Charmoniumspektroskopie - Justus-Liebig

Bachelor Thesis
Charmoniumspektroskopie
–
Charmoniumspectroscopy
vorgelegt von
Eduard Seifert
September 2012
Betreuer:
Prof. Dr. Christian Fischer
Institut für Theoretische Physik
Fachbereich 07: Mathematik und Informatik,
Physik, Geographie
Justus-Liebig-Universität Gießen
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation und Zielsetzung
5
2 Nicht-relativistische Schrödingergleichung
9
2.1
Nicht-relativistische Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.1
Separation der Relativ- und Schwerpunktsbewegung . . . . . .
9
2.1.2
Transformation in sphärische Polarkoordinaten . . . . . . . . . 10
2.2
Numerische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3
Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4
Charmonium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.1
Energien bei ungestörtem Potential . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.2
Spin-Bahn-Wechselwirkung
2.4.3
Spin-Spin-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Pauligleichung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
25
3.1
Lösung der Pauligleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2
Weitere relativistische Korrekturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Fazit
31
A Herleitungen
33
A.1 Impulsquadrat in sphärischen Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . 33
A.2 Beweis zu den S-Zuständen
B Bilderanhang
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
35
B.1 Wasserstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B.2 Schrödingergleichung des Charmoniums . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
B.3 Pauligleichung des Charmoniums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Abbildungsverzeichnis
45
Tabellenverzeichnis
47
Literaturverzeichnis
49
Danksagung
51
3
Kapitel 0
INHALTSVERZEICHNIS
Erklärung
4
53
Kapitel 1
Motivation und Zielsetzung
Bereits in der Vergangenheit wurden sehr gute Ergebnisse mit der nicht-relativistischen Schrödingergleichung erzielt. Mit dieser Gleichung kann beispielsweise das
Spektrum des Wasserstoffatoms äußerst genau berechnet werden. Hierzu müssen
die relativistischen Effekte störungstheoretisch miteinbezogen werden. Die Beschreibung des Positroniums, welches aus einem Elektron und Positron besteht, funktioniert ähnlich gut mit der Verwendung der Pauligleichung. Die Pauligleichung hat
die Form der Schrödingergleichung, allerdings wird hier zusätzlich der Spin des Teilchens anhand eines Spinors berücksichtigt. Das Ziel ist es mit den Methoden für das
Wasserstoffatom und für das Positronium das experimentell gemessene Spektrum
des Charmoniums zu reproduzieren. Hierzu soll das effektive Potential der starken
Wechselwirkung
V (r) = br −
αs
r
(1.0.1)
verwendet werden. αs stellt die Kopplungskonstante der starken Wechselwirkung
dar und b bewirkt die Stärke des Confinements. Das Charmonium wird zunächst unter Verwendung von Gleichung (1.0.1) mit der Schrödingergleichung behandelt. Die
Energieeigenwerte werden numerisch aus der diskretisierten Schrödingergleichung
bestimmt. Die Korrekturen der Spin-Spin- und Spin-Bahn-Wechselwirkung werden
anschließend in erster Ordnung Störungstheorie eingebracht und die errechneten
Massen mit den experimentellen Daten verglichen. Es folgt die Beschreibung durch
die Pauligleichung. Die Pauligleichung wird ebenfalls diskretisiert und deren Eigenwerte numerisch berechnet. Zum Schluss werden noch weitere realtivistische Korrekturen störungstheoretisch eingebracht.
Bevor die eigentlichen Berechnungen vorgestellt werden sei hier noch eine Zusammenfassung der Geschichte des Charmoniums gegeben:
Bis zu dem Jahr 1974 waren die Quarks Up, Down und Strange bekannt. Glashow,
