Übungsblatt P9

Übungsblatt P9
zur fortgeschrittenen Mechanik für Bachelor Energy Science
Prof. K. Hornberger, Dr. M. Gruner
Infos siehe http://www.uni-due.de/tqp
Abgabe bis Freitag 14.6.2012 10:00 Uhr im Briefkasten der
Abgabe AG Hornberger (Eingangsbereich MG 480-490)
Bitte geben Sie die Aufgaben auf getrennten Blättern ab!
Aufgabe P29 — Trägheitsmomente des Kreiskegels
(6 Punkte)
Berechnen Sie das Trägheitsmoment eines homogenen Kreiskegels mit der Massendichte ρ, der Höhe
h und dem Radius r bezüglich einer Drehachse
(a) entlang der Kegelachse.
(b) senkrecht zur Kegelachse durch die Grundfläche.
(c) senkrecht zur Kegelachse durch den Schwerpunkt.
(d) senkrecht zur Kegelachse durch die Spitze.
Geben Sie die Trägheitsmomente als Funktion der Massendichte und als Funktion der Gesamtmasse
an.
Aufgabe P30 — Trägheitstensor einer Schraubenmutter
Berechnen Sie den Trägheitstensor einer VierkantSchraubenmutter. Wählen sie dazu ein geeignetes Koordinatensystem. Radius des Innenlochs: R. Quadratische Grundfläche
mit der Breite b = 4 R. Höhe: h = 2 R. Das Gewinde kann
vernächlässigt werden.
(6 Punkte)
R
2R
4R
Aufgabe P31 — Physikalisches Pendel
(6 Punkte)
Ein homogener Zylinder (Radius r, Länge L, Massendichte ρ) sei an einer seiner kreisförmigen Seitenflächen so aufgehängt, dass er in einer Ebene reibungsfrei schwingen kann.
(a) Skizzieren Sie das Problem
(b) Berechnen Sie das zur Drehbewegung gehörende Trägheitsmoment.
(c) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf und lösen Sie sie für kleine Auslenkungen.
(d) Berechnen Sie die Pendellänge die ein Fadenpendel mit gleicher Masse haben muss, um die
gleiche Schwingungsfrequenz zu liefern (sog. reduzierte Pendellänge).
Aufgabe P32 — Kippender Würfel
Ein Würfel mit der Kantenlänge a
und homogener Massendichte ρ gleitet
reibungsfrei mit der Geschwindigkeit
v0 auf einem horizontalen Tisch im
homogenen Gravitationsfeld der Erde.
Zum Zeitpunkt t1 stößt der Würfel
gegen ein sehr flaches Hindernis parallel
zur Tischkante. Die gleichförmige
Bewegung des Würfels wird dadurch
beendet und der Würfel kippt bei hinreichender Startgeschwindigkeit v0 über
das Hindernis vom Tisch.
(8 Punkte)
a
v0
t1
Der Würfel bewege sich in x-Richtung, das Hindernis befinde sich entlang der y-Achse bei x = 0
und z = 0 . Hinweis: Die Zwangsbedingungen sind nicht-holonom und zeitabhängig: Für t < t1
gleitet der Würfel auf einer Ebene, t > t1 wird die vordere Kante des Würfels entlang der Tischkante
festgehalten. Daher ist die Energie beim Stoß bei t1 nicht erhalten. Jedoch gilt Energierhaltung jeweils
für t < t1 und t > t1 .
(a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Würfels für eine Drehbewegung um eine der Würfelkanten.
(b) Da die Energie bei t = t1 nicht erhalten ist, müssen wir den Stoß durch andere Bewegungsgrößen
im Sinne der Newtonschen Mechanik beschreiben. Identifizieren Sie die Bewegungsgrößen die
beim Übergang von der gleichförmigen Bewegung bei t < t1 in die Drehbewegung bei t > t1
relevant sind und formulieren Sie eine Gleichung, die diese Größen in Beziehung setzt.
(c) Nutzen Sie den Energiesatz für t > t1 , um die Start-Geschwindigkeit v0 bei t < t1 zu berechnen,
die nötig ist, damit der Würfel vom Tisch kippen kann.
(d) Wieviel Energie geht beim Stoß verloren?