Blatt 6

Übung (6)
1. Block: Laufende Übung (Hinweis: Diese Aufgaben sind alle sehr einfach, nur für Nr. 4 müssen Sie etwas
konsequent beim Konzept bleiben.) Auf der zweiten Seite steht ein Block mit Aufgaben zur Wiederholung.
1. Sei die Gerade g (im zweidimensionalen Anschauungsraum E 3 ) gegeben durch die Gleichung (im üblichen kar→
−
→K
tesischen System K) y = 12 x + 1. Die die Gerade h gehe durch die Punkte P, Q mit −
xK
P = (3|1) , x Q = (−2|2) .
(a) Beschreiben Sie h zunächst in vektorieller Koordinaten-Form, gewinnen Sie daraus auch die Gleichungsform
für h, und berechnen Sie g ∩ h. Zusatzfrage: Würde sich an der Rechnung etwas ändern, wenn man ein
beliebiges Koordinatensystem L statt des kartesischen K wählen würde?
(b) Schneiden Sie h mit der Parabel y = 2x2 . Hinweis: Benutzen Sie die Gleichungsformen als Gleichungssystem,
und benutzen Sie ruhig einen Taschenrechner, aber ohne falsche Dezimalzahlen zu produzieren (Brüche und
Wurzeln!), rechnen Sie das Wesentliche auch von Hand.
(c) Welchen (kleineren) Winkel bildet g mit der x− Achse? (Für c und d ist kartesisches K vorausgesetzt!)
→
(d) Beschreiben Sie die Gerade k, welche senkrecht auf g steht
den Punkt R mit −
x R = (10|3)
und
durch
a
c
geht. Hinweis: Sie sollten mittels des Skalarprodukts
·
= ac + bd (Null genau dann, wenn
b
d
a
c
⊥
) einen passenden Richtungsvektor für k finden und dann k vektoriell beschreiben. Anb
d
schließend rechnen Sie noch die aus der Schule bekannte (Gleichungs-)Form für k aus. Verallgemeinern Sie,
und gewinnen Sie damit einen Rechenausdruck, welche aus der Steigung m = 0 einer Geraden die Steigung
einer jeden dazu senkrechten Geraden berechnet.
2. Parametrisieren Sie (als Menge von Koordinatendarstellungen von Ortsvektoren) die Parabel y = x2 .
(a) Verschieben Sie die Parabel mit dem Vektor (2| − 3) , geben Sie eine Parametrisierung für die verschobene
Parabel. Wie sieht also die Gleichung der verschobenen Parabel aus?
(b) Strecken Sie die verschobene Parabel mit Zentrum (−4|2) und Streckungsfaktor 5, geben Sie eine Parametrisierung für die resultierende Punktmenge. Was für ein geometrisches Gebilde resultiert? (Verbale
Beschreibung und Skizze sind erwünscht.) Bringen Sie das Resultat auch in Gleichungsform.
3. Es sei ein Dreieck in der Ebene mit Seitenlängen a = 5, b = 6, c = 8 gegeben. Die Eckpunkte seien A, B, C,in
→
der üblichen Bezeichnungsweise. Es sei −
xK
A = (0|0) . Ferner habe B in K die y− Koordinate 0.Dabei sei K
ein kartesisches Koordinatensystem, dessen Achseneinheiten denjenigen gleich sind, in welchen a, b, c angegeben
sind.
(a) Berechnen Sie die Koordinatendarstellungen in K für die Punkte B und C. Hinweise: Benutzen Sie für C
den Kosinussatz. C ist dann eindeutig bestimmt mit der üblichen Orientierung bei der Bezeichnung der
Punkte und ser Seitenlängen.
(b) Berechnen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks.
4. Ein Stab läuft (oder eher: ’rutscht’) senkrecht auf der x, y− Ebene stehend. Er hat die Länge 2. Der Fußpunkt
des Stabs beschreibe folgende Kurve (wie sieht die Bahn aus?):
 


