Blatt 7 - II. Institut für Theoretische Physik

UNIVERSITÄT STUTTGART – II. INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Prof. Dr. Udo Seifert
Klassische Mechanik (SS 2017) – Blatt 7
Aufgabe 18: Satz von Steiner
K
z′
y′
✻
✒
P
z
y
✻
❳
②
❳❳❳✲ x′
✒
❳❳
❳❳❳
❳
R
❳❳
✲
x
S
(S)
Seien Ijk die Komponenten des Trägheitstensors eines Körpers K bezüglich eines Koordinatensystems, dessen Ursprung mit dem Schwerpunkt S des Körpers zusammenfällt. Ebenso
(P )
seien Ijk die Komponenten des Trägheitstensors bezüglich eines um den Vektor R parallelverschobenen Koordinatensystems. Beweisen Sie den Satz von Steiner, der besagt, dass
diese Komponenten folgendermaßen zusammenhängen:
(P )
(S)
Ijk = M R2 δjk − Rj Rk + Ijk .
(1)
(2 Punkte)
Aufgabe 19: Trägheitstensor für einfache Körper
z
z
z0
R
M
z0
m
y
m
m
y
y0
x
x
a) Berechnen Sie den Trägheitstensor für den in der linken Abbildung dargestellten Zylinder der Masse m, des Radius R und der Höhe z0 .
(2 Punkte)
b) Wie in der rechten Abbildung gezeigt, seien drei Massepunkte der Masse m in der (x, y)Ebene. Die Verbindunglinien zwischen den Massen bilden ein gleichseitiges Dreieck,
wobei eine Masse auf der y-Achse mit Abstand y0 vom Ursprung anzutreffen ist. Ein
vierter Massepunkt der Masse M befinde sich auf der z-Achse mit Abstand z0 vom
Ursprung. Berechnen Sie die Komponenten des Trägheitstensors I des “Körpers”, der
aus den vier Massepunkten gebildet wird.
(2 Punkte)
Aufgabe 20: Rotierende Box
w
y
a
x
b
z
c
a
Wir betrachten eine Box mit Kantenlängen a, b und c und homogener Dichte ̺. Zur Zeit
t = 0 ist sie wie in der Abbildung dargestellt im Koordinatensystem orientiert. Die Box
rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit ω um eine starre Achse, die in der x-y-Ebene liegt,
durch den Mittelpunkt der Box geht und mit der x-Achse den Winkel α bildet.
a) Berechnen Sie den Trägheitstensor der Box.
(1 Punkt)
b) Berechnen Sie die Rotationsenergie.
(1 Punkt)
c) Berechnen Sie den Drehimpuls L im körperfesten Bezugssystem. Beschreiben Sie qualitativ den Verlauf des Drehimpulses L̄(t) im Laborsystem.
(1 Punkt)
d) Welches Drehmoment N ist nötig, um die Rotation um die starre Achse aufrechtzuerhalten? Beschreiben Sie qualitativ den Verlauf dieses Drehmoments N̄ (t) im Laborsystem.
(1 Punkt)