Iliopoulos und Maiani setzten 1970 bereits die Existenz eines neuen Quarkflavours,
dem Charm, voraus. Dieses sollte eine Quantenzahl C besitzen, welche ähnlich der
5
Kapitel 1
MOTIVATION UND ZIELSETZUNG
Strangeness in der starken und elektromagnetischen Wechselwirkung erhalten wäre.
Diese These sollte sich 1974 bestätigen. Fast zeitgleich wurden am SLAC in Stanford
am SPEAR durch e+ e− Kollisionen (Augustin et al. 1974) und am Alternating Gradient Synchrotron (AGS) in Brookhaven durch Kollision eines Protons mit einem
Beryllium-Target (Aubert et al. 1974) zum ersten Mal Resonanzen des Charmoniums beobachtet. Die auftretenden Reaktionen sind [Per00] entnommen:
(1.0.2)
Beide Arbeitsgruppen beobachteten bei einer Masse von 3.1 GeV eine scharfe Resonanz, die Ψ-Resonanz, welche dem 13 S1 -Zustand des Charmoniums entspricht. Am
SLAC wurde noch eine weitere Resonanz bei 3.7 GeV beobachtet, dies ist der erste
angeregte Zustand der Ψ-Resonanz. Die Genauigkeit der Breite wurde hauptsächlich
von der Messgenauigkeit an den beiden Beschleunigern bestimmt. Die gemessene
Breite war deutlich größer als die tatsächliche Breite, welche über die Breit-WignerFormel bestimmt werden kann. Mit der scharfen Resonanz geht auch eine lange
Lebensdauer durch Fermis goldene Regel“ einher. Die Lebensdauer beträgt etwa
”
10−20 s.
Im späteren Verlauf wurden noch weitere Resonanzen, die dem Charmonium zugeordnet werden können, beobachtet. Die langen Lebensdauern konnten durch Kombination der bekannten u,d,s Quarks nicht erklärt werden, weshalb die Resonanzen,
wie bereits 1970 postuliert, aus einem neuen Quark bestehen mussten, welches wiederum massiv sein musste. Dieses neue Quark war das Charm. Aufgrund der Form
des gemessenen Spektrums, welche dem des Positroniums sehr ähnlich war, lag die
Beschreibung dieser Zustände durch ein Fermion-Antifermion-Paar, cc nahe. Die
Breiten der Resonanzen steigen ab einer Energie größer als 3.75 GeV, die doppelte
Masse eines charmanten Mesons (D-Meson), abrupt an.
Abbildung
1.1:
Fermidiagramme
Charmoniumszustands [Per00].
zum
hadronischen
Zerfall
des
3S 1
In Abbildung 1.1 sind hadronische Zerfälle des Charmoniums gezeigt. (a) ist für
Energien unterhalb der DD-Grenze der einzige hadronische Zerfall. Ab einer Ener-
6
1.0
gie über dieser Grenze kann das Charmonium über den Prozess (b) zerfallen. Der
in (a) dargestellte Zerfallsprozess ist wegen des harten“ Dreigluonaustausch ge”
genüber dem weichen“ Eingluonaustausch aus (b) stark unterdrückt. Aus diesem
”
Grund sinkt die Lebensdauer der Charmoniumzustände über der DD-Grenze und
die Resonanzen verbreitern sich enorm.
Es folgen einige Eigenschaften des Charmoniums:
Das Charmonium besteht, wie bereits erwähnt, aus einem Charm- und Anticharmquark. Ein Charm ist ein Quarkflavour der zweiten Generation, besitzt, weil es ein
Fermion ist, einen Spin von 21 und trägt eine elektrische Ladung von + 32 e0 , wobei e0
die Elementarladung ist. Die Charmzahl C ist, wie die Strangeness, in der starken
und elektromagnetischen Wechselwirkung erhalten. Die Konstituentenquarkmasse
mc des Charms ist in den Berechnungen ein freier Parameter, der angepasst werden
muss.
7
Kapitel 2
Nicht-relativistische
Schrödingergleichung
2.1
Nicht-relativistische Schrödingergleichung
Als Ansatz zur Berechnung der Energieeigenwerte und damit der Massen der verschiedenen Charmoniumzustände dient die nicht-relativistische, zeitunabhängige Schrödingergleichung
~2 2
p~ + V (~r) Ψ(~r)
EΨ(~r) = HΨ(~r) = −
2m
~ .
p~ = −i~∇
2.1.1
(2.1.1)
(2.1.2)
Separation der Relativ- und Schwerpunktsbewegung
Das Wechselwirkungspotential zwischen dem Charm- und Anticharmquark besitzt
nach Annahme nur eine Abhängigkeit des Abstandes dieser beiden, weshalb es sich
