¨Ubungen zur Experimentalphysik I (WS10/11)
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06 Übungen zur Experimentalphysik I (WS10/11) Prof. R. Beigang/Jun. Prof. J. Sirker/A. Fleischhauer Aufgabe 01: 06.12.2010 Trägheitsmoment Eine Kugel der Masse M = 1kg und Radius R = 10cm wird am oberen Ende der in der Abbildung gezeigten Bahn losgelassen und rollt ohne zu gleiten über das untere, waagerechte Ende hinaus. Dabei liege das obere Ende der Bahn in einer Höhe von H = 6, 0m und das untere in einer Höhe von h = 2, 0m. a) Bestimmen Sie durch Integration das Trägheitsmoment der Kugel bezüglich ihrer Rotationsachse durch den Schwerpunkt. b) In welcher waagerechten Entfernung von Punkt A trifft die Kugel auf den Boden. (Reibungskräfte sind zu vernachlässigen) (10 Punkte) Aufgabe 02: Trägheitsmoment Zwei gleichförmige Scheiben mit einer Masse von je 20 kg und einem Radius von 30 cm sind durch eine kurze Stange mit dem Radius 2 cm und der Masse 1 kg verbunden. Wenn die Stange so auf einer um 30◦ geneigten Ebene liegt, dass die beiden Scheiben über die Seiten ragen, dann rollt die Anordnung, ohne zu gleiten, herunter. Berechnen sie a) die lineare Beschleunigung und b) die Winkelbeschleunigung des Systems. c) Berechnen Sie die kinetische Energie des Systems, die mit der Translationsbewegung verbunden ist, nachdem es aus dem Stillstand 2m weit die Ebene herabgerollt ist. d) Berechnen Sie für das System die kinetische Energie der Rotation an demselben Punkt. (10 Punkte) Aufgabe 03: Trägheitsmoment Berechnen Sie durch geeignete Integration das Trägheitsmoment einer dünnen homogenen rechteckigen Platte der Masse M und Kantenlänge a und b für folgende Fälle. a) Die Drehachse fällt mit einer Seite der Länge a zusammen. b) Die Drehachse steht senkrecht auf der Platte und geht durch deren Mittelpunkt. (10 Punkte) Aufgabe 04(T): In der Vorlesung haben wir die Funktion f : R2 → R , f (x, y) = −x2 − 2y 2 betrachtet und die lineare Approximation im Punkt (x0 , y0 ) = (1, 1): x−1 g(x, y) ≈ f (1, 1) + df (1, 1) = −3 − 2(x − 1) − 4(y − 1). y−1 (1) Wenn wir die Funktion f (x, y) (analog für g(x, y)) graphisch darstellen, so sind dies die Punkte im dreidimensionalen Raum R3 mit x x y = . y (2) z f (x, y) 1. Bestimmen sie die Vektoren v0 , v1 und v2 des R3 wenn wir x = v0 + (x − 1)v1 + (y − 1)v2 y g(x, y) (3) setzen. Die Komponenten der Vektoren sind reelle Zahlen. 2. Bestimmen Sie einen normierten Vektor n, der senkrecht auf v1 und v2 steht (Hinweis: Kreuzprodukt). Warum spannen v1 und v2 eine Ebene auf? (10 Punkte) Aufgabe 05(T): Ein Teilchen soll eine Beschleunigung −Rω 2 cos(ωt) a(t) = −Rω 2 t sin(ωt) a0 e−t/τ (4) erfahren mit Konstanten R, ω, a0 , τ ∈ R. Berechnen Sie durch komponentenweise Integration die Geschwindigkeit v(t) und die Bahnkurve r(t). Dabei gelte R 0 (5) v(0) = 0 ; r(0) = 0 0 0 (10 Punkte) Aufgabe 06(Z): Ausgewählte Probleme aus der Schulmathematik, die Sie wissen sollten 1. Partialbruchzerlegung, 2. Stammfunktion, 3. Substitution, 4. partielle Integration, 5. Mittelwertsatz der Integrationsrechnung, 6. Bewegungsgleichung. (Keine Punkte, Besprechung nur auf Wunsch)
