(0: siehe Def. 2.2)
[12]
(Distributivgesetz)
( a + b ) ⋅ c = ac + bc
4 weitere Axiome
[13]
a, b > 0 a + a + a + a + a > b möglich (Archimedisches Gesetz)
[14]
(Dedekindscher Schnitt)
a< y
∃z : x ≤ z ≤ y
[15]
das Prinzip der vollständigen Induktion ist möglich
Eigenschaften der Axiome
1 Grundlagen der Mathematik (außer Geometrie)
2 willkürlich (jedoch an Natur angepasst)
3 unabhängig (d.h. ein Axiom ist nicht aus anderen ableitbar)
4 widerspruchsfrei
Seite 6
I
DIE REELLEN ZAHLEN
2
Algebra
2
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ANALYSIS
Algebra
Def. 2.1
(1)
(2)
Def. 2.2
Satz 2.1
a+x =b
a⋅x = b
x eindeutig
x eindeutig
x =b−a
b
x = =b:a
a
[6]
[10]
Null, Eins
(1)
a−a =0
a
(2)
=1
a
(3)
0 − a = −a
a + (b − c) = ( a + b) − c
Bew: sei c + x = b
a+b = a+b
a + (c + x) = a + b
x = b−c
Def. 2.1
b =c+x
a + ( x + c) = a + b
[4]
( a + (b − c)) + c = a + b
[5]
a + (b − c) = ( a + b) − c
Satz 2.1
a + ((b − c) + c ) = a + b
Satz 2.2
(a)
(b)
(c)
(d)
Bew: (a)
(b)
a+0= a
a + ( −b ) = a − b
− ( −a ) = a
a − ( −b ) = a + b
a+x =a
x = a−a
x=0
a+0=0
a + ( −b )
a + (0 − b)
( a + 0) − b
(c)
Def. 2.1
Def. 2.2
Def. 2.1
Def. 2.1
a −b
0 = a−a
0 = a + ( −a )
(a)
Def. 2.1
(b)
a = 0 − ( −a )
Def. 2.1
a + ( − ( −b ) )
(b)
a+b
(c)
a + ( −a ) = 0
(d)
Satz 2.3
a − ( −b )
Die Regeln der Algebra, Bruchrechnung und Dezimalrechnung sind aus den Axiomen ableitbar
Seite 7
I
DIE REELLEN ZAHLEN
3
Zahlentypen
3
Zahlentypen
3.1
Die Reellen Zahlen
Def. 3.1
(1)
die Zahlen 1, 2,3,
x natürliche Zahl ⇔
(3)
Satz 3.1
heißen natürliche Zahlen
= Menge der natürlichen Zahlen
(2)
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ANALYSIS
(
0
=
mit zusätzlich 0 )
x∈
Es gibt unendlich viele
Bew: indirekte Beweis:
indirekte Annahme: ∃ höchstens endlich viele n ∈
Satz richtig
{1, 2,3, n} n + 1 ∉ , Widerspruch
Bsp:
4∈
Def. 3.2
Satz 3.2
Bew: (2)
(1)
Satz 3.3
−4∈
(1)
(2)
(3)
Die Zahlen 0, ±1, ±2, ±3, heißen ganze Zahlen
= Menge der ganzen Zahlen
n ganz ⇔ n ∈
(1)
∃ unendlich viele ganzen Zahlen
(2)
Die Menge der
trivial
folgt aus (2)
Jede ganze Zahl ist als Differenz zweier natürlichen Zahlen schreibbar
oder: x ∈
∃n, m ∈
x = n−m
Bew: x ∈
Fall 1: x > 0
x = ( x + 1) − 1
Fall 2: x < 0
x = 4−4
Fall 3: x = 0
x = 1 − (1 − x )
Def. 3.3
n
mit n, m ∈ heißen rationale Zahlen
m
n
r = rational
r=
m
= Menge der rationalen Zahlen
die Zahlen r =
(1)
(2)
Satz 3.4
Bew: x ∈
Die natürlichen und ganzen Zahlen sind (spezielle) rationale Zahlen, d.h.
x=
Division durch Null
m
m
=?
=r
0
0
Def. 3.4
⊂
x
1
m = 0⋅r
Die Division duch 0 ist nicht erlaubt
Seite 8
⊂
,
⊂
I
DIE REELLEN ZAHLEN
3
Zahlentypen
Hilfssatz: n 2 ∈
n 2 gerade
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n gerade
Bew: indirekter Beweis
indirekte Annahme: n ungerade
n = 2 p +1
n 2 = 4 p 2 + 4 p + 1 ungerade, Widerspruch
gerade
Satz 3.5
Es gibt Zahlen, die nicht rational sind
Bew: indirekter Beweis
indirekte Annahme: alle Zahlen rational
x⋅x = 2
x rational
x=
n
m
n2
=2
n 2 = 2m 2
m2
n = 2n′
n 2 = 4n′2 = 2m 2
x2 =
Def. 3.5
n gerade
m 2 gerade
⊂
⊂
∪ =
Dezimalzahlen
x∈
q
q1
q
+ 22 + 33 +
1
10 10 10
⇔ q0 ⋅ q1 ⋅ q2 ⋅ q3 = Dezimalzahl
x = q0 +
mit q0 ∈ , q j ∈
(0 ≤ q
j
4
7
8
+ 2+ 3
10 10 10
endliche Dezimalzahl: −0,534
unendliche periodische: 0,1212121212
unendliche nicht periodische: 0, 2435458
31, 478 = 31 +
Satz 3.6
Jede endliche und jede unendliche periodische zahl ist eine rationale Zahl
143
∈
100
(b) x = 0,14141414
100 x = 14,14141414
statt Bew: (a) 0,143 =
−
Satz 3.7
x = 0,14141414
99 x = 14
x=
14
99
Jede irrationale Zahl ist eine unendliche nicht periodische Dezimalzahl
Bew: indirekter Beweis
indirekte Annahme: x nicht (unendlich / periodisch)
endlich oder unendlich periodisch
rational, Widerspruch
Bsp:
m gerade
Hilfssatz
Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen (Symbol
Def. 3.7
Bsp:
2n′2 = m 2
Hilfssatz
Alle Zahlen die nicht rational sind, heißen irrational (Symbol )
Def. 3.6
3.2
n 2 gerade
2, π , e
Bsp:
⊂
( n, m ganz, teilerfremd )
2 = 1, 414213
Seite 9
≤ 9)
)
I
DIE REELLEN ZAHLEN
4
Summen, Produkte, Potenzen, Wurzeln
4
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Summen, Produkte, Potenzen, Wurzeln
Def. 4.1
a1 + a2 + a3 +
an =
n
j =1
aj
Beispiele:
6
d i = d1 + d 2 + d 3 + d 4 + d 5 + d 6
(1)
i =1
8
j = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36
(2)
j =1
4
m 2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30
(3)
m =1
7
(4)
1 = 1+1+1+1+1+1+1 = 7
s =1
Def. 4.2
n
an = ∏ a j
a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅
Beispiele:
4
(1)
∏
j ( j + 1)
j
j =1
2
j =1
1⋅ 2
2⋅3
3⋅ 4
⋅
⋅
1
4
8
=
4
(2)
∏ ( −1) ⋅ a = ( −1) ⋅ a ⋅ ( −1) ⋅ a ⋅ ( −1) ⋅ a ⋅ ( −1) ⋅ a
j =1
2
(3)
n
∏
k
(4)
j2 =
2
2
j2 ⋅
j =1
m2 =
k =1 m =1
Def. 4.3
1
j =1
n =1
3
1
j
1
j =1
2
m2 +
m =1
a∈
3
m =1
m =1
(2)
a =1
a
( a ≠ 0)
0
Bsp:
m 2 = (12 ) + (12 + 22 ) + (12 + 22 + 32 ) = 20
1
an
n − te Wurzel a ≥ 0 ist die nicht negative Zahl b, deren n − te Potenz b n genau a ergibt
a −n =
7 −2 =
± 16 = ±4
( a, b ≥ 0 )
a = bn
r=
r rationale Zahl
0,30 = 1
n
m
n
ar = a m = m an
1
1
=
7 2 49
2
(a
8=2
n
≥ 0)
23 = 8
2
16 = 16 = 4
3
−3 nicht definiert
Anmerkung: nicht definiert ist
Satz 4.1
j =1
( n mal )
d.h.: n a = b
(5)
= −∏ a j
n∈
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅
(4)
4
4
j 2 = (12 ) ⋅ (12 + 22 )
m2 +
(1)
(3)
3
71,5 = 7 2 = 73 = 18,5203
a mit a < 0
Potenzen und Wurzelrechnung
a n ⋅ bn = ( a ⋅ b )
n
n
a ⋅ n b = n a ⋅b
an
a
=
bn
b
n
n
a
b
=
n
n
a
b
an
= ( an−m )
am
a n ⋅ am = an+ m
m
n
am = a n =
Anmerkung: Satz 4.1 erweiterbar für n = rational
Seite 10
( a)
n
m
(a )
n m
= a n⋅m
( n, m = ganz )
I
DIE REELLEN ZAHLEN
5
Betrag einer Reellen Zahl
5
Betrag einer Reellen Zahl
Def. 5.1
Bsp:
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a∈
| a |= a 2
| 7 |= 49 = 7
Satz 5.1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
( Betrag )
| −7 |= 49 = 7
| 0 |= 0
| a |=| −a |
| a − b |=| b − a |
| a ⋅ b |=| a | ⋅ | b |
1
1
=| |
|a| a
| a + b |≤| a | + | b |
| a − b |≥| a | − | b |
(Dreiecksungleichnug)
statt Bew:
(a)
| 5 |=| −5 |= 5
(b)
| 3 − 8 |=| 8 − 3 |= 5
(c)
| 7 ⋅ ( −9 ) |=| 7 | ⋅ | −9 |= 63
(d)
1
1
1 1
=|
|=| − |=
| −3 | −3
3 3
(e)
| 5 + ( −4 ) |≤| 5 | + | −4 |
(f)
| 9 − 1 |≥| 9 | − | 1 |
1< 9
8=8
Seite 11
Vektoren | x |=| x 2 |
I
DIE REELLEN ZAHLEN
6
Die komplexen Zahlen
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ANALYSIS
6
Die komplexen Zahlen
6.1
Die Grundlagen
Bsp:
x2 + 1 = 0
−1 = i = j
x 2 + 2 x + 10 = 0
x = −1
2
x = −1 ± 12 − 10 = −1 ± −9
x = ± −1 =± j
− 1 ± 9 ⋅ −1 = −1 ± 3 j
?
Def. 6.1
(1)
j 2 = −1
(2)
z = a + bj
(j=
−1
)
( a, b ∈ )
= komplexe Zahl
( Re ( z ))
b = Imaginärteil von z ( Im ( z ) )
a = Realteil von z
Bsp:
Re ( z ) = 7 und Im ( z ) = −5
z = 7−5 j
w = 1+ j
a∈
Def. 6.2
s = 0+ j = j
z = a + 0 j komplex
z = a + bj
(1)
(2)
Bsp:
z = 3+ j
w = u + vj
z + w = ( a + u ) + (b + v) j
z − w = ( a − u ) + (b − v) j
w = 2+7 j
z = 1+ 2 j
z − w = 1 + ( −6 ) j = 1 − 6 j
z = a + bj
w = 2+3j
z ⋅ w = (1 + 2 j )( 2 + 3 j ) = 2 + 3 j + 4 j + 6 j 2 = 2 + 7 j − 6 = −4 + 7 j
z + w = 5+8 j
Def. 6.3
u = 3+0 j = 3
w = u + vj
z ⋅ w = ( a + bj )( u + vj ) = ( a ⋅ u − b ⋅ v ) + ( a ⋅ v + b ⋅ u ) j
Bsp:
( 3 + 4 j )(1 + 2 j ) = 3 − 8 + 6 j + 4 j = −5 + 10 j
2
(1 + j ) = 1 + 2 j + j 2 = 2 j
j5 = j2 ⋅ j 2 ⋅ j = j
Def. 6.4
Bsp:
Division
z ( a + bj )( u − vj ) au + bv + ( bu − av ) j au + bv bu − av
=
= 2
= 2
+
j
w ( u + vj )( u − vj )
u + v 2 + uvj − vuj
u + v2 u 2 + v2
3 + 4 j ( 3 + 4 j )(1 − 2 j ) 3 + 8 − 6 j + 4 j 11 − 2 j
=
=
= 2
= 2, 2 − 0, 4 j
2
1 + 2 j (1 + 2 j )(1 − 2 j )
1 + 22
12 − ( 2 j )
(1 + 0 j )(1 + j ) 1 + j
1
=
=
= 0,5 + 0,5 j
1 − j (1 − j )(1 + j )
2
4 − j ( 4 − j )(1 − 8 j ) 4 − 32 j − j + 8 j 2 4 − 33 j − 8
4 33
j
=
=
=
=− −
1 + 8 j (1 + 8 j )(1 − 8 j )
1 − 64 j 2
1 + 64
65 65
1 1 + 0 j (1 + 0 j )( 0 − j )
−j
−j
−j
=
=
=
=
=
=−j
j 0+ j
( 0 + j )( 0 − j ) j ( − j ) − j 2 − ( −1)
Satz 6.1
Summe, Produkt, Differenz und Quotient zweier komplexen Zahlen ist eine komplexe Zahl
Seite 12
I
DIE REELLEN ZAHLEN
6
Die komplexen Zahlen
Bsp:
dominik erdmann
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ANALYSIS
z = 2+3j
z 2 = ( 2 + 3 j )( 2 + 3 j ) = 4 − 9 + 6 j + 6 j = −5 + 12 j
w = 1 + z2 + 4z3
= 1 + ( −5 + 12 j ) + 4 ( −46 + 9 j ) = −188 + 48 j
z 3 = ( −5 + 12 j )( 2 + 3 j ) = −10 − 36 − 15 j + 24 j = −46 + 9 j
z = 2+ j
z + 3 x = 4w
x=
Def. 6.5
w = 3−4 j
1
1
( 4 w − z ) = 4 ( 3 − 4 j ) − 2 − j = 12 − 16 j − 2 − j = 10 − 17 j
3
3
Betrag einer komplexen Zahl
z = a + bj
Bsp:
z = 3+ 4 j
Def. 6.6
Bsp:
| z |= a 2 + b 2 ≥ 0
| z |= 32 + 42 = 25 = 5
Konjungiert komplexer Wert
z = a + bj
z = a − bj der zu z konjugierter Wert
z = 0, 3 + 0, 4 j
z = 0,3 − 0, 4 j
w = 1− j
w = 1+ j
z =z
Satz 6.2
z ⋅ z =| z |2
2
Bew: z ⋅ z = ( a + bj )( a − bj ) = a 2 − ( bj ) = a 2 − b 2 j 2 = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 =| z |2
2
Anwendung: Division
z z⋅w
1
=
=
z⋅w
w w ⋅ w | w |2
Bsp:
6.2
x 2 + px + q = 0
x=−
p
±
2
p2
−q
4
Fall 1:
p2
−q > 0
4
Fall 2:
=0
x=−
p
2
Fall 3:
<0
x=−
x
p
p2
± −
+q ⋅ j =α ± β j =
x
2
4
2 reelle Zahlen x1 , x2
Graphische Darstellung komplexer Zahlen
z = 3+ 2 j
u = −2 + 4 j
r = j = 0 +1 j
s = 4 = 4+0j
Zuordnung: Komplexe ↔ Punkte der Ebene
Gauß`sche Zahlenebene
Seite 13
I
DIE REELLEN ZAHLEN
6
Die komplexen Zahlen
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ANALYSIS
Eigenschaften
1
Reelle Achse = Zahlengerade
2
z = a + bj
| z |= a 2 + b 2 = Abstand vom Ursprung ( 0 | 0 )
3 Addition: z1 = 3 + 4 j; z2 = 3 − j
w = z1 + z2 = 6 + 3 j
z = a + bj =
Satz 6.3
Satz 6.4
Bew: (1)
a
b
Die Summe zweier komplexer Zahlen erhält man, indem man in der Gauß`schen Zahlenebene
die Pfeile hintereinander legt.
(1)
(2)
| z |= der Abstand der Zahl z vom Ursprung
| z − w |=| w − z |= der geometrische Abstand der Zahlen z und w
z = a + bj
d = a 2 + b 2 =| z |
(2)
z + d1 = w
w + d2 = z
d1 = w − z
d2 = z − w
Seite 14
I
DIE REELLEN ZAHLEN
7
Gleichungen
7
Gleichungen
(2)
c−b
a
quadratische Gleichungen: x 2 + px + q = 0
(3)
(4)
p2
p2
p
p2
p
= −q +
x+
=
−q
x=− ±
4
4
2
4
2
Gleichungen höheren Grades: Bsp: 3 x 3 − 2 x 2 + 4 x − 7 = 0
1 − ln x = cos x
transzendente Gleichungen:
Bsp: sin x = x 2
(1)
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ANALYSIS
lineare Geichungen: ax + b = c
x=
( a ≠ 0)
2
Bew: x 2 + px +
Seite 15
p2
−q
4
I
DIE REELLEN ZAHLEN
8
Ungleichungen
8
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ANALYSIS
Ungleichungen
5<8
Bsp:
x ≤| x |
( ∀x ∈ )
x 1
<
3 2
⇔ − ∞ < x < 1,5
Satz 8.1
Bernoullische Ungleichung
Vorraussetzung: n ∈ , a ∈
Behauptung:
(1 + a )
n
und a > −1, n ≥ 2, a ≠ 0
> 1+ n ⋅ a
Bew: vollständige Induktion
[1]
[2]
richtig für n = 2 ; denn (1 + a ) = 1 + 2a + a 2 > 1 + n ⋅ a
2
Schluß von k auf k + 1
Induktionsannahme: richtig für n = k
(1 + a ) > 1 + ka
k
(1 + a ) (1 + a ) > (1 + ka )(1 + a )
k +1
(1 + a ) > 1 + ka + a + ka 2 > 1 + ( k + 1) a + ka 2 > 1 + ( k + 1) a
k
Satz 8.2
(1)
(2)
(3)
(4)
Eine Ungleichung bleibt erhalten, wenn man beide Seiten
mit einer positiven Zahl multipliziert (dividiert)
in einer Ungleichung darf man auf beiden Seiten Zahlen addieren
In einer Ungleichung wird aus < ein > oder umgekehrt, falls man beide Seiten
mit einer negativen Zahl multipliziert (dividiert)
In einer Ungleichung wird ein < ein > oder umgekehrt bei einer Kehrwertbildung
Statt Bew:
Bsp:
3<8
2 ⋅3 < 2 ⋅8
(3)
1 1
<
4 2
3<8
1
1
+1 < +1
4
2
3 ⋅ ( −1) > 8 ⋅ ( −1)
(4)
4<8
1 1
>
4 8
(1)
(2)
x ≤| x |
6 < 16
5 6
<
4 4
− 3 < −8
Seite 16
3 + x ≤ 18
x
≤1
|x|
3 ≤ 18 − x
oder
x ≤ 15
I
DIE REELLEN ZAHLEN
9
Kombinatorik
9
Kombinatorik
9.1
Permutation
Def. 9.1
Bsp:
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ANALYSIS
Gegeben sei eine Menge mit n − Elementen. Jede Aneinanderreihung der n − Elementen heißt Permutation.
M = {1, 2,3}
Def. 9.2
123, 321, 321, 132, 231, 213
n∈
0
n! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅
n
( n − Fakultät )
0! = 1
Satz 9.1
Bew:
Einer Menge mit n − Elementen hat genau n − Fakultät verschiedene Permutationen
( für n = 3)
M = {a, b, c}
1. Element:
2. Element:
3. Element:
Anzahl = 3 ⋅ 2 ⋅1
Bsp:
14! = 8, 72 ⋅10
10
Wieviel Möglichkeiten gibt es 14 Bücher nebeneinander zustellen?
32! ≈ 2, 63 ⋅10
Wieviel mögliche Skatmischungen gibt es?
9.2
8! = 40320
8 Sportler nehmen an einem 400m-Lauf teil. Wieviel Möglichkeiten gibt es beim Zieldurchlauf?
35
Binominalkoeffizienten
Def. 9.3
n
(1)
k
n
(2)
0
0
(3)
Bsp:
4
2
Folgerung:
Satz 9.2
=
4⋅2
=6
2 ⋅1
n
n
Satz 9.3
0
=1
=
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅
⋅ ( n − k + 1)
k!
=1
=1
7
3
n
k
=
7 ⋅6⋅5
= 35
3 ⋅ 2 ⋅1
5
5
= 0 ( wenn n < k )
n
n
n!
=
=
k
n
−
k
k !( n − k ) !
Seite 17
=
7 ⋅6⋅5
=1
3 ⋅ 2 ⋅1
5
8
=
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1⋅ 0 ⋅ ( −1)( −2 )
8!
I
DIE REELLEN ZAHLEN
9
Kombinatorik
Bew:
n
=
k
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅
⋅ ( n − k + 1)
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅
k
( n − k )( n − k − 1) ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
n!
=
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ k
( n − k )( n − k − 1) ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 k !( n − k )!
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ⋅ ( n − ( n − k ) + 1) n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ⋅ ( k + 1) k !
n!
=
=
⋅ =
k ! ( n − k )!k !
( n − k )!
( n − k )!
=
n
n−k
Satz 9.4
Bew:
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ANALYSIS
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅
(a + b)
n
n
(a − b)
n
= an +
=
⋅
a, b ∈ , n ∈
Binominalsatz
(a + b)
⋅ ( n − k + 1)
n
n
k =0
k
n
1
n
⋅ a n −1 ⋅ b +
⋅ an− 2 ⋅ b2 +
2
n
3
⋅ a n −3 ⋅ b3 +
+ bn =
n
n
k =0
k
⋅ a n−k ⋅ bk
⋅ ( −1) ⋅ a n − k ⋅ b k
k
= ( a + b )( a + b )( a + b ) ⋅
⋅ ( a + b) = an +
n
1
⋅ a n −1 ⋅ b +
n
2
⋅ an− 2 ⋅ b2 +
n
3
⋅ a n −3 ⋅ b3 +
(durch Induktion beweisbar)
Bsp:
n = 2:
(a + b)
n = 3:
( a + b)
n = 4:
(a + b)
2
3
4
2
=
0
=
3
=
4
a 2b0 +
a 3b0 +
0
0
a 4b0 +
2
1
3
1
4
1
ab +
2
a 2b +
3
a 3b +
4
2
2
2
a 0 b 2 = a 2 + 2ab + b 2
3
ab 2 +
a 0 b3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3
3
a 2b2 +
4
3
ab3 +
4
4
a 0 b 4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2 b 2 + 4ab3 + b 4
Pascal’sche Dreieck
1
1
1
1
(1 + 1)
n
(1 − 1)
n
= 2n =
= 0n =
n
n
k =0
k
n
n
k =0
k
1n − k ⋅1k
=1
( −1)
2
3
4
5
n
n
k =0
k
3
6
10
n=2
1
4
10
= 2n
k
Seite 18
n=3
1
n=4
1
5
1
n=5
I
DIE REELLEN ZAHLEN
9
Kombinatorik
9.3
dominik erdmann
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ANALYSIS
Kombinationen
Def. 9.4
Es sei M eine Menge mit Jede Teilmenge mit k − Elementen heißt Kombination Ordnung.
M = {1, 2,3, 4}
Bsp1:
Kombinationen:
2. Ordnung
3. Ordnung
(1,2 ) = ( 2,1) , (1,3) , ( 2,3) , ( 2, 4 )
Lottokombinationen 6. Ordnung
Bsp2:
Satz 9.4
Eine Menge mit n − Elementen besitzt
Bew: (1)
n
k
(1,2,3) , (1,3, 4 ) , (1, 2, 4 ) , ( 2,3, 4 )
verschiedene Kombinationen mit k − ter Ordnung.
man verteile die Elemente der Menge auf n Fächer
[ ][ ][ ][ ][ ] [ ]
k
(2)
(3)
in den k − markierten Fächer liegen die Elemente einer Kombination
jede Permutation aller Fächer liefert Kombinationen in den ersten k Fächern
(4)
berücksichtigen: Vertauschungen der markierten Fächer ergeben
(5)
in den nicht markierten Fächern vertauschen
neue Permutationen
keine neue Kombinationen
n
n!
=
k
k !( n − k ) !
Bsp1: Wieviele Möglichkeiten gibt es 6 aus 49 Kugeln zu ziehen?
49
49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44
=
= 13983815
6
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6
Bsp2: Von 10 Mannschaften soll jede gegen jede spielen. Wieviele Möglichkeiten?
10 10 ⋅ 9
=
= 45
2
2 ⋅1
Bsp3: Bei einer Silvesterparty klingen 190x die Gläser. Wieviele Personen sind anwesend?
n ( n − 1)
n
=
= 190
n 2 − n − 380 = 0
n1 = 20
2
2 ⋅1
Seite 19
n ! Kombinationen (?)
n!
k!
II
FOLGEN UND REIHEN
1
Endliche Folgen
II
FOLGEN UND REIHEN
1
Endliche Folgen
Def. 1.1
Die Anordnung x1 , x2 , x3 ,
Bsp:
(1)
(2)
)
∈
j
heißt “endliche Folgen“ ( x j = Glieder )
(4)
(5)
xj =
Def. 1.2
Bsp:
(x
xn
2,4,6,8,10,12
-3,8,1,-256,15
1 1 1 1
1
, , , ,
2 3 4 5 1000
an = n 2 für n = 1, 2,3, 10 ⇔ 1, 4,9, 100
(3)
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ANALYSIS
j
(1 − j 2 )
j + 10
( j = 0,1, 2,3, 4 )
⇔ 0 | 0 | −0,5 | −1,846 | −4, 286
(1)
Die Folge a1 , a2 ,
an
mit a j +1 − a j = d
(2)
Die Folge a1 , a2 ,
an
mit
arithmetische Folgen
1,3,5, 7,9, 99 ( d = 2 )
−3, 2, 7,12
a j +1
aj
für j = 1, 2,
= q für j = 1, 2,
( d = 5)
heißt “arithmetische Folge“
heißt “geometrische Folge“
100,50, 0, −50, −100
( d = −50 )
2, 2, 2, 2,
2
( d = 0)
2, 2, 2, 2,
2
( q = 1)
geometrische Folgen
2, 4,8,16,32
Satz 1.1
n
( q = 2)
( q = −1)
5, −5,5, −5,5, −5
j = 1+ 2 + 3 +
n=
j =1
1 1 1
1, , , ,
3 9 27
1
729
q=
n
⋅ ( n + 1)
2
Bew: vollständige Induktion
gilt für n = 1:
1
j =1=
j =1
1⋅ 2
2
OK
Induktionsannahme: richtig für n = k
k +1
k
k ( k + 1)
k ( k + 1) + 2 ( k + 1) ( k + 1)( k + 2 )
+ ( k + 1) =
=
j=
j + ( k + 1) =
2
2
2
j =1
j =1
richtig für n = k + 1
Satz 1.2
Sei a1 , a2 , a3 ,
( k = 1)( k
k + 1)
an eine arithmetische Folge
dann gilt: (1)
a j = a1 + ( j − 1) ⋅ d
n
(2)
j =1
aj =
n
( a1 + an )
2
Bew:
(1)
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
a j = a1 + ( j − 1) ⋅ d
Seite 20
1
3
II
FOLGEN UND REIHEN
1
Endliche Folgen
n
(2)
j =1
aj =
n
j =1
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ANALYSIS
n
( a + ( j − 1) ⋅ d ) =
1
j =1
a1 +
n
j =1
( j − 1) ⋅ d =
a1 + a1 + a1 +
a1 + d 1 + 2 + 3 +
( n − 1)
( n −1) n
n − mal
2
= n ⋅ a1 + d
( n − 1) n
Satz 1.1
2
n
n
n
n
n
⋅ a1 + ⋅ a1 + ⋅ d ( n − 1) = ⋅ a1 + ( a1 + ( n − 1) d ) = ⋅ ( a1 + an )
2
2
2
2
2
=
an
Bsp:
5 + 10 + 15 + 20 +
zu (2):
8
( 5 + 40 ) = 180
2
40 =
Die Summe aller geraden Zahlen von 1 bis 100: 2 + 4 + 6 + 8 +
Satz 1.3
n
a j = 1 + a + a 2 + a3 +
an =
j =0
Bew:
(1 + a + a
2
Sei a1 , a2 , a3 ,
an =
50
( 2 + 100 ) = 2550
2
( a ≠ 1)
a n ) (1 − a ) = (1 + a + a 2 + a 3 +
+ a3 +
1 + a + a 2 + a3 +
Satz 1.4
1 − a n +1
1− a
100 =
a n ) − a − a 2 − a3 −
a n − a n +1 = 1 − a n +1
1 − a n +1
1− a
an eine geometrische Folge
( mit q )
a j = a1 ⋅ q j −1
dann gilt für q ≠ 1 : (1)
n
(2)
j =0
a j = a1 ⋅
1 − qn
1− q
Bew:
(1)
a2 = a1 ⋅ q
a3 = a2 ⋅ q = a1 ⋅ q 2
a4 = a3 ⋅ q = a1 ⋅ q 3
n
(2)
j =1
Bsp:
aj =
n
j =1
a1 ⋅ q j −1 = a1 ⋅
n
j =1
q j −1 = a1 1 + q + q 2 + q 3 +
q n −1
= a1 ⋅
Satz 1.3
1 − qn
1− q
1000 DM werden mit 4% verzinst:
nach 1. Jahr
1000 ⋅1,04 = 1040
nach 2. Jahr
(1000 ⋅1, 04 ) ⋅1, 04 = 1000 ⋅1, 042 = 1081, 6
Man zahle jährlich 1000 DM ein bei 4%. Wie hoch ist das Kapital nach 20 Jahren?
Endkapital = E = ?
1. Einzahlung: 1000 ⋅1, 0420
2. Einzahlung: 1000 ⋅1, 0419
E = 1000 1, 04 + 1, 042 +
20. Einzahlung: 1000 ⋅1, 04
Seite 21
1, 0420 = 1000
1 − 1, 0420
= 30 969, 20 DM
1 − 1, 04
II
FOLGEN UND REIHEN
2
Unendliche Folgen
2
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ANALYSIS
Unendliche Folgen
Def. 2.1
Eine Anordnung x1 , x2 , x3 , … ( x ∈
) sind heißt "unendliche Folgen" oder "Folgen".
Die x j heißen Glieder der Folge.
Bsp:
(1)
(2)
(3)
(4)
Satz 2.1
1 1 1 1 1
1, , , , , ,
2 3 4 5 6
1, 2,3, 4,5, 6,
1, 4,9,16, 25,36,
1
a j = 2 ( j = 1, 2,3,
j
)
1 1
1, , ,
4 9
Eine Folge entsteht, indem man jeder
eine
zuordnet
Bsp:
1 → 1
1
2
1 = Folge
3 →
3
1
4 →
4
2 →
Darstellung einer Folge
(1)
durch aufzählen ( a1 , a2 , a3 ,
(2)
durch eine Formel (Bsp4)
Bsp:
(5)
an = ( −1)
(6)
an = 3 −
(7)
n +1
1
2n − 2
n
1
xn = 1 +
n
)
( n = 1, 2,3, 4, )
1, −1,1, −1,
( n = 1, 2,3, 4, )
1 | 2 | 2,5 | 2, 75 |
( n = 1, 2,3, 4, )
2 | 2, 25 | 2,37 | 2, 44 |
Seite 22
II
FOLGEN UND REIHEN
3
Grenzwerte bei unendlichen Folgen
3
Grenzwerte bei unendlichen Folgen
3.1
Definitionen
Bsp1:
1 1 1
1, , , ,
2 3 4
Bsp2:
an = n 2
Schreibweisen:
xn =
Bsp3:
Def. 3.1
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ANALYSIS
1
1000 000
→ 0
schreibweise: lim
n →∞
( n = 1, 2,3, 4,5, )
1
=0
n
a100 = 1, 007
lim n 2 = 1
n→∞
( Limes von an )
lim an = 1
(2)
an → 1 für n → ∞
(3)
an konvergiert gegen 1 für n gegen unendlich
n →∞
(1)
a20 = 1, 04
2 | 1, 41 | 1, 26 | 1,19 | 1,15 |
(1)
2n + 1
n
( 0 = Grenzwert )
( n = 1, 2,3, 4, )
Eine Folge an
3 | 2,5 | 2,33 | 2, 25 |
( n = 1, 2,3, ) hat x ∈
| 2, 01 |
lim xn = 2
n →∞
als Grenzwert,
falls bei wachsendem n die Glieder an der Folge sich der Zahl x beliebig annähern.
( die Folge an
symbolisch: lim an = x
n →∞
(2)
Bsp:
an =
1 − 3n3
n3
Def. 3.2
Bsp:
exakter:
1 | 1 | 1| 1 | 1 | 1 |
an =
Def. 3.3
gibt es eine natür. Zahl n0 , so daß für alle n ≥ n0 gilt: | an − x |< ε
→ −3
Eine Folge die gegen keine Zahl konvergiert heißt divergent
Eine Folge die gegen Null konvergiert heißt Nullfolge
1 | −1| 1 | −1 | 1| −1 |
an = n
lim an = x ⇔ nach Vorgabe einer beliebig kleinen Zahl ε > 0,
n →∞
− 2 | −2,875 | −2,9629 |
(1)
(2)
divergent
konvergent
2
1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
1
2n
1 1 1 1
| | | |
2 4 8 16
xn wird beliebig groß
divergent
Nullfolge
lim xn = ∞
n →∞
| xn | wird beliebig groß
lim xn = −∞
und xn < 0 für n ≥ n0
1 + n2
=∞
n →∞
n
lim
3.2
Berechnung von Grenzwerten (Beispiele)
Un =
(2)
ak =
( n + 1)
2
n2
k2
( k + 1)
2
2 | 2,5 | 3,3 |
n →∞
Bsp:
(1)
ist konvergent; x = Grenzwert )
| 100, 01 |
2 1
1+ + 2
n 2 + 2n + 1
n n
=
=
1
n2
k2
1
= 2
=
k + 2k + 1 1 + 2 + 1
k k2
→ 1
→ 1
lim
n →∞
( n + 1)
n2
(k → ∞)
Seite 23
2
=1
II
FOLGEN UND REIHEN
3
Grenzwerte bei unendlichen Folgen
(3)
(4)
(5)
(6)
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ANALYSIS
2,5 7, 6
+ 2
3,8 −
3,8n 2 − 2,5n + 7, 6
n
n = 3,8 = 2,111
=
lim
lim
n →∞ 1,8n 2 − 2n + 9,6
n →∞
2 9, 6
1,8
1,8 − + 2
n n
3n 2 − 1
1
= 3n −
→ ∞ (n → ∞)
n
n
lim an = 0
an = q n mit | q |< 1
n →∞
an =
n
q j = 1 + q + q 2 + q3 +
qn
j =0
(| q |< 1)
a0 = 1
a1 = 1 + q
a2 = 1 + q + q
(8)
→
n
1
1− q
lim
n →∞
1
1− q
qj =
j =0
1 0,52
− 2 +1
2
1 − 0,5 + n
n
= n
→ 1
2
1
1+ n
+1
2
n
n
a
1+
(9)
3.3
2
1 − q n +1
1− q
2
n
(7)
an =
n
1
n
1
( a ≥ 0)
→ ?
( n = 1, 2,3,
→ a0 = 1
an
)
10,
lim n a = 1
n →∞
2 | 2, 25 | 2,37 |
( a ≥ 0)
→ ?
| 2,59 |
Die Zahl e
1
3.3.1 Der Grenzwert von 1 +
n
n
Satz 3.1
Für alle n gilt: 1 +
1
n
n
<3
Bew: Binomialsatz: (I, Satz 9.4)
n
n
n
n
( a + b ) = a n + ⋅ a n −1 ⋅ b + ⋅ a n − 2 ⋅ b 2 + ⋅ a n −3 ⋅ b3 +
1
2
3
1+
n
1
n
= 1+
n
n 1
n 1
1
⋅ +
⋅ 2+
⋅ +
1 n 2 n
3 n3
n 1 n ( n − 1)( n − 2 )
=
k nk
k!
( n − k + 1)
⋅
+
n
n
⋅
+
n
n
⋅ a0 ⋅ bn
1
nn
1
1 n n −1 n − 2
= ⋅ ⋅
⋅
⋅
k
n
k! n n
n
⋅
1
n − k +1 1
≤ =
n
k ! 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅
≤1
1
1+
n
n
1 1 1 1
< 1+1+ + + + +
2 4 8 16
<3
<1
Satz 3.2
Die Folge an = 1 +
Bew: an = 1 +
zeigen:
1
n
1
n
n
ist wachsend, d.h. a1 < a2 < a3 <
n
a1 < a2 < a3 <
< an < an +1 <
Bernoullische Ungleichung (I, Satz 8.1):
(1 + a )
n
> 1+ n ⋅ a
Seite 24
< an < an +1 <
k
<
1
1⋅ 2 ⋅ 2 ⋅
2
=
1
2k −1
II
FOLGEN UND REIHEN
3
Grenzwerte bei unendlichen Folgen
1
a=− 2
n
1
1+
n
( n + 1)
n
n
>
n
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ANALYSIS
n
n2 − 1
n2
1
> 1−
n
( n + 1)
n −1
n
⋅
n ( n − 1) n
n
Satz 3.3
Die Folge an = 1 +
Bew: a1 = 2 < a2 < a3 < a4 <
1
n
n
n
>
nn
( n − 1)( n + 1)
1
> 1−
n
n
n −1
( n − 1)
n −1
n
=
n
n −1
2
n −1
1+
n
hat eine Grenzwert e mit 2 < e < 3
3
2<e<3
e
2
Satz 3.4
e = lim 1 +
n →∞
1
n
n
3
( irrational )
= 2, 7182818
Berechnung: a1 = 2 | a2 = 2, 25 | a100 = 2, 70481383 | a10 000 = 2, 718145936 |
Satz 3.5
lim 1 +
n →∞
α
n
= eα
n
n
α
Bew:
1+
α
n
n
⋅α
1
= 1+
n
2⋅α
1
= 1+
2
α
=
1
1+
2
n α
→
n →∞
( 2 →∞ )
eα
3.3.2 Stetige Verzinsung
Bsp1: (1)
100€ sind 1 Jahr lang mit 6% zu verzinsen
Endkapital = E = 100€ ⋅1, 06 = 100€ ⋅ 1 +
(2)
0, 06
1
1
(3)
= 106€
100€ 2mal ½ Jahr mit 3%
E = (100€ ⋅1, 03) ⋅1, 03 = 100€ ⋅1, 032 = 100€ ⋅ 1 +
0, 06
2
100€ 4mal (1,5%)
E = 100€ ⋅1, 0154 = 100€ ⋅ 1 +
(4)
tägliche Verzinsung
(5)
0, 06
365
stetige Verzinsung
E = 100€ ⋅ 1 +
E = 100€ ⋅ lim 1 +
n →∞
0, 06
4
4
= 106,14€
365
= 106,18€
0, 06
n
n
= 100€ ⋅ e0,06 = 106,184€
Bsp2: Wachstum einer Bakterienkultur
N 0 = Anzahl der Bakterien zur Zeit t = 0
N = Anzahl der Bakterien zur Zeit t
N = N 0 eα t
Bsp3: Radioaktiver Zerfall
M = Masse U 235
M = M 0 e−α t
Seite 25
n
2
= 106,14€
1
n
1
> 1−
n
n
= an > an −1
( n − 1) ( n + 1)
n
n
2n
n
> 1−
1
n
II
FOLGEN UND REIHEN
4
Reihen
4
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ANALYSIS
Reihen
1 1 1
Bsp1: Folge: 1, , , ,
2 4 8
1 1 1
Reihe: 1 + + + +
2 4 8
Def. 4.1
∞
Sei a1 , a2 , a3 , … eine unendliche Folge
2
1 1
Bsp2: 1 + +
3 3
1
+
3
3
+
=
1
3
j =0
2
1 1
Teilsumme: 1 + +
3 3
Def. 4.2
∞
+
1
3
j =1
a j = Reihe
j
3
+
1
3
n
1
3
1
1−
3
1− q
=
Satz 1.3 1 − q
=
n +1
1+
n +1
→
n →∞
1
1−
1
3
= 1,5
∞
Sei
j =1
a j eine Reihe
Wenn die Teilfolge der Teilsumme Sn =
(1)
heißt α der Wert der Reihe und es gilt
n
j =1
∞
j =1
a j für n → ∞ gegen die Zahl α konvergiert,
aj = α
∞
(2)
Wenn
j =1
∞
Bsp3:
1 1 1 1
= + + +
j
2 4 8
2
j =1
∞
Bsp4:
a j einen Wert besitzt, heißt die Reihe konvergent, andernfalls divergent
=1
q j = 1 + q + q 2 + q3 +
j =0
∞
q =1
Fall 1:
1j = 1 + 1 + 1 + 1 +
= ∞ divergent
j =0
∞
| q |< 1
Fall 2:
q j = 1 + q + q 2 + q3 +
Teilsumme:
j =0
qn =
1 − q n +1
1+ q
→
n →∞
1
1− q
∞
qj =
j =0
1
1− q
Fall 3:
∞
q = −1
j =0
q j = 1 + ( −1) + 1 +
∞
| q |> 1
Fall 4:
∞
Folge der Teilsumme: 1,0,1,0,
j =0
q j = divergent
j =0
Folgerung:
Satz 4.1
∞
| q |< 1
qj =
j =0
∞
Bsp5:
10− j =
j =0
∞
Bsp6:
j =3
∞
j
=
1
1− q
1
= 1,111
1
10
∞
1
1
= 10− j − 1 + +
= 0, 00111
10
100
j =3
j =0
10− j
1
10
nicht konvergent
1+
Seite 26
q j = divergent
II
FOLGEN UND REIHEN
4
Reihen
Def. 4.3
∞
Sei
j =1
∞
a j divergent und
j =1
→ ± ∞ für n → ∞
aj
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + + +
2 2 4 4 8 8 8 8 16
1
2
>
1 1
1
+ +
2 2
2
∞
1
=∞
j =1 j
1
2
+
1
2
∞
j =1
Bsp7: Harmonische Reihe
∞
1
1 1 1 1 1 1 1 1
= 1+ + + + + + + + +
2 3 4 5 6 7 8 9
j =1 j
>
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
1
2
+
1
2
+
Seite 27
a j = ±∞
III
FUNKTIONEN
1
Grundlagen
dominik erdmann
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ANALYSIS
III FUNKTIONEN
1
Grundlagen
Bsp1: y = x 2
x →
y
Zuordnung: x →
Bsp2: Zuordnung
Menge1
Menge2
M
Def. 1.1
(1)
y
N
Es seien M und N zwei Zahlenmengen. Jeden x ∈ M werde eindeutig ein y ∈ N zugeordnet.
Eine Zuordnung dieser Art heißt Funktion.
Schreibweise: y = f ( x ) oder y = g ( x ) oder y = x 2
(2)
M = Definitonsbereich der Funktion
x ∈ M = Argument oder unabhängige Variable der Funktion
N = Wertebereich der Funktion
y ∈ N = abhängige Variable oder Funktionswert
Beispiele
(1)
y = x2
Zuordnungen
für M = { x | 0 ≤ x ≤ 1}
( Definitionsbereich )
N = { y | 0 ≤ y ≤ 1} ( Wertebereich )
(2)
Zuordnungen 1
y = 3 x + 1 für x ∈
2 →
= Def.bereich
(3)
−1
M = {0,1, 2,3} = Def.bereich
N = {13,14,15} = Wertebereich
(4)
y = f ( x)
(5)
x 0 1 2 3
Zuordnungen 0 → 13
(x∈M )
x →
1
→ 14
2
→ 15
3
→ 15
y
y 4 5 1 3
Darstellung einer Funktion
1
Gleichung: y = f ( x ) oder y = x 2
2
3
→
usw.
Tabelle
graphisch (Kurve)
Seite 28
Funktion
→
4
7
−2
1
1
→
2
4
1
1
→
4
8
1 → 1
III
FUNKTIONEN
1
Grundlagen
1
x
(6)
y=
(7)
y= x
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ANALYSIS
M = { x | x ∈ , x ≠ 0} = Def.bereich
M = { x | x ≥ 0}
x
− x
Def. 1.2
(1)
(2)
{ x | a ≤ x ≤ b} = [ a, b ] = abgeschlossenes Intervall
{ x | a < x < b} = ( a, b ) = ]a, b[ = offenes Intervall
a
b
Seite 29
III
FUNKTIONEN
2
Polynome (ganzrationale Funktionen)
2
Polynome (ganzrationale Funktionen)
2.1
Definition
Def. 2.1
dominik erdmann
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ANALYSIS
Eine Funktion y = an ⋅ x n + an −1 ⋅ x n −1 + an − 2 ⋅ x n − 2 +
+ a1 ⋅ x + a0
mit a j ∈
( ∀ j; a
j
Koeffizient )
heißt n − ten Grades oder ganzrationale Funktion. n heißt der Grad des Polynom
Beispiele:
y = 3x2 − 2 x + 1
( Grad 2 )
y = 3,8 x 4 − 2, 2 x 2
y = ( x − 3)( x − 4 ) + x = x + x − 7 x + 12
7
Operationen:
( Grad 7 )
( Grad 4 )
y = a0
Polynome 1. Grades
Def. 2.2
Bsp:
2
+|−|⋅
Polynom 0 − ten Grades:
2.2
7
Ein Polynom 1 − ten Grades y = ax + b heißt Lineare Funktion oder Gerade
1
x +1
2
x 0 1 2
y=
y 1 1,5 2
Def. 2.3
Seien ( x1 , y1 ) und ( x2 , y2 ) zwei Punkte einer Geraden.
Dann heißt m =
Satz 2.1
Bew: (1)
(2)
y2 − y1 ∆y
=
Steigung der Geraden
x2 − x1 ∆x
Bei der Geraden y = ax + b ist a die Steigung und b der Durchgang der Geraden durch die y − Achse.
m=
∆y y2 − y1 ( ax2 + b ) − ( ax1 + b ) a ( x2 − x1 )
=
=
=
=a
∆x x2 − x1
x2 − x1
x2 − x1
y = ax + b
Konstruktion einer Geraden
y = 2x + 1
Seite 30
III
FUNKTIONEN
2
Polynome (ganzrationale Funktionen)
Satz 2.2
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Zweipunktformel
Gegeben seien die Punkte ( x1 , y1 ) und ( x2 , y2 ) des Koordinatensystems. Dann geht die Gerade
y2 − y1 y − y1
=
durch diese Punkte
x2 − x1 x − x1
y − y1
⋅ ( x2 − x1 )
x − x1
( x1 , y1 ) und ( x2 , y2 )
Bew:
y2 − y1 =
Bsp:
Welche Gerade geht durch die Punkte (1, 2 )( −1, 0 )
0−2 y−2
=
−1 − 1 x − 1
2.3
1=
y−2
x −1
erfüllen die Gleichung
y − 2 = x −1
liegen auf der Geraden
y = x +1
Polynome 2. Grades (Parabel)
Def. 2.4
Die Funktion y = ax 2 + bx + c heißt Parabel
Bsp1: y = 2 x 2 − 4 x + 1
x −1 0
y
7
1
2 3
1 −1 1 7
Bsp2: y = − x 2
Satz 2.3
Bew:
Die Parabel y = ax 2 + bx + c ist nach oben oder nach unten geöffnet (entsprechend Abb),
je nachdem ob a < 0 oder a > 0 ist
y − y0 = a ( x − x0 )
y = ax 2 + bx + c
y − y0 = y ′ = a ( x − x0 ) = ax′2
2
Def. 2.5
2
mit x0 = −
y ′ = ax ′2
b
b
; y0 = c − 2
2a
4a
a>0
oben
a<0
unten
Koordinatentransformation
Eine Koordinatentransformation ist die Einführung neuer Koordinaten ( x′, y ′ ) ,
so dass die Funktion y = f ( x ) in die Funktion y ′ = g ( x′ ) übergeht.