anbietet die Bewegung des Schwerpunktes von der Relativbewegung zu entkoppeln
und separat voneinander zu lösen.
Der Hamiltonoperator des Systems Charm - Anticharm sieht wie folgt aus:
H=−
~2
~2
∆1 −
∆2 + V (|~r2 − ~r1 |)
2m1
2m2
(2.1.3)
Die Indizes 1 und 2 gehören dabei zum Charm, bzw. Anticharm. Die Wellenfunktion, die in der Schrödingergleichung auftaucht, wird so gewählt, dass sie zunächst
von ~r1 und ~r2 abhängt. Die Schrödingergleichung nimmt dann die Form
~2
~2
−
∆1 −
∆2 + V (|~r2 − ~r1 |) Ψ(~r1 , ~r2 ) = E Ψ(~r1 , ~r2 )
2m1
2m2
(2.1.4)
9
Kapitel 2
NICHT-RELATIVISTISCHE SCHRÖDINGERGLEICHUNG
an. Es wird nun benutzt, dass die Massen m1 und m2 dieselben sind (von nun an
nur noch mc ) und die folgenden Relationen für den Schwerpunkt und die Relativkoordinaten gelten:
M = 2mc
~ = mc~r1 + mc~r2
S
M
1
2
=
µ
mc
~r = ~r2 − ~r1
(2.1.5)
~ abhängen, den Relativ- und Schwerpunktkoordinaten.
Ψ soll ab jetzt von ~r und S
Die Ausführung des Laplace-Operators ergibt exemplarisch:
∂Ψ
∂Ψ ∂S1 ∂Ψ ∂r1
mc ∂Ψ
∂Ψ
=
+
=
−
∂x1
∂S1 ∂x1 ∂r1 ∂x1
M ∂S1 ∂r1
2
∂ Ψ
∂
∂Ψ ∂S1
∂
∂Ψ ∂r1
1 ∂ 2Ψ
∂ 2Ψ
∂ 2Ψ
=
+
=
−
+
∂x21
∂S1 ∂x1 ∂x1 ∂r1 ∂x1 ∂x1
4 ∂S12
∂S1 ∂r1
∂r12
(2.1.6)
(2.1.7)
Bei analoger Durchführung an den restlichen Komponenten wird das Ergebnis gewonnen:
~2
~2
~ = E Ψ(~r, S)
~
∆~ −
∆~r + V (r) Ψ(~r, S)
−
2M S 2µ
(2.1.8)
~ = f (~r) · g(S)
~ gewählt und erhält voneinEs wird nun der Separationsansatz Ψ(~r, S)
ander separierte Gleichungen für den Schwerpunkt und die Relativkoordinaten:
~2
~ = Eg g(S)
~
∆ ~ g(S)
4mc S
~2
− ∆~r + V (r) f (~r) = Ef f (~r)
mc
−
(2.1.9)
(2.1.10)
Die Lösung der Schrödingergleichung für den Schwerpunkt ist eine ebene Welle,
deren Energien die kinetische Energie des Schwerpunkts ist. Die Gleichung für die
Relativkoordinaten muss im Folgenden weiter umgeschrieben werden.
2.1.2
Transformation in sphärische Polarkoordinaten
Im Wesentlichen muss der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten ausgedrückt werden. Die genaue Herleitung ist in Anhang A.1 zu finden.
∆Kugel =
1 ∂2
1 ~2
r − 2L
(θ, φ)
2
r ∂r
r
(2.1.11)
Der winkelabhängige Term des Laplace-Operators wurde durch den Operator des
Drehimpuls-Quadrates ausgedrückt und entspricht
10
Numerische Grundlagen
~2 = − 1
L
~2
∂2
1 ∂2
1 ∂
+
+
∂θ2 tanθ ∂θ sin2 θ ∂φ2
2.2
.
(2.1.12)
Es wird erneut der Separationsansatz gewählt: Die Wellenfunktion für die Relativbewegung wird als Produkt zweier Funktion, wovon eine nur vom Radius und die
andere von den Raumwinkeln θ und φ abhängt, ausgedrückt.
~2 1 d2
1 ~2
−
r−
L (θ, φ) + V (r) R(r) Ylm (θ, φ) = E R(r) Ylm (θ, φ) (2.1.13)
mc r dr2
mc r 2
Ylm (θ, φ) sind hierbei die Eigenfunktionen zum Drehimpulsoperator mit der Eigen~ 2 Y m = ~2 l(l + 1) Y m . l ist die Bahndrehimpulsquantenzahl und m die
schaft: L
l
l
magnetische Quantenzahl. Durch die Wahl von R(r) = 1r u(r) und der Multiplikation beider Seiten mit r vereinfacht sich die Gleichung zu
~2 l(l + 1)
~2 d2
+
+ V (r) u(r) Ylm (θ, φ) = E u(r) Ylm (θ, φ) .
−
mc dr2
mc r 2
(2.1.14)
Es ist die anfänglich dreidimensionale Eigenwertgleichung für ein Zweikörperproblem
auf eine eindimensionale Eigenwertgleichung für ein Einkörperproblem zurückgeführt
worden.
2.2
Numerische Grundlagen
Im Folgenden Abschnitt soll die obige Eigenwertgleichung numerisch gelöst werden.
Zu diesem Zweck muss die Schrödingergleichung diskretisiert werden. Es werden von
hier an natürliche Einheiten verwendet, d.h. ~ = c = 1.
Die Wellenfunktion wird in N Punkte unterteilt und als Vektor dargestellt. Dies
betrifft lediglich den radialen Anteil u(r) der Wellenfunktion. Der Ort r ergibt sich
mit der Schrittweite dr und dem Inkrement i ∈ {1, ...N } zu r = i dr. Mit der
Schreibweise ui = u(i dr) kann die Radialkomponente u(r) wie folgt dargestellt
werden:
 
