Man berechne die folgenden uneigentliche Integrale (a) ∫ cos x 1

Übungsaufgaben
Mathematik für Informatiker II
SERIE 08
08.1
Termin: 06.06.-09.06.11
Man berechne die folgenden uneigentliche Integrale!
∫𝜋/2
(a)
∫1
cos 𝑥
√
𝑑𝑥
1 − sin 𝑥
(c)
0
∫∞
(b)
𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
0
∫∞
𝑑𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
(d)
𝑒−𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
0
−∞
08.2
Man berechne das Volumen des unbeschränkten Rotationskörpers, der durch Drehung der Kurve 𝑥𝑦 = 9
für 𝑥 ≥ 1 um die 𝑥-Achse entsteht.
08.3
Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve
𝑦=
1 √
𝑥 𝑥+1
2
im Intervall 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.
08.4
Berechnen Sie die Bogenlänge der Kardioide, die in Parameterform wie folgt für 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋 gegeben ist:
𝑥
=
(1 − cos 𝜙) cos 𝜙
𝑦
=
(1 − cos 𝜙) sin 𝜙
Hinweis: Es gelten die Beziehungen sin(2𝜙) = 2 sin 𝜙 cos 𝜙, cos(2𝜙) = cos2 𝜙−sin2 𝜙, 𝑐𝑜𝑠𝜙 = cos(2𝜙−𝜙) =
cos(2𝜙) cos 𝜙 + sin(2𝜙) sin 𝜙 und 1 − cos 𝜙 = 2 sin2 ( 12 𝜙).
08.5
Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, für welche positiven Zahlen 𝛼 die folgende Reihe konvergiert:
∞
∑
1
𝑛
(ln
𝑛)𝛼
𝑛=2