(vgl. Bew zu Satz 2.3)
2.4
(x
3
Division zweier Polynome
− 2 x + 4 ) : ( x 2 + 2 x + 1) = ?
Bsp1:
Bsp2:
Bsp3:
Seite 31
III
FUNKTIONEN
2
Polynome (ganzrationale Funktionen)
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ANALYSIS
Bsp4:
2.5
Die Nullstellen eines Polynoms
Def. 2.6
Jeder Wert x0 , für f ( x0 ) = 0 heißt Nullstelle der Funktion f ( x )
Bsp1: y = x 2 − 1
Nullstellen = Durchgang durch x − Achse
Bsp2: x 2 + px + q = 0
x=−
p2
−q > 0
4
p2
−q < 0
Fall2:
4
p2
Fall3:
−q = 0
4
Bsp3: x 2 − 2 x + 2 = 0
p2
−q
4
2 Nullstellen ( reell )
Fall1:
Satz 2.4
p
±
2
1 Nullstellen
z und z komplexe Nullstelle
x = 1± 1− 2 = 1+ j
Fundamentalsatz der Algebra
Sei Pn ( x ) = Polynom von Grad n, dann gilt die Darstellung:
Pn ( x ) = a ( x − x1 ) ⋅ ( x − x2 ) ⋅ ( x − x3 ) ⋅
d.h.:
x 3 − 9 x = ( x − 0 ) ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x − ( −3 ) )
Bew: Hilfssatz1:
Bew: HS
r
x−a
(x
j
= reell oder komplex )
(Faktorzerlegung)
Pn ( x ) = Polynom von Grad n
Bew: Pn ( x ) : ( x − a ) = Pn −1 ( x ) +
Hilfssatz2:
⋅ ( x − xn )
Pn ( x ) = Pn −1 ( x ) ⋅ ( x − a ) + Pn ( a )
Pn ( x ) = Pn −1 ( x ) ⋅ ( x − a ) + r
Pn ( a ) = Pn −1 ( a ) ⋅ ( a − a ) + r = r
Pn ( x ) = Polynom von Grad n a = Nullstelle von Pn ( x )
Pn ( x ) = Pn −1 ( x ) : ( x − a ) + Pn ( a )
a Nullstelle
Satz 2.4:
x1 Nullstelle von Pn ( x )
HS2
Pn ( x ) = Pn −1 ( x ) ⋅ ( x − x1 )
Pn = Pn −1 ( x − x1 )
x2 Nullstelle von Pn
HS2
x2 Nullstelle von Pn −1
Pn −1 = Pn − 2 ( x − x2 )
einsetzen: Pn = Pn − 2 ( x − x2 )( x − x1 )
x3 Nullstelle von Pn
Pn − 2 = Pn − 3 ( x − x3 )
usw.
schließlich:
x3 Nullstelle von Pn − 2
Pn = Pn − 3 ( x − x3 )( x − x2 )( x − x1 )
Pn = P0 ( x − xn )( x − xn −1 )( x − xn − 2 )
P0 = a
|x=a
( x − x1 )
Seite 32
Pn ( x ) = Pn −1 ( x ) ⋅ ( x − a )
Pn ( a ) = 0
III
FUNKTIONEN
2
Polynome (ganzrationale Funktionen)
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ANALYSIS
Bsp1: x 4 + x 3 − x 2 + x − 3 = ( x − 1) ( x − ( −2 ) ) ( x − j ) ( x − ( − j ) )
Nullstellen 1 | −2 | j | − j
Bsp2: x 4 − 2 x 3 − 2 x 2 + 8 x + 8 = ( x − (1 + j ) ) ( x − (1 − j ) ) ( x − 2 ) ( x − ( −2 ) )
Bsp3: x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1)( x − 1)
Def. 2.7
(1)
(2)
Die Zerlegung eines Polynoms im Sinne von Satz 2.4 heißt Faktorzerlegung
Kommt eine Nullstelle in der Faktorzerlegung k − mal vor, heißt sie k − fache Nullstelle
Bsp4: y = x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2 )
Satz 2.5
2
x = 2 ist 2 − fache Nullstelle
(1)
Zählt man jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit (d.h. bei k − facher Nullstelle k − mal),
(2)
dann hat ein Polynom n − ten Grades genau n − Nullstellen
Ein Polynom n − ten Grades hat höchstens n − reelle Nullstellen ( Schnittpunkte mit der x − Achse )
Bew: folgt aus Satz 2.4
Beispiele:
(1)
y = ax + b
höchstens 1 Schnittpunkt
(2)
y = ax 2 + bx + c
höchstens 2 Schnittpunkte
(3)
y = ax3 + bx 2 + cx + d
höchstens 3 Schnittpunkte
(4)
y = ax n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 +
= a ( x − z1 )( x − z2 )
“Hochschieben“
( x − zn )
a1 x + a0
z1 → z2
Faktorzerlegung: y = a ′ ( x − z )( x − z )( x − z3 )
(5)
( x − zn′ )
Polynom wie in (4) weiteres Hochschieben
Faktorzerlegung: y = a ( x − z1 )( x − z2 )( x − z3 )
z1 , z2 gehen in komplexe Nullstellen über
( x − zn )
z1 , z2 komplex
beweisbar: z1 = z2
Satz 2.6
(1)
(2)
Eine mehrfache reelle Nullstelle ist stets eine Berührstelle der Kurve mit der x − Achse
Ist z = a + bj Nullstelle eines Polynoms, dann ist es auch der konjungiert komplexe Wert z = a − bj
Seite 33
III
FUNKTIONEN
3
Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
3
Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
3.1
Grenzwerte
Bsp1: y =
x −3 −2 −1 0 1 2 3
15
y 3 0 −1 0 3
x3 − 4 x
x−2
Problem bei x = 2
Def. 3.1
dominik erdmann
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ANALYSIS
f ( xj ) = yj → ?
xj → 2
Die Aussage: x j → a folgt f ( x j ) → b für alle Folgen x j → a
ist identisch mit der Schreibweise: lim f ( x ) = b
x →a
x ( x2 − 4)
x ( x − 2 )( x + 2 )
x3 − 4 x
lim
= lim
= lim
= lim x ( x + 2 ) = 8
x→2 x − 2
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
Fortsetzung Bsp1:
Bsp2: lim 1 +
x →∞
1
x
x
=e
für g ( x ) = 1 +
x
1
x
gilt lim g ( x ) = e
x →∞
x −4
−3 −2 −1 0 1 2
3
4
0,1 0,5
| x − 1|
y 1, 25 1,33 1,5 2 ? 0 0,5 0, 67 0, 75 9
1
| x|
| x −1 |
1
x −1
lim
= lim |
|= lim | 1 − |= ∞
x →0 | x |
x →0
x →0
x
x
| x −1 |
1
x −1
lim
= lim |
|= lim | 1 − |= 1
x →±∞ | x |
x →±∞
x →±∞
x
x
Bsp3: f ( x ) =
Asymptote bei: x = 1
Bsp4: Einseitiger Grenzwert
x
y=
|x|
x
lim
=1
x →0 + | x |
x
lim
= −1
x →0 − | x |
1
x
1
lim = ∞
x →0+ x
1
lim = −∞
x →0 − x
Bsp5: y =
Def. 3.2
Def. 3.3
[ x → a mit x > a ]
[ x → a mit x < a ]
geg:
y = f ( x)
⇔
⇔
lim f ( x ) = A
x →a +
lim f ( x ) = B
x→a −
(x∈ )
(1)
Die Menge der Punkte ( x, f ( x ) ) = ( x, y ) im Koordinatensystem heißt Graph der Funktion (Kurve)
(2)
Nähert sich der Graph einer Funktion x → ∞
heißt die Gerade Asymptote (vgl. Bsp3)
Seite 34
( x → −∞ )
dem Graphen einer Geraden,
III
FUNKTIONEN
3
Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
3.2
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ANALYSIS
Stetigkeit einer Funktion
Def. 3.4
(1)
Eine Funktion y = f ( x ) heißt in x0 stetig, falls y = f ( x0 ) definiert ist und lim f ( x ) = f ( x0 ) ist
(2)
Eine Funktion heißt in einem Intervall stetig, falls sie für alle x0 aus dem Intervall stetig ist
x →0
x
für x ≠ 0
Bsp1: y = | x |
0 für x = 0
Bsp2:
Merkregel:
Satz 3.1
in x = 0 unstetig
sonst stetig
unstetig
Eine Funktion mit Sprüngen, ist an den Sprungstellen nicht stetig
Sei y = f ( x ) im Intervall a ≤ x ≤ b stetig
y nimmt alle Werte zwischen ihrem Minimum und ihrem Maximum an
d.h:
Seite 35
III
FUNKTIONEN
4
Gebrochenrationale Funktionen
4
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ANALYSIS
Gebrochenrationale Funktionen
Def. 4.1
Jede Funktion y =
x −1
x2 + 3
x 2 − 3x + 1
Bsp2: y =
1− x
1
Bsp3: y =
x
x2 − 4
Bsp4: y = 2
x −1
P ( x)
Q ( x)
wobei P ( x ) und Q ( x ) Polynome sind, heißt gebrochen rational
Bsp1: y =
x −2,5 −5 −1,5 −1,1 −1,0 −0,5 0 0,5 1 1,1
1,5 2 2,5
y 0, 4 0 −1, 4 −13,3
?
5
4 5 ? −13,3 −1, 4 0 0, 4
x2 − 4
= −∞
x →1+ x 2 − 1
x2 − 4
lim 2
= −∞
x →1+ x − 1
lim
4
1− 2
x2 − 4
x =1
lim
= lim
x →±∞ x 2 − 1
x →±∞
1
1− 2
x
∞ − Stelle
0 − Stelle
Def. 4.2
Nullstelle des Nenners
Nullstelle des Zählers
Ist f ( x ) bei x = x0 nicht definiert, gilt aber lim f ( x ) = ±∞, dann heißt x0 Pol der Funktion f ( x )
x → x0
Satz 4.1
Sei y =
(1)
(2)
(3)
P ( x)
Q ( x)
gebrochen rationale Funktion und x0 ∈
Ist x0 Nullstelle von P ( x ) und keine Nullstelle von Q ( x ) , dann ist x0 Nullstelle von y
Ist x0 Nullstelle von Q ( x ) und keine Nullstelle von P ( x ) , dann ist x0 Pol von y
Ist x0 Nullstelle von Q ( x ) und P ( x ) , dann hat y bei x0 eine Lücke
Seite 36
III
FUNKTIONEN
5
Nichtrationale Funktionen (Kegelschnitte)
5
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ANALYSIS
Nichtrationale Funktionen (Kegelschnitte)
Anmerkung:
Polynom:
endlich oft:
gebrochen rational:
endlich oft:
+|−|⋅
+ | − |⋅| /
nichtrational:
endlich oft:
+ | − |⋅| / |
Bsp1: y = x
y=
1 − x2
3 + 7x
( y − a)
Bsp2: y = a ± Ax 2 + Bx + C
2
= Ax 2 + Bx + C
y 2 − 2ay + a 2 − Ax 2 − Bx − C = 0
(Gleichung der Kegelschnitte)
5.1
Der Kreis
Def. 5.1
Abstandsformel
Sei ( x1 , y2 ) und ( x2 , y2 ) zwei Punkte im Koordinatensystem,
dann heißt d =
( x2 − x1 )
2
+ ( y2 − y1 ) = ∆x 2 + ∆y 2 Abstand der Punkte
2
d.h.
Def. 5.2
Alle Punkte die von einem Punkt (Mittelpunkt P) den gleichen Abstand r haben,
bilden einen Kreis mit dem Radius r um P
Bsp:
Abstand = d = ( x, y ) zu ( a, b ) ist r
d=
Satz 5.1
( x − a ) + ( y − b) = r
2
2
( x − a ) + ( y − b) = r 2
2
2
(1)
Die Gleichung eines Kreises P = ( a, b ) mit dem Radius r lautet ( x − a ) + ( y − b ) = r 2
(2)
Die Gleichung eines Kreises um den Nullpunkt lautet x 2 + y 2 = r 2
(3)
x2 + y 2 = 1
2
Einheitskreis
Beispiele:
(1)
Kreis um (1,1) mit r = 2
(2)
Kreis um ( 0, −4 ) mit r = 14
(3)
Die Gleichung x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 ist ein Kreis. Man zeichne ihn.
( x − 1) + ( y − 1) = 4
2
x2 + ( y + 4) = 1
2
2
x 2 − 6 x + 9 + y 2 + 2 y + 1 = −6 + 9 + 1
( x − 3)
(4)
2
+ ( y + 1) = 22
2
Wo schneidet der Kreis ( x − 1) + ( y + 1) = 4 die:
2
y − Achse?
x − Achse?
( 0 − 1) + ( y + 1) = 4
2
2
( x − 1) + ( 0 + 1) = 4
2
2
2
( y + 1) = 3
2
( x − 1) = 3
2
Seite 37
y = −1 ± 3
x = 1± 3
2
III
FUNKTIONEN
5
Nichtrationale Funktionen (Kegelschnitte)
5.2
dominik erdmann
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ANALYSIS
Ellipse
x2 + y 2 = 1
Kreis ausbeulen:
x + y =1
2
Def. 5.3
2
x
4
y
y′ =
2
2
x
y
+
4
2
x′ =
x = 4 x′
y = 2 y′
2
x2 y2
+
=1
16 4
=1
Ellipse um Nullpunkt
x2 y 2
+
=1
( a, b ) = Achsen der Ellipse
a 2 b2
Beispiele:
x2 y2
(1)
+
=1
4
1
(2)
x2 y2
+
=1
1
4
(3)
x2 y2
+
=1
9
9
( Kreis )
x 2 + y 2 = 32
Def. 5.4
Ellipse um P = ( x0 , y0 ) mit den Achsen a, b :
( x − x0 )
2
a2
+
( y − y0 )
2
b2
=1
Beispiele:
(1)
( x − 1)
(2)
( x − 1)
(3)
2
+
4
( y + 1)
2
( y − 3)
2
=1
9
2
+
=4
2
3
y 2 + 4 x2 − 2 y − 8x + 1 = 0
Mittelpunkt (1 | −1)
( x − 1)
8
4 x 2 − 8 x + y 2 − 2 y = −1
2
+
( y − 3)
Achsen ( 2 | 3)
2
=1
12
Ellipse
Achsen
(
8 | 12
)
Lage?
4 ( x − 2 x + 1) + y − 2 y + 1 = −1 + 4 + 1
2
2
4 ( x − 1) + ( y − 1) = 4
2
(4)
Ellipse:
2
( x − 1)
1
2
+
( y − 1)
4
2
=1
Gleichung?
( x + 3)
9
Seite 38
Mittelpunkt ( −3 | 1)
Achsen ( 3 | 1)
2
+
( y − 1)
1
2
=1
III
FUNKTIONEN
5
Nichtrationale Funktionen (Kegelschnitte)
(5)
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ANALYSIS
Wie lang ist die Sehne für die Gerade y = − x aus der Ellipse x 2 + 4 y 2 − 4 = 0 ausgeschnitten?
x2 y 2
+
=1
4
1
Schnittpunkte P1 , P2 :
x2 + 4 y 2 = 4
x2 y2
+
=1
4
1
y = −x
( P1 | P2 ) :
x2 ( −x)
+
=1
4
1
2
x2 + 4 x2 = 4
5.3
x=±
4
5
y=
( x2 − x1 )
+ ( y2 − y1 ) =
2
2
4
4
−
−
5
5
2
+
4
4
+
5
5
2
4
4
+
5
5
= 2
2
4
32
= 8
=
= 2,5298
5
5
Hyperbel
Bsp:
x2 y2
−
=1
9 16
y 2 x2
=
−1
16 9
y
x2
y = ±4
=±
−1
4
9
−18
−15
−12
−9
±23, 7 ±19, 6 ±15,5 ±11,3
0 3
6
9
12
15
? 0 ±6,9 11,3 15,5 19, 6
x
y
x
y
x2
−1
9
−6 −3
±6,9 0
Def. 5.5
(1)
Hyperbel um Nullpunkt
(2)
( x − x0 )
a2
2
−
( y − y0 )
Satz 5.2
Die Geraden y = ±
Bew:
x2 y2
−
=1
a2 b2
y = ±b
Verbindungsgerade: y =
2
Bsp:
b2
2
x2 y2
−
=1
a2 b2
= 1 Hyperbel um ( x0 | y0 )
b
x2 y2
x sind die Asymptoten an die Hyberbel 2 − 2 = 1
a
a
b
x12
−1
a2
y1
x2
x 2 ⋅ b2 b2
1
⋅ x = ± b 12 − 1 ⋅ x = ± 12 2 − 2 ⋅ x
x1
x1
a
a ⋅ x1
x1
2
x
y
− 2 =1
2
2
4
4
5
4
4
4 4
|−
, −
|
5
5
5
5
2
Abstand: d =
5x2 = 4
Asymptote:
Nullstellen:
b
y = ± ⋅ x = ±2 x
a
x2 0
y=0
−
=1
22 4 2
Seite 39
x2 = 4
→
x1 →∞
±
b2
b
⋅ x = ± ⋅ x = Asymptote
2
a
a
x = ±2
III
FUNKTIONEN
5
Nichtrationale Funktionen (Kegelschnitte)
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ANALYSIS
5.4
Parabel
(1)
y = ax 2 + bx + c
Bsp:
y2 = x
5.5
Geometrie und Kegelschnitte
(a)
Ellipse (Kreis)
A, B, C , D = Scheitelpunkte
(2)
x = ay 2 + by + c
y=± x
F1 , F2 = Brennpunkte
AB = 2a
CD = 2b
Achsen
F1 P + F2 P = konstant
e2 + b2 = a 2
Satz
(b)
Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P für die F1 P + PF2 = konstant ist
Hyperbel
A, B = Scheitelpunkte
F1 , F2 = Brennpunkte
AB = 2a
F1 F2 = 2e
b = e2 − a 2
Satz
(c)
Satz
a 2 + b2 = e2
(
)
Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte P für die ± F1 P − PF2 = 2a = konstant ist
Parabel
Die Parabel ist die Menge aller Punkte P, deren Abstand von einem Punkt F (Brenpunkt)
gleich dem Abstand von einer Graden G (Leitlinie) ist
Seite 40
III
FUNKTIONEN
5
Nichtrationale Funktionen (Kegelschnitte)
5.6
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ANALYSIS
Die Gleichung der Kegelschnitte
Die allgemeine Gleichung a11 x 2 + a12 xy + a22 y 2 + b1 x + b2 y + c = 0 stellt ein Kegelschnitt dar.
Bsp:
a11 = 1 | a12 = 0 | a22 = 2 | b1 = b2 = 0 | c = −4
(1)
a12 = 0 ⇔
(2)
Bsp:
a11
a12
a12
a22
1
x
x2 + 2 y2 = 4
die Achsen des Kegelschnitts sind den Koordinatenachsen parallel
> 0 ⇔ Ellipse (Kreis)
= D = < 0 ⇔ Hyperbel
= 0 ⇔ Parabel
3x 2 − 4 xy + y 2 − 2 x − 2 y + 9 = 0
y=±
x2 + 2 y2 − 4 = 0
x ⋅ y ±1 = 0
3
−4
−4
1
0 1
= −1 < 0
1 0
= −13 < 0
Seite 41
Hyperbel
Hyperbel
x2 y2
+
=1
4
2
(Ellipse)
III
FUNKTIONEN
6
Exponentialfunktionen, Logarithmus
6
Exponentialfunktion, Logarithmus
6.1
Exponentialfunktion
Def. 6.1
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ANALYSIS
( a > 0)
= exp ( x )
Die Funktion y = a x
a=e
y=e
x
heißt Exponentialfunktion. Sie beschreibt stetiges Wachstum.
Bsp1: biologisches Wachstum (Bakterienkultur)
a0 = Anfangsmenge
t = Zeit
( y ( 0) = a )
y ( t ) = a0 ⋅ eα ⋅t
α > 0 Wachstumskoeffizient
0
y ( t ) = Zahl der Bakterien zur Zeit t
Bsp2: Radioaktiver Zerfall
y ( t ) = Menge Uran zur Zeit t
y ( t ) = a0 ⋅ e −α t
(α > 0
a0 = Anfangsmenge )
Zerfallskonstante
Verlauf von y = e ± x
Satz 6.1
Exponentialreihe
ex = 1 + x +
x 2 x3 x 4
+ + +
2! 3! 4!
(a + b)
Bew: I, Satz 9.4:
= an +
n
n
1
x =1
⋅ a n −1 ⋅ b +
n
2
e
=
II, Satz 3.5
x
lim 1 +
n →∞ = a
n
= lim 1 +
n →∞
=b
= lim 1 + x +
n →∞
= 1+ x +
6.2
n
n
x
x
⋅ +
⋅
1 n 2
n
2
+
n ( n − 1) x 2 n ( n − 1)( n − 2 ) x3
+
+
2! n 2
3!
n3
x 2 x3 x 4
+ + +
2! 3! 4!
Umkehrfunktion
Funktion f ( x )
Sei M = Definitionsbereich
N = Wertebereich
dann:
f ( x ) ordnet jedem x ∈ M genau ein y ∈ N zu
d.h.
f: M → N
überführt
( eindeutig )
Bsp:
M
n
⋅ an− 2 ⋅ b2 +
n
x
e = 1+1+
N
Seite 42
n
3
⋅ a n − 3 ⋅ b3 +
3
⋅
1 1 1
+ + +
2! 3! 4!
x
n
3
+
+
= lim 1 + x +
n →∞
x
n
+ bn
n
n ( n − 1) x 2 n ( n − 1)( n − 2 ) x3
+
+
3!
n ⋅ n 2!
n⋅n⋅n
III
FUNKTIONEN
6
Exponentialfunktionen, Logarithmus
Def. 6.2
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ANALYSIS
Eine Funktion heißt eineindeutig oder umkehrbar (injektiv), falls durch die Funktion y = f ( x ) jedem
x ∈ M eindeutig ein y ∈ N zugeordnet wird und umgekehrt jedem y ∈ N eindeutig ein x ∈ M
Beispiele
(1)
(2)
(3)
umkehrbar
Sei f ( x ) mit x ∈ D, y ∈ W
( wird überführt )
Annahme: Es gibt Umkehrfunktion ( d.h. umkehrbar )
schreibweise
f : D →W
Umkehrfunktion
Def. 6.3
f −1 : W → D
Sei f : D → W umkehrbar, dann heißt die Funktion f −1 : W → D Umkehrfunktion zu f
Beispiele:
(1)
y = 3x + 1
(2)
y=+ x
(3)
y = ex
Def. 6.4
x=
(0 ≤ x ≤ ∞)
1
1
y − = Umkerhfunktion
3
3
x = y 2 = Umkehrfunktion
Es gibt Umkehrfunktion: x = ln y
y = ex
⇔
x = ln ( y )
Definitionsbereich für
( natürlicher Logarithmus )
ln ( y ) = { y | y > 0}
Kurvenverlauf von y = ln x
y = ln x ⇔
x = ey
x 1 2,7 0,3
y 0
1
−1
Wichtige Logarithmen:
x = e y ⇔ y = ln x
(natürlicher Logarithmus)
x=2
(Logarithmus dualis)
⇔
y
x = 10
y
⇔
y = ld x
y = log x
(degatischer Logarithmus)
Seite 43
y = x2
nicht umkehrbar,
weil die Rückführung nicht
eindeutig ist
III
FUNKTIONEN
7
Die Trigonometrische Funktionen
7
Die Trigonometrische Funktionen
7.1
Winkel
(a)
Grad: Vollkreis
1° 60′
1′ 60′′
positiv ⇔ gegen den Uhrzeigersinn
360°
(Min)
(Sek)
15
30
+
= 36, 258°
60 3600
Bsp:
36°15′30′′ = 36 +
(b)
Bogenmaß π = 3,14159
Vollkreis 2π
π 180°
π
2
α ( Bog )
x2 + y 2 = 1
90°
π
45°
4
( Vollkreis
400° )
( Geodaten )
(c)
Neugrad
7.2
Trigonometrische Funktionen
x2 + y 2 = 1
Der Punkt P rotiere auf dem Einheitskreis
Zuordnung:
Def. 7.1
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ANALYSIS
α→y
α→x
y = sin α
x = cos α
Sei P = ( x, y ) ein Punkt des Einheitskreises und α der Winkel zwischen der x − Achse
und der Strecke 0P (Abb)
sin α = y
cos α = x
sin α y
=
cos α x
cos α x
=
cot α =
sin α y
tan α =
Beispiele:
sin
π
2
sin π = 0
=1
cos 0 = 1
cos 45° =
Satz 7.1
tan
1
2
π
4
=1
a2 + a2 = 1
π
cos π = −1
cos −
cos ( 6π ) = 1
sin 90° = 1
2a 2 = 1
sin ( x + 2π ) = sin x
cos ( x + 2π ) = cos x
tan ( x + 2π ) = tan x
cot ( x + 2π ) = cot x
Seite 44
a=
1
2
2
=0
III
FUNKTIONEN
7
Die Trigonometrische Funktionen
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ANALYSIS
Bew: grafische Darstellung
Folgerung:
Satz 7.2
cos x = cos ( − x )
( gerade Funktion )
( ungerade Funktion )
sin x = − sin ( − x )
π
sin x = − cos
cos x = sin
Satz 7.3
2
π
2
+x
( siehe Graph )
+x
sin 2 x + cos 2 x = 1
sin x = ± 1 − cos 2 x
cos x = ± 1 − sin 2 x
Bew: Einheitskreis
Bsp:
Man löse die Gleichung cos
− sin x + cos x = 0
7.3
π
2
+ x + cos ( − x ) = 0
cos x = sin x
1=
sin x
= tan x
cos x
tan x = 1
x=
π
4
Additionstheorien der trigonometrischen Funktionen
Satz 7.4
cos ( x + y ) = cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ sin y
sin ( x + y ) = sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ sin y
Bew:
P = ( x | y ) auf Einheitskreis gegeben
sei r ∈ beliebig und
cos r ⋅ x − sin r ⋅ y = x′
sin r ⋅ x + cos r ⋅ y = y ′
d = x ′ 2 + y ′2 =
( cos r ⋅ x − sin r ⋅ y )
2
+ ( sin r ⋅ x + cos r ⋅ y ) = umrechnen = x 2 + y 2 = 1
2
P ′ = ( x′ | y ′ ) auf Einheitskreis
gilt:
P = ( x | y ) = ( cos α | sin α )
P ′ = ( x ′ | y ′ ) = ( cos (α + β ) | sin (α + β ) )
cos r ⋅ x − sin r ⋅ y = cos (α + β )
cos r ⋅ cos α − sin r ⋅ sin α = cos (α + β )
sin r ⋅ x + cos r ⋅ y = sin (α + β )
α = 0:
sin r ⋅ cos α + cos r ⋅ sin α = sin (α + β )
cos r ⋅ cos 0 − sin r ⋅ sin 0 = cos (α + β ) = cos β
cos r = cos β
r=β
Seite 45
[ einsetzen
Satz 7.4]
III
FUNKTIONEN
7
Die Trigonometrische Funktionen
7.4
Trigonometrische Formeln
(a)
(b)
cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 ⋅ sin 2 x
sin 2 x = 2 ⋅ sin x ⋅ cos x
tan x + tan y
tan ( x + y ) =
1 − tan x ⋅ tan y
(c)
(d)
(e)
(f)
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ANALYSIS
x
2
cos ( x − y ) = cos x ⋅ cos y + sin x ⋅ sin y
1 − cos x = 2 ⋅ sin 2
sin ( x − y ) = sin x ⋅ cos y − cos x ⋅ sin y
Beweis:
(a)
In Satz 7.4 x = y setzen und cos 2 x = 1 − sin 2 x
(b)
In Satz 7.4 x = y setzen
(c)
sin x ⋅ cos y cos x ⋅ sin y
+
sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ sin y cos x ⋅ cos y cos x ⋅ cos y
tan x + tan y
tan ( x + y ) =
=
=
=
sin x ⋅ sin y
cos ( x + y ) cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ sin y
1 − tan x ⋅ tan y
1−
cos x ⋅ cos y
(d)
cos x = cos 2
sin ( x + y )
(a)
(e)
y durch − y ersetzen
in Satz 7.4
(f)
Bsp:
x
x
x
x
x
− sin 2 = 1 − sin 2
− sin 2 = 1 − 2 ⋅ sin 2 = (d)
2
2
2
2
2
Man löse die Gleichung sin x = cos 2 x
sin x = 1 − 2 ⋅ sin x
2
[1]
[ 2]
sin x = u
u = 1 − 2u
u = sin x = −1
u = sin x = 0,5
1
1
u + u− =0
2
2
2
2
1
u=− ±
4
1
4
2
+
−1
1
=
0,5
2
(k ∈ )
x = 0,5235 + 2kπ ( k ∈ )
x = (π − 0,5235 ) + 2kπ
x = 1,5π + 2kπ
Trigonometrie und Geometrie
Strahlensatz:
a a'
=
b b'
a a'
=
c c'
b b'
=
c c'
y b
=
1 c
y b
tan α = =
x a
sin α = y =
Folgerung:
Kosinus- und Sinussatz:
Trigonometrie und Schwingungen
cos α = x =
cot α =
x a
=
1 c
a
b
Kosinussatz: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
a
b
c
Sinussatz:
=
=
sin α sin β sin γ
y = A ⋅ sin (ω ⋅ t )
A = Amplitute
ω = 2π f
y = Elongation
Seite 46
ω ⋅ t = Phasenwinkel
III
FUNKTIONEN
7
Die Trigonometrische Funktionen
7.5
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Die Arcus-Funktion
y = sin x
y = sin x für −
Def. 7.2
y = sin x ⇔
x = arcsin y für −
π
2
≤x≤
π
2
π
2
≤x≤
π
2
und − 1 ≤ y ≤ 1
Beispiele:
(1)
arcsin ( −1) = a ⇔ − 1 = sin α
(2)
arcsin (1) = a ⇔ 1 = sin α
(3)
arcsin ( 0 ) = a ⇔ 0 = sin α
π
a=−
a=
arcsin ( −1) = −
2
π
arcsin (1) =
2
a=0
π
2
π
2
arcsin ( 0 ) = 0
y = cos x
y = cos x für 0 ≤ x ≤ π
Def. 7.3
y = cos x ⇔
x = arccos y für 0 ≤ x ≤ π
Beispiele:
(1)
arccos ( −1) = a ⇔ − 1 = cos a
arccos ( −1) = π
a =π
π
(2)
arccos ( 0 ) = a ⇔ 0 = cos a
a=
(3)
arccos (1) = a ⇔ 1 = cos a
a=0
arccos ( 0 ) =
2
y = tan x ⇔
(2)
y = cot x ⇔
π
2
arccos (1) = 0
Def. 7.4
(1)
und − 1 ≤ y ≤ 1
x = arctan y für −
π
≤x≤
π
und − ∞ < y < ∞
2
2
x = arccot y für 0 ≤ x ≤ π und − ∞ < y < ∞
Beispiele:
(1)
arctan (1) = a ⇔ 1 = tan a
(2)
cos a
arccot ( 0 ) = a ⇔ 0 = cot a =
sin a
a=
π
4
a=
π
2
Seite 47
arctan (1) =
π
arccot ( 0 ) =
π
4
2
III
FUNKTIONEN
7
Die Trigonometrische Funktionen
7.6
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Trigonometrische Funktionen und komplexe Zahlen
7.6.1 Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen
a
a =| z | ⋅ cos ϕ
|z|
b
sin ϕ =
b =| z | ⋅ sin ϕ
|z|
z = a + bj =| z | cos ϕ + j⋅ | z | sin ϕ
cos ϕ =
z =| z | ( cos ϕ + j ⋅ sin ϕ )
← trigonometrische Darstellung
ϕ = arc ( z ) = arg
Arcus
Bsp1: z = 3 + 4 j
Argument
Bsp2: w = −1 + 2 j
| w |= 1 + 4 = 5
2
tan α =
63, 4° = α
1
ϕ = 180° − α = 116, 6°
| z |= 32 + 42 = 5
4
4
ϕ = arctan = 0,927
3
3
z = 5 ( cos 0,927 + j ⋅ sin 0,927 )
tan ϕ =
w = 5 ( cos116,6° + j ⋅ sin116, 6° )
Bsp4: j = cos
Bsp3: z = − j
ϕ = 1,5π
π
2
+ j ⋅ sin
− j = cos (1,5π ) + j ⋅ sin (1,5π )
= cos
oder
−π
−π
+ j ⋅ sin
2
2
Bsp5: 4 =| 4 | ( cos 0 + j ⋅ sin 0 )
7.6.2 Exponentialdarstellung
z =| z | ( cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ) =| z | ⋅ f (ϕ )
Satz 7.5
für z =| z | ( cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ) =| z | ⋅ f (ϕ ) gilt:
f ( 0) = 1
(1)
Bew: (1)
(2)
(2)
f (ϕ + ψ ) = f (ϕ ) ⋅ f (ψ )
(3)
( f (ϕ ) )
n
= f ( nϕ )
(n ∈ )
f ( 0 ) = cos 0 + j ⋅ sin 0 = 1
f (ϕ + ψ ) = cos (ϕ + ψ ) + j ⋅ sin (ϕ + ψ )
= [ cos ϕ ⋅ cosψ − sin ϕ ⋅ sinψ ] + [ cos ϕ ⋅ sinψ + sin ϕ ⋅ cosψ ]
= [ cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ] ⋅ [ cosψ + j ⋅ sinψ ] = f (ϕ ) ⋅ f (ψ )
(3)
( f (ϕ ) )
n = 2:
n = 3:
(z)
n
=?
( f (ϕ ) )
( f (ϕ ) )
2
= f (ϕ ) ⋅ f (ϕ ) = f (ϕ + ϕ ) = f ( 2ϕ )
3
= f (ϕ ) ⋅ f (ϕ ) ⋅ f (ϕ ) = f ( 2ϕ ) ⋅ f (ϕ ) = f ( 2ϕ + ϕ ) = f ( 3ϕ )
Seite 48
π
2
III
FUNKTIONEN
7
Die Trigonometrische Funktionen
f ( 0) = 1
e j0 = 1
f (ϕ + ψ ) = f (ϕ ) ⋅ f (ψ )
e
( f (ϕ ) )
e
Es gilt:
Def. 7.5
n
= f ( nϕ )
= ( e jϕ )
j ( nϕ )
cos ϕ + j ⋅ sin ϕ = e jϕ
= e jϕ ⋅ e jψ
n
e − jϕ = cos ϕ − j ⋅ sin ϕ
Bew: e − jϕ = e
j ( −ϕ )
= cos ( −ϕ )+ j ⋅ sin ( −ϕ ) = cos ϕ − j ⋅ sin ϕ
cos ϕ
− sin ϕ
cos (α + β ) = ?
Herleitung des Additionstheorem
e
j (ϕ +ψ )
Euler`sche Formel
e jϕ = cos ϕ + j ⋅ sin ϕ
Satz 7.6
Bsp:
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
j (α + β )
= e jα e j β = ( cos α + j ⋅ sin α )( cos β + j ⋅ sin β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β + j ( cos α ⋅ sin β + sin α ⋅ cos β )
= cos (α + β ) + j ⋅ sin (α + β )
Def. 7.6
Exponentialdarstellung
z =| z | ( cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ) =| z | ⋅ e jϕ
Bsp1: z = −3 + 7 j
| z |= 32 + 7 2 = 7, 616
7
tan α =
66,8° = α
3
ϕ = 180° − 66,8° = 113, 2°
z = 7, 616 ( cos113, 2° + j ⋅ sin113, 2° ) = 7, 616 ⋅ e
j ⋅ 113,2°
=Gradmaß
= 7, 616 ⋅ e
j ⋅ 1,975
=Bogenmaß
Bsp2: z = 3e 2 j
z = 3 ( cos 2 + j ⋅ sin 2 ) = 3 ( −0, 416 + j ⋅ 0,909 ) = −1, 248 + j ⋅ 2, 727
Bsp3: w = 1 + 0 j
j⋅
π
w=e 2
Bsp4: z = 1 + 3 j
w = 2−7 j
| z |= 12 + 32 = 10 = 3,162
3
tan ϕ =
ϕ = 1, 25
1
z = 3,162 ⋅ e j ⋅1,25
| w |= 22 + 7 2 = 7, 28
7
tan ϕ =
ϕ = 1, 29
2
w = 7, 28 ⋅ e j ( −1,29 )
ϕ = −1, 29
z 3,162 ⋅ e j ⋅1,25 3,162 j ⋅1,25 − ( −1,29 )
=
=
= 0, 43 ⋅ e j ⋅2,54
e
w 7, 28 ⋅ e j ( −1,29) 7, 28
Bsp5: Elektrotechnik:
Satz 7.7
(1)
(2)
(3)
(4)
Bew: (1)
e
j (ϕ + 2π )
e
( 3 30° ) ⋅ ( 4 40° ) = 12 70°
z = 3e j ⋅30° = 3 30°
j (ϕ + 2π )
= e jϕ = e
j (ϕ + 2 k π )
(k ∈ )
j 2π
e =1
e jπ = −1
| e jϕ |= 1
( für alle ϕ ∈ )
= cos (ϕ + 2kπ ) + j ⋅ sin (ϕ + 2kπ ) = cos ϕ + j ⋅ sin ϕ = e jϕ
(2)
e j 2π = cos ( 2π ) + j ⋅ sin ( 2π ) = 1
(3)
e jπ = cos π + j ⋅ sin π = −1
(4)
| e jϕ |=| cos ϕ + j ⋅ sin ϕ |= cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 = 1
Seite 49
( 3 30° ) : ( 4 40° ) = 0, 75 −10°
III
FUNKTIONEN
7
Die Trigonometrische Funktionen
Satz 7.8
dominik erdmann
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ANALYSIS
Die Formeln von Moivre
sei z =| z | ⋅e jϕ und w =| w | ⋅e jψ
z ⋅ w =| z | ⋅ | w | ⋅e j (ϕ +ψ )
z | z | j (ϕ −ψ )
=
e
w | w|
z n =| z |n e jnϕ
(1 + j )
10
Bsp:
= (1 + j ) ⋅ (1 + j ) ⋅
1+ j = 2 ⋅ e
(1 + j )
10
j⋅
(1 + j )
π
4
10
= 2 ⋅e
j ⋅10
π
= 2 ⋅ e j ⋅7,85 = 32 ( cos 7,85 + j ⋅ sin 7,85) = 32 ( 0, 004 + j ⋅ 0,999 ) ≈ 32 j
10
4
7.6.3 Wurzeln
Berechnung von
z
=| z | ⋅e
j (ϕ + 2 k π )
(k ∈ )
z = n | z | ⋅e
j (ϕ + 2 k π )
= n | z |⋅n e
z =| z | ⋅e
n
n
jϕ
d.h.
n
z = n | z | ⋅e
Bsp1:
3
1+ j = ?
j (ϕ + 2 k π )
|1 + j |= 2 ⋅ e
k = 0:
3
k = 1:
3
k = 2:
3
Satz 7.9
n
j
π
4
j (ϕ + 2 k π )
= n | z |⋅ e
( k = 0, ±1, ±2, )
3
1 + j = 6 2 cos
1+ j = 6 2 ⋅ e
j
1+ j = 6 2 ⋅ e
j
π
12
π
12
1+ j =
π
12
+
+
2π
3
4π
3
2 ⋅e
3
+ j ⋅ sin
n
Formel von Moivre
π
+ 2 kπ
j (ϕ + 2 k π )
π
12
= 6 2 cos
= 6 2 cos
j4
+ 2 kπ
3
= 1, 084 + j ⋅ 0, 291
π
12
π
12
+
2π
π 2π
+ j ⋅ sin
+
3
12 3
= −0, 794 + j ⋅ 0, 794
+
4π
π 4π
+ j ⋅ sin
+
3
12 3
= −0, 291 − j ⋅1, 084
Alle n − ten Wurzeln aus der komplexen Zahl z liegen in der Gausebene auf dem Kreis r = n | z |
2π
n
Folgerung: es gibt genau n − verschiedene Wurzeln
mit gleichen Winkelabständen
d.h.
4
z
Bew: (1)
(2)
| n z |=| n | z | ⋅ e j ⋅α
=1
Satz 7.7
arc (ω k ) =
|= n | z | = r
Kreis
ϕ + 2 kπ
arc (ω k −1 ) =
n
ϕ + 2 ( k − 1) π
n
arc (ω k ) − arc (ω k −1 ) =
=
ϕ + 2 kϕ
n
−
2π
2π
= arc (ω k ) −
n
n
2π
n
Seite 50
III
FUNKTIONEN
7
Die Trigonometrische Funktionen
Bsp2:
8
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
1
a2 + a2 = 1
a=
1
1
2
2
+ j⋅
1
2
8
±1
1= ±j
±
Bsp3:
4
Bsp4:
j
4 = ±2
1⋅e
j
π
1
⋅
2 2
j =e
j
=e
j
π
4
π
4
Seite 51
1
2
± j⋅
1
2
III
FUNKTIONEN
8
Die hyberbolischen Funktionen
8
dominik erdmann
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ANALYSIS
Die hyperbolischen Funktionen
Def. 8.1
1 x −x
(e − e )
2
1
cosh x = ( e x + e − x )
2
sinh ( x ) e x − e − x
tanh x =
=
cosh ( x ) e x + e − x
sinh x =
coth x =
Satz 8.1
cosh ( x )
sinh ( x )
=
(sinus hyperbolicus)
e x + e− x
e x − e− x
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
cosh ( x + y ) = cosh x ⋅ cosh y + sinh x ⋅ sinh y
sinh ( x + y ) = sinh x ⋅ cosh y − cosh x ⋅ sinh y
1 2x
e + 2e x e − x + e − 2 x
4
1
sinh 2 x = e2 x − 2e x e− x + e−2 x
4
1
cosh 2 x − sinh 2 x = 4 e x e − x = 1
4
1
(2) & (3) analog
cosh 2 x =
Bew: (1)
Bsp:
1 0 −0
(e + e ) = 1
2
1
sinh (1) = ( e1 − e −1 ) = 1,1752
2
cosh ( 0 ) =
Kurvenverlauf
sinh ( x ) umkehrbar für − ∞ < x < ∞
cosh ( x ) umkehrbar für 0 ≤ x < ∞
tanh ( x ) umkehrbar für − ∞ ≤ x < ∞
coth ( x ) umkehrbar für alle x ≠ 0
Def. 8.2
sinh ( x ) = y
cosh ( x ) = y
tanh ( x ) = y
coth ( x ) = y
⇔
⇔
⇔
⇔
x = arsinh ( y )
x = arcosh ( y )
x = artanh ( y )
x = arcoth ( y )
Definitionsbereiche
arsinh y { y | −∞ < y < ∞}
arcosh y
artanh y
arcoth y
{ y | y ≥ 1}
{ y | −1 < y < 1}
{ y |1 < y < −1}
Seite 52
III
FUNKTIONEN
8
Die hyberbolischen Funktionen
dominik erdmann
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ANALYSIS
Bsp1: arsinh (1) = ?
arsinh (1) = a ⇔ 1 = sinh ( a ) =
Substitution: e a = u
u−
1 a −a
(e − e ) = 1
2
1
=2
u
ea − e− a = 2
u 2 − 2u − 1 = 0
u = 1± 2 =
2, 414
= ea
−0, 414
arsinh (1) = 0,881
a = ln 2, 414 = 0,881
Bsp2: arcosh ( 0 ) = ?
1 a
( e + e−a ) ==
2
arcosh ( 0 ) = a ⇔ 0 = cosh ( a ) =
Substitution: e a = u
u+
Bsp3: arsinh ( 0 ) = ?
1
=0
u
u2 +1 = 0
1 a
( e − a −a ) = 0
2
u2 −1 = 0
u2 = 1
ea + e−a = 0
u=±j
keine Lösung
arsinh ( 0 ) = a ⇔ 0 = sinh ( a ) =
Substitution: e a = u
u = ±1
e a = ±1
a = ln ( +1) = 0
Bsp4: arsinh ( 4 ) = ?
arsinh ( 4 ) = a ⇔ 4 = sinh ( a ) =
Substitution:
(
u−
)
1
=8
u
(
1 a −a
(e − e ) = 4
2
u 2 − 8u − 1 = 0
)
a = ln 4 ± 17 = ln 4 + 17 = 2, 0947
Seite 53
u = 4 ± 17
e a = 4 ± 17
2, 414 = e a
III
FUNKTIONEN
9
Darstellung von Funktionen
dominik erdmann
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ANALYSIS
9
Darstellung von Funktionen
9.1
Das kartesische Koordinatensystem
y = f ( x)
(von Descartes)
9.2
Polarkoordinaten
P = ( x | y) = (r | ϕ )
( x | y) ⇔ (r | ϕ )
r = Radius
ϕ = Winkel ( Bogenmaß )
x
x = r ⋅ cos ϕ
r
y
sin ϕ =
y = r ⋅ sin ϕ
r
y r ⋅ sin ϕ
=
= tan ϕ
x r ⋅ cos ϕ
cos ϕ =
Umrechnungsformeln
x = r ⋅ cos ϕ
r = x2 + y2
y = r ⋅ sin ϕ
ϕ = arctan
y
x
Bsp1: Kreis: x 2 + y 2 = R 2 in Polarkoordinaten?
( r ⋅ cos ϕ )
2
+ ( r ⋅ sin ϕ ) = R 2
r 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = R 2
2
r 2 = R2
r=R
r=
1
=1
x2 y 2
+
=1
a2 b2
Bsp2: Ellipse:
( r ⋅ cos ϕ )
2
a2
Bsp3: r = 2ϕ
+
( r ⋅ sin ϕ )
b2
2
=1
cos ϕ
a
r2
2
Wertetabelle:
r
0
π
π
4
2
3
π
4
π
5
π
4
π
1,5π
2π
2,5π
π
2
Bsp4: r = cos ϕ
r
sin ϕ
b
2
=1
±
cos ϕ
a
2
+
sin ϕ
b
Kurve?