u1
 . 
 .. 
 
 
u(r) =  ui 
(2.2.1)
 . 
 . 
 . 
uN
11
Kapitel 2
NICHT-RELATIVISTISCHE SCHRÖDINGERGLEICHUNG
In der Schrödingergleichung taucht nun noch die zweite Ableitung von u(r) auf.
Diese lässt sich durch den zentralen Diff erenzenquotienten
d2 u(r)
ui+1 − 2ui + ui−1
=
2
dr
dr2
(2.2.2)
ausdrücken. Dieser Term wird in die Schrödingergleichung eingesetzt.
−
1
l(l + 1)
(ui−1 − 2ui + ui+1 ) +
+ V (i dr)ui = E ui
2
mc dr
mc (i dr)2
(2.2.3)
Hieraus wird ersichtlich, dass die diskretisierte Schrödingergleichung als Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor dargestellt werden kann. Der Vektor ist hierbei
u(r). Die Einträge auf der Diagonalen der Matrix sind die Koeffizienten von ui , die
der Nebendiagonalen sind in den Koeffizienten von ui−1 , bzw. ui+1 zu finden, welche
in diesem Fall identisch sind.
aii =

..
.

. .
 .

0

 ..
 .

0
..
.
...
−1
mc dr2
···
l(l + 1)
2
+
+ V (i dr)
2
mc dr
mc (i dr)2
0
...
···
aii
..
.
−1
mc dr2
0
..
.
..
.
 
 
u1
u1
0

 . 

.
..  
.. 
 .. 
. 
 


 
 

0   ui  = E  ui 
 . 
 . 
.. 
 . 
.. 
. 
 . 