3
cos (t)
−
→
x (t) =  4  + 3  sin (t)  , 0 ≤ t < 2π.
0
0
 
0
→
Im Punkt P mit −
x P =  0  liegt eine (punktförmige) Lichtquelle. Geben Sie eine Parametrisierung für die
4
Kurve, welche der Schattenpunkt (von der Lichtquelle auf die xy− Ebene geworfen) des oberen Stab-Endpunktes
beschreibt. Identifizieren Sie dann auch die resultierende Kurve. Hinweis: Sie müssen zunächst die Bahn parametrisieren, welche vom oberen Stab-Endpunkt durchlaufen wird, und dann für jeden Punkt dieser Bahn die
Gerade durch den Leuchtpunkt und diesem oberen Stabendpunkt mit der xy− Ebene schneiden. Verwechseln
Sie nicht den Parameter, durch welchen der jeweilige Stabendpunkt beschrieben wird, mit dem freien Parameter
der erwähnten Geraden (auf den sich die Schnittaufgabe bezieht).
1
2. Block: Einfachere Übungsaufgaben zur Wiederholung:
1. Konstruieren Sie (mit Zirkel und Lineal) ein Dreieck mit b = c = 4 und dem Winkel α = 112.5 Grad. Hinweis:
Setzen Sie 112.5 geeignet zusammen. (Zeichnerische Konstruktion und Beschreibung der Konstruktion sind
erwünscht.)
1
→
2. Ein Dreieck hat den Schwerpunkt S (1|3) (d.h. −
xK
=
) und den Mittelpunkt seines Umkreises M (4|5) .
S
3
Schließen Sie daraus unmittelbar auf den Schnittpunkt H der Höhengeraden des Dreiecks, d.h. geben Sie die
Koordinatendarstellung für H. Hinweis: Wie wurde der Satz von der Eulerschen Geraden bewiesen?
3. (a) Beschreiben Sie in Worten, warum und wie man mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Sechseck mit
vorgegebenem r = Radius des Kreises, dem das Sechseck einbeschrieben ist, konstruieren kann (beschreiben
Sie nur eine Konstruktion).
(b) Berechnen Sie die Differenz von Kreisflächeninhalt und Inhalt des einbeschriebenen Sechsecks (als Rechenausdruck in r).
(c) Schaffen Sie Beides auch für ein regelmäßiges 24− Eck? (Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung, ohne
die Konstruktion auszuführen.)
(d) Es ist π/12 = π/3 − π/4. (Rechnen Sie das nach.) Nun benutzen Sie das Additionstheorem für sin, um
sin (π/12) exakt auszurechnen (bitte geben Sie den exakten Ausdruck mit Wurzeln, keine Dezimalzahlnäherung). Berechnen Sie damit den Flächeninhalt eines regelmäßigen 24− Ecks, das einem Kreis vom Radius
r einbeschrieben ist. Welche Näherung für π bekommen Sie damit?
4. Ein zentralperspektivisches Bild ist zu zeichnen mit d = 10[cm]. Auf dem ’Boden’ liegt der Punkt P. Sein
Bildpunkt P ′ habe das Koordinatenpaar (im Hauptpunktsystem) (−4| − 6)[cm]. Auf P steht eine senkrechte
Kante mit oberem Endpunkt Q, und Q′ habe die v− Koordinate −3.5[cm].
(a) Zeichnen Sie (Hochformat, Hauptpunkt horizontal in der Mitte, aber genau 15cm Platz nach oben) den
Horizont, H und die Bildstrecke P ′ Q′ ein.
(b) Ergänzen Sie P Q (in die Ferne von O aus gesehen) zu einem Würfel, dessen Kanten auf dem Boden
sämtlich 45-Grad-Winkel mit der Standlinie bilden, und zeichnen Sie das Zentralbild dieses Würfels. Hinweis:
Betrachten Sie die Würfelwand vorn rechts: Welchen Fluchtpunkt hat die Diagonale auf dieser Wand, welche
von P ausgeht? Welchen Fluchtpunkt hat die Würfelkante oben rechts? Mit diesen beiden können Sie das
Bild der Würfelkante ’oben rechts vorn’ zeichnen. Mit dem Fluchtpunkt der von P ausgehenden Kante nach
links hinten können Sie zum Bild des Würfels ergänzen. Zeichnen Sie nur die Bilder der sichtbaren Kanten.
(c) Setzen Sie auf das Würfeldach noch eine vierseitige Pyramide, deren Spitze über dem Mittelpunkt des Dachs
liegt. Der Bildpunkt der Spitze soll die v− Koordinate −2.3[cm] im Hauptpunktsystem haben. Zeichnen
Sie das Bild der Pyramide (nur die sichtbaren Kanten) hinzu.
(d) Messen Sie nach, welchen Winkel eine Dreiecksfläche des Pyramidendachs mit der Bodenebene bildet.
(Achtung, verwechseln Sie den nicht mit dem Winkel, welche die schrägen Dachkanten mit der Bodenebene
bilden.)
(e) Bestimmen Sie den Fluchtpunkt der vorderen schrägen Dachkante. Messen Sie auch den Winkel nach,
welchen die schrägen Dachkanten mit der Bodenebene bilden.
(f) Nun sei weiter vorausgesetzt, dass der Punkt P 9.9[m] von ZE entfernt ist. Welche Seitenlänge hat der
Würfel tatsächlich?
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