ϕ 0
ϕ 0
+
π
4
1 0, 7
π
2
0
3
ϕ
4
−−
5
ϕ 1,5ϕ
4
−− −−
0
ϕ
7
ϕ
4
0, 7
nur > 0
Seite 54
Spirale
2
III
FUNKTIONEN
9
Darstellung von Funktionen
9.3
ANALYSIS
Funktionen in Parameterdarstellung
x = ϕ (t )
Darstellung:
y = ψ (t )
(a ≤ t ≤ b)
Bsp1: x = sin t
y = cos t
0 ≤ t ≤ 2π
t = Parameter
( 0 |1)
t = 0:
t=
t=
π
4
π
2
:
( 0, 7 | 0, 7 )
:
(1| 0 )
( 0 | −1)
t = 1,5π : ( −0,7 | −0, 7 )
t =π :
Bsp2: x = 3 ⋅ cos t
y = sin t
0 ≤ t ≤ 2π
Bsp3: x = t
y = 3t + 1
t∈
y = 3x + 1
9.4
Übersicht über die elementare Funktionen
9.5
Die nicht elementare Funktionen
(= REST)
Bsp1: y =
1
0
1
Bsp2: y = x
1
Bsp3: Tabelle:
( x rational )
( x irrational )
( x ≠ 0)
( x = 1)
x 0
1 2 3
y 1 −4 9 7
Seite 55
dominik erdmann
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IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
1
Die Ableitung
ANALYSIS
IV DIFFERENTIALRECHNUNG
1
Die Ableitung
Vorbemerkung
(1)
Es sei y = f ( x ) eine Kurve. Eine lineare Funktion y = ax + b
die f ( x ) an der Stelle x0 „berührt“ heißt Tangente an x0
(2)
(3)
Die Steigung der Tangente an x0 heißt Ableitung von f ( x ) an der Stelle x0
Eine Funktion die für jedes x0 die Ableitung von f ( x ) an der Stelle x0 angibt heißt Ableitung von f ( x )
Bsp1: y = x 2
Ableitung von x = 1: 2
1
Ableitung von x = − : 1
2
Ableitung von x = 0 : 0
Bsp2: y = 3 x + 1
Ableitung für alle x : 3
1.1
Berechnung der Ableitung
Ableitung bei x0 ≈
∆y
∆x
∆x = h
Def. 1.1
Sei y = f ( x ) eine Funktion, dann heißt
∆y f ( x0 + h ) − f ( x0 )
=
h = ∆x
h
∆x
Differenzenquotient ( h = Schrittweite )
d.h.
Def. 1.2
∆y f ( x0 + h ) − f ( x0 )
=
∆x
h
Sei y = f ( x ) eine Funktion.
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
existiert, heißt f ( x ) bei x0 differenzierbar.
h
Der Grenzwert heißt Ableitung von f ( x ) an der Stelle x0 .
Falls lim
h→0
Bezeichnung: y ′ | f ′ ( x0 ) |
dy df ( x0 )
|
dx
dx
( ableiten = differenzieren )
Seite 56
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IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
1
Die Ableitung
Beispiele:
(1)
y = x2 = f ( x )
y ′ = lim
= lim
( x0 + h )
h→0
h
2
− x0 2
h
=
2 x h + h2
x0 2 + 2 x0 h + h 2 − x0 2
= lim 0
= lim ( 2 x0 + h ) = 2 x0
h→0
h→0
h
h
y=x
y ′ = lim
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h→0
(3)
f ′ ( x0 ) = ?
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h→0
(2)
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ANALYSIS
= lim
( x0 + h ) − x0
h→0
h
h
=1
y= x
y ′ = lim
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h→0
Def. 1.3
= lim
h→0
h
x+h − x
= lim
h→0
h
(
)(
x+h − x ⋅
h
(
x+h + x
x+h + x
)
) = lim
h→0
Beispiele
y = x2
(1)
y′ = 2 x
y differenzierbar in
1
Ableitung von y =
x
y ′ = lim
f ( x + h) − f ( x)
h→0
= lim
h→0
h
−h
1
=− 2
h ( x + h) x
x
1
1
1
1
− ⋅ ( x + h) ⋅ x
−
x − ( x + h)
x
+
h
x
= lim x + h x = lim
= lim
h→0
h
h
→
→
0
0
h
h ⋅ ( x + h) ⋅ x
h ( x + h) x
( x ≠ 0)
y differenzierbar für alle x ≠ 0
1.2
Das Symbol
dy
dx
∆y
∆x
dy
y′ =
dx
y′ ≈
Mögliche Interpretation für
(1)
(2)
(
x+h + x
Ist f ( x ) differenzierbar für alle x ∈ [ a, b ] ( d.h. a ≤ x ≤ b ) , dann heißt f ( x ) differenzierbar
im Intervall a, b und f ′ ( x ) heißt die Ableitung von f ( x )
(2)
h
( x + h) − x
dy
dx
dy
= Symbol für die Ableitung
dx
dy
y′ =
( dy, dx kleine Zahlen, siehe Abbildung )
dx
dy = y ′dx
Seite 57
)
=
1
2 x
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
2
Die Ableitungen der elementaren Funktionen
2
Die Ableitungen der elementaren Funktionen
2.1
y = x n und y = e x
Satz 2.1
y′ = 0
y=c
f ( x + h) − f ( x)
y ′ = lim
Bew:
h→0
Satz 2.2
dominik erdmann
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ANALYSIS
= lim
h→0
h
c−c
=0
h
y′ = 1
y=x
Bew: klar
Satz 2.3
( x + h)
Bew:
=
n
I, Satz 9.4
n
xn +
h→0
1
n
h→0
n
x n −1 +
1
y′ = 4 x3
Bsp2: y = x 7
dy
= 7 x6
dx
Bew: e x
=
y = ex
y′ = e x
1+ x +
x 2 x3 x 4
+ + +
2! 3! 4!
III, Satz 6.1
y ′ = lim
f ( x + h) − f ( x)
h→0
h
1
= lim ⋅ e x
h→0 h
2.2
1+ h +
xn−2 ⋅ h2 +
( x + h)
n
− xn
h
xn−2 ⋅ h +
2
Bsp1: y = x 4
Satz 2.4
= lim
2
h→0
h
= lim
n
x n −1 ⋅ h +
f ( x + h) − f ( x)
y ′ = lim
(n ∈ )
y ′ = nx n −1
y = xn
n
3
+ hn
1
h →0 h
= lim
x n −3 ⋅ h 2 +
xn +
+ h n −1 =
n
1
n
x n −1 ⋅ h +
n
2
xn− 2 ⋅ h2 +
+ hn − xn
x n −1 = nx n −1
1
1
1
ex+h − ex
= lim e x ⋅ e h − e x = lim ⋅ e x ( e h − 1)
→
→
0
0
h→0
h
h
h
h
h
= lim
h 2 h3 h 4
+ + +
2! 3! 4!
− 1 = lim e x 1 +
h→0
h h 2 h3
+ + +
2! 3! 4!
= ex
Ableitungsregeln
Satz 2.5
u ( x) = a ⋅ f ( x)
(1)
u ( x) = f ( x) ± g ( x)
(2)
u ( x + h) − u ( x)
Bew: (1)
h
h → 0:
u ′( x )
u ( x + h) − u ( x)
(2)
h
h → 0:
Beispiele:
y = 3x
y=x +x
2
=
u′ ( x ) = a ⋅ f ′ ( x )
u′ ( x ) = f ′ ( x ) ± g ′ ( x )
af ( x + h ) + af ( x )
h
=a
h
a ⋅ f ′( x )
=
( f ( x + h) ± g ( x + h )) − ( f ( x ) ± g ( x)) = f ( x + h) − f ( x ) ± g ( x + h) − g ( x)
h
u ′( x )
h
h
f ′( x ) ± g ′( x )
y′ = 3
3
f ( x + h) − f ( x)
y ′ = 2 x + 3x 2
Seite 58
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
2
Die Ableitungen der elementaren Funktionen
y = 5x2 + 7 x4
10 x + 28 x3
y ′ = 3x 2 + 6 x − 2
y = x3 + 3x 2 − 2 x + 1
y ′ = 3e x − 10 x 4
y = 3e x − 2 x5
Folgerung:
(1)
y = ax
y′ = a
n
P ( x) =
(2)
dominik erdmann
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ANALYSIS
Satz 2.6
j =0
P′ ( x ) =
aj x j
n
j =1
a j ⋅ j ⋅ x j −1
Produktregel ( u − v − Regel )
u ( x ) ⋅ v ( x ) ′ = u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v′ ( x )
Bew:
f ( x) = u ( x) ⋅ v ( x)
f ( x + h) − f ( x )
=
h →0
+ u ( x)
h
v ( x ) ⋅ u ′ ( x ) + u ( x ) ⋅ v′ ( x ) = f ′ ( x )
y ′ = 2 x (1 − e x ) + (1 + x 2 )( −e x )
Satz 2.7
Quotientenregel
u ( x) ′
v ( x)
f ( x) =
=
v ( x)
u ′v − uv′
kurz: ( uv )′ =
v2
2
u ( x)
v ( x)
h
=
u ( x + h) u ( x)
−
v ( x + h) v ( x )
h
=
1 u ( x + h) ⋅ v ( x) − u ( x ) ⋅ v ( x + h)
h
v ( x + h) ⋅ v ( x)
=
1 u ( x + h) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v ( x ) + u ( x ) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v ( x + h)
h
v ( x + h) ⋅ v ( x)
=
u ( x + h) − u ( x)
v ( x + h) − v ( x)
1
1
u ′v − uv′
v ( x)
− u ( x)
= 2 [ v ⋅ u ′ − u ⋅ v ′] =
= f ′( x)
v ( x + h) ⋅ v ( x)
h
h
v
v2
Beispiele:
ex
y=
x
y=
u
− Regel
v
u ′ ( x ) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v′ ( x )
f ( x + h) − f ( x )
y = e− x =
h
y′ = 2 x ⋅ ex + x2 ⋅ ex
y = (1 + x 2 )(1 − e x )
Bew:
h
v ( x + h) − v ( x)
u ( x + h) − u ( x)
y = x2 ⋅ ex
Bsp:
u ( x + h) ⋅ v ( x + h) − u ( x) ⋅ v ( x)
h
h
u ( x + h) ⋅ v ( x + h) − u ( x) ⋅ v ( x + h) + u ( x ) ⋅ v ( x + h) − u ( x ) ⋅ v ( x )
= v ( x + h)
→
=
kurz: ( uv )′ = u ′v + uv ′
y′ =
1
ex
( x + 1) e x
x2 ( ex − 2)
ex ⋅ x − ex
x2
0 ⋅ ex − ex
y′ =
= −e − x
e2 x
( e + ( x + 1) e ) ⋅ x ( e
x
y′ =
x
2
x
− 2) −
( x (e
2
x
( x + 1) e x ⋅ ( 2 x ( e x − 2 ) + x 2 e x )
− 2)
Seite 59
)
2
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
2
Die Ableitungen der elementaren Funktionen
y=
x2ex
1− x
y=
x2 + x
x ⋅ ex
y′ =
( 2x ⋅ e
y′ =
y = x3 e− x =
x3
ex
x
+ x 2 e x ) (1 − x ) − x 2 e x ( −1)
(1 − x )
2
( 2 x + 1) ( x ⋅ e x ) − ( x 2 + x ) ⋅ ( e x + x ⋅ e x )
(x⋅e )
x 2
y′ =
3x 2 e x − x3e x
e2 x
y = e3 x −1
Bsp1: y = e z ; z = 3x − 1
Satz 2.8
dominik erdmann
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ANALYSIS
Kettenregel
y = f ( x ) und z = g ( x )
y = f ( g ( x))
dy dy dz
=
⋅
dx dz dx
Bew:
dy
∆y
= lim
dx
∆x
∆y ∆y ∆z
=
⋅
∆x ∆z ∆x
Beispiele:
y = e3 x −1
(1)
dy ∆y
≈
dx ∆x
dy dy dz
→
=
⋅
dx dz dx
y = e z ; z = 3x − 1
dy dy dz
=
⋅ = e z ⋅ 3 = 3e3 x −1
dx dz dx
(2)
y = ( x + 1)
z = x +1
9
dy dy dz
8
=
⋅ = 9 z 8 ⋅1 = 9 ( x + 1)
dx dz dx
neu:
(1)
y = e3 x −1
(2)
y = ( x + 1)
− 6 x +1
(3)
y = e3 x
(4)
y=3 =e
(5)
y = (1 − x 2 )
(6)
y = ex
2
x
y=
y ′ = 9 ( x + 1) ⋅1
9
8
y ′ = ( Äußere Ableitung ) ⋅ ( Innere Ableitung )
Merkregel:
(7)
y ′ = e3 x −1 ⋅ 3
2
−1
x ⋅ln 3
4
y ′ = e3 x
y′ = e
− 6 x +1
x ⋅ln 3
⋅ ( 6x − 6)
⋅ ln 3 = ln 3 ⋅ 3x
y ′ = 4 (1 − x 2 ) ⋅ ( −2 x )
3
⋅ ( x2 + 3x )
y′ = ex
2
−1
⋅ 2x
(x
5
y′ =
2
+ 3x ) + e x
4 x3 ⋅ ( x + 1) − x 4 ⋅ 5 ( x + 1) ⋅1
5
x4
( x + 1)
2
4
( x + 1)
10
Seite 60
2
−1
⋅ ( 2 x + 3)
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
2
Die Ableitungen der elementaren Funktionen
2.3
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ANALYSIS
Die trigonometrische Funktionen
sin h
= 1 ( h > 0)
h
1 − cos h
lim
=0
h→0
h
Hilfssatz: (1)
lim
h→0
(2)
Bew: (1)
sin h ≤ h ≤ tan h
Abbildung
sin h ≤ h
sin h
cos h
und
sin h
cos h ≤
≤1
h
h≤
(2)
h→0
1 − cos h = 2 ⋅ sin 2
h
2
sin h ≤ h ≤
sin h
≤1
h
sin h
cos h ≤
h
sin h
1 ≤ lim
≤1
h→0
h
( III, Abschnitt 7.4 )
h
h
h
sin 2
sin
2 =
2 =
2 ⋅ sin h
h
h
2
h
0
2
2
2 ⋅ sin 2
1 − cos h
=
h
sin h
cos h
→
h→0
0
1
Satz 2.9
Bew: (1)
(2)
y = sin x
y = cos x
(1)
(2)
y ( x + h) − y ( x)
=
y ′ = cos x
y ′ = − sin x
sin ( x + h ) − sin ( x )
h
h
1
cos h − 1
sin h
= [sin x ⋅ cos h + sin h ⋅ cos x ] − sin x = sin x ⋅
+ cos x ⋅
h
h
h
y ( x + h) − y ( x)
h
=
=
0
cos ( x + h ) − cos ( x )
1
cos h − 1
sin h
− sin x ⋅
[ cos x ⋅ cos h − sin x ⋅ sin h] − cos x = cos x
h
h
h
y = sin ( x 2 + 2 )
y = sin x 2
→ − sin x
1
y ′ = cos ( x 2 + 2 ) ⋅ 2 x
y = cos ( e3 x )
y ′ = − sin ( e3 x ) ⋅ e3 x ⋅ 3
y ′ = cos x 2 ⋅ 2 x
Satz 2.10
Bew: (1)
1
h
0
Bsp:
→ cos x ⋅1 = cos x
(1)
y = tan x
(2)
y = cot x
1
= 1 + tan 2 x
cos 2 x
1
y ′ = − 2 = −1 − cot 2 x
sin x
y′ =
sin x u
=
cos x v
u ′v − uv cos x ⋅ cos x − sin x ⋅ ( − sin x ) cos 2 x + sin 2 x
1
y′ =
=
=
=
2
2
2
1
(
)
v
cos x
cos x
cos 2 x
2
2
cos x sin x
sin 2 x
=
+
=
+
= 1 + tan 2 x
1
( 2 ) cos 2 x cos 2 x
cos 2 x
y = tan x =
Seite 61
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
2
Die Ableitungen der elementaren Funktionen
(2)
cos x
sin x
( − sin x ) ⋅ sin x − cos x ⋅ cos x
y = cot x =
y′ =
Bsp:
sin 2 x
sin 2 x + cos 2 x
1
=− 2
2
1
(
)
sin x
sin x
cos 2 x
= −1 −
= −1 − cot 2 x
( 2)
sin 2 x
y ′ = 1 + tan 2 ( 3x 2 − 7 x ) ( 6 x − 7 )
y = cot sin ( e1− x )
y ′ = −1 − cot 2 sin ( e1− x )
(
y = tan 1 − e x
2
−2
)
)
(
(
y ′ = 1 + tan 2 1 − e x
2
−2
) ( cos ( e )) ⋅ e
1− x
1− x
⋅ ( −1)
) ( −e ) ( 2 x )
x2 − 2
Die Arcusfunktionen
Satz 2.11
Sei f −1 ( y ) = x die Umkehrfunktion zu y = f ( x ) , dann gilt bei Differentiation:
dy
1
=
dx dx
dy
Bew:
=−
y = tan ( 3 x 2 − 7 x )
(
2.4
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ANALYSIS
∆y
1
=
∆
x
∆x
∆y
∆x → 0
Bsp1: y = arcsin x ⇔
f ′( x) =
1
( f )′ ( y )
−1
dy
1
=
dx
dx
dy
x = sin y
dy
1
1
1
1
1
=
=
=
=
=
dx dx ( sin x )′ cos y cos2 y + sin 2 y2=1 1 − sin 2 y
1 − x2
cos y = 1− sin y
dy
Bsp2: y = arccos x ⇔ x = cos y
dy
1
1
1
1
1
=
=
=
=−
=
2
dx dx ( cos y )′ − sin y
1 − cos y
1 − x2
dy
Bsp3: y = arctan x ⇔ x = tan y
1
1
1
dy
=
=
=
dx dx 1 + tan 2 y 1 + x 2
dy
Bsp4: y = arccot x ⇔ x = cot y
dy
1
1
1
1
=
=
=
=−
dx dx −1 − cot 2 y −1 − x 2
1 + x2
dy
Satz 2.12
(1)
(2)
(3)
(4)
d
1
arcsin x =
dx
1 − x2
d
1
arccos x = −
dx
1 − x2
d
1
arctan x =
1 + x2
dx
d
1
arccot x = −
1 + x2
dx
Seite 62
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
2
Die Ableitungen der elementaren Funktionen
0 − 1⋅
Bsp:
2.5
y=
1
y′ =
arctan ( x 2 − 3 x )
1
1 + ( x − 3x )
2
2
⋅ ( 2 x − 3)
arctan 2 ( x 2 − 3x )
d sinh ( x )
(1)
dx
d cosh ( x )
(2)
dx
d tanh ( x )
(3)
dx
d coth ( x )
(4)
Bew: (1)
(2)
(3)
(4)
dx
d sinh ( x )
dx
d cosh ( x )
dx
d tanh ( x )
dx
d coth ( x )
dx
Satz 2.14
(x
2
(
− 3 x ) 1 + ( x 2 − 3x )
2
)
Bew: (1)
= sinh x
1
cosh 2 x
1
= 1 − coth 2 x = −
sinh 2 x
= 1 − tanh 2 x =
=
1
d 1 x −x
e − e ) = ( e x + e− x ) = cosh x
(
dx 2
2
=
d 1 x
( e + e− x ) = 12 ( e x − e− x ) = sinh x
dx 2
=
cosh x ⋅ cosh x − sinh x ⋅ sinh x
1
sinh 2 x
d sinh x
1
=
=
=
−
= 1 − tanh 2 x
2
cosh 2 x − sinh 2 x =1 cosh x
dx cosh x
cosh 2 x
cosh 2 x
=
d cosh x
=
dx sinh x
( arsinh x )′ =
(2)
( arcosh x )′ =
(4)
( analog )
1
1 + x2
1
x2 − 1
1
( artanh x )′ =
1 − x2
1
( arcoth x )′ =
1 − x2
y = arsinh x ⇔
x = sinh y
dy
1
1
1
1
=
=
= 2
=
2
2
cosh
y
−
sinh
y
=
1
dx
dx
cosh y
1 + sinh y
1 + x2
dy
(2), (3) & (4) analog
Potenzen und Logarithmen
Satz 2.15
y′ =
y = ln x
y = ln x ⇔
1
x
( x ≠ 0)
x = ey
dy
1
1 1
=
= y =
dx
dx
x
e
dy
Bsp:
arctan
2
= cosh x
(1)
(3)
Bew:
2x − 3
=−
Hyberbolische Funktionen, Areafunktionen
Satz 2.13
2.6
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ANALYSIS
y = ln ( tan x )
y′ =
1
⋅ (1 + tan 2 x )
tan x
Seite 63
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
2
Die Ableitungen der elementaren Funktionen
Satz 2.15
α − Regel
y ′ = α xα −1
y = xα
y ′ = eα ⋅ln x ⋅ α
y = xα = eα ⋅ln x
Bew:
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ANALYSIS
1
1
= xα ⋅α ⋅ = α xα −1
x
x
Beispiele:
1
1 12 −1 1 − 12
1
x = x =
2
2
2 x
y ′ = e x ⋅ln 3 ⋅ ln 3 = 3x ⋅ ln 3
y′ =
(1)
y = x = x2
(2)
y = 3x = e x ⋅ln 3
(3)
y = 3 1 − x 2 = (1 − x 2 ) 3
1
3 x 2 −1
y′ =
2
−
1
1 − x 2 ) 3 ⋅ ( −2 x )
(
3
2
5x − 1
5x − 1
+
= e3 x −1 +
3x 2 + 1
3x 2 + 1
(4)
y=e
(5)
y = sin 1 + x 4 + tan e x
(
1
y ′ = cos (1 − x 4 ) 3 ⋅
(6)
y = sin ( x 2 + 2 x )
(7)
y=
2.7
Ableitungsregeln
5
−3 x
) = sin (1 − x )
(
y′ = e
1
4 3
(
+ tan e x
5
−3 x
(
3 x 2 −1
)
1 5x −1
⋅ 6x +
2 3x2 + 1
−
1
2
⋅
5 ( 3x 2 + 1) − ( 5 x − 1) ⋅ 6 x
(3x
2
+ 1)
2
)
2
−
5
1
1 − x 4 ) 3 ⋅ ( −4 x 3 ) + 1 + tan 2 e x − 3 x
(
3
) ( e ) ( 5 x − 3)
x5 − 3 x
4
y ′ = cos ( x 2 + 2 x ) ( 2 x + 2 )
e x ⋅ 2 x (1 − x ) − e x ( −1)
2
2
ex
1− x
1
2
y′ =
2
(1 − x )
2
y
y′
y
y′
y
y′
y
a
0
xα
α xα −1
ex
ex
ln x
tan x
1
cos 2 x
1 + tan 2 x
cot x
arctan x
1
1 + x2
arccos x
tanh x
1
cosh 2 x
1 − tanh 2 x
coth x
1
sinh 2 x
1 − coth 2 x
artanh x
1
1 − x2
arcoth x
1
1 − x2
sin x
arcsin x
sinh x
arsinh x
cos x
1
1− x
2
cosh x
1
1+ x
− sin x
cos x
2
arccos x
cosh x
arcosh x
−
1
1 − x2
sinh x
1
1− x
2
Differentiationsregeln
[ c ⋅ u ]′ = c ⋅ u ′ ( c = const )
[u + v ]′ = u ′ + v′
( uv )′ = u ′v + uv′
u ′ u ′v − uv ′
=
v
v2
y = f ( z ); z = g ( x)
dy dy dz
=
⋅
dx dz dx
Seite 64
y′
1
x
1
− 2
sin x
−1 − cot 2 x
−
1
1 + x2
−
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
3
Sätze und Definitionen zur Differentialrechnung
3
Sätze und Definitionen zur Differentialrechnung
3.1
Satz von Rolle, Mittelwertsatz
Satz 3.1
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ANALYSIS
Satz von Rolle
Vorraussetzung: f ( x ) in a ≤ x ≤ b differenzierbar
f ( a ) = f (b) = 0
Es gibt eine Stelle ξ mit a ≤ ξ ≤ b, so dass f ′ (ξ ) = 0
Behauptung:
d.h.
Satz 3.2
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Vorraussetzung: f ( x ) in a ≤ x ≤ b differenzierbar
Es gibt eine Stelle ξ mit a ≤ ξ ≤ b, so dass f ′ (ξ ) =
Behauptung:
f (b) − f ( a )
b−a
d.h.
Bew: Sei g ( x ) = f ( x ) − f ( a ) −
g (a) = 0
g (b) = 0
Rolle
f (b ) − f ( a )
b−a
g ′ (ξ ) = 0
g ′ (ξ ) = 0 = f ′ (ξ ) − 0 −
Satz 3.3
f (b) − f ( a )
b−a
y = f ( x ) in x0 differenzierbar
y = f ( x ) in x0 stetig
Bew:
f ( x1 + h ) − f ( x1 )
( x − a)
(1 − 0 )
f ′ (ξ ) =
f (b) − f ( a )
b−a
( Umkehrung gilt nicht )
f ( x2 ) − f ( x1 )
→ a = f ′ ( x1 )
h→0
h
h
gilt nur, wenn f ( x2 ) − f ( x1 ) → 0 x2 → x1
=
x1 + h = x2
f ( x2 ) → f ( x1 )
lim f ( x2 ) = f ( x1 )
x2 → x1
stetig
Umkehrung y =| x |
bei x = 0 nicht differenzierbar ( aber stetig )
Seite 65
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
3
Sätze und Definitionen zur Differentialrechnung
3.2
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Höhere Ableitungen
Def. 3.1
y = f ( x)
y′ = f ′ ( x ) =
dy
dx
d2y d2
y ′′ = ( f ′ ( x ) )′′ = f ′′ ( x ) = 2 = 2 f ( x )
dx
dx
3
d y
y ′′′ = ( f ′′ ( x ) )′ = f ′′′ ( x ) = 3
dx
( 4)
( 4)
′
y = f ( x ) = f ′′′ ( x )
(
)
y ( n) = f ( n) ( x )
Beispiele:
(1)
y = sin x
y ′ = cos x
y ′′ = − sin x
y ′′′ = − cos x
y ′ = 3x 2
y ′′ = 6 x
y ′′′ = 6
y ( 4) = 0
y ′ = u ′v + uv′
y ′′ = u ′′v + u ′v ′ + u ′v ′ + uv′′ = u ′′v + 2v′v′ + uv′′
(2)
(3)
y = x3
y = u ⋅v
3.3
Differentiation von Funktionen in Parameterdarstellung
Parameterdarstellung
x = ϕ (t )
(a ≤ t ≤ b)
y = ψ (t )
Bsp:
x = cos t
y = sin t
y = ψ (t )
dy
= ψ ′ (t )
dt
dx
= ϕ ′ (t )
dt
dy
dy dt ψ ′ ( t )
=
=
dx dx ϕ ′ ( t )
dt
x = ϕ (t ) ;
y = ψ (t )
dy ψ ′ ( t )
=
dx ϕ ′ ( t )
Anmerkung: t = Zeit
Bsp1: x = t ;
( 0 ≤ t ≤ 2π )
dy
=?
dx
x = ϕ (t )
Folgerung:
Satz 3.4
y ( 4) = sin x
( Parameterdarstellung )
dy
= y′ (t ) = y
dt
y = 3t ; t ∈
dx
= x′ ( t ) = x
dt
( y = 3x )
dy ψ ′ y 3
=
= = =3
dx ϕ ′ x 1
Bsp2: x = cos t ;
y = sin t
dy y cos t
= =
= − cot t
dx x − sin t
Seite 66
IV
DIFFERENTIALRECHNUNG
3
Sätze und Definitionen zur Differentialrechnung
3.4
ANALYSIS
Differentiation in Polarkoordinaten
Umrechnung:
x = r ⋅ cos ϕ
y = r ⋅ sin ϕ
( Kurve )
Bsp1: r = ϕ
dy
=?
dx
Herleitung der Ableitung
x = r ⋅ cos ϕ
dy
dx
y = r ⋅ sin ϕ
r = r (ϕ )
Kurve:
x = r (ϕ ) ⋅ cos ϕ
y = r (ϕ ) ⋅ sin ϕ
dx
= r ′ (ϕ ) ⋅ cos ϕ − r (ϕ ) ⋅ sin ϕ
dϕ
dy
= r ′ (ϕ ) ⋅ sin ϕ + r (ϕ ) ⋅ cos ϕ
dϕ
dx
dy dϕ r ′ (ϕ ) ⋅ cos ϕ − r (ϕ ) ⋅ sin ϕ
=
=
dx dy r ′ (ϕ ) ⋅ sin ϕ + r (ϕ ) ⋅ cos ϕ
dϕ
Ableitung in Polarkoordinaten für die Kurve r = r (ϕ ) :
dy r ′ ⋅ cos ϕ − r ⋅ sin ϕ
=
dx r ′ ⋅ sin ϕ + r ⋅ cos ϕ
Bsp1: (Fortsetzung)
dy 1 ⋅ sin 0 + ϕ ⋅ cos 0
=
=0
dx 1⋅ cos 0 − ϕ ⋅ sin 0
ϕ = 0:
ϕ=
π
2
(r = ϕ )
:
dy
=
dx
1 ⋅ sin
π
1 ⋅ cos
2
π
2
+
−
π
2
π
2
⋅ cos
⋅ sin
π
2 = − 1 = − 2 = −0, 64
π
π
2
2
π
Seite 67
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
V
INTEGRALRECHNUNG
1
Das unbestimmte Integral
4
Anwendung der Differentialrechnung
4.1
Extrema
Def. 4.1
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
y = f ( x ) In x0 hat f ( x ) ein
(1)
Maximum: ⇔
f ( x0 + h ) < f ( x0 )
(2)
Minimum:
⇔
f ( x0 + h ) > f ( x0 )
( h klein )
( h klein )
Bsp1:
Satz 4.1
f ( x ) hat in x0 ein Extremum
f ′ ( x0 ) = 0
( nicht andersrum )
Bew: Steigung der Tangente ist 0
Bsp2: y = x 2 − 4 x
Min: y ′ = 0 = 2 x − 4
Satz 4.2
x=2
f ′ ( x0 ) = 0 und f ′′ ( x0 ) < 0
(1)
in x0 Maximum
f ′ ( x0 ) = 0 und f ′′ ( x0 ) > 0
(2)
Bew: (1)
y ′′ < 0
(2)
y ′′ > 0
1 2
x − 4x
3
gesucht: Extrema
y′ = x2 − 4 = 0
in x0 Minimum
Bsp3: y =
x = ±2
y ′′ ( 2 ) = 2 x = 2 ⋅ 2 = 4 > 0
y ′′ ( −2 ) = 2 x = 2 ⋅ ( −2 ) = −4 < 0
Nullstellen
1 3
x − 4x = 0
3
1 2
x −4 = 0
3
Min
Max
x1 = 0
x2,3 = ± 12
Seite 68
( Max | Min ) = Extremum
V
INTEGRALRECHNUNG
1
Das unbestimmte Integral
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ANALYSIS
1 3
x + 2 x2 − 5x + 1
3
Extrema = ?
Bsp4: y =
y′ = x2 + 4 x − 5 = 0
x = −2 ± 9 =
1
−5
y ′′ (1) = 6 > 0
y ′′ = 2 x + 4 = 0
in x = 1: Min
y ′′ ( −5 ) = −6 < 0
in x = −5 : Max
Der Fall y ′′ = 0
Fall1: y ′ = 0;
y ′′ = 0
( bei x0 )
Sattelpunkt
Fall2: y ′ = 0;
y ′′ = 0
( bei x0 )
Bsp:
y = x4
y ′ = 4 x3
y ′′ = 12 x 2
Fall3: y ′ ≠ 0;
0 bei x = 0
y ′′ ≠ 0
4.2
Extremwertaufgaben
(1)
In einem Kreis mit r = 1 soll ein Rechteck mit maximaler Fläche eingeschrieben werden.
A = a ⋅ b = Max
Nebenbedingung: a 2 + b 2 = 4
b = 4 − a2
1
A = a ⋅ 4 − a2 = a ⋅ ( 4 − a2 ) 2
1
−
1
dA
= 0 = 4 − a 2 + a ⋅ ⋅ ( 4 − a 2 ) 2 ⋅ ( −2 a ) = 0
2
da
2
a
4 − a2 −
4 − a2 − a2 = 0
=0
2
4−a
(2)
4 = 2a 2
a= 2
b = 4 − a2 = 4 − 2 = 2
Ein Tank soll 600l fassen. Die Form sei die eines Zylinders. Bei welchen Abmessungen sind die Materialkosten am
wenigsten?
A = 2rπ h + 2r 2π
6
h= 2
Nebenbedingung: V = r 2 ⋅ π ⋅ h = 6000l = 6m3
r ⋅π
6
12
2
2
h einsetzen: A = 2rπ ⋅ 2
+ 2r π
+ 2π r = 12r −1 + 2π r 2
r ⋅π
r
dA
12
−2
= −12r + 4π r = 0
− 2 + 4π r = 0
− 12 + 4π r 3 = 0
dr
r
12
6
6
= 0,985
= 1,985
r=3
h= 2 =
4π
r π 0,9852 ⋅ π
Probe:
d2A
= 24r −3 + 4π > 0
dr 2
Min
Seite 69
V
INTEGRALRECHNUNG
1
Das unbestimmte Integral
(3)
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Ein Geschoss werde senkrecht nach oben mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 40
m
abgeschossen. Nach wieviel
s
Sekunden erreicht es die größte Höhe? (Luftreibung vernachlassigen)
1
Höhe = s ( t ) = v0 ⋅ t − ⋅ g ⋅ t 2 = Max
2
v
ds
40
= v0 − gt
t= 0 =
≈ 4s
dt
g 9,81
d 2s
= −g < 0
dt 2
4.3
Max
Geschwindigkeit und Beschleunigung
Ein Punkt P1 bewege sich geradlinig.
s ( t ) = zurückgelegter Weg zur Zeit t
∆s ∆s s ( t2 ) − s ( t1 ) Weg
≈
=
=
= v = Geschwindigkeit
h → 0 ∆t
∆t
t2 − t1
Zeit
s ′ ( t ) = lim
s′′ ( t ) = v′ ≈
∆v Zunahme Geschw
=
= a = Beschleunigung
∆t
Zeit
Bsp1: freier Fall
s (t ) =
1 2
gt
v = s ′ = gt
2
Übliche Schreibweise:
a=g
s ( t ) = Weg − Zeit − Funktion:
s′ ( t ) = s = v
Bsp2: Schwingungen
s ( t ) = A ⋅ sin ω t
(ω = 2π f ,
s ′′ ( t ) = s = a
f = Frequenz )
v = s = A ⋅ ω ⋅ cos ω t
a = s = − A ⋅ ω 2 ⋅ sin ω t
F = ma = −m ⋅ A ⋅ ω 2 ⋅ sin ω t
Bsp3: gleichförmige Bewegung
s ( t ) = Weg − Zeit − Funktion
( Kraft )
s = v = const
s=0=a
Bsp4: Kreisbewegung
Bewegung auf Kreis
x
r ⋅ cos ω t
=
y
r ⋅ sin τ
( Parameter )
v=
x
−rω ⋅ sin ω t
=
y
rω ⋅ cos ω t
| a |= r 2ω 2 ( cos 2 ω t + sin 2 ω t ) = rω 2
F = ma = mrω 2
Seite 70
a=
x
−rω 2 ⋅ cos ω t
=
y
−rω 2 ⋅ sin ω t
V
INTEGRALRECHNUNG
1
Das unbestimmte Integral
4.4
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
Fehlerrechnung
Bsp:
∆y ≈ dy
dy
y′ =
dx
Def. 4.2
dy = y ′ ⋅ dx
dy = y ′ ⋅ dx = vollständiges ( totales ) Differential
Satz 4.3
Fehlerrechnung
Sei y = f ( x ) differenzierbar. Ist x mit dem Fehler dx behaftet,
so ergibt sich für y der Fehler ∆y ≈ dy = y ′ ⋅ dx
Bsp1: Bei der Messung der Kantenlänge eines Würfels misst man l = 131cm. Eventueller Messfehler dl = 0,1cm.
Wie wirkt sich der Messfehler auf das Volumen aus?
V = l3
dV = V ′ ⋅ dl = 3l 2 ⋅ dl = 3 ⋅1312 ⋅ 0,1 = 5148cm3
Probe: 131,13 − 1313 = 5150
Bsp2: Ein Sekundenpendel ( l = 99, 4cm
l
l
= 2π
9,81
g
T = 2π
∆T ≈ dT = T ′dl =
=
Satz 4.4
Bew:
Bsp3:
T = 2s ) sei um 0, 01cm zu lang. Wie groß ist ∆T ?
dT
⋅ dl =
dl
π
9,81 ⋅ l
⋅ dl =
2π
1
9,81
⋅l 2
′
dl =
π
9,81 ⋅ 99, 4
y = y ( x ) differenzierbar
2π
1 −1
⋅ l 2 ⋅ dl
9,81 2
⋅ 0, 01 = 0, 0001005655
4s
Tag
y ( x + dx ) ≈ y ( x ) + y ′′ ( x ) dx
y ( x + dx ) − y ( x ) = ∆y ≈ dy = y ′ ⋅ dx
4,1 = ?
y ( x) = x
y′ =
1
2 x
4,1 = y ( 4,1) = y ( 4 + 0,1)
1
( exakt = 2, 0248)
≈ sin ( 3,14 ) + cos ( 3,14 ) ⋅ ( −0,14 ) = 0 − ( −1) ⋅ 0,14 = 0,14
( exakt = 0,14112 )
≈ y ( 4 ) + y ′ ( 4 ) ⋅ 0,1 = 4 +
1
⋅ 0,1 = 2 + ⋅ 0,1 = 2, 025
4
2 4
Bsp4: sin ( 3) = ?
sin ( 3) = sin ( 3,14 − 0,14 )
Seite 71
V
INTEGRALRECHNUNG
1
Das unbestimmte Integral
V
INTEGRALRECHNUNG
1
Das unbestimmte Integral
1.1
Stammfunktion
Bsp1: f ( x ) = x 3
f ′ ( x ) = 3x 2
f ( x ) = x3
F ( x) =
F ′( x) = f ( x)
Def. 1.1
dominik erdmann
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ANALYSIS
( ableiten )
1 4
x
4
( aufleiten )
Eine Stammfunktion zu f ( x ) ist eine Funktion F ( x ) mit F ′ ( x ) = f ( x )
1 5
x − x3
5
F ( x ) = − cos x
Bsp2: f ( x ) = x 4 − 3x 2
F ( x) =
f ( x ) = sin x
1
x
Bsp3: f ( x ) =
F ( x ) = ln ( x )
F ( x ) = ln ( x ) + 3
F ( x ) = ln ( x ) − 7
F ( x ) = ln ( x ) + c
Satz 1.1
Wenn F ( x ) die Stammfunktion zu f ( x ) ist, dann ist es auch F ( x ) + c
wobei c eine beliebige Konstante ist.
es gibt unendlich viele Stammfunktionen.
f ( x ) = ex +1
Bsp4: (1)
(2)
f ( x ) = xn
(3)
f ( x) =
Def. 1.2
1
0
F ( x ) = ex + x + c
F ( x) =
( x rational )
( sonst )
1
⋅ x n +1 + c
n +1
keine Stammfunktion
Eine Funktion f ( x ) in a ≤ x ≤ b heißt integrierbar,
falls eine Stammfunktion F ( x ) mit F ′ ( x ) = f ( x ) in a ≤ x ≤ b existiert.
Def. 1.3
Das Aufsuchen einer Stammfunktion zu f ( x ) heißt Integration von f ( x ) .
Def. 1.4
F ( x ) = Stammfunktion zu f ( x )
Bsp5:
F ( x) =
x2
+c
2
sin x ⋅ dx = − cos x + c
x ⋅ dx =
sin ω x ⋅ dx = −
1
ω
cos ω x + c
e x ⋅ dx = e x + c
1
1− x
2
⋅ dx =
dx
1 − x2
= arcsin x + c
Seite 72
f ( x ) ⋅ dx + c
( f ( x ) = Integrand )
V
INTEGRALRECHNUNG
1
Das unbestimmte Integral
1.2
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
Grundformeln zur Integration
Aus Kapitel IV, 2.7 folgt:
f ( x)
F ( x)
a ⋅ dx
f ( x)
1
xα ⋅ dx
ax + c
sin x ⋅ dx
F ( x)
α +1
cos x ⋅ dx
− cos x + c
f ( x)
xα +1
F ( x)
e x ⋅ dx
ex + c
dx
cos 2 x
sin x + c
(1 + tan x ) dx
tan x + c
2
arcsin x + c
dx
1− x
dx
( −1 ≤ x ≤ 1)
2
sinh x ⋅ dx
1− x
− arccos x + c
2
cosh x ⋅ dx
cosh x + c
dx
1 + x2
sinh x + c
(1 − tanh x ) dx
tanh x + c
2
dx
1+ x
dx
arsinh x + c
2
arcosh x + c
1 − x2
dx
1 − x2
artanh x + c
Beispiele:
(2)
1 4
x +c
4
3 ⋅ dx = 3x + c
(3)
x 4 ⋅ dt = x 4 t + c
(4)
dt
= arctan t + c
1+ t2
(5)
x ⋅ dx = x 2 ⋅ dx =
x 3 ⋅ dx =
(1)
1
1
+1
⋅ x2 + c =
1
+1
2
3
3
2 5
x ⋅ dx = x 2 ⋅ dx = ⋅ x 2 + c
5
(6)
Satz 1.2
2 32
2 3
x +c =
x +c
3
3
y ′ ⋅ dx = y + c
Anmerkung:
0 ⋅ dx = c
1.3
1
a ⋅ dx = ax + c
Einfache Integrationsregeln
Satz 1.3
a ⋅ f ( x ) ⋅ dx = a f ( x ) ⋅ dx
Bew: Sei F ′ ( x ) = f ( x )
( F = Stammfunktion )
a ⋅ f ( x ) dx = a ⋅ F ( x ) + c
a f ( x ) dx = a ( F ( x ) + c ′ ) = a ⋅ F ( x ) + a ⋅ c′
f ( x ) dx = F ( x ) + c
=
c ′′
Beispiele:
3x 2 dx = 3 x 2 dx = 3
−e x dx =
1 3
x + c = x3 + c′
3
( −1) e x dx = ( −1)
e x dx = −e x + c
Seite 73
F ( x)
1
dx
x
dx
sin 2 x
ln | x | +c
(1 + cot x ) dx
− cos x + c
2
arctan x + c
dx
cosh 2 x
f ( x)
dx
1 + x2
− arccos x + c
dx
sinh 2 x
( coth
dx
1 − x2
2
x − 1) dx
− coth x + c
arcoth x + c
V
INTEGRALRECHNUNG
1
Das unbestimmte Integral
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
3
1
dx = 3 dx = 3ln | x | + c
x
x
Anmerkung:
Ein negatives Vorzeichen darf vor das Integral gezogen werden.