..
uN
uN
.
(2.2.4)
(2.2.5)
Es wird eine Eigenwertgleichung der Art
M · ~u = E ~u
(2.2.6)
erhalten. Zur numerischen Berechnung der Eigenwerte und -vektoren dieses Eigenwertproblems gibt es bestimmte Algorithmen, wovon der in dieser Arbeit verwendete
etwas modifiziert aus [Pre96] entnommen ist. Die Routine tqli ist in sofern modifiziert, als dass diese und ihre verwendeten Unterprogramme nun nicht in einfacher,
sondern in doppelter Präzision, d.h. mit bis zu 12 Nachkommastellen rechnen.
2.3
Wasserstoffatom
Das mit Fortran90 geschriebene Programm wird zunächst am Wasserstoffatom erprobt, um die Funktionalität von diesem sicherzustellen. Das Potential entspricht
12
Charmonium
2.4
dabei V (r) = − αr mit α=7.2973525698·10−3 , der Feinstrukturkonstante [COD]. Als
Masse dient diejenige des Elektrons von 510998.928 eV/c2 [COD]. Eingesetzt, werden
folgende Eigenwerte bei 100000 Stützstellen in dem Intervall (0 nm,10 nm] erhalten.
Die Eigenwerte werden in Tabelle 2.1 bei 6 signifikanten Stellen mit den analytisch
ermittelten Werten verglichen.
Tabelle 2.1: Energien des ungestörten Wasserstoffatoms.
Hauptquantenzahl n Programm/eV Analytisch/eV
1
-13.6057
-13.6057
2
-3.40142
-3.40142
3
-1.51174
-1.51174
-0.850356
-0.850356
4
5
-0.544228
-0.544228
-0.377936
-0.377936
6
7
-0.277667
-0.277667
8
-0.212433
-0.212589
-0.166803
-0.167972
9
-0.124327
-0.112444
10
Die Energien sind, den Erwartungen entsprechend, auf Grund des Coulombpotentials im Drehimpuls entartet, das bedeutet, dass beispielsweise die Energie des 2SZustands gleich derjenigen des 2P-Zustands ist. Es gibt eine sehr gute Übereinstimmung der errechneten mit den analytischen Werten. Erst ab der siebten Hauptquantenzahl lässt sich eine Abweichung bei 6 signifikanten Stellen erkennen.
Ein Vergleich der Radialwellenfunktionen R(r) ist in der Abbildung 2.1 exemplarisch
an den 1S, 2P und 3D Zuständen gezeigt. Diese werden wegen des Rechenaufwands
mit 5000 Stützstellen errechnet. Die Darstellung von diesen Graphen erfolgt, wie
alle weiteren auch, durch Wolfram Mathematica 8. Die vom Programm errechneten
Wellenfunktionen stimmen mit den analytisch bestimmten überein. Die Wellenfunktionen von den 2S, 3S und 3P Zuständen und die bereits gezeigten sind größer im
Anhang B.1 zu finden. Der geschriebene Code scheint funktionsfähig zu sein, womit
sich nun dem Charmonium zugewendet werden kann.
2.4
2.4.1
Charmonium
Energien bei ungestörtem Potential
In das Programm wird anstatt des Coulombpotentials das effektive Potential der
starken Wechselwirkung eingesetzt. Die verwendeten Werte betragen αs = 0.48 und
b = 0.18GeV2 , entsprechend der Quelle [B.R96]. Die Konstituentenmasse mc des
Charms wird solange variiert, bis die errechneten Massen der Zustände bei Einbe-
13
Kapitel 2
NICHT-RELATIVISTISCHE SCHRÖDINGERGLEICHUNG
1S
2P
RHrL
RHrL
Programm
Programm
400 000
30 000
25 000
Literatur
300 000
Literatur
20 000
200 000
15 000
10 000
100 000
5000
r
1
2
3
4
5
6
r
2
Å
4
6
8
Å
3D
RHrL
10 000
Programm