Satz 1.4
( f ( x ) + g ( x ) ) dx =
f ( x ) dx + g ( x ) dx
f ( x ) dx = F ( x ) + c
Bew:
g ( x ) dx = G ( x ) + c
( F ( x ) + G ( x ) + c )′ = f ( x ) + g ( x )
F ( x) + G ( x) + c =
f ( x ) dx
( f ( x ) + g ( x ) ) dx
g ( x)+c
Beispiele:
x4
1
1
x3 + dx = x 3 dx +
dx =
+ ln | x | + c
x
x
4
(x
3
− 2 x 2 + 1) dx =
x 4 2 x3
−
+ x+c
4
3
( sin x − cos x ) dx = − cos x − sin x + c
( 3x
4
− 7 x 3 + 2 x 2 − x + 4 ) dx =
3x5 7 x 4 2 x3 x 2
−
+
− + 4x + c
5
4
3
2
Anmerkung: Integration von Polynomen
n
j =0
( 4x
Bsp:
1.4
n
a j x j dx =
4
j =0
a j x j dx =
n
j =0
a j x j dx =
− 3x 3 + 2 x 2 − x ) dx =
n
j =0
aj
x j +1
+c
j +1
4 x5 3x 4 2 x3 x 2
−
+
− +c
5
4
3
2
Integration durch Substitution
Satz 1.5
Integration durch Substitution
f ( x ) dx =
f (ϕ ( z ) ) ⋅ ϕ ( z ) ⋅ dz
x =ϕ ( z )
f ( x ) dx = F ( x ) + c
Bew:
G ( z ) = F (ϕ ( z ) ) + c
x = ϕ (z)
G′ ( z )
=
Kettenregel
F ′ (ϕ ( z ) ) ⋅ ϕ ′ ( z ) = F ′ ( x ) ⋅ ϕ ′ ( x ) = f ( x ) ⋅ ϕ ′ ( z )
f ( x ) ⋅ ϕ ′ ( z ) ⋅ dz = G ′ ( z ) ⋅ dz = G ( z ) + c = F (ϕ ( z ) ) + c = F ( x ) + c =
formal:
f (ϕ ( z ) ) ⋅
dϕ
⋅ dz =
f ( x ) dx
x =ϕ ( z ) =ϕ
dz
Def. 1.5
d ⋅ f ( x) =
Beispiele:
(1)
einfacher:
f ( x ) ⋅ dx
d ⋅ f ( x)
sin ( x + 1) dx
dx
⋅ dx =
=
f ′ ( x ) dx = f ( x ) + c
z = x +1
dz
=1 ← dz = f ′( x ) dx
dx
dz = dx
sin z ⋅ dz = − cos z + c = − cos ( x + 1) + c
Seite 74
V
INTEGRALRECHNUNG
1
Das unbestimmte Integral
ANALYSIS
(2)
1
dz
dx
1 dz
1
1
4
=
=
= arctan z + c = arctan 4 x + c
1 + 16 x 2 dzz ==44xdx 1 + z 2 4 1 + z 2 4
4
(3)
( ln x )
1
dx =
x z = ln1x
z ⋅ dz =
dz = dx
x
1
− dz
2 = − 1 dz = − 1 ln | z | +c = − 1 ⋅ ln | 3 − 2 x | + c
z
2 z
2
2
dx
=
z = 3− 2 x
3 − 2 x dz
=−2 dx
(4)
z2
1
+ c = ⋅ ln 2 ( x ) + c
2
2
1
− dz = dx
2
(5)
( cos x ) ⋅ x ⋅ dx
(6)
3x 2 − 6 x
⋅ dx 3 =2
z = x − 3 x +1
x3 − 3x 2 + 1
2
=
2
z = x2
dz = 2 x ⋅ dx
dz
x ⋅ dx =
2
(
( cos z ) ⋅
)
dz = 3 x − 6 x dx
dz 1
=
2 2
( cos z ) dz =
1
1
sin z + c = sin x 2 + c
2
2
dz
= ln | z | +c = ln | x 3 − 3x 2 + 1 | +c
z
dz
sin x
⋅ dx = −
= − ln | z | +c = − ln | cos x | +c
z = cos x
cos x
z
dz =− sin x ⋅dx
(7)
tan x ⋅ dx =
(8)
x ⋅ sin x 2 ⋅ dx
(9)
x
1 dz 1
1
⋅ dx =2
= ⋅ ln | z | +c = ⋅ ln | x 2 − 1 | +c
z
=
x
−
1
2 z 2
2
x −1
dz = 2 x ⋅ dx
(10)
x 2 ⋅ e x ⋅ dx
=
z = x2
dz = 2 x ⋅ dx
dz
=2x
dx
x ⋅ sin z ⋅
1
1
1
1
sin z ⋅ dz = ( − cos z ) + c = − cos x 2 + c
⋅ dz =
2x
2
2
2
2
=3
3
Satz 1.6
z=x
dz = 3 x 2 dx
1 z
1
1 3
e dz = e z + c = e x + c
3
3
3
1
⋅ dx = ln | x | +c
x
1
dx = ln x + c = ln | x | +c
x = | x|
x
1
1
1
dx =
⋅ ( −dz ) =
⋅ dz = ln z + c = ln | x | +c
| z | =| − x | = | x|
x dzz =−=−xdx − z
z
Bew: Fall1: x > 0
Fall2: x < 0
z >0
Satz 1.7
f ′( x)
f ( x)
Bew:
Bsp1:
Bsp2:
Bsp3:
f ′( x)
f ( x)
⋅ dx
⋅ dx = ln | f ( x ) | + c
=
z = f ( x)
dz = f ′( x ) dx
dz
= ln | f ( x ) | +c
z
24 x 3 − 6 x
⋅ dx = ln | 6 x 4 − 3x 2 | +c
4
2
6 x − 3x
1
x2 −
2
3 ⋅ dx = 1 3 x − 1 ⋅ dx = 1 ln | x3 − x | + c
3
3
x −x
3 x −x
3
− sin x
tan x ⋅ dx = −
⋅ dx = − ln | cos x | +c
cos x
Seite 75
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
V
INTEGRALRECHNUNG
1
Das unbestimmte Integral
1.5
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Partielle Integration
Herleitung:
u − v − Regel: ( u ⋅ v )′ = u ′v + uv ′
u ′v = ( u ⋅ v )′ − uv′
Satz 1.8
u ′v ⋅ dx =
Partielle Integration
( uv )′ dx −
uv′dx
u ′v ⋅ dx = uv − uv′dx
u = u ( x)
u ′v ⋅ dx = uv − uv ′dx
v = v ( x)
Beispiele:
(1)
x ⋅ e x ⋅ dx = x ⋅ e x − e x ⋅1 ⋅ dx = xe x − e x + c
(2)
x ⋅ cos x ⋅ dx = x ⋅ sin x − sin x ⋅1 ⋅ dx = xe x − e x + c
(3)
1
ln x ⋅ dx = 1 ⋅ ln x ⋅ dx = x ⋅ ln − x ⋅ ⋅ dx = x ⋅ ln x − x + c
x
(4)
x 2 ⋅ sin x ⋅ dx = x 2 ⋅ ( − cos x ) − 2 x ⋅ ( − cos x ) dx = − x 2 cos x + 2 x ⋅ cos x ⋅ dx = − x 2 cos x + 2 x ⋅ sin x − 1 ⋅ sin x ⋅ dx
= − x 2 ⋅ cos x + 2 [ x ⋅ sin x + cos x ] + c
(5)
x ⋅ sinh x ⋅ dx = x ⋅ cosh x − 1 ⋅ cosh x ⋅ dx = x ⋅ cosh x − sinh x + c
(6)
1 ⋅ arcsin x ⋅ dx = x ⋅ arcsin x − x ⋅
= x ⋅ arcsin x +
(7)
1
1− x
2
⋅ dx
=
z =1− x 2
dz =−2 x ⋅ dx
x ⋅ arcsin x +
1
2
dz
z
1
1 − 12
1 1 12
z ⋅ dz = x ⋅ arcsin x + ⋅
⋅ z = x ⋅ arcsin x + (1 − x 2 ) 2 + c
2
2 1
2
sin 2 x ⋅ dx = sin x ⋅ sin x ⋅ dx = ( − cos x ) ⋅ sin x −
= − cos x ⋅ sin x +
( − cos x ) ⋅ cos x ⋅ dx = − cos x ⋅ sin x +
(1 − sin x ) ⋅ dx = − cos x ⋅ sin x +
2
cos 2 x ⋅ dx
1⋅ dx − sin 2 x ⋅ dx = − cos x ⋅ sin x + x − sin 2 x ⋅ dx
1
x
sin 2 x ⋅ dx = − ⋅ cos x ⋅ sin x + + c
2
2
sin x ⋅ cos x − sin x ⋅ ( − sin x ) ⋅ dx = sin x ⋅ cos x + sin 2 x ⋅ dx
2 sin 2 x ⋅ dx = − cos x ⋅ sin x + x + c ′
(8)
cos 2 x ⋅ dx = cos x ⋅ cos x ⋅ dx
= sin x ⋅ cos x +
=
partielle
Integration
(1 − cos x ) ⋅ dx = sin x ⋅ cos x + x −
2
cos x ⋅ dx = cos x ⋅ dx
2
1
1
sin x ⋅ cos x + x ⋅
2
2
1
1 x2
x2
x2 1 x2
x2
x ⋅ ln x ⋅ dx = ⋅ ln x −
⋅ = ⋅ ln x −
x ⋅ dx = ⋅ ln x − ⋅ + c
2
2 x 2
2
2
2 2
2 cos 2 x ⋅ dx = sin x ⋅ cos x + x
(8)
1− cos2 x
2
cos 2 x ⋅ dx =
Seite 76
V
INTEGRALRECHNUNG
2
Das bestimmte Integral
2
Das bestimmte Integral
2.1
Flächenberechnung
Bsp1: Rechteck
A = a ⋅b
Fläche:
Bsp2: Halbkreis
1
Fläche:
A = r 2π
2
Berechnung von A
A=
A = a ⋅b
Definition:
warum?
Rechteckflächen
Bsp3: y = f ( x )
A=
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
(a ≤ x ≤ b)
Rechteckflächen
Berechnung der Fläche in Bsp3:
Fläche Rechteck Nr1:
Fläche Rechteck Nr2:
Fläche Rechteck Nr3:
A≈
n −1
j =0
2.2
(x
j +1 − x j ) ⋅ f (ξ j )
A = lim
n →∞
n −1
j =0
(x
j +1
( x1 − x0 ) ⋅ f (ξ0 )
( x2 − x1 ) ⋅ f (ξ1 ) ξ ξ a
3
4
( x3 − x2 ) ⋅ f (ξ2 )
b
− x j ) ⋅ f (ξ j )
Das bestimmte Integral
Def. 2.1
Die Funktion f ( x ) sei im Intervall ( a ≤ x ≤ b ) definiert. Wenn für alle möglichen
Intervallzerlegungen a = x0 < x1 < x2 <
n −1
der Grenzwert lim
n →∞
j =0
< xn = b mit x j ≤ ξ j ≤ x j +1 ( für alle j ) gilt,
f (ξ j )( x j +1 − x j ) existiert und ist gleich einer Zahl A,
dann heißt A das bestimmte Integral von a bis b
b
Symbol: A =
f ( x ) ⋅ dx
( Fläche )
a
Anmerkung:
b
f ( x ) dx = Fläche = Zahl
aber
f ( d ) dx = Menge der Stammfunktionen
a
Def. 2.2
b
Wenn das Integral
f ( x ) ⋅ dx existiert, heißt f ( x ) über dem Intervall a ≤ x ≤ b integrierbar.
a
Beispiel einer nicht integrierbaren Funktion
0 ( x rational )
y=
( 0 ≤ x ≤ 1)
1 ( x irrational )
n −1
nicht integrierbar, denn lim
n →∞
j =0
f (ξ j )( x j +1 − x j ) =
0
ξ j = rational
1 − 0 ξ j = irrational
Seite 77
V
INTEGRALRECHNUNG
2
Das bestimmte Integral
Satz 2.1
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
Sei f ( x ) über a ≤ x ≤ b integrierbar und F ( x ) Stammfunktion zu f ( x ) ,
b
f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) = F ( x )
dann gilt:
b
a
= F ( x) a
b
a
Bew:
F ( b ) − F ( a ) = F ( xn ) − F ( x0 ) = − F ( xn ) + F ( xn −1 ) − F ( xn −1 ) + F ( xn − 2 ) −
=
n −1
F ′ (ξ j )( x j +1 − x j ) =
n −1
F ′= f
j =0
j =0
f (ξ j )( x j +1 − x j ) = lim
n →∞
2.3
Beispiele zur Flächenberechnung
(1)
y=x
1
x2
A = x ⋅ dx =
2
0
y=x
=
0
( F ( x ) − F ( x ))
f ( x ) dx
a
12 02 1
− =
2 2 2
0
1
1 3
x
3
A = x 2 dx =
=
1 0 1
− =
3 3 3
=
1 1
− =0
2 2
−1
( −1 ≤ x ≤ 1)
y=x
1
1
x2
A = x ⋅ dx =
2
−1
(4)
b
j =0
( 0 ≤ x ≤ 1)
2
1
(3)
j =0
f (ξ j )( x j +1 − x j ) =
n −1
( 0 ≤ x ≤ 1)
1
(2)
n −1
+ F ( x1 ) − F ( x0 ) =
−1
(0 ≤ x ≤ π )
y = sin x
π
A = sin x ⋅ dx = [ − cos x ]0 = ( − cos π ) − ( − cos 0 ) = − ( −1) − ( −1) = 2
π
0
(5)
Änderung der Grenzen bei Subtitution
1
4
1 dz
1
1
dx
4
=
= [ arctan z ]0 = ( arctan 4 − arctan 0 ) = 0,3314
2 z=4x
2
4
4
0 1 + 16 x dz = 4 dx 4 0 1 + z
π
(6)
x ⋅ cos x 2 ⋅ dx
0
(7)
π
1
1
1
π
cos z ⋅ dz = [sin z ]0 = ( sin π − sin 0 ) = 0
d =x
2
2
2
0
dz = 2 x ⋅ dx
=2
Kreisfläche
Kreis: x 2 + y 2 = r 2
r
A = 2⋅
y = ± r 2 − x2
r
r
y ⋅ dx = 2 ⋅
−r
y = + r 2 − x2
r 2 − x 2 dx = 2 ⋅ r ⋅ 1 −
−r
−r
x
r
( Halbkreis )
2
⋅ dx
π
1
= 2r ⋅
1 − z ⋅ dz
2
x
z=
r
1
dz = dx
r
2
−1
=
z = sin ϕ
dz = cos ϕ ⋅ dx
Nebenrechnung:
cos 2 ϕ ⋅ dϕ = cos ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ
= sin ϕ ⋅ cos ϕ +
2r ⋅
π
2
2
−
=
1 − sin ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ = 2r ⋅
2
π
partielle
Integration
2
2
−
2
cos 2 ϕ ⋅ dϕ
π
2
sin ϕ ⋅ cos ϕ − sin ϕ ⋅ ( − sin ϕ ) ⋅ dϕ = sin ϕ ⋅ cos ϕ + sin 2 ϕ ⋅ dϕ
(1 − cos ϕ ) ⋅ dϕ = sin ϕ ⋅ cos ϕ + ϕ −
2
Seite 78
1− cos2 ϕ
cos 2 ϕ ⋅ dϕ = cos 2 ϕ ⋅ dϕ
j +1
j
V
INTEGRALRECHNUNG
2
Das bestimmte Integral
dominik erdmann
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ANALYSIS
sin ϕ ⋅ cos ϕ + ϕ = 2 cos 2 ϕ ⋅ dϕ
cos 2 ϕ ⋅ dϕ =
1
1
sin ϕ ⋅ cos ϕ + ϕ ⋅
2
2
Fortsetzung:
π
π
ϕ
1
A = 2r ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ = 2r ⋅ sin ϕ ⋅ cos ϕ +
2
2
π
2
2
2
−
(8)
−
2
π
= 2r 2 ⋅
π
4
− −
π
4
= r 2 ⋅π
2
Partielle Integration
1
x ⋅ e x ⋅ dx = x ⋅ e x
1
0
1
− 1 ⋅ e x ⋅ dx = (1 ⋅ e1 ) − ( 0 ⋅ e0 ) − e x
0
2
(9)
1
0
= e − ( e1 − e0 ) = 1
0
π
π
x ⋅ sin x ⋅ dx = x ⋅ ( − cos x )
π
2
0
π
2
− 1⋅ ( − cos x ) dx = [sin x ]02 = sin
0
2.4
2
2
0
π
2
− sin 0 = 1
Sätze der Integralrechnung
Satz 2.2
b
a
f ( x ) dx = − f ( x ) dx
a
b
Bew:
b
b
f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) = − ( F ( a ) − F ( b ) ) = − f ( x ) dx
a
Satz 2.3
a
a
f ( x ) dx = 0
a
a
Bew:
f ( x ) dx = F ( a ) − F ( a ) = 0
a
Satz 2.4
Bew:
b
f ( x ) dx + f ( x ) dx =
c
c
a
b
a
f ( x ) dx
( F (b ) − F ( a )) + ( F (c) − F (b)) = F (c) − F ( a )
Satz 2.5
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Sei f ( x ) in a ≤ x ≤ b integrierbar und stetig,
dann existiert eine Zahl ξ mit a ≤ ξ ≤ b mit
b
f ( x ) dx = f (ξ )( b − a )
a
Bew: graphisch
b
A=
f ( x ) dx = f (ξ )( b − a )
a
Satz 2.6
Sei f ( x ) integrierbar
g ( x) =
x
f ( t ) dt = Stammfunktion zu f ( x )
a
x
Bew:
a
f ( t ) dt = F ( x ) − F ( a )
const
Seite 79
V
INTEGRALRECHNUNG
2
Das bestimmte Integral
dominik erdmann
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ANALYSIS
Beispiele:
g ( x) =
x
(t
3
− t ) dt
g ′ ( x ) = x3 − x
(t
3
− t ) dt
g′( x) = 0
0
g ( x) =
1
0
Satz 2.7
Sei f ( x ) in a ≤ x ≤ b stetig
denn:
keine Sprünge
existiert Fläche
Anmerkung:
stetig
differenzierbar
differenzierbar
integrierbar
stetig
Anwendungen
(1)
Kreisumfang
integrierbar
integrierbar
stegtig
integrierbar
differenzierbar
differenzierbar
/
/
2.5
ds = r ⋅ dα
U
ds =
0
(2)
f ( x ) in a ≤ x ≤ b integreibar
2π
r ⋅ dα
[ s ]0 = [ rα ]0
Fläche Kreisring:
0
(3)
R
dA = 2rπ ⋅ dr
0
dA ≈ 2rπ ⋅ dr
r2
A = 2π
= r 2π = A
2
Kugelvolumen
Kugelfläche: A = 4π r 2
dV ≈ 4π r 2 ⋅ dr
V
0
U = 2π r
0
Kreisfläche
A
2π
U
R
dV = 4π r 2 dr = 4π
0
r3
3
R
0
4
= π R3 = V
3
Seite 80
V
INTEGRALRECHNUNG
3
Uneigentliche Integrale
3
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ANALYSIS
Uneigentliche Integrale
Bsp1:
1+
1 1 1 1
+ + + +
2 4 8 16
=2
Bsp2: y = e− x
a
A = lim e− x dx = lim −e− a
a →∞
Bsp3: y =
0
∞
= lim −e − a − ( −e−0 ) = lim 1 − e − a = 1 = e − x dx
a →∞
a →∞
0
1
x2
A=
−1
−1
dx
dx
= lim
= lim − x −1
2
2
a →−∞
a →−∞
x
x
a
−∞
= lim −
a →−∞
Bsp4: y =
a →∞
0
a
1
x
−1
= lim
a →−∞
a
−
−1
= lim −
a →−∞
a
1
1
− −
−1
a
1
x
−1
a
=1
1
x
A=
∞
a
dx
dx
a
= lim
= lim [ ln | x |]1 = lim [ ln a − ln1] = ∞
a →∞
a →∞
a →∞
x
x
1
1
( divergent )
Def. 3.1
Die Integrale
∞
b
f ( x ) dx = lim f ( x ) dx
b →∞
a
b
f ( x ) dx = lim
b
a →−∞
−∞
∞
a
f ( x ) dx = lim
a
a →∞
−∞
f ( x ) dx
a
f ( x ) dx
−a
heißen uneigentliche Integrale 1. Art. Ein uneigentliches Integral heißt konvergent,
falls der Grenzwert existiert. Andernfalls heißt es divergent.
Bsp5: y =
1
1 + x2
A=
Bsp6: Polstelle
y=
∞
π
π
dx
dx
a
= lim
= lim [ arctan x ]− a = − −
=π
2
2
a
a
→∞
→∞
2
2
−∞ 1 + x
−a 1 + x
a
1
x
1
A=
0
dx
x
1
= lim
ε →0
ε
dx
x
1
−
1
1
1
= lim 2 1 − ε = 2
= lim x 2 dx = lim 2 x 2
ε →0
ε →0
ε
Seite 81
ε
ε →0
V
INTEGRALRECHNUNG
3
Uneigentliche Integrale
Bsp7: y =
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ANALYSIS
1
3
x
8
A=
−1
dx
3
x
= lim
ε →∞
Def. 3.2
= lim
−ε
ε →∞
−1
8
dx
3
x
+ lim
ε →∞
ε
dx
3
x
= lim
ε →0
−ε
−
8
1
3
−
1
3
x dx + x dx = lim
ε
−1
33 2 33
3
3
ε − 1 + 3 64 − 3 ε 2
2
2
2
2
ε →0
c −ε
f ( x ) dx = lim
ε →0
a
Satz 3.1
f ( x ) dx +
b
f ( x ) dx uneigentliches Integral 2. Art. Es heißt konvergent,
c +ε
a
∞
(n ∈ )
e − x ⋅ x n ⋅ dx = n !
0
e − x x n dx =
( −e ) x
−x
a
n
0
0
∞
a →∞
a
−
( −e ) nx
−x
n −1
∞
0
0
∞
∞
0
0
= n ( n − 1)( n − 2 )
∞
⋅ 2 ⋅1 e− x x 0 dx = n !
0
Def. 3.3
dx
0
e − x x n dx = n e − x x n −1dx = n ( n − 1) e − x x n − 2 dx = n ( n − 1)( n − 2 ) e − x x n − 3 dx
=
∞
=1 ( Bsp1)
e − x x z −1dx = Γ ( z ) = Gammafunktion
0
Γ ( z ) = ( z − 1) !
Es gilt:
Satz 3.2
Konvergenzsatz
∞
(1)
∞
ϕ ( x ) dx konvergent; 0 ≤ f ( x ) ≤ ϕ ( x )
a
∞
(2)
f ( x ) dx konvergent
a
ϕ ( x ) dx divergent; 0 ≤ ϕ ( x ) ≤ f ( x )
a
∞
f ( x ) dx divergent
a
Bew:
∞
Bsp1:
0
e− x
dx konvergent?
x +1
0≤
∞
Bsp2:
1
3 2
+ x3
2
−1
3 3
= − + 3 64 = 4,5
2 2
falls die Grenzwerte existieren. Andernfalls heißt es divergent.
a
ε
Hat die Funktion y = f ( x ) an der Stelle x = c mit a ≤ x ≤ b eine Polstelle, dann heißt
b
Bew:
3 32
x
2
e− x
≤ e− x
x +1
∞
e − x dx konvergent
0
∞
0
e− x
dx konvergent
x +1
2 + sin x
dx ?
x
1 2 + sin x
≤
x
x
∞
dx
=∞
x
1
∞
1
2 + sin x
dx = ∞
x
Seite 82
8
ε
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
1
Taylor - Reihen
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ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
VI ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
1
Taylor – Reihen
1.1
Potenzreihen
1
= 1 + q + q 2 + q3 +
1− q
Bsp1: II, Abschnitt 4
y = f ( x) =
1
= 1 + x + x 2 + x3 +
1− q
=
∞
=
qj
j =0
∞
xj
j =0
(| q |< 1)
(| x |< 1)
= Potenzreihe für f ( x )
Bsp2: y = e x = 1 + x +
x 2 x3 x 4
+ + +
2! 3! 4!
( −∞ < x < ∞ )
1
x
Bsp3: y =
x = 1− z
1
= 1 + z + z2 + z3 +
1− z
y=
(| z |< 1)
= 1 + (1 − x ) + (1 − x ) + (1 − x ) +
2
1
=
x
y=
Zusammenfassung:
∞
1
j
y=
= ( x − 0)
1 − x j =0
y=
1
=
x
y = ex
∞
j =0
∞
j =0
1
j
( x − 0)
j!
j =0
( −1) ( x − 1)
j
j
(| x − 1 |< 1)
(| x − 0 |< 1)
( −1) ( x − 1)
j
∞
3
(| x − 1 |< 1)
j
( −∞ < x < ∞ )
allgemein:
y = f ( x) =
∞
a j ⋅ ( x − x0 ) = Potenzreihe
j
j =0
Def. 1.1
∞
Die Reihe
j =0
(| x − x0 |< a )
a j ⋅ ( x − x0 ) = f ( x ) heißt Potenzreihe. Wenn sie für | x − x0 |< a konvergiert,
j
heißt a Konvergenzradius
sprechweise: f ( x ) ist um x0 entwickelbar
Bsp1: y =
Bsp2: y =
1
=
1− x
∞
n =0
∞
j =0
( x − 0)
j
(| x − 0 |< 1)
an ⋅ ( x − x0 ) = f ( x )
n
Seite 83
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
1
Taylor - Reihen
1.2
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ANALYSIS
Taylor – Reihe
Bsp1: y = e x auf k Stellen berechnen
Operationen: + | − | ⋅ | ÷
y = e ≈ a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x 4
x
Ansatz:
2
3
y ′ = e x ≈ a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + 4a4 x3
y ′′ = e x ≈ 2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2
y ′′′ = e x ≈ 6a3 + 24a4 x
y ( 4) = e x ≈ 24a4
x=0
y = e0 = 1 = a0
a0 = 1
y ′ = e0 = 1 = a1
a1 = 1
y ′′ = e0 = 1 = 2a2
a2 =
1
2!
1
a3 =
3!
1
a4 =
4!
y ′′′ = e0 = 1 = 6a3
y ( 4) = e0 = 1 = 24a4
x 2 x3 x 4
+ +
2! 3! 4!
x 2 x3 x 4
n→∞
ex = 1 + x + + + +
2! 3! 4!
Bsp2: ln x auf k Stellen berechnen
ln x ≈ a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3
ex ≈ 1+ x +
y = ln x ≈ a0 + a1 ( x − 1) + a2 ( x − 1) + a3 ( x − 1)
2
Ansatz:
1
2
≈ a1 + 2a2 ( x − 1) + 3a3 ( x − 1)
x
1
y ′′ = − 2 ≈ 2a2 + 6a3 ( x − 1)
x
2
y ′′′ = 3 ≈ 6a3
x
y = ln1 = 0 = a0
3
y′ =
x =1
a0 = 0
1
y ′ = = 1 = a1
1
1
y ′′ = − 2 = −1 = 2a2
1
2
y ′′′ = 3 = 2 = 6a3
1
ln x ≈ ( x − 1) −
n→∞
( x − 1)
2
2
+
e x = ( x − 1) −
( x − 1)
a1 = 1
a2 = −
a3 =
1
2
1
3
3
3
( x − 1)
2
2
+
( x − 1)
3
3
−
( x − 1)
4
+
4
Allgemeine Herleitung:
f ( x ) beliebig genau berechnen:
Ansatz:
f ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) + a3 ( x − x0 ) + a4 ( x − x0 )
2
3
f ′ ( x ) = a1 + 2a2 ( x − x0 ) + 3a3 ( x − x0 ) + 4a4 ( x − x0 )
2
f ′′ ( x ) = 2a2 + 3!a3 ( x − x0 ) + 3 ⋅ 4 ⋅ a4 ( x − x0 )
2
f ′′′ ( x ) = 3!a3 + 4!a4 ( x − x0 )
f(
4)
( x ) = 4!a4
Seite 84
3
4
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
1
Taylor - Reihen
Setze x = x0
f ( x0 ) = a0
a0 = f ( x0 )
f ′ ( x0 ) = a1
a1 =
f ′′ ( x0 ) = 2a2
a2 =
f ′′′ ( x0 ) = 3!a3
a3 =
f(
( x ) = 4!a4
f ′ ( x0 )
f ( x ) ≈ f ( x0 ) +
1!
1!
f ′′ ( x0 )
2!
f ′′′ ( x0 )
3!
f
f ′′ ( x0 )
2!
f ′ ( x0 )
1!
( x − x0 )
2
( 4)
+
f ′′ ( x0 )
( x − x0 ) +
2!
( x0 )
4!
f ′′′ ( x0 )
3!
( x − x0 )
3
+
f ′′′ ( x0 )
( x − x0 ) +
2
3!
f(
4)
( x0 )
4!
1
1− x
y = (1 − x )
( x − x0 ) +
+
3
( x − x0 ) +
f ′′ ( x0 )
( x − x0 )
2
1!
2!
| x − x0 |< a und x0 beliebig und a = ∞ möglich
( um x0 = 0 entwickeln )
y ( 0) = 1
−1
y′ ( 0) = 1
−2
y ′′ = 2 (1 − x )
f ′ ( x0 )
f ( x ) = f ( x0 ) +
Wähle x0 = 0
y ′ = (1 − x )
y ′′ ( 0 ) = 2
−3
y ′′′ = 3!(1 − x )
y ′′′ ( 0 ) = 3!
−4
Taylor-Reihe:
y′ ( 0 )
y ′′ ( 0 ) 2 y ′′′ ( 0 ) 3
1
y=
x+
x +
x +
= y (0) +
1− x
1!
2!
3!
= 1 + x + x 2 + x3 +
Bsp2: y = sin x
um x0 = 0 entwickeln
y (0) = 0
y = sin x
y′ ( 0) = 1
y ′ = cos x
y ′′ ( 0 ) = 0
y ′′ = − sin x
y ′′′ ( 0 ) = −1
y ′′′ = − cos x
y ( 4) = sin x
sin x = y ( 0 ) +
(0) = 0
y ′′ ( 0 ) 2 y ′′′ ( 0 )
y(
y′ ( 0)
1!
x+
2!
4)
x +
x3 +
y(
3!
0 2 1 3 0 4 1 5
= 0+ x+ x − x + x − x +
2!
3!
4!
5!
1 3 1 5 1 7 1 9
= x− x + x − x + x −
3!
5!
7!
9!
Satz 1.2
( x − x0 )
4
=
∞
f(
k =0
4)
( x0 )
k!
( x − x0 )
Satz von Taylor
Vorraussetzung: f ( x ) ∞ oft differenzierbar, um x0 in Potenzreihe entwickelbar
Behauptung:
Bsp1: y =
f ′( x)
a4 =
( x − x0 ) +
f ( x ) = f ( x0 ) +
n→∞
Satz 1.1
4)
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ANALYSIS
4)
(0)
4!
x4 +
y(
5)
(0)
5!
x5 +
Reihe von Mac Laurin
Vorraussetzung: f ( x ) ∞ oft differenzierbar, um x0 in entwickelbar
Behauptung:
f ( x) =
∞
f ( j) (0)
j =0
j!
⋅xj
Bew: Taylorreihe für x0 = 0
Seite 85
+
=
∞
k =0
f(
4)
( x0 )
k!
( x − x0 )
k
k
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
1
Taylor - Reihen
1.3
ANALYSIS
Potenzreihen der elementaren Funktionen
Satz 1.3
ex =
∞
xj
j =0 j !
für alle x
Bew: Mac Laurin (Satz 1.2)
f ( x ) = ex =
f(
∞
j)
( 0)
j!
j =0
xj
(
∞
=
)
j
f ( ) ( 0 ) = e0 =1 j = 0
1 j
x
j!
Folgerung:
e1 = e =
∞
j =0
1
1 1 1
= 1+ + + +
j!
1! 2! 3!
Satz 1.4
x 3 x5 x 7
+ − +
3! 5! 7!
x2 x4 x6
cos x = 1 − + − +
2! 4! 6!
sin x = x −
(1)
(2)
Bew: (1)
(2)
siehe Bsp2
y′ ( x0 )
y′′ ( x0 )
y′′′ ( x0 )
2
3
( x − x0 ) +
( x − x0 ) +
( x − x0 ) +
1!
2!
3!
y ( x ) = y ( x0 ) +
Wähle x0 = 0
y ( x ) = y (0) +
y′ ( 0)
1!
x+
y = cos x
y ′′ ( 0 )
y ′′ ( 0 ) = −1
y ′′′ ( 0 ) = 0
y ′′′ = sin x
y
(5)
n →∞
Bsp:
y(
= cos x
= − sin x
y
y ( 0) = 1 −
e jx = 1 + ( jx ) +
( jx )
2
(5)
( 0) = 1
(0) = 0
( jx )
3
+
( jx )
4
+
3!
4!
x2
x3 x 4
= 1 − jx − − j + +
2!
3! 4!
2
4
x
x
x 3 x5
= 1− + −
+ j x− + −
2! 4!
3! 5!
2!
+
4)
1 2 1 4 1 6
x + x − x +
2!
4!
6!
cos x
Folgerung:
Satz 1.5
Bsp:
x3 +
y′ ( 0 ) = 0
y ′′ = − cos x
y
y ′′′ ( 0 )
2!
3!
y ( 0) = 1
y ′ = − sin x
( 4)
x2 +
sin x
Eulersche Formel
e jx = cos x + j ⋅ sin x
y = ln x für x0 = 0 nicht möglich
Wähle y = ln ( x + 1)
Seite 86
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VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
1
Taylor - Reihen
Satz 1.6
ln ( x + 1) = x −
x 2 x3 x 4 x 5
+ − + −
2
3 4
5
Bew: Wähle x0 = 0
y = ln ( x + 1)
y ′ = ( x + 1)
y (0) = 0
y′ ( 0) = 1
−1
y ′′ = − ( x + 1)
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ANALYSIS
y ′′ ( 0 ) = −1!
−2
y ′′′ = 2 ( x + 1)
y ′′′ ( 0 ) = 2!
−3
y ( 4) = −3!( x + 1)
y(
−4
ln ( x + 1) = y ( 0 ) +
y′ ( 0 )
4)
x+
( 0 ) = −3!
y ′′ ( 0 ) 2
1!
2!
2
3
4
x
x
x
x5
= x− + − + −
2
3 4 5
Satz 1.7
arctan x = x −
x +
y ′′′ ( 0 )
3!
x3 +
x3 x5 x7 x9
+ − + −
3 5 7
9
Bew: für x0 = 0 Ableitung berechnen, in Taylor-Reihe einsetzen
Bsp:
tan
π
4
π
=1
4
= arctan (1)
π = 4 ⋅ arctan (1)
Beispiele
(1)
cos 0, 7 = ?
cos x ≈ 1 −
(2)
x 2 x 4 x 6 x8
+ − +
= 0,7648421
2! 4! 6! 8! x = 0,7
= 0, 7648421
ln1, 6 = ln (1 + 0, 6 )
ln ( x + 1) = x −
exakt
x 2 x3 x 4 x 5
+ − +
= 0, 475152
2
3 4 5 x = 0,6
= 0, 4700036
exakt
Seite 87
1 1
3 5
1
7
1
9
π = 4⋅ 1− + − + −
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
2
Rotationskörper
2
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ANALYSIS
Rotationskörper
Def. 2.1
Es sei y = f ( x ) für a ≤ x ≤ b stetig und y ≥ 0 für alle x.
Lässt man f ( x ) um x − Achse rotieren, entsteht ein Rotationskörper.
Halbkreis
Bsp1:
Kugel
Bsp2:
Ellipse
Bsp3:
y = f ( x)
Satz 2.1
Ellipsoid
Sei y = f ( x ) ≥ 0 stetig in a ≤ x ≤ b
b
A = 2π y 1 + y ′2 dx = Fläche des Rotationskörpers
a
Bew:
∆A = 2π y ⋅ ∆s = 2π y ∆x 2 + ∆y 2 = 2π y 1 +
dy
dx
dA = 2π y 1 +
A
b
0
a
∆y
∆x
2
⋅ ∆x
2
⋅ dx = 2π y 1 + y ′2 dx
A = dA = 2π y 1 + y ′2 dx
Bsp1: Mantelfläche eines Kegels
y = ax + b = ax =
r
⋅x
h
h
A = 2π y 1 + y ′2 ⋅ dx = 2π
0
= 2π
h
= 2π
0
h
r 1 2
h2
h + r2 ⋅ = π ⋅ r ⋅l = A
⋅
h h
2
( 0 ≤ x ≤ 1)
Bsp2: y = x
1
y′ = x 2
′
=
1 − 12
1
x =
2
2 x
1
A = 2π y 1 + y ′2 ⋅ dx = 2π
0
= 2π
1
z =x+
4
dz = dx
r
r 2 x2
1+ 2
h
h 2
r
r2
r
r2
⋅ x 1 + 2 ⋅ dx = 2π
1 + 2 x ⋅ dx
h
h
h 0
0 h
h
1
1
x 1+
0
1,25
0,25
1
2
z ⋅ dz = 2π
2 32
z
3
1,25
= 2π
0,25
1
1
1
1
⋅ dx = 2π
x 1+
⋅ dx = 2π
x + ⋅ dx
x
4x
4
4
0
0
2
1, 251,5 − 0, 251,5 = 5,3304
3
Seite 88
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
2
Rotationskörper
Satz 2.2
dominik erdmann
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ANALYSIS
Sei y = f ( x ) ≥ 0 stetig in a ≤ x ≤ b
b
V = π y 2 dx = Volumen des Rotationskörpers
a
Bew:
∆V = r 2π ⋅ ∆x = y 2π ⋅ ∆x
A
dV = π y 2 dx
∆x klein
A
A
dV = π y 2 dx
0
V = π y 2 dx
0
0
Bsp1: Volumen Kegel
y = ax + b
r
x
h
y = ax =
h
h
h
r2
r2
r 2 x3
V = π y dx = π 2 x 2 dx = π 2 x 2 dx = π 2
h 0
h 3
0
0 h
h
=π
2
0
r 2 h3 1 2
= r πh
h2 3 3
Bsp2: Ellipsoid
x2 y 2
+
=1
a2 b2
V =π
a
a
y 2 dx = π b 2 1 −
−a
−a
= π b2
Bsp3: y = sin x
y2 = 1−
a−
x2 2
b
a2
a
x2
x2
x3
2
2
dx
b
dx
b
x
1
π
π
=
−
=
−
a2
a2
3a 2
−a
3
3
a
a
− −a + 2
3a 2
3a
= π b2
4
a
3
a
−a
4
V = π r3
3
a=b=r
(0 ≤ x ≤ π )
π
π
0
0
V = π sin 2 x ⋅ dx = π sin x ⋅ sin x ⋅ dx = π sin x ⋅ ( − cos x )
=π
π
(1 − sin x ) dx = π ⋅
2
0
π 2 = 2π sin 2 x ⋅ dx
0
Seite 89
0
π
+ cos 2 x ⋅ dx
0
π
π
π
0
0
π − sin 2 x ⋅ dx = π 2 − π sin 2 x ⋅ dx = π sin 2 x ⋅ dx
0
π
π
V=
π
2
2
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
3
Fourierreihen
3
Fourierreihen
3.1
Einführung
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Grund- und Oberschwingungen
Fourieranalyse:
Darstellung eines beliebigen Schwingungsprozesses als Überlagerung obiger Grund- und Oberschwingungen
d.h.
f ( x ) = a0 + a1 sin x + a2 sin 2 x + a3 sin 3 x + + b1 cos x + b2 cos 2 x +
( Fourierreihe )
Bsp1: Schwingung
Man ermittelt: y = 4 ⋅ sin x ⋅ cos 2 x
Fourieranalyse
y = sin x + sin 3 x
Bsp2: Elektrische Kippspannung
Fourieranalyse
Seite 90
2
3
4
u ( t ) = π − 2 ⋅ sin t − sin 2t − ⋅ sin 3t − ⋅ sin 4t − ⋅ sin 5t −
3
4
3
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
3
Fourierreihen
3.2
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
Trigonometrische Polynome
Hilfssatz1:
π
(1)
( j ≠ k)
sin jx ⋅ sin kx ⋅ dx = 0
−π
π
(2)
sin jx ⋅ sin jx ⋅ dx = π
−π
π
(3)
cos jx ⋅ sin kx ⋅ dx = 0
−π
π
(4)
( j ≠ k)
cos jx ⋅ sin kx ⋅ dx = 0
−π
π
(5)
cos jx ⋅ cos jx ⋅ dx = π
−π
π
(6)
cos jx ⋅ dx =
−π
π
sin jx ⋅ dx = 0
−π
Bew: durch Partielle Integration beweisbar
Def. 3.1
Bsp:
Die Funktion Tn ( x ) =
a0 n
+ ( ak ⋅ cos kx + bk ⋅ sin kx ) heißt trigonometrisches Polynom n − ten Grades
2 k =1
T2 ( x ) = 1 + sin x + 3 ⋅ cos 2 x
Satz 3.1
Die Funktion f ( x ) sei in − π ≤ x ≤ π darstellbar durch ein trigonometrisches Polynom,
d.h. f ( x ) =
a0 =
(1)
ak =
(2)
bk =
(3)
Bew: (1)
f ( x) =
π
−π
π
a0 n
+ ( ak ⋅ cos kx + bk ⋅ sin kx ), dann gilt für die Koeffizienten ak und bk
2 k =1
1
π
1
π
1
π
f ( x ) dx
−π
π
f ( x ) ⋅ cos kx ⋅ dx
−π
π
f ( x ) ⋅ sin kx ⋅ dx
( Fourierkoeffizienten )
−π
a0
+ a1 ⋅ cos x + a2 cos 2 x + a3 cos 3 x + + bn sin nx
2
π
π
π
a0
f ( x ) dx =
dx + a1 cos x ⋅ dx = a2 cos 2 x ⋅ dx +
−π 2
−π
−π
f ( x ) dx =
−π
(2)
π
a0
2π + a1 ⋅ 0 + a2 ⋅ 0 +
2
bn ⋅ 0
a0 =
1
π
+ bn
π
sin nx ⋅ dx
−π
π
f ( x ) dx
−π
a0
⋅ cos x + a1 ⋅ cos 2 x + a2 cos 2 x ⋅ cos x + a3 cos 3x ⋅ cos x + + bn sin nx ⋅ cos x
2
π
π
π
a π
f ( x ) ⋅ cos x ⋅ dx = 0 cos x ⋅ dx + a1 cos 2 x ⋅ dx = a2 cos 2 x ⋅ cos x ⋅ dx + + bn cos x ⋅ sin nx ⋅ dx
2 −π
−π
−π
−π
f ( x ) ⋅ cos x =
π
−π
=π
=0
π
−π
f ( x ) ⋅ cos x ⋅ dx = π a1
a1 =
1
π
π
f ( x ) ⋅ cos x ⋅ dx
−π
Seite 91
=0
=0
( restliche Koeffizienten analog )
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
3
Fourierreihen
3.3
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Fourierreihen
Def. 3.2
Die Funktion f ( x ) heißt periodisch mit der Periode l , falls f ( x + l ) = f ( x ) für alle x
Bsp1:
Periode 2π
Periode 2π
Bsp2: y = sin x
y = cos x
2π
3
Bsp3: trigonometrisches Polynom
y = cos 3 x
Def. 3.3
Periode
Die Funktion f ( x ) heißt monoton, falls 2 Eigenschaften erfüllt sind
f ( x2 ) ≥ f ( x1 )
entweder: x2 > x1
f ( x2 ) ≤ f ( x1 )
x2 > x1
oder:
für alle x1 , x2
Bsp:
Def. 3.4
Die Funktion f ( x ) heißt im Intervall a ≤ x ≤ b „stückweise monoton stetig“, falls das Intervall sich in
endlich viele Teilintervalle zerlegen lässt, so dass f ( x ) in jedem Teilintervall monoton und stetig ist.
Bsp1:
Bsp2: y = sin x
Bsp3: y = sin
1
x
Satz 3.2
Die Funktion f ( x ) sei periodisch mit der Periode 2π und stückweise monoton stetig, dann gilt:
f ( x) =
a0 =
aj =
bj =
1
π
1
π
1
π
a0
+
2
π
−π
π
−π
π
−π
n
j =1
(a
j
⋅ cos jx + b j ⋅ sin jx )
( Fourierreihe )
mit
f ( x ) dx
f ( x ) ⋅ cos jx ⋅ dx
f ( x ) ⋅ sin jx ⋅ dx
( Fourierkoeffizienten )
Die Reihe nimmt an den Sprungstellen das arithmetische Mittel der beiden Grenzwerte an.
Bew: Satz 3.1: n → ∞
Seite 92
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
3
Fourierreihen
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ANALYSIS
Bsp1:
für − π ≤ x ≤ π mit periodischer Fortsetzung
Bsp2: y = x 2
f ( x) =
a0
+
2
∞
j =1
( a1 ⋅ cos jx + bj ⋅ sin jx )
π
π
1 x3
a0 =
x ⋅ dx =
π −π
π 3
1
aj =
π
1
π
=−
=
2
−π
1
x 2 ⋅ cos jx ⋅ dx =
2
πj
cos jx
x⋅
j
x2 ⋅
π
−π
π
π
−
)
sin jx
j
π
π
− 2 x⋅
−π
−π
π
sin jx
2
k ⋅ sin jx ⋅ dx
⋅ dx = −
j
π j −π
π ⋅ ( − cos jπ )
− cos jx
2
⋅ dx = −
j
πj
−π
−π
(
1
1
2
2π 3 = π 2
π 3 − ( −π 3 ) =
3π
3π
3
j
−
1
π
π
j
4
j2
2
2
4
= − 2 [ −π ⋅ cos jπ − π ⋅ cos jπ ] = 2 ⋅ 2 cos jπ = 2 ⋅ cos jπ =
πj
j
j
bj =
( −π ) ( − cos j ( −π ) )
−
1 sin jx
+
j
j
( j gerade )
4
j2
( j ungerade )
x 2 ⋅ sin jx ⋅ dx = 0
−π
π2
4
4
4
4
cos x + 2 cos 2 x − 2 cos 3x + 2 cos 4 x −
3
4
12
2
cos x cos 2 x cos 3x cos 4 x
π2
=
+4 − 2 +
− 2 +
−
3
1
22
3
42
Fourierreihe: y =
3
−
Bsp3: Intervallspannung
y=
y=
a0
+
2
a0 =
aj =
bj =
=
∞
j =1
π
1
π
−π
π
1
π
1
π
y ⋅ dx =
1
π
0
πj
1
y ⋅ dx +
π
−π
y ⋅ cos jx ⋅ dx =
y ⋅ sin jx ⋅ dx =
−π
1
1
(0 ≤ x ≤ π )
(π ≤ x ≤ 2π )
mit periodischer Fortsetzung
( a1 ⋅ cos jx + bj ⋅ sin jx )
−π
π
0
[ −1 + cos jπ ] =
Fourierreihe: y =
y ⋅ dx =
0
0
1
1⋅ dx + 0 =
π
−π
0
1
1⋅ cos jx ⋅ dx =
π
−π
0
1
π
π
1 ⋅ sin jx ⋅ dx =
−π
0
−
1 sin jx
j
π
1
π
[ x ]−π
0
=
−π
1
( − cos jx )
π
j
0
1
πj
0
=
−π
( j gerade )
2
πj
( j ungerade )
1 2 sin x sin 3x sin 5 x sin 7 x
−
+
+
+
+
2 π
1
3
5
7
Seite 93
=
1
π
0 − ( −π ) = 1
sin 0 − sin ( − jπ ) = 0
1
πj
− cos 0 − − cos ( − jπ )
cos x = cos ( − x )
π
−π
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
3
Fourierreihen
Satz 3.3
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Die Funktion f ( x ) sei periodisch mit der Periode 2π und stückweise monoton stetig, dann gilt:
f ( x) =
a0 =
aj =
bj =
1
π
a0
+
2
a + 2π
n
j =1
(a
j
⋅ cos jx + b j ⋅ sin jx )
( Fourierreihe )
mit
f ( x ) dx
a
1
π
a + 2π
f ( x ) ⋅ cos jx ⋅ dx
a
a + 2π
1
π
f ( x ) ⋅ sin jx ⋅ dx
( Fourierkoeffizienten )
a
a = −π
Satz 3.2
Bew: alle Funktionen 2π − periodisch
Formelsammlungen (oft)
2π
1
a0 =
f ( x ) ⋅ dx
π
aj =
bj =
1
π
1
π
0
2π
f ( x ) ⋅ cos jx ⋅ dx
0
2π
f ( x ) ⋅ sin jx ⋅ dx
0
Bsp4: Elektrische Kippspannung
u=t
u=
∞
a0
+
2
a0 =
aj =
=
bj =
=
j =1
1
2π
π
1
0
2π
π
1
π
1
π
j
⋅ cos jt + b j ⋅ sin jt )
u ⋅ dt =
1
π
2π
0
t2
t ⋅ dt = ⋅
π 2
u ⋅ cos jt ⋅ dt =
0
π j2
1
(a
2π
0
1
1
π
2π
1
π
0
0
2π
1
π j2
0
2π
0
1 2
π ⋅ 4 = 2π
2π
1
t⋅
π
sin jt
j
2π
−
2π
0
0
sin jt
1 cos jt
⋅ dt =
πj
j
j
(1 − 1) = 0
t ⋅ sin jt ⋅ dt =
cos 2π j
1
−2π ⋅
−0+
j
j
Fourierreihe: u = π −
=
t ⋅ cos t ⋅ dt =
[cos j ⋅ 2π − cos 0] =
u ⋅ sin jt ⋅ dt =
2π
1
π
t
( − cos jt )
j
2π
−
0
2π
( − cos jt )
2π 1 sin jt
cos jt ⋅ dt =
−
+
j
j
j
π
1
∞
j
0
2π
=−
0
2
sin t sin 2t sin 3t
+
+
+
⋅ sin jt = π − 2
1
2
3
j =1 j
Seite 94
⋅ dt
2
j
2π
0
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
3
Fourierreihen
Satz 3.4
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Die Funktion f ( x ) sei periodisch mit der Periode T und stückweise monoton stetig, dann gilt:
f ( x) =
n
j =1
(a
j
⋅ cos ( jω x ) + b j ⋅ sin ( jω x ) )
a0 =
ωT
f ( x ) dx
π 0
aj =
ωT
f ( x ) ⋅ cos ( jω x ) ⋅ dx
π 0
bj =
ωT
f ( x ) ⋅ sin ( jω x ) ⋅ dx
π 0
Bew: Sei f ( z ) =
z=
a0
+
2
∞
a0
2
j =1
2π x
T
f
(a
j
( Fourierreihe )
mit
( Fourierkoeffizienten )
⋅ cos jz + b j ⋅ sin jz )
a
2π x
= fˆ ( x ) = 0 +
2
T
( 2π − periodisch )
∞
j =1
2π
2π
⋅ x + b j ⋅ sin j ⋅
⋅x
T
T
a j ⋅ cos j ⋅
2π
=ω
T
fˆ ( x ) = T − periodisch
Intergrale durch die Subtitution z =
2π x
überführbar
T
0≤ x≤
x
y=
Bsp5:
y=
a0
+
2
a0 =
∞
j =1
(a
j
⋅ cos ( jω x ) + b j ⋅ sin ( jω x ) ) T = 1
ω1
y ⋅ dx = 2
π 0
0,5
1
x ⋅ dx +
0
x ⋅ dx = 2 ⋅
0,5
ω1
aj =
y ⋅ cos ( jω x ) ⋅ dx = 2
π 0
bj =
ω1
y ⋅ sin ( jω x ) ⋅ dx = 2
π 0
Fourierreihe: y =
3.4
0,5
1
≤ x ≤1
2
2π
= 2π
T
1 1
=
4 2
1
x ⋅ cos ( j 2π x ) dx +
0
0,5
ω=
(1 − x )
1
2
(1 − x ) ⋅ cos ( j 2π x ) dx
0
=
0,5
x ⋅ sin ( j 2π x ) dx +
0
1
(1 − x ) ⋅ sin ( j 2π x ) dx
−
( j gerade )
2
π j2
2
( j ungerade )
=0
0,5
1 1 cos (1 ⋅ 2π x ) cos ( 3 ⋅ 2π x ) cos ( 5 ⋅ 2π x )
−
+
+
+
4 π2
12
32
52
Gerade und ungerade Funktionen
Def. 3.5
(1)
(2)
Beispiele
(1)
gerade
f ( x ) ist eine gerade Funktion, wenn f ( x ) = f ( − x ) ist
f ( x ) ist eine ungerade Funktion, wenn f ( x ) = − f ( − x ) ist
(2)
ungerade
Seite 95
(3)
cos x = gerade; sin x = ungerade
(4)
gerade
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
3
Fourierreihen
Satz 3.5
T
T
≤ x ≤ , Periode T und stückweise monoton stetig, dann gilt:
2
2
2π
mit
ω=
T
Die Funktion f ( x ) sei gerade in −
f ( x) =
a0 =
a0
+
2
n
a j ⋅ cos ( jω x )
j =1
ωT
f ( x ) dx
π 0
2ω
ωT
aj =
f ( x ) ⋅ cos ( jω x ) ⋅ dx =
π 0
π
Bew:
f ( x ) gerade
f ( x) = f (−x)
x
f
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
T
T
+x = f
−x
2
2
bj =
T
2
f ( x ) ⋅ cos ( jω x ) ⋅ dx
0
f x+
T
x+
2
T
T
= f −x −
2
2
f −x −
T
T
+ T = f −x +
2
2
T
2
f ( x ) symmetrisch zu
ωT
f ( x ) ⋅ sin ( jω x ) ⋅ dx
π 0
=
periodisch
Fläche = 0
bj = 0
=0
Satz 3.6
Die Funktion f ( x ) sei ungerade in −
f ( x) =
n
j =1
b j ⋅ sin ( jω x )
ω=
2π
T
2ω
ωT
bj =
f ( x ) ⋅ sin ( jω x ) ⋅ dx =
π 0
π
T
2
T
T
≤ x ≤ , Periode T und stückweise monoton stetig, dann gilt:
2
2
mit
f ( x ) ⋅ sin ( jω x ) ⋅ dx
0
Bew: analog zu Beweis von Satz 3.5
Bsp:
y=
f ( x) =
ungerade
bj =
2ω
π
= −2
T
2
n
j =1
b j ⋅ sin ( jω x )
f ( x ) ⋅ sin ( jω x ) ⋅ dx =
0
− cos ( jπ x )
jπ
Fourierreihe:
1
=−
0
2π
π
1
( −1 ≤ x ≤ 0 )
−1 ( 0 ≤ x ≤ 1)
1
ω=
( mit periodischer Fortsetzung )
2π 2π
=
=π
2
T
( −1) ⋅ sin ( jω x ) ⋅ dx = −2
0
1
sin ( jω x ) ⋅ dx
0
0 ( j gerade )
2
2
π
− cos jπ − ( − cos 0 ) = −
−
cos
+
1
=
j
[
]
4
−
jπ
jπ
( j ungerade )
πj
y=−
4 sin1π x sin 3π x sin 5π x
+
+
+
1
3
5
π
Seite 96
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
4
Die Regeln von de l’Hospital
4
Die Regeln von de l’Hospital
Bsp:
lim
3x
=?
x →∞ x 3
Satz 4.1
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
sin x
x →0
x
lim
Die Regel von de l’Hospital
Vorraussetzung: ϕ ( x ) und ψ ( x ) differenzierbar
ψ ( x ) und ψ ′ ( x ) beide ungleich Null
ϕ ( x ) → 0 und ψ ( x ) → 0 für x → a
Behauptung:
ϕ ( x)
ϕ′( x)
= lim
x →a ψ ( x )
x→a ψ ′ ( x )
lim
Bew: (verkürzt) Setze ϕ ( a ) = ψ ( a ) = 0
ϕ ( x)
ϕ ( x) −ϕ (a)
ϕ ′ (ξ )( x − a )
ϕ ′( x)
= lim
=
= lim
lim
x →a ψ ( x )
x → a ψ ( x ) − ψ ( a ) Mittelwertsatz x → a ψ ′ (η )( x − a )
x→a ψ ′ ( x )
Diff.rechnun
Mittelwertsatz:
lim
ϕ ( x) − ϕ (a)
x−a
Anmerkung: a = ±∞ zugelassen
Beispiele:
(1)
(2)
sin x
cos x
= lim
=1
→
x
0
x
1
1
−0
x− 2
x−2
lim
= lim 2 x
= lim
=0
x→2
x →2
x→2
1
2 x
x−2
2 x−2
lim
x →0
3x ( ln 3)
3x ( ln 3)
e x ⋅ln 3
3x
3x ⋅ ln 3
lim 3 = lim 3 = lim
= lim
= lim
=∞
2
x →∞ x
x →∞ x
x →∞ 3 x
x →∞
x →∞
6x
6
ex − 1
ex
lim
= lim
=1
x → 0 sin x
x → 0 cos x
2
(3)
(4)
3
−
(5)
lim
n →∞
(
)
n 2 − n − n = lim n
n →∞
1
1
1 2
1
1
⋅ − 2
1−
1 − −1
1
1 1
1
2
n
n
n
1 − − 1 = lim
= lim
= lim
=
n →∞
n →∞
n →∞ 2
1
1
n
1 2
− 2
1−
n
n
n
Anmerkung:
Die Regel von de l’Hopital gilt auch für ϕ ( x ) → ∞ und ψ ( x ) → ∞
Seite 97
= ϕ ′ (ξ )
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
5
Die Integration rationaler Funktionen
5
dominik erdmann
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ANALYSIS
Die Integration rationaler Funktionen
(Partialbruchzerlegung)
ϕ ( x) =
Rationale Funktionen:
an x n + an −1 x n −1 +
bk x k + bk −1 x k −1 +
ϕ ( x ) dx
gesucht:
5.1
+ a0
+ b0
Integration von Grundfunktionen
Satz 5.1
( x − a)
1− m
A
( x − a)
⋅ dx =
m
A
1− m
A ⋅ ln | x − a |
( m ≠ 1)
( m = 1)
Bew: Fall 1 m ≠ 1:
A
( x − a)
z1− m
=A
1− m
1− m
1− m
dx
( x − a)
= A z − m ⋅ dz = A
m z=x−a
dz = dx
Fall 2 m = 1:
dx
dz
A
=
= A ⋅ ln | z |= A ⋅ ln | x − a |
=
−
z
x
a
x − a dz = dx z
Satz 5.2
2
dx
=
ax 2 + bx + c
4ac − b
dx
2
=
2
ax + bx + c 2ax + b
2
⋅ arctan
2ax + b
4ac − b
2
dx
1
2ax + b − b 2 − 4ac
=
⋅ ln |
|
ax + bx + c
b 2 − 4ac
2ax + b + b 2 − 4ac
2
dx
=
ax + bx + c x = t − b ⇔
Bew:
2
2a
Fall1: 2
2
t = 2 ax + b
dt
t − ( b − 4ac )
2
2
=2
=− s 2
Fall2: 2
dt
t − ( b − 4ac )
2
2
=2
(b
2
− 4ac < 0 )
(b
2
− 4ac = 0 )
(b
2
− 4ac > 0 )
dt
t − ( b 2 − 4ac )
2
2
dt
= 2
2
t +s
s
2
dt
t
s
=
2
+1
t
u=
s
1
du =
s
2
2
du
⋅s
= arctan u =
2
2
1+ u
s
s
2
4ac − b
dt
2
2
=− =−
t
2ax + b
t2
ϕ ′( x )
Fall3: 2
dt
dt
= 2 2 2 =2
t 2 − ( b 2 − 4ac ) b2 − 4 ac = s2 t − s
dt
( t − s )( t + s )
=
2
2s
(t + s ) − (t − s )
2
(t + s )
t−s
t+s
⋅ dt
ϕ ( x)
=
Satz 5.2
Bew:
2
2
t−s
1
2ax + b − b 2 − 4ac
⋅ ln | ϕ ( x ) |= ⋅ ln |
⋅ ln |
|=
|
2s
2s
t+s
b 2 − 4ac
2ax + b + b 2 − 4ac
Ax + B
A
Ab
dx
⋅ dx =
⋅ ln | ax 2 + bx + c | + B −
⋅
ax 2 + bx + c
ax 2 + bx + c
2a
2a
Ax + B
A
2ax + b
Ab
1
durch Bruchrechnen
=
⋅ 2
+ B−
⋅ 2
2a ax + bx + c
ax + bx + c 2a ax + bx + c
Ax + B
A
Ab
dx
⋅ dx =
⋅ ln | ax 2 + bx + c | + B −
⋅
2
2
ax + bx + c
ax + bx + c
2a
2a
2
Seite 98
2
arctan
2ax + b
4ac − b 2
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
5
Die Integration rationaler Funktionen
dominik erdmann
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ANALYSIS
A=2
B =1
Ax + B
⋅ dx mit a = 1
ax 2 + bx + c
b=4
2x + 1
⋅ dx = ?
x2 + 4 x − 2
Bsp:
c = −2
A
Ab
2x + 1
⋅ dx =
⋅ ln | ax 2 + bx + c | + B −
x + 4x − 2
2a
2a
dx
2
2⋅4
ln | x 2 + 4 x − 2 | + 1 −
=
ax + bx + c 2 ⋅1
2 ⋅1
2
=
Satz 5.2
b2 − 4 ac = 24
5.2
ln | x 2 + 4 x − 2 | −3 ⋅
1
24
⋅ ln |
2
2 x + 4 − 24
2 x + 4 + 24
| +c
Integration rationaler Funktionen
5.2.1 Polynome (III, Kapitel 2.5)
Pn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 +
+ a1 x + a0 = an ( x − α1 )( x − α1 ) ⋅
⋅( x −α p )
= an ( x − α1 ) ⋅ ( x − α 2 ) ⋅
k1
k2
kp
⋅ ( x − α 2 )( x − α 2 ) ⋅
⋅ ( x − αk )
= Faktorzerlegung
α1 k1 − fache Nullstelle
α 2 k2 − fache Nullstelle
Bsp:
P5 ( x ) = x 5 − 7 x 4 + 11x3 − 5 x 2 = ( x − 1) ( x − 5 ) ( x − 0 )
2
1
2
5.2.2 Partialbruchzerlegung
f ( x) =
gegeben:
Pn ( x )
Qm ( x )
= rationale Funktion
Qm ( x ) = a ( x − α1 ) 1 ⋅ ( x − α 2 ) 2 ⋅
k
f ( x) =
dann:
Pn ( x )
Qm ( x )
k
n<m
⋅( x −α p )
kp
a j = reell
Ak1
=
A1
A2
A3
+
+
+
2
x − α1 ( x − α1 ) ( x − α1 ) 3
+
+
B3
B1
B2
+
+
+
x − α 2 ( x − α 2 ) 2 ( x − α 2 )3
+
C1
C2
C3
+
+
+
2
x − α p ( x − α ) ( x − α )3
p
p
+
( x − α1 )
k1
Bk2
( x −α )
k2
+
+
Ck p
( x −α )
kp
Berechnung der Konstanten Ak , Bk , durch:
rechte Seite auf gemeinsamen Hauptnenner bringen und Koeffizienten vergleichen
Bsp1: f ( x ) =
A ( x − 1) x + A2 x + B1 ( x − 1)
A
A2
B
x2 + 1
x2 + 1
=
= 1 +
+ 1 = 1
3
2
2
2
2
x − 2 x + x ( x − 1) ( x − 0 ) x − 1 ( x − 1)
x−0
( x − 1) ⋅ x
=1
=0
=1
2
A x − A1 x + A2 x + B1 x − B1 2 x + B1 x [ A1 + B1 ] + x [ − A1 + A2 − 2 B1 ] + B1 !
x2 + 1
= 1
=
=
x3 − 2 x 2 + x
x3 − 2 x 2 + x
x3 − 2 x 2 + x
A1 + B1 = 1
B1 = 1
2
2
2
− A1 + A2 − 2 B1 = 0
A1 = 0
B1 = 1
A2 = 2
x +1
2
1
=
+
2
2
x − 2 x + x ( x − 1)
x
2
3
Seite 99
dx
x + 4x − 2
2
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
5
Die Integration rationaler Funktionen
Bsp2: y =
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A1 ( x + 1) + B1 ( x − 1) x [ A1 + B1 ] + A1 − B1 ! 3x − 1
A1
B1
3x − 1
3x − 1
=
=
+
=
=
= 2
x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1) x − 1 x + 1
x2 − 1
x −1
( x − 1)( x + 1)
A1 + B1 = 3
A1 = 1
A1 − B1 = 1
B1 = 2
3x − 1
1
2
=
+
x2 − 1 x − 1 x + 1
Bsp3: y =
=
=
x ( x − 1)
A ( x − 1) + B1 ( x − 1) ⋅ x + B2 ( x − 1) ⋅ x + B3 x
B3
A1
B
B2
+ 1 +
+
= 1
2
3
3
x x − 1 ( x − 1) ( x − 1)
x ( x − 1)
3
x +1
3
=
A1 ( x 3 − 3x 2 + 3x − 1) + B1 ( x 2 − 2 x + 1) x + B2 ( x 2 − x ) + B3 x
x ( x − 1)
x ( x − 1)
3
A1 + B1 = 0
A1 = −1
−3 A1 − 2 B1 + B2 = 0
B1 = 1
3 A1 + B1 − B2 + B3 = 1
A1 = −1
B2 = −1
x ( x − 1)
=
3
x 3 [ A1 + B1 ] + x 2 [ −3 A1 − 2 B1 + B2 ] + x [3 A1 + B1 − B2 + B3 ] − A1
x +1
Bsp4: y =
2
3
!
=
x +1
x ( x − 1)
3
B3 = 2
1
1
1
2
=− +
−
+
2
x x − 1 ( x − 1) ( x − 1)3
A ( x 2 − 4 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x − 2 )
x−4
x−4
x−4
A
B
C
=
=
=
+
+
=
x ( x − 2 )( x + 2 )
x 3 − 4 x x ( x 2 − 4 ) x ( x − 2 )( x + 2 ) x x − 2 x + 2
x 2 [ A + B + C ] + x [ 2 B − 2C ] − 4 A
x − 4x
A+ B +C = 0
3
!
=
x−4
x3 − 4 x
A =1
2 B − 2C = 1
B = −0, 25
−4 A = −4
C = −0, 75
x−4
1 0, 25 0, 75
= −
−
x3 − 4 x x x − 2 x + 2
Division zweier Polynome:
(1)
(2)
(3)
(4)
Seite 100
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
5
Die Integration rationaler Funktionen
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5.2.3 Integration rationaler Funktionen
Problem :
Pn ( x )
Qm ( x )
⋅ dx = ?
Pn , Qm sind Polynome mit Grad n, m
man dividiere Pn ( x ) : Qm ( x ) und erhält Pn ( x ) : Qm ( x ) = Sk ( x ) +
(1)
Wenn n ≥ m
(2)
Man führe für
(3)
Man integriere alle Summanden
Bsp1:
Pn ( x )
Qm ( x )
bzw.
Ri ( x )
Qm ( x )
Ri ( x )
Qm ( x )
eine Partialbruchzerlegung durch
3x 4 − 2 x3 − x 2 + 2 x − 1
⋅ dx = ?
x2 − x
(1)
(2)
2x −1
x2 − x
A ( x − 1) + Bx x ( A + B ) − A ! 2 x − 1
2x −1
2x −1
A
B
=
= +
=
=
= 2
2
x − x x ( x − 1) x x − 1
x2 − x
x −x
x ( x − 1)
Partialbruchzerlegung für
A+ B = 2
A =1
A =1
B =1
2x −1 1
1
= +
2
x − x x x −1
4
3x − 2 x3 − x 2 + 2 x − 1
⋅ dx =
(3)
x2 − x
4x +1
Bsp2:
⋅ dx = ?
3
x + 4 x2 + 4 x
(1)
entfällt
3x2 + x +
1
1
x2
+
dx = x 3 + + ln | x | + ln | x − 1 | +c
x x −1
2
A ( x + 2 ) + B1 x ( x + 2 ) + B2 x
B
B2
4x + 1
4x + 1
4x +1
A
=
=
= + 1 +
=
3
2
2
2
2
2
x x + 2 ( x + 2)
x + 4x + 4x x ( x + 4x + 4) x ( x + 2)
x ( x + 2)
2
(2)
=
A ( x 2 + 4 x + 4 ) + B1 ( x 2 + 2 x ) + B2 x
x ( x + 2)
2
=
A + B1 = 0
A = 0, 25
4 A + 2 B1 + B2 = 4
B1 = −0, 25
4A = 1
B2 = 3,5
x 2 [ A + B1 ] + x [ 4 A + 2 B1 + B2 ] + 4 A
x ( x + 2)
2
!
=
4x + 1
x ( x + 2)
2
4x + 1
0, 25 0, 25
3,5
=
−
+
x3 + 4 x 2 + 4 x
x
x + 2 ( x + 2 )2
(3)
dx
dx
4x +1
⋅ dx = 0, 25
− 0, 25
+ 3,5
x
x+2
x3 + 4 x 2 + 4 x
dx
( x + 2)
z −2 dz
Bsp3:
x3 + 4 x + 2
⋅ dx = ?
x3 − 4 x
(1)
Seite 101
2
= 0, 25 ⋅ ln | x | −0, 25 ⋅ ln | x + 2 | −3,5 ⋅
1
+c
x+2
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
5
Die Integration rationaler Funktionen
A ( x − 2 )( x + 2 ) + B ( x + 2 ) x + C ( x − 2 ) x
8x + 2
8x + 2
8x + 2
A
B
C
=
=
= +
+
=
3
2
x ( x − 2 )( x + 2 )
x − 4 x x ( x − 4 ) x ( x − 2 )( x + 2 ) x x − 2 x + 2
(2)
A ( x2 − 4) + B ( x2 + 2 x ) + C ( x2 − 2x )
=
x ( x − 2 )( x + 2 )
=
x 2 [ A + B + C ] + x [ 2 B − 2C ] − 4 A
x ( x − 2 )( x + 2 )
!
=
8x + 2
x3 − 4 x
A = −0,5
A+ B +C = 0
9
4
−4 A = 2
7
C=−
4
9
7
4x + 1
0,5
=−
+ 4 − 4
x3 + 4 x 2 + 4 x
x
x−2 x+2
9
7
0,5
1
9
7
x3 + 4 x + 2
⋅ dx = 1 −
+ 4 − 4 dx = x − ln | x | + ln | x − 2 | − ln | x + 2 | +c
3
x − 4x
x
x−2 x+2
2
4
4
2 B − 2C = 8
(3)
Bsp4:
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ANALYSIS
B=
dx
=?
x −1
A ( x + 1) + B ( x − 1) x [ A + B ] + [ A − B ] ! 1
A
B
1
1
=
=
+
=
=
= 2
2
x − 1 ( x − 1)( x + 1) x − 1 x + 1
x2 − 1
x −1
( x − 1)( x + 1)
2
A+ B = 0
A = 0,5
A− B =1
B = −0,5
1
0,5 0,5
=
−
x −1 x −1 x + 1
2
5.2.4 Partialbruchzerlegung bei komplexen Nullstellen
1.
Rückblick
Pn ( x ) habe Nullstelle z = a + bj
Pn ( x ) hat Nullstelle z = a − bj
Faktorzerlegung
Pn ( x ) = an ( x − α1 ) 1 ⋅ ( x − α 2 ) 2 ⋅
k
k
⋅( x − z)⋅( x − z )
es gilt: ( x − z ) ⋅ ( x − z ) = x − ( a + bj ) ⋅
( z einfache Nullstelle )
x − ( a − bj ) = [ x − a − bj ] ⋅ [ x − a + bj ]
= x 2 − ax + bxj − ax + a 2 − abj − bjx + abj − b 2 j 2 = x 2 − 2a x + ( a 2 + b 2 ) = x 2 + px + q
−p
q
Faktorzerlegung
Pn ( x ) = an ( x − α1 ) 1 ⋅ ( x − α 2 ) 2 ⋅
k
k
⋅ ( x 2 + px + q )
z,z
2.
Partialbruchzerlegung
Pn ( x ) = x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 +
+ a1 x + a0 = ( x − α1 ) 1 ⋅ ( x − α 2 ) 2 ⋅
k
k
⋅ ( x 2 + px + q )
mit α j : reel; x 2 + px + q hat Nullstelle z , z ( komplex )
Partialbruchzerlegung für y =
Pn ( x )
Qm ( x )
Pn ( x )
Ak1
A1
A2
B1
B2
+
+ +
+
+
+
k1
2
2
Qm ( x ) x − α1 ( x − α1 )
( x − α1 ) x − α 2 ( x − α 2 )
Berechnung der Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich
f ( x) =
=
Seite 102
+
Bk2
( x −α )
k2
+
+
Rx + S
x + px + q
2
VI
ANWENDUNGEN DER DIFF- UND INTEGRALRECH.
5
Die Integration rationaler Funktionen
Bsp1: y =
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ANALYSIS
3x 2 − 2
3x 2 − 2
=
x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) ( x 2 + x + 1)
1
3
x=− ±
⋅j
2
4
x2 + x + 1 = 0
Ansatz:
A ( x 2 + x + 1) + ( Rx + S )( x + 1) Ax 2 + Ax + A + Rx 2 + Rx + Sx + S
A
Rx + S
y=
+
=
=
x + 1 x2 + x + 1
x3 + 2 x 2 + 2 x + 1
( x + 1) ( x 2 + x + 1)
=
x2 [ A + R] + x [ A + R + S ] + [ A + S ]
x + 2x + 2x + 1
A+ R = 3
S = −3
3
2
A+ R + S = 0
A =1
A + S = −2
R=2
!
=
3x2 − 2
x + 2 x2 + 2 x + 1
3
3x2 − 2
1
2x − 3
=
+
x + 2 x2 + 2 x + 1 x + 1 x2 + x + 1
3
3. Integration von y =
Qm ( x )
Pn ( x )
Pn hat 2 einfache komplexe Nullstellen z , z
Bsp2:
man dividiere Pn ( x ) : Qm ( x ) und erhält Pn ( x ) : Qm ( x ) = U k ( x ) +
(1)
Wenn n ≥ m
(2)
Man führe für
(3)
Man integriere alle Summanden
Pn ( x )
Qm ( x )
bzw.
Vi ( x )
Qm ( x )
eine Partialbruchzerlegung durch
dx
=?
x −1
(1)
entfällt
A
B
Rx + S
1
1
1
(2)
= 2
=
=
+
+ 2
4
2
2
x − 1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) x − 1 x + 1 x + 1
4
±j
A ( x + 1) ( x + 1) + B ( x − 1) ( x 2 + 1) + ( Rx + S )( x − 1)( x + 1)
2
=
=
( x − 1)( x + 1) ( x 2 + 1)
A ( x 3 + x 2 + x + 1) + B ( x 3 − x 2 + x − 1) + ( Rx 3 − Rx + Sx 2 − S )
x4 − 1
x [ A + B + R] + x [ A − B + S ] + x [ A + B − R] + ( A − B − S )
3
=
2
x −1
A = 0, 25
B = −0, 25
R=0
S = −0,5
4
A+ B + R = 0
A− B + S = 0
A+ B − R = 0
A− B − S =1
1
x4 − 1
1
0, 25 0, 25 0,5
=
−
−
x − 1 x − 1 x + 1 x2 + 1
1
1 dx
1
1
dx
dx
dx
=
−
−
= [ ln | x − 1| − ln | x + 1|] − arctan x + c
4
2
x −1 4 x −1
x +1 2 1+ x
4
2
4
(3)
!
=
Seite 103
Vi ( x )
Qm ( x )
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
1
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ANALYSIS
Funktionen in zwei Variablen
VII DIFFERENTIALRECHNUNG VON FUNKTIONEN
IN MEHREREN VARIABLEN
1
Funktionen in zwei Variablen
1.1
Grundlagen
bisher: y = f ( x )
( Zuordnung )
f ( x, y ) ( x, y ) → z ( Zuordnung )
jetzt:
z=
Bsp:
z = x2 + y 2
Def. 1.1
x→y
(1,1) → 2
( 2,1) → 5
Sei E = {( y, x ) | x ∈ ; y ∈
} ( Ebene )
D⊆E
Jedem Punkt ( x, y ) ∈ D werde eindeutig eine reelle Zahl z zugeordnet,
dann heißt die Zuordnung eine Funktion von x, y
symbolisch: z = f ( x, y ) oder z = f ( x, y )
D = Definitionsbereich der Funktion
x, y = unabhängige Variablen (Argument)
Die Menge aller z − Werte: Wertebereich
Beispiele:
(1)
w = x ⋅ y2
Definitionsbereich:
Wertebereich:
(2)
(1,1) → 1
( 0, 0 ) → 0
(1, 2 ) → 2
( 2, 4 ) → 32
( −1,1) → ?
D = {( x, y ) | x ≥ 0; y ∈ }
{w | w ∈ ; w ≥ 0}
Zuordnung:
z = y − arctan x
arcsin x = u ⇔
x = sin x ⇔ − 1 ≤ x ≤ 1
D = {( x, y ) | y ∈ ; − 1 ≤ x ≤ 1}
(3)
u = g ( x, y ) = x 2 + y 2 − 3
(4)
w= y−x
(5)
x
0
1
0
1
y
1
0
0
1
z
0
1
2
0
muß gelten: y − x ≥ 0
D = {( x, y ) | x, y ∈
y≥x
( x, y ) → z
Seite 104
} = Ebene
D = {( x, y ) | x ≥ y}
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
1
1.2
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ANALYSIS
Funktionen in zwei Variablen
Koordinatensysteme
1.2.1 Kartesische Koordinaten
( x, y ) → z
Bsp1: z = 3x + y
x y
0 0
1 0
0 1
2 0
0 2
1 1
Bsp2: z = 1
z
0
3
1
6
2
4
Ebene
Ebene parallel zur x, y − Ebene mit Abstand 1
Bsp3: z = f ( x, y )
Bsp4: z = 16 − x 2 − y 2
(1)
Punkte ( x, y, 0 ) = Schnitt der Fläche mit x − y − Ebene
z=0
(2)
z = 16 − y 2
z 2 = 16 − y 2
y 2 + z 2 = 42
Punkte ( x, 0, z ) = Schnitt der Fläche mit x − z − Ebene
y=0
Satz 1.1
x 2 + y 2 = 42
Punkte ( 0, y, z ) = Schnitt der Fläche mit y − z − Ebene
x=0
(3)
0 = 16 − x 2 − y 2
z = 16 − x 2
z 2 = 16 − x 2
x 2 + z 2 = 42
(Kugel)
Eine Fläche im x − y − z − Koordinatensystem stellt im Allgemeinen eine Funktion z = f ( x, y ) dar.
1.2.2 Kugelkoordinaten (Räumliche Polarkoordinaten)
Darstellung eines Punktes im Raum:
(1)
r = Abstand zum Nullpunkt
(2)
θ = Winkel der Strecke OP mit der Achse a
ϕ = Winkel zwischen Achse b mit OP′
(3)
Bsp1: Erdoberfläche
r = konstant
θ = Breitenkreise
ϕ = Längengrade
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
Seite 105
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
1
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ANALYSIS
Funktionen in zwei Variablen
Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten
z
z = r ⋅ cos θ
(1)
cos θ =
r
u
u = r ⋅ sin θ
(2)
sin θ =
r
x
x = u ⋅ cos ϕ = r ⋅ sin θ ⋅ cos ϕ
cos ϕ =
u
y
(3)
y = u ⋅ sin ϕ = r ⋅ sin θ ⋅ sin ϕ
sin ϕ =
u
Umrechnungsformeln
x = r ⋅ sin θ ⋅ cos ϕ
y = r ⋅ sin θ ⋅ sin ϕ
z = r ⋅ cosθ
Bsp2: z = 16 − x 2 − y 2
r ⋅ cosθ = 16 − r 2 ⋅ sin 2 θ ⋅ cos 2 ϕ − r 2 ⋅ sin 2 θ ⋅ sin 2 ϕ
r 2 ⋅ cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = 16
2
Bsp3:
2
r 2 ⋅ cos 2 θ = 16 − r 2 ⋅ sin θ ( cos2 ϕ + sin 2 ϕ )
r 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = 42
r=4
2
x
y
z
+
+ =1
( Ellipsoid )
4
4 16
1 2
1
1
r ⋅ sin 2 θ ⋅ cos 2 ϕ + r 2 ⋅ sin 2 θ ⋅ sin 2 ϕ + r 2 ⋅ cos 2 θ = 1
4
4
16
4r 2 ⋅ sin 2 θ + r 2 cos 2 θ = 16
1 2
1
r ⋅ sin 2 θ ( cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) + r 2 ⋅ cos 2 θ = 1
4
16
16
r 2 ( 4 ⋅ sin 2 θ + cos 2 θ ) = 16
r=
4 ⋅ sin 2 θ + cos 2 θ
1.2.3 Zylinderkoordinaten
( x, y ) − Ebene in Polarkoordinaten
z − Koordinate bleibt
Umrechnung
x = r ⋅ cos ϕ
y = r ⋅ sin ϕ
z=z
Bsp1: z = f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2 x = r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ − 2r cos ϕ = r 2 ( cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) − 2r cos ϕ = r 2 − 2r cos ϕ
Bsp2: r = z
Seite 106
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
1
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ANALYSIS
Funktionen in zwei Variablen
1.3
Stetigkeit
(1)
z = f ( x, y ) = Funktion
u=
(2)
x
z = f (u )
y
Sei u =
x
y
| u − v |=
v=
a
b
( x − a)
2
+ ( y − b ) = Abstand
2
Def. 1.2
(1)
f ( x, y ) heißt im Punkt ( a, b ) stetig, falls für u =
f ( u ) → f ( w ) falls | u − w |→ 0
(2)
x
a
; w=
gilt:
y
b
f ( x, y ) heißt stetig, falls f ( x, y ) für alle Punkte des Definitionsbereichs stetig ist.
Bsp1:
Bsp2: Eine Landschaft ohne Sprünge ist stetig
Seite 107
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
2
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ANALYSIS
Differentialrechnung für Funktionen in zwei Variablen
2
Differentialrechnung für Funktionen in zwei Variabeln
2.1
Partielle Ableitung
Def. 2.1
gegeben: Funktion f ( x, y )
Die Ableitung von f ( x, y ) nach x wobei y als Konstante betrachtet wird,
(1)
heißt partielle Ableitung von f ( x, y ) nach x.
Symbol:
f x ( x, y ) =
∂f ( x, y )
∂x
Die Ableitung von f ( x, y ) nach y wobei x als Konstante betrachtet wird,
(2)
heißt partielle Ableitung von f ( x, y ) nach y.
Symbol:
f y ( x, y ) =
∂y
f ( x, y ) heißt differenzierbar, falls beide Ableitungen existieren.
(3)
Beispiele:
f ( x, y ) = x3 + y 2 − 2 xy
(1)
(3)
U
∂I
1
=
R
∂U R
s ( u , v ) = v ⋅ sin u − v 2
(4)
f ( x, y ) =
(2)
∂f ( x, y )
f x ( x, y ) = 3 x 2 − 2 y
f y ( x, y ) = 2 y − 2 x
∂I
U
= −UR −2 = − 2
∂R
R
su = v ⋅ cos u
sv = sin u − 2v
I=
x
− y ⋅ cos x − x 2
y
fx =
1
+ y ⋅ sin x − 2 x
y
Satz 2.1
x
− cos x
y2
f ( x + h, y ) − f ( x , y )
∂f
= lim
h
0
→
∂x
h
Sei f ( x, y ) differenzierbar
Bew: IV, Def 1.2: f ( x ) = lim
fy = −
f ( x + h) − f ( x )
h →0
h
Satz 2.1
1
∂z 1
−
= ( x + sin y ) 2
∂x 2
1
Bsp:
z = x + sin y = ( x + sin y ) 2
Die Ableitungen als Steigungen
Funktion u ( x, y )
u x = lim
u ( x + h, y ) − u ( x , y )
h→0
u y = lim
h
u ( x , y + h ) − u ( x, y )
h→0
h
≈
≈
u ( x + h, y ) − u ( x , y )
h
u ( x, y + h ) − u ( x, y )
h
=
1
∂z 1
−
= ( x + sin y ) 2 ⋅ cos y
∂y 2
u ( x2 , y ) − u ( x1 , y )
x + h = x2
x = x1
=
x2 − x1
u ( x, y2 ) − u ( x, y1 )
y + h = y2
y = y1
y2 − y1
=
=
∆ xu
∆x
∆ yu
∆y
∆ xu
= Steigung in x − Richtung
∆x
∆ yu
uy ≈
= Steigung in y − Richtung
∆y
ux ≈
Satz 2.2
(1)
(2)
∂u
ist die Steigung von u in x − Richtung
∂x
∂u
ist die Steigung von u in y − Richtung
∂y
Seite 108
( Tangenz des Steigungswinkels )
( Tangenz des Steigungswinkels )
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
2
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ANALYSIS
Differentialrechnung für Funktionen in zwei Variablen
Def. 2.2
Höhere Ableitungen
∂ 2u
∂x 2
∂ 2u
= u yy = 2
∂y
( ux ) x = u xx =
u = u ( x, y )
(u )
y
y
( ux ) y = u xy =
∂ 2u
∂x ⋅ ∂y
(u )
∂ 2u
∂y ⋅ ∂x
y x
= u yx =
( uxx ) x = u xxx =
( uxx ) y = u xxy
∂ 2u
∂x 3
usw.
Bsp1: u ( x, y ) = x 2 − x ⋅ sin y
Bsp2: z = x + y 2
ux = 2 x − sin y
u y = − x ⋅ cos y
zy = 2 y
zx = 1
uxx = 2
z xy = 0
u yy = x ⋅ sin y
z yx = 0
u xy = − cos y
u yx = − cos y
u xxy = 0
Satz 2.3
Satz von Schwarz (1873)
Sei u ( x, y ) zweimal differenzierbar
u xy = u yx
Bew:
u x ( 3) − u x (1)
h
einsetzen:
u y ( 2 ) − u y (1)
≈ xxy
h
u4 − u3
≈ u x ( 3)
h
u4 − u2
≈ uy ( 2)
h
u2 − u1
≈ u x (1)
h
u3 − u1
≈ u y (1)
h
≈ u yx
u4 − u3 u2 − u1
−
h = u4 − u3 − u2 + u1
xxy ≈
= h
h
h
h2
u4 − u2 u3 − u1
−
u y ( 2 ) − u y (1)
h = u4 − u2 − u3 + u1
u yx ≈
= h
h
h
h2
u x ( 3) − u x (1)
Bsp:
u = x2 + y3 x + 3
ux = 2 x + y3
uxy = 3 y 2
uy = 3y2 x
u yx = 3 y 2
Satz 2.4
Satz von Schwarz
Es sei u ( x, y ) beliebig oft differenzierbar. Die Bildung der höheren Ableitung ux
von der Reihenfolge der vorzunehmenden Differentiationen unabhängig.
d.h.
u xxy = u xyx = u yxx ≠ u yyx
Seite 109
y
y
x
ist
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
2
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Differentialrechnung für Funktionen in zwei Variablen
Bew: (1)
(2)
u xy = u yx ( klar )
u xxy = ( u x ) xy = ( u x ) yx = u xyx = ( u xy ) = ( u yx ) = u yxx
x
x
usw.
Bsp:
u = e2 x + y − x 2 y = e 2 x ⋅ e y − x 2 y
ux = 2e 2 x e y − 2 xy
u y = e2 x e y − x 2
uxy = 2e 2 x e y − 2 x
u yx = 2e 2 x e y − 2 x
uxyy = 2e 2 x e y
u yxy = 2e 2 x e y
uxyyx = 4e 2 x e y
uxyxy = 4e2 x e y
usw.
2.2
Die Richtungsableitung
∆u = ∆u x + ∆u y
ux ≈
uy ≈
∆xu
∆x
∆ yu
∆ x u ≈ u x ⋅ ∆x
∆ y u ≈ u y ⋅ ∆y
∆y
∆u = ∆u x + ∆u y = u x ⋅ ∆x + u y ⋅ ∆y
cos α
du
=
sin α
dr
∆u
∆x
∆y
du
= ux ⋅
+ uy ⋅
= cos α ⋅ u x + sin α ⋅ u y =
∆r
∆r
∆r
dr
r=
a
cos α
=
b
sin α
Def. 2.3
ux
= grad ( u )
uy
uy
du
= r ⋅ grad ( u )
dt
Gradient
u ( x, y ) differenzierbar
Satz 2.5
ux
grad ( u ) =
ux
uy
Richtungsableitung
Sei u ( x, y ) differenzierbar und r eine beliebige Richtung um
du
= r ⋅ grad ( u ) die Ableitung ( Steigung ) in Richtung r
dr
Seite 110
2
mit | r |= 1, dann ist:
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
2
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Differentialrechnung für Funktionen in zwei Variablen
Bsp1: Gegeben sei die Funktion f ( x, y ) = 3x 2 y − 2 xy + 1. Wie groß ist die Ableitung von r =
1
im Punkt (1,1) und
2
wie groß ist der Steigungswinkel?
ux
6 xy − 2 y
4
=
=
grad ( u ) =
uy
3x 2 − 2 x (1,1) 1
r0 =
1
1
1 1
=
2 |r |
5 2
1 1
du
= r0 ⋅ grad ( u ) =
dr0
5 2
4
1
=
⋅ 6 = 2, 68
1
5
du
Steigungswinkel: tan α =
= 2, 68
α = 68,8°
dr0
Bsp2: Die Ebene v ( x, y ) = 3 x − 6 yx schneidet die x − y − Ebene. Gesucht ist der Schnittwinkel.
(1)
Schnittkurve (Gerade)
1
z = 0 = 3x − 6 y
y= x
2
(2)
Vektor ⊥ Schnittkurve
2
−1
1 −1
s=
s⊥ = r =
r0 =
1
2
5 2
(3)
Richtungsableitung in Vektorrichtung
−15
1 −1 v x
1 −1 3
dv
= r0 ⋅ grad ( v ) =
=
=
= −6, 71
tan α = −6, 71
dr0
5 2 vy
5 2 −6
5
Bsp3: u ( x, y ) = u =
1
2
1
( x + y)
gesucht: Schnittwinkel mit x − y − Ebene
( x + y)
(1)
z=0=
(2)
s=
(3)
du
1 1 ux
1 1
= r0 ⋅ grad ( u ) =
=
dr0
2 1 uy
2 1
−1
1
2
α = −81,52°
⊥ r=
y = −x
1
1
r0 =
1 1
2 1
1
tan = 1
2.3
1
2
=
1
2
2
1
2
+
1
2
=
1
2
⋅2⋅
1
2
=
2
=1
2
α = 45°
Das totale Differential
z = u ( x, y )
∆u = ∆ x u + ∆ y u
ux ≈
uy ≈
∆ xu
∆x
∆ yu
∆ x u ≈ u x ⋅ ∆x
∆ y u ≈ u y ⋅ ∆y
∆y
∆u ≈ u x ⋅ ∆x + u y ⋅ ∆y
Def. 2.4
du = u x dx + u y dy
( dx, dy kleine Zahlen ) heißt "vollständiges" oder "totales Differential" und gibt
näherungsweise die Zunahme der Funktion u ( x, y ) an bei Übergang von ( x, y ) nach ( x + dx, y + dy )
( Höhendifferenz )
du = ux dx + u y dy
Seite 111
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
2
ANALYSIS
Differentialrechnung für Funktionen in zwei Variablen
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
Bsp1: Zylinder: r = 2,3cm h = 5, 4cm
Die Werte des Zylinders werden mit einem Messfehler von 0, 01cm gemessen. Wie wirken sich die Messfehler auf
die Volumenberechnung aus?
V = r 2 ⋅π ⋅ h
dV = Vr dr + Vh ⋅ dh = 2rπ h ⋅ dr + r 2π ⋅ dh = 2 ⋅ 2,3 ⋅ 3,14 ⋅ 5, 4 ⋅ 0, 01 + 2,32 ⋅ 3,14 ⋅ 0, 01 = 0,95cm3
(Fehlerrechnung)
Bsp2: Elektrisch leitender Draht
300Ω Widestand | Messfehler 0,1Ω
gemessen:
220V Spannung | Messfehler 0,5V
U
; dI = ?
R
∂I
∂I
U
1
1
220
⋅ 0,5 −
⋅ 0,1 = 0, 002 A
dI =
dU +
dR = ⋅ dU − 2 ⋅ dR =
∂U
∂R
R
300
R
300 2
Stromstärke = I =
2.4
Implizite Funktion
Bsp1: z = 1 − x 2 − y 2 = Kugel ( Halbkugel )
gesucht: Schnittkurve mit x − y − Ebene
z=0
0 = 1 − x2 − y2
x2 + y2 = 1
Bsp2: f ( x, y ) = 3x − y
Schnittkurve: f = 0 = 3x − y
y = 3x
Darstellung einer Kurve im x − y − Koordinatensystem
[ Bsp: y = 3x ]
F = ( x, y ) = 0 [ Bsp: y − 3x = 0]
y = f ( x)
(1)
explizit:
(2)
implizit:
Schnittkurve
Bsp3: 3 x 2 y − 6 xy 2 + y 3 x 2 − 3 yx 4 = 0
Satz 2.6
F ( x, y ) = 0
y′ = −
Kurve ( implizit )
Fx
Fy
(F
y
≠ 0)
Bew: dF = Fx dx + Fy dy =
Fy dy = − Fx dx
Bsp1: F ( x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0
( Kreis )
dF = 0
F =0
y′ = −
F
dy
= − x = y′
dx
Fy
Fx
2x
x
x
=−
=− =−
2y
Fy
y
1 − x2
x2 y 2
+
−1 = 0
a 2 b2
2x
2
Fx
b2 x
y′ = −
=− a =− 2⋅
2y
Fy
a y
b2
y′ = f ′ ( x )
Bsp3: y = f ( x )
Bsp2: F ( x, y ) =
F ( x, y ) = y − f ( x ) = 0
y′ = −
− f ′( x)
Fx
=−
= f ′( x)
1
Fy
Seite 112
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
2
2.5
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Differentialrechnung für Funktionen in zwei Variablen
Extremwertaufgaben
Bsp: Landschaft im Raum: Bergspitze ist Maxima; Tal ist Minima
Maximum von u ( x, y ) = "Bergspitze"
Minimum von u ( x, y ) = "Tal"
Maximum
(1)
u x = 0; u y = 0
Die Eigenwerte λ der Matrix
(2)
u xx
u xy
u yx
u yy
u xx
u xy
u yx
u yy
<0
Minimum
u x = 0; u y = 0
(1)
Die Eigenwerte λ der Matrix
(2)
>0
Bsp1: u ( x, y ) = x 2 + y 2
ux = 2 x = 0
x= y=0
uy = 2 y = 0
2−λ
0
0
2−λ
= 0 = (2 − λ )
u xx
u xy
u yx
u yy
=
2 0
0 2
λ =2>0
2
Bsp2: u ( x, y ) = x 2 − x ⋅ y + y 2 + 12 x − 9 y + 1
min
gesucht: Extrema
−12 −1
u x = 2 x − y + 12 = 0
2 x − y = −12
uy = −x + 2 y − 9 = 0
− x + 2y = 9
CRAMER
x=
2
2
−24 + 9
=
= −5
−1
3
−1 2
9
2
y=
−12
−1
9
3
=
18 − 12
=2
3
Bei x = −5; y = 2 : Extrenum?
u xx
u xy
u yx
u yy
=
λ1 = 3 | λ2 = 1
2 −1
−1 2
Eigenwerte
λj > 0
2−λ
−1
min
−1
2
= ( 2 − λ ) −1 = 0
2−λ
λ 2 − 4λ + 3 = 0
In ( −5, 2 ) existiert ein Minimum
Seite 113
λ = 2± 4−3 =
3
1
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
3
dominik erdmann
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ANALYSIS
Funktionen in n Variablen
3
Funktionen in n Variablen
3.1
Definitionen und Beispiele
z = f ( x, y ) = Fläche
bisher:
z = f ( x1 , x2 , x3 ,
jetzt:
Bezeichnung:
Def. 3.1
xn )
( x, y ) = Punkt im 2
( zweidimensionaler Raum )
3
( x, y, z ) = Punkt im
( dreidimensionaler Raum )
( x1 , x2 , x3 , xn ) = Punkt im n
( n − dimensionaler Raum )
Es sei D eine Menge n − dimensionale Punkte ( d.h. D ⊆
) . Jedem Punkt ( x , x , x ,
1
2
3
xn ) werde
xn → z ∈ . Dann heißt z eine Funktion von x1 ,
eindeutig eine reelle Zahl z zugeordnet, d.h. x1 , x2 ,
Symbol: z = f ( x1 , x2 , x3 ,
n
xn ) oder g = f ( x1 , x2 , x3 ,
xn )
D = Definitionsbereich
xn = Argumente ( unabhängige Variable )
x1 , x2 , x3 ,
z = abhängige Variable
Die Menge aller z − Werte bilden den Wertebereich
Beispiele:
(1)
z = x12 + x2 2 + x32 + x4 2
(2)
w = ( x − y ) sin z − z 2
(3)
(4)
r = uv − u 2
p = f ( x, y , z , t )
3.2
Partielle Ableitung
Def. 3.2
( Druck )
gegeben: z = f ( x1 , x2 , x3 ,
xn )
Die Ableitung von f ( x1 , x2 , x3 ,
xn ) nach x j , wobei alle anderen Variablen als Konstanten
betrachtet werden, heißt partielle Ableitung nach x j .
Symbol:
(5)
(6)
∂f ( x1 , x2 , x3 ,
∂x j
xn )
oder f x j ( x1 , x2 , x3 ,
xn )
w = x1 x2 x3 + x2 x3 x4 + x3 x4 x5
∂w
= x2 x3 = wx1
∂x1
∂w
= x1 x3 + x3 x4 = wx2
∂x2
usw.
z = s 2 − 2ts + t 3 − v
z s = 2s − 2t
zt = −2 s + 3t 2
z v = −1
Satz 3.1
Sei f ( x1 , x2 , x3 ,
xn ) nach x j differrenzierbar
f ( x1 , x2 ,
∂f
= lim
∂x j h →0
x j + h,
xn ) − f ( x1 , x2 ,
h
Bew: folgt aus IV, Def 1.2
Seite 114
xn )
= Differenzenquotient
xn .