8000
Literatur
6000
4000
2000
r
5
10
15
Å
Abbildung 2.1: Darstellung der Radialwellenfunkionen. Durchgezogene Linie: von
dem Programm errechnete Funktion; Gestrichene Linie: Analytisch errechnete Funktion [Nol06].
ziehung der Spin-Spin- und Spin-Bahn-Wechselwirkung in der Nähe der im Experiment gemessenen Massen liegen, was bei einer Masse mc von 1337 MeV der Fall ist.
Wie genau die Spin-Spin- und Spin-Bahn-Wechselwirkung in die Berechnung eingehen wird in den nächsten Unterabschnitten erläutert. Die Massen der Zustände des
Charmoniums errechnen sich zu M = 2 · mc + E, wobei E die errechneten Energieeigenwerte sind.
Die ungestörten, errechneten Massen sind in Tabelle 2.2 zu finden.
Tabelle 2.2: Ungestörte Massen des Charmoniums.
Zustand Masse/MeV
1S
2S
3S
4S
1P
2P
1D
2D
3069
3674
4126
4514
3487
3961
3785
4203
Einige ausgewählte Radialwellenfunktionen R(r) sind in der folgenden Abbildung
dargestellt. Die Verläufe der Wellenfunktionen des Charmoniums stimmen qualitativ mit denen des Wasserstoffatoms überein. Alle P- und D-Wellenfunktionen ver-
14
Charmonium
2.4
1P
1S
RHrL
RHrL
7000
25 000
6000
20 000
5000
15 000
4000
3000
10 000
2000
5000
1000
r
r
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.05
fm
0.10
0.15
0.20
0.25
fm
1D
RHrL
4000
3000
2000
1000
r
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
fm
Abbildung 2.2: Darstellung der Radialwellenfunkionen des Charmoniums.
schwinden im Ursprung, wobei die S-Wellenfunktionen dort einen endlichen Wert
besitzen. Gleiches kann bei den Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms beobachtet
werden. Vergleiche mit dem Experiment werden erst nach den folgenden Unterabschnitten gezogen.
2.4.2
Spin-Bahn-Wechselwirkung
Um das Charmonium korrekt beschreiben zu können, werden noch relativistische
Korrekturen benötigt. Die Beiträge dieser Korrekturen sind im Vergleich zu den
Energien des ungestörten Hamiltonoperators klein, können somit als kleine Störung
des Hamiltonoperators aufgefasst werden.
In diesem Unterabschnitt wird die Spin-Bahn-Wechselwirkung störungstheoretisch
eingebracht. Das Vorgehen für die störungstheoretische Behandlung der Energieeigenwerte in erster Ordnung ist das Folgende:
H0 sei der ungestörte Hamiltonian, in diesem Fall der Hamiltonian aus Gleichung
(2.1.14) mit dem Potential aus Gleichung (1.0.1), und H1 ein Störterm, der mit
einem Faktor λ ∈ [0, 1] versehen ist und dessen Beitrag zur Energie für das kommende Vorgehen nicht zu groß sein sollte. λ beschreibt in welchem Maße die Störung
eingeschaltet ist. In den späteren Betrachtungen wird λ gleich 1 gesetzt. Der GesamtHamiltonian hat somit die Form
15
Kapitel 2
NICHT-RELATIVISTISCHE SCHRÖDINGERGLEICHUNG
H = H0 + λ H1
.
(2.4.1)
In erster Ordnung Störungstheorie errechnet sich der Energiebeitrag E1 von H1 aus
dessen Erwartungswert:
E1 = hΨ |H1 | Ψi
Z
= Ψ∗ H1 Ψ d3 r
(2.4.2)
(2.4.3)
R3
Die Gesamtenergie wird aus der Summe der Energie des ungestörten und gestörten
Hamiltonians
E = E0 + λ E1