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
3
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ANALYSIS
Funktionen in n Variablen
Def. 3.3
Höhere Ableitungen
Sei z = f ( x1 , x2 , x3 ,
fxj
= f x j xk =
xk
f x j xk
xn ) nach allen Variablen beliebig oft differenzierbar
xp
∂2 f
∂x j ∂xk
= f x j xk x p =
∂3 f
∂x j ∂xk ∂x p
1
Bsp:
w = x2 + y2 + z 2 = ( x2 + y 2 + z 2 ) 2
1
−
∂w 1 2
= ( x + y2 + z2 ) 2 ⋅ 2x
∂x 2
3
1
−
−
1
∂2 w
= − ( x2 + y 2 + z 2 ) 2 ⋅ 2 x ⋅ x + ( x2 + y2 + z 2 ) 2
2
2
∂x
3
−
1
∂2 w
= − ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ⋅ 2 yx
2
∂x∂y
Satz 3.2
Satz von Schwarz
Sei z = f ( x1 , x2 , x3 ,
xn ) nach allen Variablen beliebig oft differenzierbar. Dann ist die Bildung
der gemischten Ableitungen f x j x j
1
2
x j3
x jn
( x1 , x2 , x3 ,
xn ) von der Reihenfolge der vorzunehmenden
Differentiationen unabhängig.
Bew:
( Satz 2.3)
f xm xn = f xn xn
f xm xn x p = f xm xn
Bsp:
xp
= f xn xm
xp
= f xn xm x p = f xn
xm x p
= f xn
u = ( x − y ) ⋅ z = xz − yz
ux = z
uy = − z
uz = ( x − y )
u xy = 0 = u yx
u zx = 1 = u xz
usw.
3.3
Der Gradient
Def. 3.4
f ( x1 , x2 , x3 ,
xn ) differenzierbar
f x1
grad ( f ) =
f x2
( Gradient von f )
f xn
Bsp1: u = x 2 − y 2 − 2 zxy
ux
2 x − 2 zy
uz
−2 yx
grad ( u ) = u y = −2 y − 2 zx
Seite 115
x p xm
=
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
3
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ANALYSIS
Funktionen in n Variablen
Bsp2: Hydromechanik
px
gegeben: Flüssigkeit mit dem Druck p ( x, y, z )
F = grad ( p ) = p y
F = Kraft auf 1cm3 Flüssigkeit ( z.B. Auftrieb )
Φ ( x, y , z ) =
Bsp3:
pz
1 Q1
1
=
4πε 0 r
4πε 0
Q1
x + y2 + z 2
2
= elektrostatisches Potential
Φx
E ( x, y, z ) = E = grad ( Φ ) = Φ y
Φz
Φx =
=
∂
1
∂x 4πε 0
Q1
x2 + y 2 + z 2
1
−
Q1 ∂ 2
⋅ ( x + y2 + z2 ) 2
4πε 0 ∂x
3
−
Q1
−Q1
Q ⋅x
1
x
− ( x2 + y2 + z 2 ) 2 ⋅ 2x =
⋅
=− 1 3
3
4πε 0
2
4πε 0
4πε 0 r
x2 + y 2 + z 2
Φy = −
Q1 ⋅ y
4πε 0 r 3
Φz = −
Q1 ⋅ z
4πε 0 r 3
x
Q1
E=−
y
4πε 0 r 3
z
3.4
=
E =| E |=
Q1
4πε 0 r 3
x2 + y 2 + z 2 =
Q1
4πε 0 r 2
Das totale Differential
u ( x, y )
Def. 3.5
du = u x dx + u y dy
f ( x1 , x2 , x3 ,
df =
( totales Differential ( Def. 2.4 ) )
xn ) differenzierbar
∂f
⋅ dx j
j =1 ∂x j
n
( dx
j
kleine Zahlen ) heißt totales Differential
df ≈ ∆f = Zunahme von f = f ( x1 + dx, x2 + dx2 ,
xn + dxn ) − f ( x1 , x2 ,
xn )
Bsp1: Behälter mit Flüssigkeit
p ( x, y, z ) = Druck
∆p ≈ dp = px dx + p y dy + p z dz
Bsp2: Ein Geschoss werde mit dem Winkel ϕ zur Horizontalen abgeschossen.
W( Wurfweite ) =
Werte:
v0 2
sin 2ϕ
2g
g = 9,81
m
s2
ϕ = 30° ± 1°
( v0 = Anfangsgeschwindigkeit ) ( Luftreibung vernachlässigt )
Fehler ≤ 0, 01
ϕ
ϕ
±
6 180
m
m
v0 = 50 ± 2
s
s
∆W ≈ dW = ?
v2
2500
ϕ
W = 0 sin 2ϕ =
⋅ sin = 110,35m
2g
2 ⋅ 9,81
3
Seite 116
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
3
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Funktionen in n Variablen
Fehler:
dW =
v2
v
v2
∂W
∂W
∂W
dg +
dv0 +
dϕ = − 0 2 ⋅ sin 2ϕ dg + 0 sin 2ϕ dv0 + 0 cos 2ϕ dϕ
2g
g
g
∂g
∂v0
∂ϕ
=−
π
π
π π
502
50
502
⋅
sin
⋅
0,
01
+
⋅
sin
⋅
2
+
cos ⋅
= 10,996m
2
4 ⋅ 9,81
3
9,81
3
9,81
3 180
W = (110,35 ± 10,996 ) m
3.5
Richtungsableitung
Wiederholung:
u ( x, y )
u x = Steigung in x − Richtung
u y = Steigung in y − Richtung
uz = Steigung in z − Richtung
jetzt:
∂u
= r ⋅ grad ( u ) = Steigung in r − Richtung
∂r
f ( x1 , x2 , xn )
totales Differential: df = f x1 dx1 + f x2 dx2 +
dr = dx12 + dx2 2 +
f xn dxn
( dr = Abstand der Punkte )
dxn 2
f x1
dx
dx
df
= f x1 1 + f x2 2 +
dr
dr
dr
f xn
f x2
dxn
=
dr
f xn
Folgerung:
Satz 3.2
gegeben: f ( x1 , x2 , x3 ,
xn ) , r ∈
n
Die Ableitung von f ( x1 , x2 , x3 ,
Anmerkung:
gegeben: u ( x1 , x2 ,
dx1
dr
dx2
∂f
dr = r ⋅ grad ( f ) =
∂r
dxn
dr
mit | r |= 1
xn ) in Richtung r ist
xn )
∂f
= r ⋅ grad ( f )
∂r
grad ( u ) zeigt als Vektor stets in die Richtung des stärksten Anstiegs von u ( x1 , x2 ,
Seite 117
xn )
VII DIFFRECHNUNG VON FKT IN MEHR. VARIABLEN
3
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ingenieurinformatik
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ANALYSIS
Funktionen in n Variablen
3.6
Extremwertaufgaben
Maximum = Maximaler Wert von f ( x1 , x2 , x3 ,
Extrenum
Minimum = Minimaler Wert von f ( x1 , x2 , x3 ,
f ( x1 , x2 , x3 ,
gegeben:
∂f
= 0,
∂x1
xn ) habe Extrenum
f ( x1 , x2 , x3 ,
A=
xn )
f x1 x1
jx1 x2
f x1 xn
f x2 x1
f x2 x2
f x2 xn
f xn x1
f xn x2
f xn xn
∂f
= 0,
∂x2
xn )
xn )
∂f
=0
∂xn
= Matrix der zweiten Ableitungen
dann gilt:
∂f
= 0,
∂x1
∂f
= 0,
∂x2
∂f
=0
∂xn
Maximum
Alle Eigenwerte von A sind negativ
∂f
= 0,
∂x1
∂f
= 0,
∂x2
∂f
=0
∂xn
Minimum
Alle Eigenwerte von A sind positiv
Bsp1: Die Funktion p ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 5 gebe den Druck eines Gases im Punkt ( x, y, z ) an.
An welchen Stellen ist der Druck extremal?
px = 2 x − 2 = 0
x =1
py = 2 y − 4 = 0
y=2
in (1, 2, 0 ) Extrenum
z=0
pz = 2 z = 0
pxx
A = pxy
pzx
pxy
p yy
pzy
pxz
2 0 0
p yz = 0 2 0
pzz
0 0 2
2−λ
det ( A − λ E ) = 0
0
0
2−λ
0
0
3
0 = (2 − λ ) = 0
2−λ
λ =2>0
Minimum
Bsp2: Eine Kiste, die 1m 3 fassen soll und oben offen ist, soll so ausgelegt werden, dass der Materialverbrauch minimal ist.
Fläche: A = x ⋅ y + 2 xz + 2 yz = Min
1
z=
Nebenbedingung: V = x ⋅ y ⋅ z = 1
x⋅ y
1
1
2 2
A = x⋅ y + 2⋅ x⋅
+ 2⋅ y ⋅
= x ⋅ y + + = Min
x⋅ y
x⋅ y
y x
2
∂A
= y− 2 =0
x
∂x
2
∂A
= x− 2 =0
y
∂y
x = 1, 26
y = 1, 26
1
z=
= 0, 63
x⋅ y
M =
Axx
Ayx
Axy
Ayy
det ( A − λ E ) =
=
x2 ⋅ y = 2
x2 y = 2
x ⋅ y2 = 2
x2 y4 = 4
4 x −3
1
2−λ
1
1
4 x −3
1
=0
2−λ
=
y3 = 2
y=32
3
2−
2
=0
x2
x=32
2 1
(1,26|1,26 )
1 2
(2 − λ )
2
−1 = 0
Seite 118
λ 2 − 4λ + 3 = 0
λ1,2 =
1
3
λ1,2 > 0
Min
VIII MEHRFACHE INTEGRALE
1
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ANALYSIS
Zweifache Integrale
VIII MEHRFACHE INTEGRALE
1
Zweifache Integrale
1.1
Einführung
Bsp1: u ( x, y ) = 3 x 2 − 4 y
1
u ( x, y ) dx =
0
b
1
(3x2 − 4 y ) dx = 3
0
x3
− 4 yx
3
1
= 1− 4y = f ( y)
0
u ( x, y ) dx = F ( y )
a
Bsp2: s ( x, y ) = 3x 2 − y
1
( 3x2 − y ) dx = 3x2 y −
0
2
f ( x ) dx =
0
2
1
0
( 3x
2
1
= 3x 2 −
0
1
= f ( x)
2
1
1
3x − dx = x 3 − x
2
2
2
=7
2
0
2
y2
2
− y ) dy dx =
0
2 1
( 3x
2
0
− y ) dy ⋅ dx = 7
0 0
Def. 1.1
b d
f ( x, y ) dy ⋅ dx.
Ein zweifaches Integral ist gegeben durch
a c
Dabei wird das innere Integral zuerst ausgerechnet.
1 2
Bsp3:
0 −1
(x
2
− 3xy + y ) dx ⋅ dy =
0
= −
3 y2
+ 3y
2 2
1 2
1
dy ⋅ dx =
Bsp4:
1
0 0
1
= −
0
[ y ]0 dx =
1
2
0
x3
x2
− 3 y + yx
3
2
2
1
8
1 3
− 6y + 2y − − − y − y
3
3 2
dy =
−1
0
1
dy =
0
31
+ 3 = 2, 25
22
2dx = [ 2 x ]0 = 2
1
0
Bsp5: variable Grenzen
sei u ( x, y ) = x ⋅ y
1
x
u ( x, y ) dy ⋅ dx =
0 −x
1
1
x
xy ⋅ dy ⋅ dx =
0 −x
0
1
=
1 y +1
Bsp6:
1 2
1 x3 x 4
x − x 3 ) dx =
−
(
2 3 4
0 2
( x − y ) dx ⋅ dy =
0 0
1
0
1
=
−
0
x2
− yx
2
x
1
=
0
y +1
1
−x
1
=−
0
x
0
( y + 1)
0
0
2
1
dx =
x
x2
− x⋅
dx
2
2
1 1 1
1
−
=
2 3 4
24
⋅ dy =
1 2 1
1 y3 1
y + dy =
+ y
2
2
2 3 2
x
y2
2
1
2
− y ( y + 1) dy =
11 1 1
+ =
23 2 3
Seite 119
1
0
1 2
( y + 2 y + 1) − y 2 − y
2
( −1,5 y + 3) dy
VIII MEHRFACHE INTEGRALE
1
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ANALYSIS
Zweifache Integrale
1.2
Volumenberechnung in kartesischen Koordinaten
Problem: u ( x, y )
Man teile auf der x − y − Ebene ein Gebiet G ab
und projeziere vom Rand des Gebiets auf u ( x, y )
( siehe Abb.)
Man erhält einen zylinderförmigen Körper. Das Volumen dieses Körpers ist gesucht.
Das Gebiet G habe folgende Gestalt ( Normalgebiet )
ψ ( x) ≤ ϕ ( x)
Satz 1.1
Volumenberechnung
Das Volumen vom Normalgebiet G ausgeschnittenem Körpers ( Abb ) beträgt:
V=
b ϕ ( x)
a ψ ( x)
u ( x, y ) dy ⋅ dx
Bew:
V = ∆x ⋅ ∆y ⋅ u ( x1 , y1 ) + ∆x ⋅ ∆y ⋅ u ( x1 , y2 ) + ∆x ⋅ ∆y ⋅ u ( x1 , y2 ) +
u ( x1 , y j ) ∆y + ∆x ⋅
= ∆x ⋅
j
u ( x j , y j ) ∆y ∆x
=
j
j
u ( x2 , y j ) ∆y +
j
( )
f x j ∆x →
j
−
=
∆x →∞
f ( x ) dx
j
−
( Summe aller Säulen )
u ( x j , y j ) dy ∆x =
− −
− −
u ( x j , y j ) dy ⋅ dx
Bsp1: u ( x, y ) = xy 2
Schnittpunkt ( für die Grenzen ) : 2 x = x 2
2 2x
V=
2
xy ⋅ dy ⋅ dx =
2
0 x2
=
0
5
8
8x 1x
−
3 5 3 8
2
=
0
y3
x
3
5
2x
2
dx =
x2
x
0
x=2
8x3
x6
−x
dx =
3
3
2
0
8 4 1 7
x − x dx
3
3
8
82 12
−
= 6, 4
3 5 3 8
Bsp2: u ( x, y ) = y 2
2 1
V=
2
y 2 ⋅ dy ⋅ dx =
0 0
0
Seite 120
y3
3
1
2
dx =
0
0
1
1 2 2
dx = [ x ]0 =
3
3
3
x y 21
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1
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ANALYSIS
Zweifache Integrale
Bsp3: Volumen eines Zylinders
u ( x, y ) = h
x2 + y 2 = r 2
r
V=
r 2 − x2
r
− r − r 2 − x2
=
x
=sin ϕ
r
dx = r cos ϕ ⋅ d ϕ
r
[ hy ]−
h ⋅ dy ⋅ dx =
−r
⋅ dx = h
−r
) (
r 2 − x2 − − r 2 − x2
))
r
r
dx = 2h
r 2 − x 2 dx = 2h r 1 −
−r
π
π
2
π
1
1 − sin ϕ ⋅ r ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ = 2hr cos ϕ ⋅ dϕ
2hr
=
1
2
2
cos ϕ = (1+ cos 2ϕ )
π
2
2
2hr
−
2
2
−
1
= r 2 h ϕ + sin 2ϕ
2
2
−
2
2
2
π
1
π 1
+ ⋅0 − − + ⋅0
2 2
2 2
= r2h
π
−r
x
r
2
⋅ dx
π
2
2
π
Satz 1.2
((
y = ± r 2 − x2
−
π
(1 + cos 2ϕ ) dϕ
2
= r 2π h
2
Flächenberechnung
Die von den Kurven y = f ( x ) und y = g ( x ) eingeschlossene Fläche ist:
A=
b f ( x)
a g ( x)
u ( x, y ) dy ⋅ dx
Bew: Volumen mit h = 1
b f ( x)
V=
1 ⋅ dy ⋅ dx = A ⋅1 = A
a g ( x)
Bsp4: Welche Fläche wird von den Kurven y = x 2 und y = 4 eingeschlossen?
Nullstellen:
x2 = 4
x = ±2
2 4
2
A=
dy ⋅ dx =
−2 x 2
[ y ]x
2
4
−2
x3
⋅ dx = ( 4 − x ) dx = 4 x −
3
−2
2
= 4⋅2 −
2
2
−2
8
8
− −4 ⋅ 2 + = 10, 667
3
3
Bsp5:
1 ex
1
A=
dy ⋅ dx =
0e
Satz 1.3
b d
u ( x, y ) dy ⋅ dx =
a c
−x
[ y ]e
1
ex
dx =
−x
0
d b
(e
0
u ( x, y ) dx ⋅ dy
c a
( gilt nicht bei variablen Grenzen )
b d
V=
Bew:
u ( x, y ) dy ⋅ dx
a c
d b
V=
u ( x, y ) dx ⋅ dy
c a
Variable Grenzen
1 x
1
1 ⋅ dy ⋅ dx =
1
0
x 1
x
[ x ]0 dy =
x
1 ⋅ dx ⋅ dy =
0
1 2
1
x =
2 0 2
dy = [ y ]0 = x
x
1
0
1
x ⋅ dx =
x
0 0
0 0
[ y ]0 dx =
0
Seite 121
x
− e− x ) dx = e x + e − x
1
0
= ( e1 + e −1 ) − (1 + 1) = 1, 086
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Zweifache Integrale
1.3
Volumenberechnung in Zylinderkoordinaten
Zylinderkoordinaten
Umrechnung: x = r ⋅ cos ϕ
y = r ⋅ sin ϕ
z=z
Fläche in Zylinderkoordinaten: z = f ( r , ϕ )
Volumenberechnung:
Normalgebiet (Grundfläche)
z = f ( r,ϕ )
Satz 1.4
Volumen in Zylinderkoordinaten
Das durch die Funktion z = 0; z = f ( r , ϕ ) ; r = g1 (ϕ ) ; r = g 2 (ϕ )
eingeschlossene Volumen ( siehe Abbildung ) beträgt
V=
ϕ 2 g 2 (ϕ )
ϕ1 g1 (ϕ )
Bew:
f ( r , ϕ ) r ⋅ dr ⋅ dϕ
∆a = ∆r ⋅ ∆ϕ ⋅ r
∆V = ∆a ⋅ f ( ri , ϕ j ) = ∆r ⋅ ∆ϕ ⋅ r ⋅ f ( ri , ϕ j )
∆u = α ⋅ r
V≈
∆V =
i
j
f ( ri , ϕ j ) ⋅ ri ⋅ ∆r ⋅ ∆ϕ
f ( r , ϕ ) r ⋅ dr ⋅ dϕ
Bsp1: Kugelvolumen
z = R 2 − r 2 = Halbkugel Radius R
V=
2π R
0 0
=2
2π
0
R 2 − r 2 ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ
=
z = R2 − r 2
1
−
1
dz = R 2 − r 2 2 ⋅( −2 r ) dr
2
r
=−
⋅ dr
R2 − r 2
r ⋅ dr =− zdz
(
)
2π 0
2
z ⋅ ( − z ⋅ dz ) ⋅ dϕ = 2
0 R
1 3
2
4
2π
R ⋅ dϕ = R 3 [ϕ ]0 = π R 3
3
3
3
Seite 122
Normalgebiet:
2π R
0 0
z 2 dz ⋅ dϕ = 2
2π
0
z3
3
R
⋅ dϕ
0
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Zweifache Integrale
Bsp2: Aus der Kugel (Bsp1) soll ein Gebiet ausgeschnitten werden im Sinne der Abbildung
Normalgebiet:
cos ϕ =
r
R
r = R ⋅ cos ϕ
π
f ( r , ϕ ) r ⋅ dr ⋅ dϕ = 2
V =2
=2
z 2 ⋅ dz ⋅ dϕ = 2
0 R 1− cos ϕ
=
1
R3
π − 2 0 − −1 +
3
3
=
sin 3 ϕ ⋅ dϕ
Nebenrechnung:
=
z = R2 − r2
r ⋅dr =− z ⋅ dz ( Bsp1)
2
R 2 − R 2 ⋅cos 2 ϕ
0
R
2
π
R
dϕ = 2
R ⋅sin ϕ
2
0
z ( − z ⋅ dz ) ⋅ dϕ
π
π
2
R 3 R 3 sin 3 ϕ
R3
R3 2 3
sin ϕ ⋅ dϕ
−
dϕ = 2
dϕ − 2
3
3
3 0
0 3
2
0
π
2 3 π
1
R3
− cos ϕ + cos3 ϕ
R ⋅ − 2⋅
3
2
3
3
siehe
Nebenrechnung
=
z3
3
2
0
2
2
0
π
R
2
R − r ⋅ r ⋅ dr ⋅ dϕ
2
0
π
π
2 R ⋅cos ϕ
π
2
1
R3
= R3 ⋅ − 2
− cos ϕ + cos 3 ϕ
3
2
3
3
π
2
0
4
R3
π−
3
3
(1 − z ) ( −dz ) = −
=
2
z = cos ϕ
dz =− sin ϕ ⋅d ϕ
z−
1
z3
= − cos ϕ + cos 3 ϕ + c
3
3
Bsp3: Gesucht ist die Fläche des Kreisabschnitts
A = Normalgebiet
V = Volumen über A mit Höhe 1
V=
− −
f r , ϕ r ⋅ dr ⋅ dϕ =
− −
Satz 1.5
A=
− −
− −
r ⋅ dr ⋅ dϕ = A ⋅1 = A
− −
1
− −
r ⋅ dr ⋅ dϕ = Fläche eines Normalgebiets
− −
r ⋅ dr ⋅ dϕ ist die Fläche, des durch die Grenzen deffinierten Normalgebiets
− −
Bsp3: Fortsetzung
x=a
x = r ⋅ cos ϕ
y = r ⋅ sin ϕ
Polarkoordinaten
α
A=
2
−
=
α
R
r ⋅ dr ⋅ dϕ =
α
a
2 cos ϕ
−
α
R2 α
− −
2 2
2
r2
2
2
α
2
α
R
dϕ =
a
cos ϕ
r ⋅ cos ϕ = a
2
−
α
r=
a
cos ϕ
α
1
R2 1 a
R2
−
ϕ − a 2 tan ϕ
dϕ =
2
2 2 cos ϕ
2
2
2
1
α
a
− a 2 tan − tan −
2
2
2
=
tan x =− tan ( − x )
2
−
α
2
α R2
α
R2
a2
α − 2 tan = α − a 2 tan
2
2
2
2
2
Vereinfachung:
cos
α
2
=
a
R
a = R ⋅ cos
α
2
α
R2
α
α R2
α sin 2
R2
α
α
A=
α − R 2 ⋅ cos 2 ⋅ tan =
α − 2 cos 2
=
α − 2cos ⋅ sin
2
2
2
2
2 cos α
2
2
2
2
R2
A=
[α − sin α ]
( 2⋅sin ϕ ⋅cos ϕ = sin 2ϕ )
2
Seite 123
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Raumintegrale und mehrfache Integrale
2
Raumintegrale und mehrfache Integrale
2.1
Beispiele
1 2
Bsp1: I =
x2 + y2 +
0 0
x2 + y 2 +
y
4 x
1
=
3
1
(x
1
dy ⋅ dx
3
2
0
4 x
( x ⋅ y − z ) dz ⋅ dy ⋅ dx =
Bsp2:
xyz −
0 −x x− y
0 −x
4 x
=
2 xy 2 − xy +
0 −x
4
=
2x
0
4
0
b d f h
Bsp3:
(x
2
1
z
3
1 2 1
I=
4 x
dy ⋅ dx =
xy 2 −
0 −x
x− y
4
2x
0
(x
2
+ y 2 + z 2 ) dz ⋅ dy ⋅ dx
0 0 0
0
y
3
1 2
x − x 2 y dy ⋅ dx =
2
( x − y)
y2
− xy ( x − y ) −
2
2
4
=
0
2
dy ⋅ dx =
x
y3
y2 1
y2
− x + x2 y − x2
3
2 2
2
dx
−x
x3
x2 1
x2
x3
x2 1
x2
− x + x2 ⋅ x − x2
− −2 x − x − x 2 x − x 2
3
2 2
2
3
2 2
2
4 4
4 x5 x 4
x + x3 dx =
+
3
3 5
4
=
z3
3
+ y 2 + z 2 ) dz = x 2 z + y 2 z +
dx
4 45 4 4
+
= 337, 07
3 5 4
− y 2 + z 2 − w2 ) dw ⋅ dz ⋅ dy ⋅ dz
a c e g
Anmerkung: Ein n − faches Integral wird berechnet, indem man jeweils das innere Integral ausrechnet,
solange bis alle Integralwerte ermittelt sind.
1 x x− y
1 x
xyz ⋅ dz ⋅ dy ⋅ dx =
Bsp4:
0 0
0
z2
2
xy
0 0
x− y
1 x
dy ⋅ dx =
0
1 x
1 x
1
1
2
xy ( x − y ) dy ⋅ dx =
xy ( x 2 − 2 xy + y 2 ) dy ⋅ dx
200
200
1
1
1
y2
y3
y4
=
x 3 y − 2 x 2 y 2 + xy 3 ) dy ⋅ dx =
x3
− 2 x2
+x
(
200
20
2
3
4
1 1 2 1
=
− +
2 2 3 2
(a)
Volumenberechnung
u ( x, y ) dy ⋅ dx =
α 0
dz ⋅ dy ⋅ dx =
− − −
dz ⋅ dy ⋅ dx
− − −
0
x y+ x
V=
dz ⋅ dy ⋅ dx =
0 0 x− y
V
dv
dv
Volumenberechnung:
(b)
β b u ( x, y )
α 0
1
Bsp:
0
1 x5 2 5 x 5
− x +
dx
20 2 3
4
1 1 2 1 1
x 5 dx =
− +
2 2 3 4 6
0
Anwendungen in der Mechanik
β b
1
dx =
1
2.2
V=
x
V=
K
K = Körper; dv = dz ⋅ dy ⋅ dx
dv
( Raumelement )
Massenberechnung
gegeben: Körper
Körper in kleine Würfel unterteilen
Volumen eines Würfels:
dv = dz ⋅ dy ⋅ dx
Masse eines Würfels:
ρ ⋅ dv = ρ ( x, y, z ) dz ⋅ dy ⋅ dx
Gesamtmasse = M =
ρ ( x j , yi , zk ) dzk ⋅ dy j ⋅ dxk
i
Massenberechnung für Körper K
j
k
M =
( ρ = ρ ( x, y, z ) = Dichte )
→
dv → 0
dv
K
Seite 124
ρ ⋅ dv
( ρ = Dichte )
K
ρ ( x, y, z ) dz ⋅ dy ⋅ dx
=
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Raumintegrale und mehrfache Integrale
Bsp: Ein Aluminiumwürfel der Kantenlänge 10cm soll einen paraboidförmigen Aufsatz erhalten (Abbildung).
Man berechne diese Masse des entstehenden Köpers.
z ( x, y ) = a − α x 2 − β y 2
Paraboloid:
α=β
Symmetrie:
Berechnung von a und α :
z ( 0, 0 ) = 13 = a − α 02 − β 02
a = 13
z ( 5,5 ) = 13 − α 5 − α 5 = 10
2
α = 0, 06
2
z ( x, y ) = 13 − 0, 06 ( x + y
2
2
)
Masse: (aus Grundfläche grenzen ablesen)
M =
K
(
2
2
5 5 13 − 0,06 x + y
ρ ⋅ dv =
−5 −5
M =
−5 −5
[ 2, 7]0
(
13 − 0,06 x + y
2
)
13
2
) ⋅ dy ⋅ dx =
5 5
−5 −5
5 5
5
= 2, 7
13 ⋅ 5 − 0, 06 x 2 ⋅ 5 − 0, 06
−5
5
= 2, 7
−5
(c)
(130 − 0, 6 x
ρ = 2, 7
2, 7 ⋅ dz ⋅ dy ⋅ dx
2
(
g
cm3
)
2, 7 13 − 0, 06 ( x 2 + y 2 ) dy ⋅ dx = 2, 7
5
13 y − 0, 06 x 2 y − 0, 06
−5
125
125
− −13 ⋅ 5 + 0, 06 x 2 ⋅ 5 + 0, 06
3
3
dx
− 0, 02 ⋅125 ⋅ 2 ) dx = 3240 g = 3, 24kg
Berechnung von Schwerpunkten
(1)
zwei Massenpunkte
m x + m2 x2
xs = 1 1
m1 + m2
(2)
ys =
m1 y1 + m2 y2
m1 + m2
zs =
m1 z1 + m2 z2
m1 + m2
n Massenpunkte
n
xs =
j =1
ys =
n
j =1
(3)
n
mj ⋅ xj
mj
j =1
n
mj ⋅ y j
zs =
n
j =1
mj
j =1
mj ⋅ z j
n
j =1
mj
Unterteilung des Körpers in Würfel ∆v
∆v = ∆zi ⋅ ∆y j ⋅ ∆xk
Körper
Jeder Würfel = Massenpunkt mit Masse ρ ⋅ ∆v
mk
ρ ⋅ ∆zi ⋅ ∆y j ⋅ ∆xk ⋅ xk
xs =
k
j
i
M
=
1
M
ρ ⋅ ∆zi ⋅ ∆y j ⋅ ∆xk ⋅ xk
k
j
1 K
=
x ⋅ ρ ⋅ dv
M
Schwerpunktkoordinaten ( xs , ys , z s )
1
M
1
ys =
M
1
zs =
M
xs =
K
x ⋅ ρ ⋅ dv
K
y ⋅ ρ ⋅ dv
K
z ⋅ ρ ⋅ dv
Seite 125
i
→
∆v → 0
1
M
− − −
− − −
ρ x ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
dv
y3
3
5
⋅ dx
−5
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Raumintegrale und mehrfache Integrale
Bsp: gesucht ist der Schwerpunkt eines homogenen Viertelzylinders (Abbildung)
homogen ⇔ ρ = const
h
2
1
xs =
M
zs =
K
ρ
x ⋅ ρ ⋅ dv =
ρ ⋅V
− − −
x ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = ys
− − −
Grundfläche = Normalgebiet
x2 + y 2 = r 2
x = r 2 + y2
1
xs =
V
=
h r
0 0
r 2 − y2
0
h
1
x ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz =
V
h r
0 0
x2
2
r 2 − y2
0
h
1
=
V
h r
1 2
1
r − y 2 ) dy ⋅ dz =
(
2V
0 0 2
h
y3
r y−
3
0
y3
r3
1 2 3
1 3 h r3h
dz =
r dz =
r [ z ]0 =
h = 0, 424r
=
3
2V 3 0
3V
3V V = 1 π r 2 h 3 r 2π h
0
4
4
h
s = 0, 424r ;0, 424r ;
2
1
2V
r3 −
Seite 126
r
2
dz
0
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Raumintegrale in Kugelkoordinaten
3
Raumintegrale in Kugelkoordinaten
Kugelkoordinaten:
x = r ⋅ sin θ ⋅ cos ϕ
y = r ⋅ sin θ ⋅ sin ϕ
z = r ⋅ cos θ
K
Raumintegral:
f ⋅ dv
dv = Volumenelement = dx ⋅ dy ⋅ dz
dv in Kugelkoordinaten
dv = dr ⋅ dA
dA = ?
dA ≈ a ⋅ b
=
b = r ⋅ dθ
a = r ⋅d ϕ ⋅sin θ
r 2 ⋅ dθ ⋅ dϕ ⋅ sin θ
dv = r 2 sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ ⋅ dr
Volumenelement bei Kugelkoordinaten
dv = r 2 sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ ⋅ dr
( R = Kugelradius )
Bsp1: Kugelvolumen
V=
K
dv =
R 2π π
r 2 sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ ⋅ dr =
0 0 0
=2
R 2π
R 2π
r 2 [ − cos θ ]0 dϕ ⋅ dr =
π
0 0
r 2 dϕ ⋅ dr = 2
0 0
R
r 2ϕ
2π
0
R
3
r
3
dr = 2 r 2 ⋅ 2π ⋅ dr = 4π
0
0
Bsp2: Eine Kugel mit dem Radius R habe die Dichte ρ ( x, y, z ) =
M =
K
ρ ⋅ dv =
R 2π π
0 0
=
R 2π
1 2
r sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ ⋅ dr ) =
2 (
r
0
R
r 2 − ( −1) − ( −1) dϕ ⋅ dr
0 0
R
0
R 2π
R 2π π
4
= π R3
3
1
1
= 2 . Man berechne die Masse (z.B. Stern)
2
2
x +y +z
r
2
sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ ⋅ dr =
0 0 0
R 2π
[ − cosθ ]0 dϕ ⋅ dr
π
0 0
R
− ( −1) − ( −1) dϕ ⋅ dr = 2 [ϕ ]0 dr = 4π dr = 4π R
0 0
2π
0
0
Bsp3: Gesucht sind die Schwerpunktkoordinaten einer Halbkugel
S = ( xS , yS , z S )
xS = yS = 0
zS = ?
π
1
zS =
M
1
ρ ⋅ z ⋅ dv =
M = ρ ⋅V ρ ⋅ V
V
V
π
1
=
V
R 2π 2
0 0 0
1
u =sin θ
V
du = cosθ ⋅ dθ
=
1
1
π r4
2π
r 3 [ϕ ]0 dr =
r 3 2π ⋅ dr =
2V 0
2V 0
V 4
R
=
r 3 ⋅ cos θ ⋅ sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ ⋅ dr
R
R 2π 2
1
ρ ⋅ z ⋅ dv =
z = r ⋅cos θ V
R 2π 1
=
0
r 3u ⋅ du ⋅ dϕ ⋅ dr =
0 0 0
R
r ⋅ cos θ ⋅ r 2 sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ ⋅ dr
0 0 0
π
1
V
R4 3
= R = zS
2
8
3 4
π ⋅R
3
Seite 127
R 2π
r3
0 0
u2
2
1
dϕ ⋅ dr
0
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Die Guldin’sche Regel
4
Die Guldin’sche Regel
Schwerpunkt eines Körpers = ( x0 , y0 , z0 ) ist
Wiederholung:
1
V
1
y0 =
V
1
z0 =
V
z.B. dünne Platte
x0 =
Bsp:
Def. 4.1
K
x ⋅ dv
K
y ⋅ dv
K
z ⋅ dv
Der Schwerpunkt der zwischen y = f ( x ) und der x − Achse, sowie x = a und x = b liegende Fläche
hat die Koordinaten mit
x0 =
y0 =
Satz 4.1
b f ( x)
1
Aa
x ⋅ dy ⋅ dx
0
b f ( x)
1
Aa
y ⋅ dy ⋅ dx
0
Guldin’sche Regel
f ( x ) ≥ 0, stetig
y0 = y − Koordinaten des Schwerpunktes der Fläche ( Def 4.1)
A = Flächeninhalt
V = Volumen des Rotationskörpers
( bei Rotation f ( x ) um x − Achse )
V=A ⋅ 2π ⋅ y 0
dann:
b
Bew: V = π f 2 ( x ) dx
0
y0 =
b f ( x)
1
Aa
0
b
y ⋅ dy ⋅ dx =
1
y2
Aa 2
f ( x)
b
dx =
0
1
1 V
f 2 ( x ) dx =
= y0
2A a
2A π
V
π
Bsp1: Gesucht ist der Schwerpunkt einer Halbkreisplatte mit Radius r.
4 3 r 2π
V = A ⋅ 2π ⋅ y0
.2π ⋅ y0
πr =
3
2
Seite 128
y0 =
4π r 3 ⋅ 2
4r
4
r = 0, 43r
=
=
3 ⋅ 2π ⋅ π r 2 3π 3π
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
1
Ebene Kurven in kartesischen Koordinaten
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
IX DIFFERENTIALGEOMETRIE
1
Ebene Kurven in kartesischen Koordinaten
1.1
Die Bogenlänge
Berechnung der Länge (Bogenlänge) einer Kurve y = f ( x )
s ( x ) = Länge der Kurve bis x
s (a) = 0
s ( b ) = Gesamtlänge
∆s 2 = ∆x 2 + ∆y 2
∆s = ∆x 2 + ∆y 2
∆s
∆y
1
=
∆x 2 + ∆y 2 = 1 +
∆x ∆x
∆x
ds
= 1 + y ′2
dx
∆x → 0
b
a
ds
dx =
dx
2
b
L
1 + y ′2 ⋅ dx ds = L
a
0
Satz 1.1
Sei y = f ( x ) eine Kurve ( f ( x ) differenzierbar ) für a ≤ x ≤ b
b
1 + y ′2 ⋅ dx = Kurvenlänge ( Bogenlänge )
L=
a
Bsp1: Kreisumfang
( Einheitskreis: r = 1)
1
y = 1 − x 2 = (1 − x 2 ) 2
x2 + y 2 = 1
1
1 + y ′2 ⋅ dx =
LHalbkreis = L =
−1
1
=
−1
dx
1 − x2
2 3
x
3
2 2
y = x3
3
Bsp2: y =
1
1
−
1
−x
1 − x 2 ) 2 ( −2 x ) =
(
2
1 − x2
1 − x2 + x2
x2
⋅
dx
=
⋅ dx
1 − x2
1 − x2
−1
1
1+
−1
= [ arcsin x ]−1 = arcsin1 − arcsin ( −1) = π
1
( 0 ≤ x ≤ 2)
1
y′ = x 2 = x
2
Kurvenlänge: L =
1 + y ′ ⋅ dx =
2
2
0
1.2
y′ =
0
3
1
2
2 32
1 + x ⋅ dx = z dz =
x
z =1+ x
3
dz = dx 1
3
=
1
2
3
27 − 1 = 2,8
Tangente und Normale
Satz 1.2
Seien y = f ( x ) ; y = g ( x ) Kurven. Kurven schneiden sich bei x = x0 im rechten Winkel, falls
(1)
f ( x0 ) = g ( x0 )
(2)
f ′ ( x0 ) = −
1
g ′ ( x0 )
Seite 129
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
1
Ebene Kurven in kartesischen Koordinaten
Bew:
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
sin α
cos α
sin β
g ′ ( x0 ) = tan β =
cos β
f ′ ( x0 ) = tan α =
f ′ ( x0 ) = −
1
g ′ ( x0 )
sin α
cos β
=−
cos α
sin β
sin α ⋅ sin β = − cos α ⋅ cos β
sin α ⋅ sin β + cos α ⋅ cos β = 0 = cos (α − β )
α − β = 90° = Schnittwinkel
Tangente und Normale
Satz 1.3
Sei y = f ( x ) eine Kurve
y = y0 + y ′ ( x0 )( x − x0 ) Tangente an ( x0 , y0 )
y = y0 −
Bew: Tangente:
1
( x − x0 ) Normale an ( x0 , y0 )
y ′ ( x0 )
(1)
(2)
Normale:
geht durch ( x0 , y0 )
y ′ ( x0 ) = Steigung der Gerade
(1)
geht durch ( x0 , y0 )
(2)
Steigung =
1
y ′ ( x0 )
senkrecht zur Tangente ( Satz 1.2 )
Bsp1: Man bestimme Tangente und Normale von y = sin x in x = 0
Tangente: y = 0 + cos 0 ( x − 0 )
Normale: y = 0 −
Satz 1.4
y=x
1
( x − 0)
cos 0
y = −x
Schnittwinkel zweier Kurven
Seien y = f ( x ) ; y = g ( x ) zwei Kurven; Schnittpunkt bei x = x0
Schnittwinkel: tan γ =
γ =α − β
Bew:
f ′ ( x0 ) − g ′ ( x0 )
1 + f ′ ( x0 ) ⋅ g ′ ( x0 )
(α , β
= Tangentenwinkel )
sin α ⋅ cos β sin β ⋅ cos α
−
sin α ⋅ cos β − sin β ⋅ cos α cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β
tan γ = tan (α − β ) =
=
=
sin α ⋅ sin β
cos (α − β ) cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
1+
cos α ⋅ cos β
f ′ ( x0 ) − g ′ ( x0 )
tan α − tan β
=
=
1 + tan α ⋅ tan β 1 + f ′ ( x0 ) ⋅ g ′ ( x0 )
sin (α − β )
Bsp:
Unter welchem Winkel schneiden sich die Kurven sin x und cos x
sin x0 = cos x0
sin x0
= 1 = tan x0
cos x0
x0 =
π
4
Seite 130
( 45° )
; tan α =
cos
π
4
+ sin
π
4 = 2,83
π
1 − sin ⋅ cos
4
4
π
α = 70,5°
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
1
Ebene Kurven in kartesischen Koordinaten
1.3
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Krümmung einer Kurve
Krümmung
Def. 1.1
Bsp:
κ ( x) = κ =
Änderung des Tangentenwinkel
dα
= Krümmung bei x
ds
α = Tangentenwinkel
κ =0
Gerade
Satz 1.5
Ein Kreis mit dem Radius r hat überall die Krümmung κ =
1
r
Bew:
κ=
Bsp:
α
s
=
s = r ⋅α
α
1
=
r ⋅α r
Krümmungskreis
κ ( x) =
Def. 1.2
y = f ( x);
Satz 1.6
dα 1
=
ds r
( f ( x ) differenzierbar )
κ ( x ) = Krümmung
(1)
κ = Krümmungskreis an der Stelle x ⇔ κ hat Radius r und | κ ( x ) |=
(2)
r = Krümmungsradius
y = f ( x ) Kurve
κ ( x) =
y ′′
1 + y ′2
3
y ′ = tan α = tan α ( x )
Bew:
y ′′ = (1 + tan 2 α ( x ) )
x
Satz 1.1: s ( x ) =
a
(1 + y′ ) ⋅ κ ⋅
2
dα
dα ds
ds
= (1 + tan 2 α )
= (1 + y ′2 ) ⋅ κ ( x ) ⋅
ds
ds dx
dx
ds
1 + y ′2 ⋅ dx
= 1 + y ′2
dx
1 + y ′2 = y ′′
κ=
y ′′
(1 + y′ ) ⋅
2
1 + y′
Anmerkung:
3
r=
1
|κ |
=|
1 + y ′2
|
y ′′
Bsp1: Man berechne den Krümmungsradius von y = cos x bei x = 0
κ=
− cos 0
1 + sin 0
2
3
=
−1
1+ 0
3
= −1
r=
1
|κ |
=1
Seite 131
2
=
y ′′
1 + y ′2
3
1
r
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
1
Ebene Kurven in kartesischen Koordinaten
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Bsp2: Krümmung von y = ( x − 1) bei x = 1
2
y ′ = 2 ( x − 1)
y ′′ = 2
2
κ=
=2
3
r=
1
2
1+ 0
Bsp3: wie Bsp2, x = 0
2
2
κ=
=
= 0,179
3
3
2
5
1 + ( −2 )
2
Satz 1.7
Bsp:
1
= 5,59
0,179
y = f ( x ) hat Krümmung κ = κ ( x )
κ ( x) = 0 ⇔
Bew: κ =
r=
y ′′
1 + y ′2
3
y = Gerade
y ′′ = 0 ⇔
=0 ⇔
y′ = a ⇔
y = ax + b = Gerade
Für welches x ist die Krümmung der Kurve y = x 2 - 3x + 1 maximal.
κ=
y ′′
1 + y ′2
κ ′ = −2
2
=
3
y ′= 2 x − 3
y ′′ = 2
1 + ( 2 x − 3)
3
2
1 + ( 2 x − 3)
2
Satz 1.8
−
5
2
2
3
= max = 2 1 + ( 2 x − 3)
⋅ 2 ( 2 x − 3) 2 = 0 = −
−
2
12 ( 2 x − 3)
1 + ( 2 x − 3)
2
5
3
2
⇔ 2x − 3 = 0
y = f ( x ) hat in x = x0 Extrenum
κ ( x0 ) > 0 ⇔ Minimum
κ ( x0 ) < 0 ⇔ Maximum
Bew: κ ( x0 ) =
y ′′
1 + y′
=
3 y ′( x ) = 0
0
2
> 0 min
< 0 max
y ′′ ( x0 )
Anmerkung:
Für jedes x gilt:
κ ( x ) > 0 ⇔ Linkskrümmung
κ ( x ) < 0 ⇔ Rechtskrümmung
1.4
Kurvenscharen
Bsp1: y = x + λ
λ = Scharparameter
Bsp2: y = λ ⋅ x
Bsp3: y = − ( x − λ ) + 4
2
y2 = − ( x − λ ) + 4
2
(x −λ)
2
+ ( y − 0 ) = 22
2
Seite 132
x = 1,5
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
1
Ebene Kurven in kartesischen Koordinaten
Bsp4:
x2
λ
2
+
y2
=1
1
Elipse mit Halbachsen λ ,
λ2
Def. 1.3
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
1
λ
Eine Kurve, die in jedem Punkt die Kurve einer Kurvenschar berührt (d.h. gleiche Tangente),
heißt Einhüllende (Enveloppe)
Satz 1.9
Berechnung der Einhüllende
Sei y = f ( x, λ ) Kurvenschar.
Die Einhüllende erhält man, indem man in y = f ( x, λ ) die Lösung λ der Gleichung
d.h.
=0
λ=
∂λ
λ in y = f ( x, λ ) einsetzen
y = f ( x, λ )
y3 − y1 = dy = f x dx + f λ d λ = f x dx
y2 − y1 = d E y
fλ = 0
f x dx + f λ d λ = f x dx
d E y = dy
d E y = f x dx + f λ d λ
fλ = 0
0
Bsp6: y = λ x −
λ
2
λ2
∂y
∂
λx −
=0=
= x−λ = 0
∂λ
∂λ
2
Einhüllende: (1)
(2)
Bsp7:
∂λ
∂f ( x, λ )
(1)
(2)
Bew:
∂f ( x, λ )
x2
λ
2
(1)
+
y2
=1
1
y2 =
λ2
1
λ
2
1−
x2
y = x x−
y=
λ
1
1−
λ
x
1
= x2
2
2
x2
=
λ
11
λλ
λ 2 − x2 =
λ 2 − x2
λ2
1
−
1 2
λ
− x 2 ) 2 ⋅ 2λ ⋅ λ 2 − λ 2 − x 2 ⋅ 2λ λ 3 − 2λ ( λ 2 − x 2 ) λ 2 − 2 ( λ 2 − x 2 )
(
∂y 2
=
=
=
∂λ
λ4
λ 4 λ 2 − x2
λ 3 λ 2 − x2
=
(2)
λ = x einsetzen
λ=x
1
−
2 λ 2 − x2
λ3
λ λ 2 − x2
λ 2 − 2λ 2 + 2 x 2 = 0
1
=0
λ
−
2
λ3
(λ
2
− λ 2 + 2 x2 = 0
− x2 ) = 0
1
λ
−
2
λ
+
2 x2
λ3
λ = 2x
λ einsetzen
x2
y2
+
=1
1
2 x2
2 x2
y2
1 1
= 1− =
1
2 2
2 x2
y2 =
Seite 133
1 1
1
⋅ 2 = 2
2 2x
4x
y=
1
2x
=0
=0
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
2
Ebene Kurven in Vektordarstellung
2
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Ebene Kurven in Vektordarstellung
Bsp1: s ( t ) =
x (t )
cos t
=
y (t )
sin t
−
π
2
≤t ≤
π
∞ viele Vektoren
2
Halbkreis in vektorieller Form
Bsp2: s ( t ) =
1+ t
=
−2t
0≤t ≤2
Geradenstrich verktorieller Darstellung
Satz 2.1
Die Endpunkte der Vektoren s ( t ) = a + t ⋅ b
(t ∈ )
liegen auf einer Geraden durch den Endpunkt von a mit der Richtung b .
Bew:
Bsp1: Welche Gerade geht durch den Punkt (1,1) und hat die Steigung − 1?
b=
1
−1
s (t ) =
Satz 2.2
t
1
1
1
+t
=
+
−1
−t
1
1
s (t ) =
1+ t
1− t
Es seien ϕ ( t ) und ψ ( t ) differenzierbar für a ≤ t ≤ b,
dann liegen die Endpunkte aller Vektoren s ( t ) =
Bsp2: s ( t ) =
t
t2
Bsp3: s ( t ) =
sin t
t2
t
x = sin t
t2
ϕ (t )
auf einer Kurve.
ψ (t )
t∈
(t ∈ )
0
0
0
π
4
0,7
0,6
π
2
1
2,3
π
π
0,7
4,1
0
9,2
3
4
Seite 134
−π 4
0,7
0,6
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
2
Ebene Kurven in Vektordarstellung
Def. 2.1
ϕ (t )
ψ (t )
s (t ) =
Satz 2.3
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
s′ ( t ) =
s ( t ) = Kurve
ϕ ′ (t )
ψ ′ (t )
s ′ ( t ) = Tangentenvektor
( d.h. Vektor in Tangentenrichtung )
ϕ (t + h ) − ϕ (t )
ϕ ′ (t )
ϕ (t )
1 ϕ (t + h)
h
Bew: s =
= lim
≈
−
ψ ′ ( t ) h→0 ψ ( t + h ) − ψ ( t )
ψ (t )
h ψ (t + h)
=
1
s (t + h ) − s (t )
h
h
Bsp:
s (t ) =
sin t
cos t
( 0 ≤ t ≤ 2π )
Tangentenvektor
cos t
− sin t
s′ ( t ) =
Satz 2.4
b
L = Kurvenlänge ( Bogenlänge ) für die Kurve s ( t ) mit a ≤ t ≤ b
L = | s ′ ( t ) | ⋅ dt
a
Bew: Sei s ( t ) =
ϕ (t )
x (t )
=
ψ (t )
y (t )
Satz 1.1:
β
L=
1 + y ′2 ⋅ dx =
α
b
=
β
α
b
ϕ ′2 + ψ ′2 ⋅ dt = |
a
Bsp:
dy
1+
dx
a
β
2
⋅ dx =
α
dy dt
⋅
1+
dt dx
2
b
⋅ dx =
b
ϕ ′ (t )
| ⋅dt = | s ′ ( t ) | ⋅dt
ψ ′ (t )
a
Kreisumfang
Kreis: s ( t ) =
s′ ( t ) = r
L=
2π
0
r ⋅ sin t
r ⋅ cos t
( 0 ≤ t ≤ 2π )
cos t
− sin t
| s ( t ) | ⋅dt =
2π
0
r ⋅ cos 2 t + sin 2 t ⋅ dt =
2π
r ⋅ dt = 2rπ
0
Seite 135
a
dy
1 + dt
dx
dt
2
dx
⋅ ⋅ dt =
dt
b
a
ψ ′ (t )
1+
ϕ ′ (t )
2
⋅ ϕ ′ ( t ) ⋅ dt
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
3
Parameterdarstellung einer Kurve
3
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Parameterdarstellung einer Kurve
s (t ) =
ϕ (t )
= Kurve
ψ (t )
x = ϕ (t )
y = ψ (t )
a≤t ≤b
(a ≤ t ≤ b)
Parameterdarstellung ( t = Parameter )
t ⋅ cos t
t ⋅ sin t
y=
2π
2π
Kurvenlänge = L = ?
Bsp1: x =
s=
ϕ (t )
ψ (t )
( 0 ≤ t ≤ 4π )
(Spirale um Nullpunkt – zwei Umdrehungen)
b
L = | s ′ ( t ) | ⋅dt
a
b
Kurvenlänge in Parameterdarstellung L =
ϕ ′2 + ψ ′2 ⋅ dt
a
Kurvenlänge in Bsp1:
L=
4π
ϕ ′2 + ψ ′2 ⋅ dt =
0
1
=
kürzt sich raus 2π
2
2
4π
1
t ⋅ cos t ′
t ⋅ sin t ′
+
⋅ dt =
2π
2π
0 2π
4π
0
4π
0
(
1
t ⋅ 1 + t 2 + ln t + + 1 + t 2
Tabelle 2π
1 + t 2 ⋅ dt =
Seite 136
)
( cos t − t ⋅ sin t )
4π
0
= 12,86
2
+ ( sin t + t ⋅ cos t ) dt
2
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
4
Raumkurven
4
Raumkurven
4.1
Raumkurven in Vektordarstellung
Satz 4.1
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Es seien u ( t ) , v ( t ) , w ( t ) für a ≤ t ≤ b differenzierbare Funktionen, dann liegen die Endpunkte
u (t )
aller Vektoren s ( t ) = v ( t ) auf einer Kurve im dreideimensionalen Raum. t heißt Parameter.
w (t )
sin t
Bsp1: s ( t ) = cos t
t
(0 ≤ t ≤ ∞)
x = sin t
y = cos t
z=t
t
Bsp2: s ( t ) = 0
0
Spirale um die z − Achse
(t ∈ )
x − Achse
Bsp3: s ( t ) = a + tb
= Gerade
a = Aufpunkt
b = Richtung der Geraden
Def. 4.1
u (t )
s (t ) = v (t )
w (t )
Satz 4.2
u′ (t )
s ′ ( t ) = v′ ( t )
w′ ( t )
( a ≤ t ≤ b ) ( Raumkurve )
s ′ ( t ) = Tangentenvektor zu s ( t ) an der Selle t ( Vektor in Tangentenrichtung )
∆s ( t ) = s ( t + h ) − s ( t )
Bew:
∆s ( t )
h
=
s (t + h ) − s (t )
h
→
h→0
s ′ ( t ) = Tangentenvektor
sin t
Bsp4: s ( t ) = cos t
t
cos
π
4
0, 7
t = : s′
= − sin
= −0, 7
4
4
4
1
1
π
Def. 4.2
Beispiele:
π
0
t = : s′
= −1
2
2
1
π
π
π
Es sei t die Zeit und s ( t ) eine Raumkurve, dann heißt s ′ ( t ) Bahnkurve
Bahn eines Planeten
Bahn eines Elektrons
Bahn eines Photon
usw.
Seite 137
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
4
Raumkurven
Satz 4.3
s ( t ) = Bahnkurve
Bew: zeigen:
(1)
(2)
zu (1) klar!
dominik erdmann
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ANALYSIS
s ′ ( t ) = Vektor der Geschwindigkeit
Tangentenvektor
| s ′ ( t ) |= v = Gesschwindigkeit
s ′ ( t ) = lim
zu (2) Beweis Satz 4.2
∆s ( t )
h→0
h
≈
Weg
=v
Zeit
Bsp5: Bewegung eines Punktes auf einer Ellipse.
2π
a ⋅ sin
t
T
2π
Bahnkurve: s ′ ( t ) = b ⋅ cos
t
(T = Umlaufzeit )
T
0
Nachweis, dass Ellipse vorliegt
2π
x
2π
= sin
t
x = a ⋅ sin
t
a
T
T
2π
2π
y
= cos
y = b ⋅ cos
t
t
T
b
T
quadrieren & addieren
x2 y2
+
=1
a 2 b2
Geschwindigkeit:
2π
2π
a⋅
⋅ cos
t
T
T
2π
2π
s ′ ( t ) = −b ⋅
⋅ sin
t
T
T
0
4π 2
2π
4π 2
2π
2π
2π
2π
⋅ cos 2
t + b 2 2 ⋅ sin 2
t=
a 2 cos 2
t + b 2 sin 2
t
2
T
T
T
T
T
T
T
2π
2π a
π
2π
2π b
t = 0 : v1 =
a 2 + 02 =
t = : v2 =
02 + b 2 =
T
T
4
T
T
v =| s ′ ( t ) |= a 2
Bsp6: Kreisbewegung: r = a = b
2π r
v=
T
(in Bsp5)
Satz 4.4
b
s ( t ) = Kurve, a ≤ t ≤ b
Kurvenlänge = L = | s ′ ( t ) | ⋅dt
a
Bew: t = Zeit
b
a
b
a
b
β
ds
⋅ dt = ds = L
ds
v=
α
a dt
| s ′ ( t ) | ⋅dt = v ⋅ dt =
dt
sin t
Bsp7: s ( t ) = cos t ( 0 ≤ t ≤ ∞ ) ( Spirale )
t
Länge einer Windung
cos t
2π
2π
2π
2π
L = | s ′ ( t ) | ⋅dt = | − sin t | ⋅dt =
cos 2 t + sin 2 t + 1 ⋅ dt =
2 ⋅ dt = 2 ⋅ 2π = 8,886
1
0
0
0
0
1
Seite 138
IX
DIFFERENTIALGEOMETRIE
4
Raumkurven
4.2
Raumkurven in Parameterdarstellung
Bsp:
sin t
s ( t ) = cos t
t
x = sin t
y = cos t
z=t
ANALYSIS
( 0 ≤ t ≤ ∞ ) (Spirale )
Parameterdarstellung
Parameterdarstellung von Raumkurven
x = u (t )
y = v (t )
z = w (t )
( a ≤ t ≤ b)
t = Parameter
Tangentendarstellung
x = u′ (t )
y = v′ ( t )
z = w′ ( t )
Seite 139
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
X
VEKTORANALYSIS
1
Vektorfelder
ANALYSIS
X
VEKTORANALYSIS
1
Vektorfelder
Def. 1.1
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Ordnet man jedem Punkt ( x, y, z ) des Raumes einen Vektor v zu, erhält man ein Vektorfeld v ( x, y, z ) .
Ordnet man jedem Punkt ( x, y, z ) der Ebene einen Vektor v zu, erhält man ein ebenes Vektorf. v ( x, y, z ) .
Beispiele:
F ( x, y , z )
(1)
Kraftfeld der Erde
(2)
(3)
E ( x, y , z )
Elektrische Feldstärke
Geschwindigkeitsvektoren in Flüssigkeiten
x
(4)
v ( x, y ) =
x2 + y2
=
y
1
x +y
2
2
x
y
x2 + y2
| v ( x, y, z ) |=
(5)
v=
1
x +y
2
2
⋅ x2 + y 2 = 1
1
y
Anmerkung:
f ( x, y, z ) = skalares Feld
Bsp:
Temperatur, Druck
Def. 1.2
Feldlinien
gegeben: Vektorfeld v ( x, y, z )
(1)
Eine Kurve Γ für die in jedem Punkt ( x, y, z ) der Vektor v ( x, y, z ) ein Tangentenvektor ist,
heißt Feldlinie des Vektorfeldes v ( x, y, z ) .
(2)
Die Dichte der Feldlinien sei proportional zu | v ( x, y, z ) |, d.h.: die Anzahl der Feldlinien,
die zu v ( x, y, z ) senkrechtes Flächenstück der Größe 1 gehen, ist proportional zu | v ( x, y, z ) |
d.h:
Bsp1: Geschwindigkeitsvektoren von Flüssigkeitsteilchen in einer strömenden Flüssigkeiten (in einem Rohr)
Bsp2:
Bsp3:
Seite 140
X
VEKTORANALYSIS
2
Flächenintegral
2
ANALYSIS
Flächenintegral
Def. 2.1
Flächenvektor
Es sei A ein ebenes Flächenstück im Raum. Der Vektor a heißt Flächenvektor, falls
( im Sinne einer Rechtsschraube )
(1)
a⊥A
(2)
| a |= Fläche von A
Beispiele:
(1)
(2)
f = a ×b
Das Vektorprodukt ist ein Flächenvektor
(3)
Welcher Flächenvektor gehört zu dem Dreieck mit den Eckpunkten A = ( 0,1,1) B = (1,1, 2 ) C = ( 2, 2, 4 ) ?
2
1
1
u =C−B= 2 − 1 = 1
4
2
2
e1 e2
1
1
a = (u × v ) = 1 1
2
2
−1 0
Satz 2.1
0
1
−1
v = A− B = 1 − 1 = 0
1
2
−1
e3
−1
1
2 =
−1
2
−1
1
Es sei v ( x, y, z ) ein Vektorfeld und A ein kleines Flächenstück mit dem Flächenvektor a. Dann gilt
a ⋅ v ( x, y , z )
Feldlinien durch A ( x, y, z )
a ⋅ v ( x, y, z ) = Φ = skalarer Fluß
Bew: Dichte Feldlinien | v |=| v ( x, y , z ) |
| v | Anzahl Feldlinien durch senkrechtes Flächenstück mit Fläche A = 1
| v | ⋅ A = Feldlinien durch senkrechte Fläche, Größe A =| v | ⋅ | a |
| v | ⋅ | a | ⋅ cos α = Anzahl Feldlinien durch beliebige Fläche = v ⋅ a = Φ
x
Bsp1: Vektorfeld v ( x, y, z ) = y + x
x+z
gesucht: skalarer Fluß im Punkt x = 1| y = 1| z = 0 durch das Einheitsquadrat der y − z − Ebene
1
a= 0
0
da Vektor des Einheitsquadrats der y - z - Ebene nur in x − Richtung zeigt
1
1
Φ = v ⋅ a = 1+1 ⋅ 0 = 1
0 +1 0
Seite 141
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X
VEKTORANALYSIS
2
Flächenintegral
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ANALYSIS
Vektorfeld = v ( x, y, z ) = Geschwindigkeitsvektoren
Bsp2: strömendes Gas (Flüssigkeit)
Anzahl der Moleküle durch Fläche A in einer Sekunde
L
A ⋅ L = A⋅ | v |=| a | ⋅ | v |
| v |=
1
Anzahl der Teilchen pro Sekunde ist allgemein: | a | ⋅ | v | ⋅ cos α = a ⋅ v = Φ
Anmerkung:
Der skalare Fluß eines Vektorfeldes ist proportional zur Zahl der Feldlinien durch die zugehörige Fläche.
Ist das Vektorfeld ein Geschwindigkeitsfeld ist der skalare Fluß zusätzlich proportional zur Anzahl der Teilchen die pro
Sekunde durch A gehen.
Skalarer Fluß für nichtebene Flächen
(1)
konstruiere Überlagerung ebener Flächenstückchen mit Flächenvektor ∆a j
skalarer Fluß durch ∆a j ist Φ j = v ⋅ ∆a j
(2)
bilde Φ =
v j ⋅ ∆a j
j
(3)
bilde ∆a j → 0
Φ = lim
n →∞
n
j =1
v j ⋅ ∆a j =
A
v ⋅ da =
A
v ⋅ da
Bsp3: v ( x, y, z ) = Vektorfeld: strömendes Gas
F = beliebige Fläche
F
v ⋅ da = Φ
Anzahl der Teilchen durch F (pro Sekunde)
Bsp4: E ( x, y, z ) = elektrisches Feld
F
E ⋅ da
Anzahl Feldlinien durch A
Bsp5:
F
Def. 2.2
E ⋅ da =
F
E ⋅ da
Zahl der Feldlinien, die aus dem Körper austreten
Geschlossenes Flächenintegral
Sei F = geschlossene Fläche
F
v ⋅ da =
Seite 142
F
v ⋅ da
E ⋅ da
Q = Ladung
X
VEKTORANALYSIS
3
Der Integralsatz von Gauß
3
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ANALYSIS
Der Integralsatz von Gauß
v1
v1 ( x, y, z )
v = v2 = v2 ( x, y, z )
v3
v3 ( x, y, z )
Vektorfeld
v ⋅ da = ?
(1)
Fläche in x − y − Ebene
Φ xz = v ⋅ a =| v | ⋅ | a | ⋅ cos α = (| v | ⋅ cos α ) ⋅ | a |= v2 ⋅ ∆x ⋅ ∆z
v2
Φ xz = v2 ⋅ ∆x ⋅ ∆z
analog folgt:
Φ xy = v3 ⋅ ∆x ⋅ ∆y
Φ yz = v1 ⋅ ∆y ⋅ ∆z
(2)
W
v ⋅ da ≈ v1 ( ∆x, ⋅, ⋅) ∆y ⋅ ∆z − v1 ( 0, ⋅, ⋅) ∆y ⋅ ∆z + v3 ( ∆z ) ∆x ⋅ ∆y − v3 ( 0 ) ∆x ⋅ ∆y + v2 ( ∆y ) ∆x ⋅ ∆z − v2 ( 0 ) ∆x ⋅ ∆z
=
v1 ( ∆x ) − v1 ( 0 )
∆x
= ∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z
∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z +
v2 ( ∆y ) − v2 ( 0 )
∆y
∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z +
v3 ( ∆z ) − v3 ( 0 )
∆z
∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
= div v ⋅ ∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z
∂x ∂y ∂z
div v
(3)
Zwei Würfel
v ⋅ da =
W1
v ⋅ da +
W2
v ⋅ da
( Berührseite hebt sich auf )
(4)
Beliebiger Körper
K
Def. 3.1
v ⋅ da ≈
Wj
v ⋅ da
=
W j mit ∆x ⋅∆y ⋅∆z
jkm
div v jkm ( ∆x j ⋅ ∆yk ⋅ ∆zm )
K
∆x j → 0
∆yk → 0
∆zm → 0
Divergenz
v1
v1 ( x, y, z )
v = v2 = v2 ( x, y, z )
v3
v3 ( x, y, z )
Satz 3.1
div v =
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
∂x ∂y ∂z
Integralsatz von Gauß
F
K = Körper mit Oberfläche F und v = Vektorfeld
x
Bsp1: v = y
z
K′
→
K = Einheitskugel
v ⋅ da =
K
div v =
div v ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz =
K
3 ⋅ dv = 3 ⋅
K
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
= 1+1+1 = 3
∂x ∂y ∂z
Seite 143
dv
v ⋅ da =
K
div v ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
div v ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
X
VEKTORANALYSIS
3
Der Integralsatz von Gauß
3x − y
Bsp2: v =
z+x
2
x −3+ y + z
K′
v ⋅ da =
K
K = Körper
div v ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz =
sin y
Bsp3: v =
x 2 − 3z
arctan ( y − x )
W′
v ⋅ da =
W
( Divergenz 0
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ANALYSIS
K
( 3 + 0 + 1) ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = 4 ⋅
K
dv = 4 ⋅ Volumen
K = Einheitswürfel
( 0 + 0 + 0 ) ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = 0 ⋅
Feldlinien ungehindert )
div v ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz =
W
Seite 144
W
dv = 0
X
VEKTORANALYSIS
4
Quellen und Senken
4
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ANALYSIS
Quellen und Senken
Def. 4.1
gegeben: Vektorfeld v ( x, y, z )
Ein Punkt P = ( x0 , y0 , z0 ) im Raum heißt Quelle des Vektorfeldes, falls bei beliebig
(1)
kleinen Volumen die P enthalten mehr Feldlinien herauskommen als hineingehen
( gemessen in Vektorrichtung )
Ein Punkt P = ( x0 , y0 , z0 ) im Raum heißt Senke des Vektorfeldes, falls bei beliebig
(2)
kleinen Volumen die P enthalten mehr Feldlinien hineingehen als herauskommen
( gemessen in Vektorrichtung )
Bsp1: Flüssigkeit
v ( x, y , z )
Geschwindigkeiten
Quelle Senke
Bsp2: Elektrisches Feld
Bsp3:
In P Quelle / Senke?
Feldlinien gehen ungehindert durch
W′
Satz 4.1
v ⋅ da = 0 =
W
keine Quelle / Senke
div v ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
div v = 0 in P ⇔ in P existieren keine Quellen und Senken
Bsp4: Elektrostatik
Bilanz der Feldlinien
V klein
div E =
Q
div E ≈ const
div E ⋅ V
div E
Ladung in V
E ⋅ da
Volumen
div E
Q
( in V )
div E ⋅
V
V
div E ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
dx ⋅ dy ⋅ dz
Q
= ρ = Ladungsdichte
V
ρ
1
ε ⋅ ε0
⋅ρ
Seite 145
Q
=
für alle W
Q
0
X
VEKTORANALYSIS
4
Quellen und Senken
ANALYSIS
Bsp5: Punktladung
Elektrisches Feld:
muß gelten:
div v =
E=
1
4πε 0 r 3
( x, y, z ) ≠ ( 0, 0, 0 )
x
x
1
y =
y
3
4πε 0 x 2 + y 2 + z 2 z
z
div E = 0
∂E1 ∂E2 ∂E3
+
+
∂x
∂y
∂z
3
−
∂E1 ∂
1
∂
x
=
=
⋅
x ( x2 + y2 + z 2 ) 2
3
4πε 0 ∂x
∂x ∂x 4πε x 2 + y 2 + z 2
0
=
1
4πε 0
analog:
(x
2
+ y2 + z2 )
−
3
2
+ x⋅ −
∂E2
1 r 2 − 3 y2
=
⋅
∂x 4πε 0
r5
5
−
3
1
1
x2
1 r 2 − 3x 2
⋅ ( x2 + y2 + z 2 ) 2 ⋅ 2 x
= 1
−3 5 =
⋅
3
πε
πε
2
4
r
r
4
r5
2
2
2 2
0
0
+
+
=
x
y
z
r
(
)
∂E3
1 r 2 − 3z 2
=
⋅
∂x 4πε 0
r5
Bsp6: H = Magnetische Feldstärke
div H = 0
Seite 146
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X
VEKTORANALYSIS
5
Kurvenintegrale (Linienintegrale)
5
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ANALYSIS
Kurvenintegrale (Linienintegrale)
Bsp1: (1)
Arbeit = Kraft ⋅ Weg
W = F ⋅s
(2)
F = Kraftvektor
s = zurückgelegter Weg
cos α =
F0
|F|
W = F0 ⋅ | s |=| F | ⋅ cos α ⋅ | s |=| F | ⋅ | s | ⋅ cos α = F ⋅ s
W = F ⋅s
(3)
F ( x, y, z ) = Vektorfeld ( Kraftvektoren )
Ein Punkt bewege sich entlang der Kurve k und sei der Kraft F unterworfen.
W =?
n
W ≈ F1 ⋅ s1 + F2 ⋅ s2 + F3 ⋅ s3 +
(4)
j =1
Fj ⋅ s j
Die Kurve k sei gegeben durch die vektorielle Darstellung s ( t ) wobei t ein Parameter ist.
s ( t2 ) − s ( t1 ) = ∆s ( t1 )
s ( t 3 ) − s ( t 2 ) = ∆s ( t 2 )
W≈
n
j =1
Def. 5.1
F j ⋅ ∆s ( t j )
W = lim
n →∞
n
j =1
Fj ⋅ ∆s ( t j ) =
k
F ⋅ ds
Kurvenintegrale
Es sei s ( t ) eine Kurve und v ( x, y, z ) ein Vektorfeld. Wenn jede beliebige Zerlegung
n
j =1
(
)
v x ( t j ) , y ( t j ) , z ( t j ) ⋅ ∆s ( t j ) gegen die gleiche Zahl S für n → ∞ konvergiert,
dann heißt S Kurvenintegral
Symbol:
k
( k = Kurve )
v ⋅ ds
Bsp2:
gilt:
gilt:
W=
−
k2
k1
v ⋅ ds =
v ⋅ ds =
− k2
k2
k1
v ⋅ ds
v ⋅ ds
k1
v ⋅ ds −
v ⋅ ds +
− k2
k2
v ⋅ ds = 0
v ⋅ ds = 0
k1 + ( − k2 ) = k
k
Def. 5.2
Satz 5.1
v ⋅ ds = 0
Es sei k eine geschlossene Kurve und v ( x, y, z ) ein Vektorfeld
Sei s ( t ) eine Kurve k
v ( x, y, z ) ein Vektorfeld
Kurve s ( t ) : t1 ≤ t ≤ t2
k
t2
v ⋅ ds = v ⋅ s ′ ( t ) ⋅ dt
( s′ ( t ) = Tangentenvektor )
t1
Bew:
k
t2
v ⋅ ds = v
t1
ds
dt
dt
Seite 147
k
v ⋅ ds =
k
v ⋅ ds
X
VEKTORANALYSIS
5
Kurvenintegrale (Linienintegrale)
cos t
s ( t ) = sin t
0
Bsp3: Kurve:
k
v ⋅ ds =
2π
( 0 ≤ t ≤ 2π )
v ⋅ s ′ ( t ) ⋅ dt =
0
t
Bsp4: s ( t ) = t 2
0
k
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ANALYSIS
2π
0
v ⋅ ds = v ⋅ s ′ ( t ) ⋅ dt =
0
1 − sin t
2π
2π
0 ⋅ cos t ⋅ dt = ( − sin t ) dt = [ cos t ]0 = cos 2π − cos 0 = 1 − 1 = 0
0
0
0
1− x
v ( x, y , z ) = y
x−z
( 0 ≤ t ≤ 1)
1
Vektorfeld:
1
0
1− x
1
1− t
1
1
2
y ⋅ 2t ⋅ dt =
t
⋅ 2t ⋅ dt =
x =t
2 0
y
t
=
0
0
x−z
t −0
z =0
1
t4 t2
= ( 2t − t + 1) = 2 − + t
4 2
0
1
=
3
0
1 1
− +1 = 1
2 2
Bsp5: Elektrische Feldstärke
s ( t ) = Kurve:
p2
E ⋅ ds = Spannung U12
p1
speziell:
E = const
Kurve k : Geradenstück Länge L
U12 =
p2
1
v ( x, y , z ) = 0
0
E ⋅ ds = E ⋅ L
p1
Seite 148
1
0
( (1 − t ) + t
2
⋅ 2t ) ⋅ dt
X
VEKTORANALYSIS
6
Wirbelfreie Felder
6
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ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Wirbelfreie Felder
Def. 6.1
Ein Vektorfeld v ( x, y, z ) heißt wirbelfrei, wenn für jede geschlossene Kurve gilt:
Bsp1: Flüssigkeit (Gas)
v ( x, y, z ) = Geschwindigkeitsvektoren
Annahme:
Es gibt eine geschlossene Bewegung (geschlossene Feldlinie)
v ⋅ ds = | v | ⋅ | ds | ⋅ cos α
=
v und ds
gleiche Richt.
| v | ⋅ | ds | ⋅ cos 0 = | v | ⋅ | ds | > 0
Bsp2: Wirbelfreie Felder:
- Erdkraftfeld
- Elektrostatische Feldstärke
- Magnetische Feldstärke (evtl.)
Def. 6.2
Rotation
v1
v ( x, y, z ) sei Vektorfeld mit v = v2
v3
∂v3 ∂v2
−
∂y ∂z
e1
∂v1 ∂v3
∂
rot v =
−
=
∂z ∂x
∂x
∂v2 ∂v1
v1
−
∂x ∂y
e2
∂
∂y
v2
e3
∂
∂z
v3
x2 − y
v1
Bsp3: v = y − z = v2
x4
v3
e3
0 − ( −1)
∂
= − 4 x3 − 0
∂z
0 − −1
x4
e1
e2
∂
∂
rot v =
∂x
∂y
x2 − y y − z
Bsp4: Starrer Körper
1
= −4 x 3
1
v ( x, y, z ) = Vektorfeld = Geschwindigkeit bei Rotation
a) Geschwindigkeit ω
(1)
(2)
b) | v |=
2π
(T = Umlaufzeit )
T
ω = hat Richtung Drehachse
| ω |=
2 ⋅ r0 ⋅ π
T
=
r
sin α = 0
|r |
2π
⋅ | r | ⋅ sin α =| ω | ⋅ | r | ⋅ sin α =| ω × r |
T
v und ω × r gleiche Richtung
v =ω ×r
Seite 149
v ⋅ ds = 0
X
VEKTORANALYSIS
6
Wirbelfreie Felder
dominik erdmann
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ANALYSIS
c) rot v = rot (ω × r ) = 2ω
x
r= y
z
v ⋅ ds = | v | ⋅ | ds | ⋅ cos α = | v | ⋅ ds =| v | ⋅2r0π =
d)
cos α =1
=| a | ⋅ | rot v | ⋅ cos β
d.h.:
k
v ⋅ ds =
Satz 6.1
A
=
( a ,rot v ) = 0
a ⋅ rot v =
A
rot v ⋅ da
rot v ⋅ da
Integralsatz von Stokes
Vorraussetzung: Es sei A ein Flächenstück mit der Begrenzungskurve k und v ( x, y, z ) ein Vektorfeld
Behauptung:
Folgerung:
Satz 6.2
β=
2r0π
2π
2r0π = ( r0 2π ) 2 ⋅
= | a | ⋅ 2ω
T
T
Fläche
k
v ⋅ ds =
A
rot v ⋅ da
v ( x, y, z ) sei wirbelfrei ⇔ rot v = 0
Bsp5: Elektrostatik: E = elektr. Feldstärke
rot E = 0
Seite 150
X
VEKTORANALYSIS
7
Potentialtheorie
7
dominik erdmann
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ANALYSIS
Potentialtheorie
x
Bsp1: v = y 2
−z
v = grad
1 2 y3 z 2
x + −
2
3
2
Es gibt ein u , so dass v = grad ( u )
( Potential )
x
Bsp2: v = yx
y
ux
Annahme: v = grad ( u ) = u y
uz
Satz von Schwartz: u xy = u yx
ux = x
uy = y ⋅ x
uz = y
Def. 7.1
u xy = 0
≠
u yx = y
v = Vektorfeld
Falls es eine Funktion u = u ( x, y, z ) gibt, so dass v = grad ( u ) ist, heißt u Potentialfunktion oder Potential.
In diesem Fall heißt v ein konservatives Feld oder ein wirbelfreies Feld.
Existenz eines Potentials
v1
ux
v = v2 Vektorfeld;
v = grad ( u ) = u y
v3
uz
ux = v1
u y = v2
uz = v3
uxy = u yx
u yz = u zy
uzx = uxz
Satz 7.1
d.h.:
v1 y = v 2 x
v 2 z = v3 y
v 3 x = v1z
0
v1 y − v 2 x
2
3
v z −v y = 0 = 0
v3 x − v1z
0
rot v = 0
Ein Vektorfeld v ( x, y, z ) besitzt genau dann ein Potential, wenn rot v = 0
k1
v ⋅ ds +
k
rot v = 0
v hat Potential
− k2
v ⋅ ds = 0
k1
v ⋅ ds = 0
v ⋅ ds =
k2
v ⋅ ds =
p2
v ⋅ ds = u ( p2 )
p1
Anmerkung:
Wenn v ein konservatives Feld ist
u ( x, y , z ) =
p2 ( x , y , z )
v ⋅ ds = Potential
p1
Bsp3: Elektrostatik: rot E = 0
Existiert Potential ϕ : E = grad ϕ
( elektrostatisches Potential )
Bsp4: Gravitationsfeld: rot F = 0
Existiert Potential u: F = grad u
( u = potentialle Energie )
Bsp5: Hydrostatik
rot F = 0
F = grad p
( p = Druck )
Seite 151
( p1 = beliebig )
X
VEKTORANALYSIS
8
Die Maxwell’schen Gleichungen
8
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ANALYSIS
Die Maxwell’schen Gleichungen
H = Magnetische Feldstärke
E = Elektrische Feldstärke
g = Stromdichte ⇔
g ⋅ a = I = Stromstärke durch a
⇔
A
g ⋅ da = I
ρ = Ladungsdichte
µ , µ0 , ε , ε 0
Maxwell – Gleichungen
∂
⋅ H = −rot E
∂t
∂
ε ⋅ ε 0 ⋅ E = rot H − g
∂t
div H = 0
1
div E =
⋅ρ
ε ⋅ ε0
µ ⋅ µ0
Bsp1: Induktiongesetz
k p
2
Def:
(u = E ⋅ l )
E ⋅ ds = u
p1
(
A
∂
∂
A
⋅ H = − rot E
µ ⋅ µ 0 ⋅ H ⋅ da = − rot E ⋅ da
∂t
∂t
∂ A
∂
uind = − ⋅ µ ⋅ µ 0 ⋅ H ⋅ da
uind = − ⋅ Φ
∂t
∂t
µ ⋅ µ0
A
rot E ⋅ da =
Stokes
E ⋅ ds = uind
Kraftfluß
Bsp2: Magnetische Feldstärke in einer Spule
gesucht: H in der Spule
Annahme: u = const
∂E
E = const
=0
∂t
∂
ε ⋅ ε 0 ⋅ E = rot H − g
rot H = g
∂t
Stokes
H ⋅ ds =
A
g ⋅ da
A
rot H ⋅ da =
H ⋅ l = I ges = I ⋅ n
Bsp3: Elektromagnetische Wellen
Vakuum: ρ = 0
ε = µ =1
g =0
∂
⋅ H = −rot E
∂t
∂
ε ⋅ ε 0 ⋅ E = rot H
∂t
µ ⋅ µ0
Auswertung: E ⊥ H
Seite 152
A
g ⋅ da
H=
I ⋅n
l
l = Länge der Spule
n = Windungen
)
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
1
Einführung und Grundbegriffe
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
XI GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
1
Einführung und Grundbegriffe
1.1
Beipiele
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung mit den unbekannten Größen x, y ( x ) , y ′ ( x ) ,… y (
Gesucht ist die Lösung y ( x ) .
Bsp1:
Differentialgleichung (Dgl)
y − y′ = 0
y ′′ + y = 0
y′ − 1 = 0
Lösung
y = ex
y = sin x
y=x
y ′ + y = 3 ( x + 1)
y = 3x
y =1
x + 2 xy + 2 y ′ − y ′′ = x + 2 x
2
2
Bsp2: Bakterienkultur
y ( t ) = Anzahl der Bakterien zur Zeit t
dy ∆y
≈
= Zunahme der Bakterien zum Zeitpunkt t
dt ∆t
Zunahme Anzahl
y′ y
y ′ = α y Dgl
y′ (t ) =
Lösung: y = A ⋅ eα t
Bsp3: Grundgleichung der Mechanik
y ( t ) = Weg zur Zeit t
y ′ ( t ) = Geschwindigkeit
y ′ ( t ) = Beschleunigung
Grundgleichung der Mechanik: F = m ⋅ a
F = m ⋅ y ′′ Dgl
Bsp4: Harmonische Schwingungen
y ( t ) = Auslenkung aus Ruhelage
F
F = −k ⋅ y
F = m ⋅ y ′′
− y (t )
my ′′ = −ky
my ′′ + ky = 0 Dgl
k
⋅t
m
Bsp5: Stromkreis (Reihenschaltung von R und L (DC))
u ( t ) = Stormstärke
Lösung: y = A ⋅ sin
u ( t ) = Spannung
u ( t ) = u = const
l⋅
di
= U − i ( t ) ⋅ R Dgl
dt
Lösung: i ( t ) =
R
− t
U
1− e L
R
L=0
i=
U
R
Bsp6: Ein Massepunkt sei im Raum der Schwerekraft der Erde ausgesetzt.
Beschleunigung = y ′′ ( t )
y ′′ = − g Dgl
y ′ = − gt = v
1
y = gt 2
2
Seite 153
n)
( x).
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
1
Einführung und Grundbegriffe
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Bsp7: Elektrischer Schwingkreis (Parallelschaltung von C und L (AC))
i ( t ) = Stromstärke
i (t )
C
+ L⋅
d 2i
= 0 Dgl
dt 2
Lösung: i ( t ) = i0 ⋅ cos
1.2
1
LC
i0 = const
t
Grundbegriffe
Bsp1: y ′ − x = 0 Dgl
y′ = x
y=
1 2
x + c Lösung
2
d.h.
(1)
(2)
Die Lösungen bilden eine Kurvenschar
Jede Lösung ist eine partikuläre Lösung
Bsp2: y ′′ − y ′ = 0 Dgl
Lösungen:
y = c1e x + c2
Probe:
y = c1e x + c2
y ′ = c1e x
y ′′ = c1e x
Lösung:
y ′′ − y ′ = 0
Kurvenschar mit 2 Parametern
Def. 1.1
(
Eine Gleichung der Form F x, y, y ′, y ′′,
(1)
)
y ( n) = 0
heißt gewöhnliche Differentialgleichung n − ter Ordnung
Die Funktion y = f ( x, c1 ,
(2)
cn ) , die für alle Konstanten c1 ,
cn die Differentialgleichung
erfüllt und die alle Lösungen umfasst, heißt allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
Setzt man in y = f ( x, c1 ,
(3)
cn ) für die Konstanten spezielle Werte ein
erhält man eine spezielle oder partikuläre Lösung.
Anmerkung:
Die Lösungen bilden eine n − parametrike Kurvenschar. Jede einzelne Kurve ist eine partikuläre Lösung.
Bsp3: xy ′′ − 3 y ′ + 1 = 0
Dgl 2. Ordnung
Bsp4: y ′ − 1 − y 2 = 0
1
+ y ′ ⋅ y − sin y ′′ = x
y ′′′
Dgl 3. Ordnung
Lösung:
y′ − y = 0
Dgl 1. Ordnung
Probe: y ′ = cos ( x + c ) = 1 − sin 2 ( x + c ) = 1 − y 2
Bsp5: y ′′ = 0
y ′ = c1
y = c1 x + c2
Dgl 2. Ordnung
allgemeine Lösung
y = x +1
y=x
y = 3x + 4
spezielle Lösung
Bsp6: y ′′′ = 0
y ′′ = c1
y ′ = c1 x + c2
y = c1
x2
+ c1 x + c3
2
Seite 154
Dgl 1. Ordnung
y = sin ( x + c ) = Kurvenschar
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
2
Differentialgleichungen erster Ordnung
ANALYSIS
2
Differentialgleichungen erster Ordnung
2.1
Das Richtungsfeld
Def. 2.1
Eine Dgl 1. Ordnung in der Gestalt F ( x, y, y ′ ) = 0 heißt implizit.
Läßt sie sich nach y ′ auflösen, dann heißt y ′ = f ( x, y ) explizite Darstellung der Dgl.
(
)
Bsp1: arsinh y ′ − y ⋅ tan ( y ′ ⋅ x ) = 0
y ′ = xy − x
Def. 2.2
Richtungsfeld
2
implizit
explizit
Die Dgl y ′ = f ( x, y ) definiert für jeden Punkt ( x, y ) eine Richtung y ′.
Trägt man alle Richtungen in ein Koordinatensystem ein, erhält man ein Richtungsfeld.
Bsp2: y ′ = x ⋅ y
Die Verbindungen aller Richtungen ergeben
die allgemeine Lösung als Kurvenschar
Bsp3: y ′ = x
Bsp4: y ′ = 1
Die Dgl y′ = f ( x )
2.2
y′ = f ( x )
y=
Dgl
Lösung
Bsp1: y ′ = sin x
y = − cos x + c
2.3
Dgl
allg. Lösung
Die lineare homogene Dgl
Def. 2.3
Bsp:
f ( x ) dx + c
Die Dgl y ′ = a ( x ) ⋅ y heißen lineare homogene Dgl.
y′ = x2 ⋅ y
y ′ = cos x ⋅ y
Seite 155
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
2
Differentialgleichungen erster Ordnung
Lösungsverfahren
y′
= a ( x)
y
y′ = a ( x ) ⋅ y
| y |= e
a ( x ) dx + c
=y
y′
dx = a ( x ) dx + c
y
y=e
a ( x ) dx
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
ln | y |= a ( x ) dx + c
a ( x ) dx
⋅ ec = c′ ⋅ e
= c′
y′
=x
y
Bsp1: y ′ = xy
1
| y |= e 2
1
x2 + c
y = e2
y′ 1
=
y x
y
x
x2 + c
1
⋅ ec = c′ ⋅ e 2
x2 + c
y = c′ ⋅ e − cos x
| y |= e − cos x + c = ec ⋅ e − cos x
y = c′ ⋅ x
| y |=| x | ⋅ec
1
x5
+c
5
eln| y | = e 2
x2
ln | y |= − cos x + c
ln | y |=
1
x2
+c
2
| y |= e 5
1
x5 + c
y = c′ ⋅ e 5
x5
Die lineare inhomogene Dgl
Def. 2.4
Bsp:
1
= e2
ln | y |=
ln | y |= ln | x | +c
y′
= x4
y
Bsp4: y ′ = x 4 ⋅ y
2.4
x2 + c
y′
= sin x
y
Bsp2: y ′ = sin ( x ) ⋅ y
Bsp3: y ′ =
y′
x2
dy =
+c
2
y
Die Dgl y ′ = a ( x ) ⋅ y + b ( x ) heißt lineare homogen.
y ′ = x 2 ⋅ y + sin x
Lösungsverfahren (Variation der Konstanten)
y′ = a ( x ) ⋅ y + b ( x )
Schritt 1: Lösung der homogenen Dgl
y′
= a ( x)
y′ = a ( x ) ⋅ y
y
Schritt 2: Variation der Konstanten γ
Ansatz:
y = γ ( x) ⋅ e
ln | y |= a ( x ) dx + c
y=e
a ( x ) dx
y = γ ⋅e
⋅ ec
a ( x ) dx
γ
a ( x ) dx
y′ = γ ′ ( x ) ⋅ e
In Dgl einsetzen:
y′ = γ ′ ( x ) ⋅ e
a ( x ) dx
+ γ ( x) ⋅ e
a ( x ) dx
a ( x ) dx
+ a ( x) ⋅γ ( x) ⋅ e
⋅ a ( x)
a ( x ) dx
= a ( x) ⋅ y + b ( x)
y
γ ′( x) = b ( x) ⋅ e
− a ( x ) dx
γ ( x) = b ( x) ⋅ e
− a ( x ) dx
es kann immer
gekürzt werden
γ ′( x) ⋅ e
a ( x ) dx
= b ( x)
dx + c
Lösung:
y=
Bsp1: y ′ =
b ( x) ⋅ e
− a ( x ) dx
dx + c ⋅ e
a ( x ) dx
1
y + x2
x
1
⋅y
x
(1)
homogen:
y′ =
(2)
Ansatz:
y = γ ( x) ⋅ x
y ′ = γ ′ ( x ) ⋅ x + γ ( x ) ⋅1 =
Lösung:
y=
ln | y |= ln | x | +c
| y |=| x | ⋅ec
y =γ ⋅x
(γ ( x ) = ? )
1
⋅ y + x2
x y =γ ( x ) ⋅ x
x2
x3
+ c x = + cx
2
2
Seite 156
γ ′ ( x ) ⋅ x = x2
γ ′( x) = x
γ ( x) =
x2
+c
2
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
2
Differentialgleichungen erster Ordnung
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Bsp2: y ′ = sin ( x ) ⋅ y − sin y
(1)
homogen: y ′ = sin ( x ) ⋅ y
(2)
Ansatz:
y = γ ⋅ e − cos x
| y |= e − cos x ⋅ ec
y = γ ( x ) ⋅ e − cos x
y ′ = γ ′ ( x ) ⋅ e − cos x + γ ( x ) ⋅ e − cos x ⋅ sin x = sin ( x ) ⋅ y − sin x
γ ′ ( x ) ⋅ e − cos x = − sin x
y
γ ′ ( x ) = − sin x ⋅ e
γ ( x ) = − sin x ⋅ e cos x dx
cos x
=
z = cos x
dz =− sin x ⋅ dx
e z dz = e z + c = ecos x + c
y = ecos x + c ⋅ e − cos x = 1 + c ⋅ e − cos x
Lösung:
Bsp3: y ′ = y + 1
(1)
homogen:
y′
=1
y
(2)
Ansatz:
y = γ ( x) ⋅ ex
y = γ ⋅ ex
ln | y |= x + c
y′ = γ ′ ( x ) ⋅ ex + γ ( x ) ⋅ ex = y + 1
γ ′( x ) ⋅ ex = 1
y = ( − e − x + c ) ⋅ e x = −1 + c ⋅ e x = y
Lösung:
γ ( x ) = e− x
γ ( x ) = −e − x + c
Bsp4: y ′ = 3 y + 4
(1)
homogen: y = γ ⋅ e3 x
(2)
Ansatz:
y = γ ( x ) ⋅ e3 x
y ′ = γ ′ ( x ) ⋅ e 3 x + γ ( x ) ⋅ e3 x ⋅ 3 = 3 y + 4
γ ′ ( x ) ⋅ e3 x = 4
1
3
γ ′ ( x ) = 4 ⋅ e −3 x
4
3
γ ( x ) = 4 ⋅ e −3 x dx + c = 4 − e−3 x + c = − e3 x + c = y
4
4
y = − e −3 x + c e3 x = − + ce3 x
3
3
Bsp5: Reihenschaltung von R und L bei u = const und i ( t ) = Stromstärke
Lösung:
Dgl:
L ⋅ i′ ( t ) = u − i ( t ) ⋅ R
(1)
homogen: i ′ ( t ) = −
(2)
Ansatz:
γ ′ (t ) =
Lösung:
R
⋅ i (t )
L
i (t ) = γ (t ) ⋅ e
i′ ( t ) = γ ′ ( t ) ⋅ e
i (t ) =
R
− t
L
U RL ⋅t
⋅e
L
einsetzen
ln | i ( t ) |= −
R
− t
L
⋅ −
γ ( x) =
R
R
U
= − ⋅ i (t ) +
L
L
L
γ ′ (t ) ⋅ e
R
⋅t L
U
⋅ eL ⋅
+c
L
R
R
R
R
⋅t L
− ⋅t
− ⋅t
U
U
⋅ eL ⋅
+ c e L = + ce L
L
R
R
U U − RL ⋅t
− e
R R
R
t+c
L
R
− t
L
+ γ (t ) ⋅ e
Bestimmung der Konstanten:
i (t ) =
R
U
⋅ i (t ) +
L
L
R
dt
ln | i ( t ) |= −
L
i′ ( t ) = −
t = 0 : i ( 0) = 0 =
i (t ) =
U
+ ce0
R
R
− ⋅t
U
1− e L
R
Seite 157
c=−
U
R
R
− ⋅t
L
=
U
L
e
R
− t
L
⋅γ
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
2
Differentialgleichungen erster Ordnung
2.5
Die Dgl y′ = f ( x ) ⋅ g ( y )
Verfahren:
Dgl:
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
(Trennung der Variablen)
y′ = f ( x ) ⋅ g ( y )
dy
= f ( x) ⋅ g ( y )
dx
dy
= f ( x ) ⋅ dx
g ( y)
( Lösung )
y=
nach y auflösen
dy
=
g ( y)
f ( x ) ⋅ dx
Bsp1: y ′ = x ⋅ y 2
dy
= x ⋅ y2
dx
−y=
Bsp2: y ′ = 1 + y 2
dy
= x ⋅ dx
y2
2
x 2 + 2c
y −2 ⋅ dy = x ⋅ dx
y=−
− y −1 =
x2
+c
2
−
1 x 2 + 2c
=
2
y
2
x2 + c
dy
dy
dy
arctan y = x + c
= 1+ y2
= dx
= dx
y = tan ( x + c )
dx
1+ y2
1 + y2
Bsp3: Welche Funktion hat die Eigenschaft, dass der Tangentenwinkel der Abszisse gleich der Ordinate y ist?
tan α = y ′
α = arctan y ′
arctan y ′ = y
Lösung der Dgl: y ′ =
dy
= tan y
dx
ln | sin y |= x + c
y ′ = tan y
dy
= dy
tan y
sin y = e x + c
Seite 158
dx
= dx
tan y
cos y
⋅ dy = dx
sin y
y = arcsin ( e x + c )
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
3
Differentialgleichungen höherer Ordnung
3
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
Differentialgleichungen höherer Ordnung
[1]
y( ) = f ( x )
n
y=
n mal integrieren
Bsp1: y ′′ = x
x2
+c
2
x3
y = + c1 x + c2
6
y′ =
( Beschleunigung = const )
Bsp2: y ′′ = a
y ′ = at + c
y=
[ 2]
y = y ( t ) = Weg − Zeit − Fkt
1 2
at + c1t + c2
2
y ′′ ⋅ y ′ = f ( x )
y ′′ ⋅ y ′ =
gilt:
1 2 ′
( y′ )
2
( y′ )′ = 2 ⋅ f ( x )
f ( x ) dx + c1
y′ =
y ′2 = 2 f ( x ) dx + c1
2
f ( x ) dx + c1 ⋅ dx + c2
y=
Bsp1: y ′′ ⋅ y ′ = x
1 2 ′
( y′ ) = x
2
y=
( y′ )′ = 2 x
2
x 2 + c1 + c2
=
Formel
sammlung
y ′2 = x 2 + c1
y ′ = x 2 + c1
x
1
x ⋅ x 2 + c1 + c1 ⋅ arsinh
+ c2
2
c1
Bsp2: y ′′ ⋅ y ′ = 1
1 2 ′
( y′ ) = 1
2
y′ = 2 x + c
1 12
1
z ⋅ dz + c2 =
z =2 x+c 2
3
dz = 2⋅ dx
y=
[3]
y ′2 = 2 x + c
2 x + c1 ⋅ dx + c2 =
Dgl:
F ( x, y ′, y ′′ ) = 0
Substitution: y ′ = 2
( 2 x + c1 )
3
+ c2
F ( x, z , z ′ ) = 0
Bsp1: y ′ − y ′′ = 0
y ′= z
z′
=1
z
z − z′ = 0
gilt:
y ′ = z = c1 ⋅ e x
Bsp2: y ′′ − xy ′ = 0
y=z ′
y = c1 ⋅ e x + c2
z ′ − xz = 0
1
x2
z ′ = xz
1
| z |= e x + c = e x ⋅ ec
ln | z |= x + c
x2
z = e 2 ⋅ ec = e 2 ⋅ c1 = y ′
z′
=x
z
1
ln | z |=
x2
c1 e 2 dx + c2
Seite 159
x2
+c
2
z = c ⋅ ex
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4
Lineare Differentialgleichungen
4
Lineare Differentialgleichungen
4.1
Grundlagen
Def. 4.1
n
Eine Differentialgleichung
j =0
dominik erdmann
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ANALYSIS
a j ( x ) ⋅ y ( ) = a0 ( x ) ⋅ y + a1 ( x ) ⋅ y ′ + a2 ( x ) ⋅ y ′′ +
j
an ( x ) ⋅ y ( ) = r ( x )
n
heißt lineare Dgl. Sie heißt homogen falls r ( x ) = 0. Sie heißt inhomogen falls r ( x ) ≠ 0.
Bsp1: y + x ⋅ y ′ = 0
y ′ + xy ′ = x
lineare homogene Dgl 1. Ordnung
2
inhomogene: Variation der Konstanten
y ′′′ + xy ′′ + x y ′ − y = sin x
2
Bsp2:
inhomogen, linear 3. Ordnung
2
2
⋅ y − ⋅ y ′ + y ′′ = 0
x2
x
Lösung:
y=x
Lösung:
y = 2x
Lösung:
y = 7x
Lösung:
y = c⋅x
Satz 4.1
2
2
⋅ x − ⋅1 + 0 = 0
x2
x
2
2
Probe: 2 ⋅ 2 x − ⋅ 2 + 0 = 0
x
x
Probe:
Probe:
2
2
⋅ cx − ⋅ c + 0 = 0
2
x
x
Ist z ( x ) eine spezielle Lösung einer homogenen linearen Dgl, dann ist es auch c ⋅ z ( x ) ,
wobei c eine beliebige Konstante ist.
Bew: Sei w = c ⋅ z ( x )
n
w einsetzen
j =0
a j ( x ) ⋅ w( ) =
n
j
j =0
a j ( x ) ⋅ c ⋅ z(
( x) = c ⋅
j)
n
j =0
a j ( x ) ⋅ z(
j)
( x) = c ⋅ 0 = 0
Bsp2: Fortsetzung
2
2
⋅ y − ⋅ y ′ + y ′′ = 0
2
x
x
spezielle Lösung:
y=x
y = x2
2 2 2
⋅ x − ⋅ 2x + 2 = 0
x2
x
Lösung:
y = x + x2
Probe:
Satz 4.2
Sind z1 ( x ) und z2 ( x ) spezielle Lösungen einer homogenen linearen Dgl,
dann ist es auch w = z1 ( x ) + z 2 ( x )
n
Bew:
j =0
a j ( x ) ⋅ w(
j)
( x) =
n
j =0
a j ( x ) ⋅ z1(
Bsp2: Fortsetzung
2
2
⋅ y − ⋅ y ′ + y ′′ = 0
2
x
x
(1)
spezielle Lösung:
(2)
spezielle Lösung:
(3)
y = c1 ⋅ x + c2 ⋅ x 2
j)
y1 = x
y1 = x
(Superposition der Lösungen )
( x ) + z2 ( j ) ( x )
n
=
j =0
a j ( x ) ⋅ z1(
y1 = c1 ⋅ x
2
y1 = c2 ⋅ x 2
Lösung = allgemeine Lösung
Seite 160
j)
( x) +
n
j =0
a j ( x ) ⋅ z1(
j)
( x) = 0 + 0 = 0
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4
Lineare Differentialgleichungen
Satz 4.3
Die lineare homogene Dgl a0 ( x ) ⋅ y + a1 ( x ) ⋅ y ′ +
besitzt n spezielle Lösungen y1 , y2 ,
y = c1 y1 + c2 y2 +
dominik erdmann
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ANALYSIS
an ( x ) ⋅ y ( ) = 0
n
yn , so dass die allgemeine Lösung
cn yn alle Lösungen umfasst.
(c
j
= const )
Bsp3: y ′ + y ′′′ = 0 Dgl
spezielle Lösungen: y1 = sin x
y2 = cos x
y3 = 1
yallg = c1 ⋅ sin x + c2 ⋅ cos x + c3 ⋅1
Bsp4:
2
2
1
⋅ y − ⋅ y ′ + y ′′ = 2
(inhomogen)
x
x2
x
1
y0 =
2
y = c1 ⋅ x + c2 ⋅ x 2
Lösung der homogenen Dgl. ( Bsp2 )
allgemeine Lösungen der inhomogenen Dgl y =
2c
2
2
2 1
2
1 2c
1
⋅ y − ⋅ y ′ + y ′′ = 2
+ c1 x + c2 x 2 − [ c1 + 2c2 x ] + 2c2 = 2 + 1 + 2c2 − 1 − 4c2 + 2c2 = 2
x2
x 2
x
x
x
x
x
x
Probe:
Satz 4.4
1
+ ( c1 ⋅ x + c2 ⋅ x 2 )
2
Gegeben sei die lineare inhomogene Dgl a0 ( x ) ⋅ y + a1 ( x ) ⋅ y ′ +
an ( x ) ⋅ y ( ) = r ( x ) .
n
Die allgemeine Lösung erhält man, indem man zu der allgemeinen Lösung der homogenen Dgl
eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl addiert. y = y0 + c1 y1 + c2 y2 + cn yn
Bew: einsetzen:
n
j =0
(
a j ( x ) ⋅ y0( ) + c1 y1( ) +
j
j
cn yn(
j)
)
=
n
j =0
(
a j ( x ) ⋅ y0( ) + yn (
j
j)
)=
n
j =0
Zusammenfassung
4.2
Lineare Dgl mit konstanten Koeffizienten
4.2.1 homogene Dgln
Def. 4.2
Die Dgl a0 ⋅ y + a1 ⋅ y ′ + a2 ⋅ y ′′ +
an ⋅ y ( ) = 0 mit a j = ,
n
heißt lineare homogene Dgl mit konstanten Koeffizienten.
Bsp1: 3 y ′′ − 2 y ′ + y = 0
y ( 4) − 3 y ′′′ + y = 0
Seite 161
a j ( x ) ⋅ y0( ) +
j
n
j =0
a j ( x ) ⋅ yn ( ) = r ( x ) + 0 = r ( x )
j
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4
Lineare Differentialgleichungen
an ⋅ y ( n ) = 0
Bsp2: a0 ⋅ y + a1 ⋅ y ′ + a2 ⋅ y ′′ +
y = ex
Ansatz:
λx
( λ = ?)
a0 e + a1 e λ + a2 eλ x λ 2 +
λx
y′
e
λx
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ANALYSIS
an eλ x λ n = 0
y ′′
a0 + a1λ + a2 λ +
n
y( )
an λ
2
=0
n
charakteristisches Polynom Pn ( x )
λ = Nullstelle von Pn ( x )
Bsp3: y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 0
λ 2 − 3λ + 2 = 0
y1 = e x
charakteristisches Polynom:
λ=
1
3
9
±
−1 =
2
2
4
y2 = e 2 x
yallg = c1e x + c2 e 2 x
Bsp4: y ′′ − 2 y ′ + y = 0
λ 2 − 2λ + 1 = 0
λ = 1 ± 12 − 1 = 1
y1 = e x
y2 = ? = e x ⋅ x
y = xe x
Probe zu y2 :
y ′ = e x + xe x = e x (1 + x )
y ′′ = e x (1 + x ) + e x = e x ( 2 + x )
y2′′ − 2 y2′ + y2 = e x ( x + 2 ) − 2e x (1 + x ) + xe x = 0
yallg = c1e x + c2 xe x
Bsp5: y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 0
λ 2 − 2λ + 2 = 0
y1 = e(1+ j ) x
y2 = e
(1− j ) x
λ = 1 ± 12 − 2 = 1 ± j
yallg = c1e(
1+ j ) x
+ c2 e(
1− j ) x
Eliminieren des komplexen Anteils
1+ j x
1− j x
yallg = c1e( ) + c2 e( ) = c1e x e jx + c2 e x e − jx
=
Euler
e jx = cos x + j ⋅sin x
e − jx = cos x − j ⋅sin x
c1e x ( cos x + j ⋅ sin x ) + c2 e x ( cos x − j ⋅ sin x )
= ( c1 + c2 ) e x ⋅ cos x + ( c1 j − c2 j ) e x ⋅ sin x = cˆ1e x ⋅ cos x + cˆ2 e x ⋅ sin x
Lösung von a0 y + a1 y ′ + a2 y ′′ +
an y ( n ) = 0
Man löse die charakteristische Gleichung a0 + a1λ + a2 λ 2 +
[1]
an λ n = 0 und erhält die Nullstelle λ
λ reell, Vielfachheit ist k
y1 = eλ x ;
y2 = xeλ x ;
y3 = x 2 eλ x ;
[ 2]
λ = u + vj komplex, Vielfachheit 1
[3]
λ = u + vj komplex, Vielfachheit k
y1 = eux cos ( vx ) ;
( cˆ2 = komplex
;
yk = x k −1eλ x
y2 = eux sin ( vx )
y1 = eux cos ( vx )
yk +1 = eux sin ( vx )
y2 = xeux cos ( vx )
yk + 2 = xeux sin ( vx )
y3 = x 2 eux cos ( vx )
yk + 3 = x 2 eux sin ( vx )
yk = x k −1eux cos ( vx )
y2 k = x k −1eux sin ( vx )
Seite 162
reell )
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4
Lineare Differentialgleichungen
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Bsp6: y ( 4) − 6 y ′′′ + 17 y ′′ − 28 y ′ + 20 y = 0
charakteristische Gleichung:
Nullstellen: λ1/ 2 = 2
λ 4 − 6λ 3 + 17λ 2 − 28λ + 20 = 0
( zweifach )
λ3 = 1 + 2 j
λ4 = 1 − 2 j
y1 = e 2 x
y2 = xe 2 x
yallg = c1e 2 x + c2 xe 2 x + c3 e x cos 2 x + c4 e x sin 2 x
y3 = e x cos 2 x
y4 = e x sin 2 x
(Schwingungsgleichung )
Bsp7: y ′′ + ω 2 y = 0
charakteristische Gleichung:
λ2 +ω2 = 0
y1 = e ⋅ cos ω x = cos ω x
λ 2 = −ω 2
λ = ±ω j = 0 ± ω j
0x
yallg = c1 cos ω x + c2 sin ω x
y2 = e0 x ⋅ sin ω x = sin ω x
Bsp8: y ( 4) − y = 0
λ 4 −1 = 0
y1 = e
λ4 = 1
λ 2 = ±1
λ = 1, −1, j , − j
x
y2 = e x
yallg = c1e x + c2 e − x + c3 cos x + c4 sin x
y3 = e ⋅ cos x = cos x
0x
y4 = e0 x ⋅ sin x = sin x
Bsp9: Gedämpfte Schwingung
(Federpendel)
F = Rücktreibende Kraft
(1)
F −s ( t )
F = −k ⋅ s ( t )
( k = Federkonstante )
R = d ⋅ s′ ( t )
Reibung: R −v = Geschwindigkeit = − s ′ ( t )
F = m ⋅ a = m ⋅ s ′′ ( t )
(2)
(3)
m ⋅ s ′′ + d ⋅ s ′ + k ⋅ s = 0
Lösung der Dgl:
charakteristische Gleichung:
λ2 +
d
k
λ+ =0
m
m
λ =−
d2
k
k
− < 0 ⇔ d 2 < 4m 2 = 4 ⋅ k ⋅ m
2
m
4m m
Schwingung ⇔
λ=−
mλ 2 + d λ + k = 0
d
k
d2
±
−
j = −δ ± ω j
m 4m 2
2m
δ
ω
−δ t
s1 = e cos ω t
s2 = e −δ sin ω t
Frequenz:
ω = 2π f =
k
d2
−
m 4m 2
f =
1
2π
k
d2
−
m 4m 2
4.2.2 inhomogene lineare Dgl
Satz 4.5
gegeben: a0 ⋅ y + a1 ⋅ y ′ + a2 ⋅ y ′′ +
sei:
z = c1 y1 + c2 y2 +
an ⋅ y ( ) = r ( x )
n
cn yn allgemeine Lösung der homogenen Dgl und
y0 eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl.
dann ist y = c0 + c1 y1 + c2 y2 +
cn yn allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl
Bew: identisch mit Satz 4.2
Seite 163
d
d2
k
±
−
2
2m
4m m
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4
Lineare Differentialgleichungen
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
Bsp1: y ′′ + y = x
(1) homogen: y ′′ + y = 0
λ 2 +1 = 0
λ = ± j = 0± j
y1 = e0 x cos x = cos x
y2 = e0 x sin x = sin x
yh = c1 cos x + c2 sin x
(2) eine spezielle Lösung y0 = x
(3) yallg = x + c1 cos x + c2 sin x
Bsp2: y ′′ + y = 1 + x 2
(1) homogen: y ′′ + y = 0
Bsp1
yh = c1 cos x + c2 sin x
(2) spezielle inhomogene Lösung:
Ansatz: y0 = a + bx + cx 2
y0′ = b + 2cx
y0′′ = 2c
y0′′ + y0 = 2 x + ( a + bx + cx 2 ) = ( 2c + a ) + b x + c x 2 =1 + x 2
!
in Dgl einsetzen
1
2c + a = 1
a = −1
b=0
c =1
0
1
y0 = −1 + x 2
(3) yallg = ( −1 + x 2 ) + c1 cos x + c2 sin x
Bsp3: y ′′ + y = x − 2 x 2 + x3
(1) homogen: y ′′ + y = 0
(2) Ansatz:
Bsp1
yh = c1 cos x + c2 sin x
y0 = a + bx + cx 2 + dx3
y0′ = b + 2cx + 3dx 2
y0′′ = 2c + 6dx
y0′′ + y0 = ( 2c + 6dx ) + ( a + bx + cx 2 + dx 3 ) = ( 2c + a ) + ( 6d + b ) x + c x 2 + d x 3 = x − 2 x 2 + x 3
!
in Dgl einsetzen
0
2c + a = 0
6d + b = 1
c = −2
d =1
a=4
b = −5
c = −2
d =1
1
−2
1
y0 = 4 − 5 x − 2 x 2 + x3
(3) yallg = ( 4 − 5 x − 2 x 2 + x3 ) + c1 cos x + c2 sin x
Satz 4.6
a0 ⋅ y + a1 ⋅ y ′ + a2 ⋅ y ′′ +
an ⋅ y ( ) = Pk ( x )
n
( P ( x ) = Polynom vom Grad k )
k
Eine spezielle Lösung findet man durch den unbestimmten Ansatz
y0 = b0 + b1 x + b2 x 2 +
bm x m
( m ≥ k ) wobei die b j
durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden.
Bew: einsetzen
Bsp4: y ′′′ + 4 y ′ = x 2
inhomogen: Ansatz:
einsetzen
y = a + bx + cx 2
y ′ = b + 2cx
y ′′ = 2c
y ′′′ = 0
0 + 4 ( b + 2cx ) = x 2
kein Koeffizientenvergleich möglich
Seite 164
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4
Lineare Differentialgleichungen
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
y = a + bx + cx 2 + dx3
neuer Ansatz:
y ′ = b + 2cx + 3dx 2
y ′′ = 2c + 6dx
y ′′′ = 6d
6d + 4 ( b + 2cx + 3dx 2 ) = x 2
einsetzen
12d = 1
6d + 4b = 0
8c = 0
d=
1
6
1
| 4b = − = −
12
12
2
1
b=− |c =0
6
1
1
y0 = − x + x 3
8
12
Anmerkung:
Steht auf der rechten Seite der Dgl das Polynom Pk ( x ) (siehe Satz 4.6), wähle man als Ansatz für die inhomogenen
Lösungen ein Polynom vom Grade k . Wenn dieser Ansatz nicht zum Erfolg führt, erhöhe man den Polynomgrad um 1.
Bsp5: y ′ − y = 7
(1) homogen:
y′ − y = 0
λ −1 = 0
y0 = a
(2) Ansatz:
(3) yallg = −7 + ce
y = ex
yh = ce x
0−a = 7
a = −7
y0 = −7
x
Bsp6: y ′′ + y ′ − 3 y = x − 3 x 2 + x 4
(1) homogen:
y ′′ + y ′ − 3 y = 0
1
2
λ2 + λ − 3 = 0
λ=− ±
1,3028
1
+3 =
−2,3028
4
yh = c1e1,3028 x + c2 e−2,3028
y0 = a + bx + cx 2 + dx3 + cx 4
(2) Ansatz:
y0′ = b + 2cx + 3dx 2 + 4ex 3
y0′′ = 2c + 6dx + 12ex
y0′′ + y0′ − 3 y0 = ( 2c + 6dx + 12ex ) + ( b + 2cx + 3dx 2 + 4ex 3 ) − ( a + bx + cx 2 + dx3 + cx 4 ) = x − 3x 2 + x 4
!
einsetzen
2c + b − 3a = 0
6d + 2c − 3b = 1
12e + 3d − 3c = −3
4e − 3d = 0
−3e = 1
a = −1, 098
b = −1, 741
c = −0, 778
d = −0, 444
e = −0,333
(3) yallg = y0 + yh = ( −1, 098 − 1, 741x − 0, 778 x 2 − 0, 444 x3 − 0,333x 4 ) + ( c1e1,3028 x + c2 e −2,3028 )
Satz 4.7
a0 ⋅ y + a1 ⋅ y ′ + a2 ⋅ y ′′ + an ⋅ y ( n ) = ae px
Fall1: p keine Lösung der charakteristischen Gleichung
Ansatz: y0 = Ae px
Fall2: p ist m − fache Lösung der charakteristischen Gleichung
Ansatz: y0 = Ax m e px
Bew: einsetzen
Bsp7: y ′′ + y = 2e3 x
(1) homogen:
λ +1 = 0
2
y ′′ + y = 0
λ = ± j = 0± j
yh = c1 cos x + c2 sin x
Seite 165
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4
Lineare Differentialgleichungen
p = 3, keine Lösung, Fall 1:
(2) Ansatz:
y0 = Ae
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
3x
y0′ = 3 Ae3 x
y0′′ = 9 Ae3 x
!
einsetzen
y0′′ + y0 = 9 Ae3 x + Ae3 x = 10 Ae3 x = 2e3 x
10 A = 2
A=
1
5
1
y0 = e3 x
5
1
(3) yallg = e3 x + c1 cos x + c2 sin x
5
Bsp8: y ′′ − 2 y ′ + y = e x
(1) homogen:
y ′′ − 2 y ′ + y = e x
λ 2 − 2λ + 1 = ( λ − 1) = 0
( zweifach )
λ =1
2
y1 = e x ; a2 = xe x
yh = c1e x + c2 xe x
(2) Ansatz:
p =1
y0 = Ax 2 ⋅ e x
y0′ = A ( 2 xe x + x 2 e x ) = Ae x ( 2 x + x 2 )
y0′′ = Ae x ( 2 x + x 2 ) + Ae x ( 2 + 2 x ) = Ae x ( 2 + 4 x + x 2 )
y0′′ − 2 y0′ + y0 = Ae x ( 2 + 4 x + x 2 ) − 2 Ae x ( 2 x + x 2 ) + Ax 2 ⋅ e x = Ae x [ 2 + 0] = 2 Ae x = e x
!
einsetzen
1 2 x
xe
2
Bsp9: y + y ′ = 2e x
y0 =
(1) 1 + λ = 0
(2) p = 1
λ = −1
y = ce − x
y0 = Ae x
!
einsetzen
y0 + y0′ = Ae x + Ae x = 2 Ae x = 2 Ae x
A =1
y0 = e x
(3) yallg = e x + ce − x
Satz 4.8
a0 ⋅ y + a1 ⋅ y ′ + a2 ⋅ y ′′ + an ⋅ y ( n ) = A cos px + B sin px
Fall1: j ⋅ p keine Lösung der charakteristischen Gleichung
Ansatz: y0 = A cos px + B sin px
Fall2: j ⋅ p ist m − fache Lösung der charakteristischen Gleichung
Ansatz: y0 = x m [ A cos px + B sin px ]
Bew: einsetzen
Seite 166
A=
1
2
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4
Lineare Differentialgleichungen
Bsp10:
dominik erdmann
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fh – bingen
ANALYSIS
y ′′ − 4 y ′ + 4 y = sin x
( λ − 2)
(1) homogen: λ 2 − 4λ + 4 = 0
2
( zweifach )
λ =2
=0
yh = c1e + c2 xe
(2) p = 1; j ⋅1 = 1; keine Lösung
Ansatz: y0 = A cos x + B sin x
y0′ = − A sin x + B cos x
2x
2x
y0′′ = − A cos x − B sin x
einsetzen
y0′′ + 4 y0′ + 4 y0 = ( − A cos x − B sin x ) − 4 ( − A sin x + B cos x ) − 4 ( A cos x + B sin x )
!
= sin x [ − B + 4 A + 4 B ] + cos x [ − A − 4 B + 4 A] = sin x
1
4 A + 3B = 1
3A − 4B = 0
0
A = 0,16
B = 0,12
Cramer
y0 = 0,16 ⋅ cos x + 0,12 ⋅ sin x
(3) yallg = ( 0,16 ⋅ cos x + 0,12 ⋅ sin x ) + c1e 2 x + c2 xe 2 x
Bsp11:
y ′′′ − 2 y ′′ = 0, 2 ⋅ cos 2 x
λ = 0 zweifach
λ = 2 einfach
(1) λ 3 − 2λ 2 = 0
y1 = e0 x = 1
y2 = xe0 x = x
yh = c1 + c2 x + c3 e2 x
y3 e2 x
(2) p = 2; j ⋅ 2 = 2 j; keine Nullstelle
Ansatz: y0 = A cos 2 x + B sin 2 x
y0′ = −2 A sin 2 x + 2 B cos 2 x
y0′′ = −4 A cos 2 x − 4 B sin 2 x
y0′′′ = 8 A sin 2 x − 8 B sin 2 x
!
einsetzen
y0′′′ − 2 y0′′ = cos 2 x [8 A − 8B ] + sin 2 x [8B + 8 A] = 0, 2 ⋅ cos 2 x
8 A − 8B = 0, 2
8 A + 8B = 0
A = 0, 0125
B = −0, 0125
y0 = 0, 0125 ⋅ cos 2 x − 0, 0125sin 2 x
(3) yallg = 0, 0125 ( cos 2 x − sin 2 x ) + c1 + c2 x + c3 e 2 x
Bsp12:
y ′′ + y = sin x
(1) homogen: λ 2 + 1 = 0
(2) p = 1; p ⋅ j = j
λ =±j
yh = c1 cos x + c2 sin x
y0 = x ( A cos x + B sin x )
Fall 2:
y0′ = A cos x + B sin x + x [ − A sin x + B cos x ] = cos x [ A + Bx ] + sin x [ B − Ax ]
y0′′ = − sin x ( A + Bx ) + cos x ( B ) + cos x ( B − Ax ) + sin ( − A) = sin x [ − A − Bx − A] + cos x [ B + B − Ax ]
= sin x [ −2 A − Bx ] + cos x [ 2 B − 2 A]
!
einsetzen
y0′′ + y0 = sin x [ Bx − 2 A − Bx ] + cos x [ Ax + 2 B − Ax ] = sin x
−2 A = 1
2B = 0
A = −0,5
B=0
1
y0 = − x ⋅ cos x
2
1
(3) yallg = − x ⋅ cos x + c1 cos x + c2 sin x
2
Seite 167
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
4
Lineare Differentialgleichungen
Bsp13:
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
y ′ + y = cos x
(1) homogen: λ + 1 = 0
λ = −1
y = c1e − x
y0 = A cos x + B sin x
y0′ = − A sin x + B cos x
(2) Ansatz:
!
y0′ + y0 = sin x [ − A + B ] + cos x [ B + A] = cos x
einsetzen
−A + B = 0
A+ B =1
(3) yallg =
Bsp14:
A=B=
1
2
1
( cos x + sin x ) + c ⋅ e− x
2
Pendel
sin ϕ =
F1
x
=
mg l
F = − F1 = −mg ⋅ sin ϕ
mx = −mg ⋅ sin ϕ = −mg ⋅
F = mx
x+
Lösung der Dgl
g
λ2 + = 0
l
g
⋅t
l
x2 ( t ) = e0t ⋅ sin
g
⋅t
l
x ( 0) = 0
( x ( t ) = Auslenkung Ruhelage )
Dgl
g
g
⋅ j = 0±
⋅j
l
l
λ=±
x1 ( t ) = e0t ⋅ cos
g
x=0
l
x
l
x ( t ) = c1 cos
g
g
⋅ t + c2 sin
⋅t
l
l
x ( 0 ) = c1 cos 0 + c2 sin 0 = 0
x ( t ) = c2 sin ω t mit ω =
c1 = 0
g
l
c2 = Amplitute
ω = 2π f
f 2π =
g
l
f =
1
2π
g
l
T = 2π
Aufsuchen einer speziellen Lösung bei a0 ⋅ y + a1 ⋅ y ′ + a2 ⋅ y ′′ +
r ( x)
l
g
an ⋅ y ( ) = r ( x )
Bemerkung
n
Ansatz
Polynom Grad ≥ n
Polynom Grad n
a ⋅ e px
p ≠ Lösung charakteristischen Gleichung
y0 = A ⋅ e px
a ⋅ e px
a ⋅ cos px + b ⋅ sin px
p = Lösung charakteristischen Gleichung
y0 = x m ⋅ A ⋅ e px
j ⋅ p ≠ Lösung charakteristischen Gleichung
y0 = A ⋅ cos px + B ⋅ sin px
a ⋅ cos px + b ⋅ sin px
j ⋅ p = Lösung charakteristischen Gleichung
y0 = x m ( A ⋅ cos px + B ⋅ sin px )
Seite 168
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
5
Anwendung von Differentialgleichungen
ANALYSIS
5
Anwendung von Differentialgleichungen
5.1
Anfangswertproblem (AWP)
Bsp1: Es sei M eine Menge U 235 ( Anfangsmenge ) . U 235 zerfällt radioaktiv, so dass die Menge abnimmt.
Man berechne y ( t ) = Menge zur Zeit t.
y (0) = M
∆y
= Abnahme zur Zeit t
∆t
y ′ + α y = 0 Dgl
y′ (t ) ≈
λ +α = 0
y (0) = c ⋅ e
−α ⋅0
λ = −α
y′
y ′ = −α y
y
y = c ⋅ e −α t
Lösung
=c=M
y (t ) = M ⋅ e
Zusammenfassung
−α t
y′ + α y = 0
Anfangswertproblem (AWP)
y ( 0) = M
Lösung:
y = M ⋅ e −α t eindeutig
( y ( t ) = Ausschlag )
Bsp2: Feder
(Schwingungsgleichung )
y ′′ + ω 2 y = 0
λ +ω = 0
λ 2 = −ω 2
λ = ±ω j = 0 ± ω j
y1 = cos ω t
yallg = c1 cos ω t + c2 sin ω t
y2 = sin ω t
2
2
y ( 0) = 0
y ′ ( 0 ) = v0
Anfangsbedingung
y ( 0 ) = c1 cos 0 + c2 sin 0 = 0
einsetzen
y ′ ( 0 ) = c2ω cos ω 0 = v0
Lösung: y =
v0
ω
c1 = 0
c2 =
v0
ω
⋅ sin ω t
Zusammenfassung:
y ′′ + ω 2 y = 0
y ( 0) = 0
AWP
y ′ ( 0 ) = v0
Bsp3: Ein Geschoss werde senkrecht nach oben abgeschossen. Die Anfangsgeschwindigkeit sei v0 .
Man berechne die Höhenfunktion y ( t ) .
y′ = − g
y (0) = 0
AWP
y ′ = v0
( Luftreibung vernachlässigt )
y ′′ = − g
y ′ = − gt + c1
1
y = − gt 2 + c1t + c2
2
Anfangsbedingung:
1
y ( 0 ) = 0 = − g 0 + c1 0 + c2
c2 = 0
2
y ′ ( 0 ) = v0 = − g 0 + c1
c1 = v0
1
y ( t ) = − gt 2 + v0 t
2
Seite 169
dominik erdmann
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XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
5
Anwendung von Differentialgleichungen
Def. 5.1
dominik erdmann
ingenieurinformatik
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ANALYSIS
Ein Anfangswertproblem (AWP) ist gegeben
1.
durch eine Dgl
2.
durch zusätzliche Anfangsbedingungen der Form
k
y ( a ) = α 0 ; y ′ ( a ) = α1 ; y ′′ ( a ) = α 2 ;
y( ) ( a ) = α k
so, dass die Lösung eindeutig wird.
Bsp4: Elektrischer Schwingkreis
i ( t ) = Stormkreis = ?
(R-L-C)
q ( t ) = Ladung
Energie im Kondensator Wel =
1 q2
⋅
2 C
Magnetische Energie in der Spule Wmagn =
−
Wärmeentwicklung
−
d
(Wel + Wmagn ) = i 2 ⋅ R
dt
q
⋅ q′ + L ⋅ i ⋅ i ′ = i 2 R
C
Li ′′ + Ri ′ +
1
⋅ Li 2
2
−
dq
q ′= = i
dt
q
− Li ′ = iR
C
−
d 1 q2 1
⋅ + ⋅ Li 2 = i 2 ⋅ R
dt 2 C 2
ableiten
−
q′
− Li ′′ = i ′R
C
q ′= i
−
i′
− Li ′′ = i ′R
C
1
⋅i = 0
C
Anfangsbedingung
i ( 0) = 0
i ′ ( 0 ) = 0,1
AWP
Lösung der Dgl:
L ⋅λ2 + R ⋅λ +
1
=0
C
λ2 +
R2
1
<
4 L2 LC
λ =−
R<
2L
LC
R
R2
1
± − 2+
⋅j
2L
4 L LC
δ
i1 ( t ) = e −δ t ⋅ cos ω t
i2 ( t ) = e −δ t ⋅ sin ω t
Rλ
1
+
=0
L LC
=2
λ=−
R
R2
1
±
−
2
2L
4 L LC
L
C
λ = δ ±ω j
ω
iallg ( t ) = c1e−δ t ⋅ cos ω t + c2 e −δ t ⋅ sin ω t
Bestimmung der Konstanten:
i ( 0 ) = c1e −δ 0 ⋅ cos ω 0 + c2 e −δ 0 ⋅ sin ω 0
c1 = 0
i ′ ( 0 ) = 0,1 = c2 −δ ⋅ e−δ 0 ⋅ sin ω 0 + e −δ 0ω ⋅ cos ω 0
Lösung des AWP:
i (t ) =
0,1
ω
⋅ e −δ t ⋅ sin ω t mit δ =
R
2L
ω = 2π f =
Seite 170
R2
1
− 2
LC 4 L
f =
1
2π
R2
1
− 2
LC 4 L
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
5
Anwendung von Differentialgleichungen
5.2
dominik erdmann
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ANALYSIS
Randwertprobleme (RWP)
Bsp1: Ein Geschoss werde zur Zeit t = 0 nach oben abgeschossen und soll nach genau 10s den Boden wieder erreichen.
Wie groß war die Anfangsgeschwindigkeit?
y ′′ = − g
y ′′ = − g
y ′ = − gt + c1
Dgl:
y ( 0 ) = 0 RWP
y (10 ) = 0
1
y = − gt 2 + c1 ⋅ t + c2
2
y ( 0 ) = c2 = 0
1
g ⋅102
1
2
2
y (10 ) = − g ⋅10 + c1 ⋅10 = 0
c1 =
= 49, 05
2
10
1
Lösung: y ( t ) = − gt 2 + 49, 05 ⋅ t [ m ]
2
m
v0 = y ′ ( 0 ) = c1 = 49, 05
s
Bsp2: Ein Kfz beschleunige während der Fahrt 10s lang mit 0, 6 m s2 und lege in dieser Zeit 250m zurück.
Wie groß war die Geschwindigkeit zu Beginn der Beschleunigung.
y ( t ) = Weg zur Zeit t
y ′′ = 0,6
y ′′ = 0, 6
y ′ = 0, 6t + c1
Dgl:
RWP
y ( 0) = 0
y = 0,3 ⋅ t 2 + c1 ⋅ t + c2
y (10 ) = 250
y ( 0 ) = 0,3 ⋅ 02 + c1 ⋅ 0 + c2 = c2 = 0
y (10 ) = 0,3 ⋅102 + c1 ⋅10 = 250
c1 =
250 − 30
= 22
10
Lösung:
y ( t ) = 0,3t 2 + 22t
Geschwindigkeit:
y ′ ( 0 ) = 0, 6 ⋅ 0 + 22 = 22
Def. 5.2
m
km
≅ 79, 2
s
h
Ein Randwertproblem (RWP) ist gegeben
1.
durch eine Dgl
2.
durch zusätzliche Anfangsbedingungen der Form
y ( a ) = α ; y (b) = β ; y (c) = γ ;
y (k ) = κ
so, dass die Lösung in a ≤ x ≤ b eindeutig wird.
Bsp3: y ′′ − 3 y = 0
Dgl:
y ( 0) = 0
y ′′ − 3 y = 0
λ2 − 3 = 0
y (1) = e
Randbedingungen
y ( 0 ) = c1e0 + c2 e0 = 0
y (1) = c1e
Lösung:
3
+ c2 e −
3
y = 1, 03e
3x
+ c2 e−
3x
c1 = −c2
= c1 e
3x
λ = ± 3 = 0± 3
y = c1e
3
3
− e−
− 1, 03e −
3
=e
3
c1 =
3x
Seite 171
e
e
3
3
− e−
3
= 1, 03
c2 = −1, 03
XI
GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
5
Anwendung von Differentialgleichungen
5.3
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Eigenwertprobleme (EWP)
Bsp1: Harmonische Schwingung
y ( t ) = Auslenkung aus Ruhelage
Harmonische Schwingung: F
− y (t )
F = m ⋅ g = m ⋅ y ′′
k
⋅y=0
m
Wie groß ist m zu wählen, damit die Frequenz f = 1 ist?
m ⋅ y ′′
f =
1
T
m ⋅ y ′′ = −k ⋅ y
−y
y ′′ +
sei k =1
y ′′ +
1
⋅y=0
m
1
⋅ j = 0±
⇔ T =1
1
⋅y=0
m unbekannt
m
y ( 0) = 0
m = Eigenwert
EWP
y (1) = 0
Dgl:
y ′′ +
Randbedingungen:
y ( 0 ) = c1 ⋅ cos 0 + c2 ⋅ sin 0 = 0
y (1) = c2 ⋅ sin
Def. 5.3
1
m
=0
1
⋅y =0
m
1
λ2 + = 0
m
1
y1 = cos
⋅t
m
y ′′ +
λ=±
m
y2 = sin
1
m
1
m
⋅j
⋅t
y = c1 ⋅ cos
1
m
⋅ t + c2 sin
1
m
⋅t
c1 = 0
sin
1
m
=0
1
m
= 2π
1
= 4π 2
m
m=
1
4π 2
Ein Eigenwertproblem (EWP) besteht aus
1.
durch eine Dgl mit einem unbekannten Faktor (Eigenwert)
2.
Randbedingungen (eventuell mit unbekanntem Faktor)
Bsp2: y ′′ = −α y
y ( 0) = y ( 2) = 0
y ′′ + α y = 0
Dgl:
λ2 +α = 0
λ=± α⋅j
y = c1 cos α x + c2 sin α x
y ( 0 ) = c1 cos 0 + c2 sin 0 = 0
c1 = 0
y ( 2 ) = c2 sin α 2 = 0
(1)
c2 = 0
(2)
sin α 2 = 0
y=0
n 2π 2
c2 = beliebig
4
abgebremst, der Bremsweg beträft 20m. Wie groß war die Verzögerung?
α 2 = nπ
Bsp3: Ein Kfz werde bei der Geschw. 50 km h
(n ∈ )
α=
s ( t ) = Weg − Zeit − Funktion
s′′ = −a
a = Eigenwert
Dgl:
s ( 0) = 0
a = ?; T = ?
s (T ) = 20
s ′′ = −a
s ′ = −at + c1
s = −0,5at 2 + c1t + c2
s ′ ( 0 ) = 50 km h = 13,889 m s
s′ (T ) = 0
s ( 0 ) = c2 = 0
(1)
s ′ ( 0 ) = c1 = 13,889
(2)
s (T ) = −0,5aT + 13,889T = 0 (3)
2
s ′ ( T ) = −aT + 13,889 = 0
einsetzen
(4)
T [ −0,5 ⋅13,889 + 13,889] = 29
T [ −0,5aT + 13,889] = 20
aT = 13,889
T = 2,88s
Seite 172
a=
13,889 13,889
m
=
= 4,82 2 = Bremsverzögerung
2,88
T
s
ANHANG: KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN
1
ANALYSIS
Exponentialfunktionen
ANHANG: KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN
1
Exponentialfunktionen
e3 + 4 j = ?
Def. 1.1
z = a + bj
e z = e a + tbj = e a ebj = e a ( cos b + j ⋅ sin b )
Euler
Eulersche Formel:
e ± bj = cos b ± j ⋅ sin b
Bsp1: e1+ j = e1e j = e ( cos1 + j ⋅ sin1) = 1, 469 + j ⋅ 2, 287
Bsp2: e1−π j = e1e −π j = e ( cos π − j ⋅ sin π ) = −e
Satz 1.1
sei f ( z ) = e z periodisch
e z = e z + 2 kπ j
Bew: e z + 2 kπ j = e z ⋅ e 2 kπ j = e z ( cos 2kπ + j ⋅ sin 2kπ ) = e z
Seite 173
(k ∈ )
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANHANG: KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN
2
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Trigonometrische Funktionen
2
Trigonometrische Funktionen
e jx = cos x + j ⋅ sin x
(x∈ )
e − jx = cos x − j ⋅ sin x
addieren
e jx + e− jx = 2 ⋅ cos x
e jx − e − jx = 2 j ⋅ sin x
1 jx
e + e − jx )
(
2
1 jx − jx
sin x =
(e − e )
2j
cos x =
Def. 2.1
1 jz
( e + e− jz )
2
1 jz
sin z =
( e − e− jz )
2j
cos z =
Bsp1: sin j =
Bsp2: x ∈
( z = a + bj )
1 j⋅ j
1 −1 1
1
j
e − e− j⋅ j ) =
e − e ) = 2 ( e −1 − e1 ) = − ( e −1 + e ) j = −1,1752 j
(
(
2j
2j
2
2j
| sin x |≤ 1
sei sin z = 2
1 jz
( e − e− jz ) = 2
2j
e jz − e − jz = 4 j
e
z = a + bj
j ( a + bj )
−e
− j ( a + bj )
e ja ebj − e ja e − bj = 4 j
= 4j
2
cos a ( e − b − eb ) + j sin a ( e − b + eb ) = 4 j
( cos a + j ⋅ sin a ) e− b − ( cos a − j ⋅ sin a ) eb = 4 j
0
cos a ( e − e
−b
sin a ( e − e
−b
b
b
)=0
)=4
u 2 − 4u + 1 = 0
cos a = 0
u = 2 ± 3 = eb
a=
2
π
sin
2
nur eine Lsg
(
4
π
(e
2
b = ln 2 + 3
−b
− eb ) = 4
)
e −b − eb = 4
sin z = sin
z = a + bj
π
2
u =e
(
b
+ j ⋅ ln 2 + 3
u=
)
1
=4
u
=2
Anmerkung:
sin x = r
Def. 2.2
| r |≤ 1 ⇔
| r |> 1 ⇔
x reell
x komplex
sin z
cos z
cos z
cot z =
sin z
tan z =
Bsp1: tan ( 3 + 4 j ) = ? =
sin ( 3 + 4 j )
cos ( 3 + 4 j )
j
1 j (3+ 4 j ) − j (3+ 4 j )
1 3 j −4 −3 j 4
e
−e
=
e e −e e = 2
2j
2j
2j
= −3,854 − j ⋅ 27, 035
(1)
sin ( 3 + 4 j ) =
(2)
cos ( 3 + 4 j ) =
(3)
1 j (3+ 4 j )
j 3+ 4 j
e
+ e ( ) = = −27, 017 − j ⋅ 3,851
2
−3,854 − j ⋅ 27, 035
tan ( 3 + 4 j ) =
= 0, 2796 + j ⋅ 0,961
−27, 017 − j ⋅ 3,851
Seite 174
( cos 3 + j ⋅ sin 3) e−4 − ( cos 3 − j ⋅ sin 3) e4
ANHANG: KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN
3
3
ANALYSIS
Logarithmusfunktionen
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
Logarithmusfunktion
Def. 3.1
z =| z | ⋅e jϕ
ln z = ln | z | ⋅e jϕ = ln | z | + ln ( e jϕ ) = ln | z | + jϕ
Bsp1: ln (1 + 3 j ) = ?
z = 1 + 3 j =| z | ⋅e jϕ = 1 + 9 ⋅ e j ⋅1,249 = 10 ⋅ e j ⋅1,249 = ln (1 + 3 j ) = ln 10 ⋅ e j ⋅1,249 = ln 10 + j ⋅1, 249 = 1,151 + j ⋅1, 249
Bsp2: ln ( −1) = ?
−1 = 1 ⋅ eπ j
Anmerkung:
ln x mit x < 0
ln ( −1) = ln⋅ eπ j = π j
x = komplex
Seite 175
ANHANG: KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN
4
4
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Potenzen
Potenzen
Def. 4.1
z w = e w⋅ln z
Bsp2: (1 − j )
1+ j
=e
=e
1+ j )⋅ln (1− j )
=e
= e(
ln 2 +
π
4
j ln1+ j ⋅
j [ ln| j | + jϕ ]
Bsp1: j j = e j ⋅ln j = e
⋅ cos −
π
4
(1+ j )⋅
π
2
=e
j2 ⋅
ln 2 + j ⋅ −
π
2
=e
π
4
=e
+ ln 2 + j ⋅ sin −
−
π
2
(1+ j )⋅
π
4
π
ln 2 − ⋅ j
4
+ ln 2
Bsp3: 1 j = e j ⋅ln1 = 1
Seite 176
=e
ln 2 +
π
4
π
+ j ⋅ − + ln 2
4
= 2,808 + j ⋅1,318
ANHANG: KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN
5
5
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
ANALYSIS
Hyperbolische Funktionen
Hyperbolische Funktionen
Def. 5.1
1 z
( e + e− z )
2
1
sinh z = ( e z − e − z )
2
sin z
tanh z =
cos z
cos z
coth z =
sin z
cosh z =
1 3+ 2 j
( e − e−3− 2 j ) = 12 ( e3e2 j − e−3e−2 j ) = 12 e3 ( cos 2 + j ⋅ sin 2 ) − e−3 ( cos 2 − j ⋅ sin 2 )
2
= −4,1689 + j ⋅ 9,1469
Bsp1: sinh ( 3 + 2 j ) =
Bsp2: sinh ( j ⋅ z ) =
1 jz
1
e − e − jz ) = j ⋅ ( e jz − e − jz ) = j ⋅ sin z
(
2
2j
Seite 177
sinh ( jz ) = j ⋅ sin ( z )
ANHANG: KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN
6
ANALYSIS
Die ganze lineare Funktion
6
dominik erdmann
ingenieurinformatik
fh – bingen
Die ganze lineare Funktion
w = az + b
Def. 6.1
w = az + b heißt ganze lineare Funktion
Bsp1: w = (1 + 3 j ) z + ( 4 − 2 j )
Bsp2: w = z + b = Translation
Satz 6.1
Die Funktion w = z + b stellt in der Gaußschen Zahlenebene eine Translation (Parallelverschiebung) dar.
Bsp3: w = a ⋅ z
a =| a | ⋅e jϕ =| a | ( cos ϕ + j ⋅ sin ϕ )
z =| z | ⋅e jψ =| z | ( cosψ + j ⋅ sinψ )
w = a ⋅ z =| a | ⋅ | z | ⋅e
j (ϕ +ψ )
=| w | ⋅e jα = w
| w |=| a | ⋅ | z | - Streckung um | a |
- Drehung um ϕ
α = ϕ +ψ
Satz 6.2
Die Abbildung w = a ⋅ z ist eine Drehstreckung:
Streckung um Faktor | a | und Drehung um Winkel arg ( a ) = ϕ
Bsp4: w =
1
2
+ j⋅
1
2
z
1 1
+ =1
2 2
Drehung um 45°
Streckung:
Satz 6.3
Bsp:
Die Abbildung w = a ⋅ z mit | a |= 1 ist eine Drehung der Gaußebene um ϕ = arg ( a )
Mandelbrot – Menge
w j +1 = w j + z
w0 = 1
Die Menge der Anordnung der Punkte in einer Gaußebene nennt man Mandelbrot – Menge
Seite 178