(2.4.4)
erhalten. Das hier verwendete Spin-Spin-Wechselwirkungspotential ist, wie alle weiteren relativistischen Korrekturen, dem Problem des Positroniums aus [W. 95] entnommen, da dieses am ehesten dem Charmonium entspricht. Die Herleitung dieser
Korrekturen verwendet die Bethe-Salpeter-Gleichung des Positroniums, weshalb die
verwendeten Potentiale nicht zwingend für das Charmonium gelten müssen. Es zeigt
sich aber, dass durch Verwendung dieser relativistischen Korrekturen gute Ergebnisse erzielt werden.
VLS =
3αs ~ ~
L·S
4m2c r3
(2.4.5)
~=S
~ (1) + S
~ (2) ist der Gesamtspin-, S
~ (1) , bzw. S
~ (2) ist der Spinoperator des Charms,
S
~ ist der Bahndrehimpulsoperator des Charmoniums. Im Webzw. Anticharms und L
sentlichen existieren in diesem Potential zwei Erwartungswerte, die explizit bestimmt
~ ·S
~>.
werden müssen: < r13 > und < L
~ S
~
Durch die Einführung des Gesamtdrehimpulses J~ kann der Erwartungswert von L·
in folgender Weise bestimmt werden:
~ +S
~
J~ = L
2
~ +S
~
J~ 2 = L
~2 + S
~ 2 + 2L
~ ·S
~
J~ 2 = L
~ ·S
~ = 1 J~ 2 − L
~2 − S
~2
⇒L
2
16
(2.4.6)
(2.4.7)
(2.4.8)
(2.4.9)
Charmonium
2.4
In Gleichung (2.4.8) wurde der Kommutator
h
i
~ S
~ =0
L,
(2.4.10)
verwendet.
Sei T~ ein beliebiger Drehimpulsoperator und t der Eigenwert zur zugehörigen Eigenfunktion f , so gilt:
T~ 2 f = t(t + 1) f
,
(2.4.11)
entsprechend der Eigenschaft des Drehimpulsquadrats mit den Kugelflächenfunktionen. Der spinabhängige Teil der Gesamtwellenfunktion muss noch als zusätzlicher
Term an die bisherige Wellenfunktion multipliziert werden. Diese Spinoren sind Eigenfunktionen der einzelnen Spinoperatoren und erfüllen die Gleichung (2.4.11) für
diese und zusammengefasst auch für den Gesamtspinoperator. Die Gesamtwellenfunktion ist somit
Ψ = R(r)Ylm χ1 ⊗ χ2
.
(2.4.12)
Mit dem Eigenwert des Gesamtspin- s ∈ {1, 0}, je nach Spineinstellung (näheres im
nächsten Unterabschnitt), und des Gesamtdrehimpulsoperators |l − s| ≤ j ≤ l + s
wird
E 1
D ~ ~ Ψ L · S Ψ = (j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1))
2
erhalten. Der Erwartungswert von
1
r3
1
r3
Z
=
R3
Z∞
=
(2.4.13)
wird durch die nächste Gleichung gewonnen:
Ψ∗
1
Ψ d3 r
3
r
u2 r2
dr
r2 r3
0
(2.4.14)
Z
Ylm 2 dΩ
| {z }
(2.4.15)
=1
Z∞
=
u2
dr
r3
(2.4.16)
0
Die errechneten Wellenfunktionen sind diskret und liegen in Listen vor. Der erste
Wert wird als untere Grenze und der N -te Wert der Liste als obere Grenze erhalten.
Das Integral bricht sich damit runter zu:
17
Kapitel 2
NICHT-RELATIVISTISCHE SCHRÖDINGERGLEICHUNG
1
r3
= dr
N
X
1
u2i
(i · dr)3
,
(2.4.17)
dr entspricht der Schrittweite.
Die Nomenklatur der Zustände erfolgt nach dem Schema
2s+1
lj
.
(2.4.18)
Für die Bahndrehimpulsquantenzahl l werden anstatt der Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . die
Buchstaben S, P, D, F, . . . eingesetzt.
Die Energiebeiträge werden zusammen mit denen der Spin-Spin-Wechselwirkung am
Ende des nächsten Unterabschnitts präsentiert.
2.4.3
Spin-Spin-Wechselwirkung
Bevor es an die Spin-Spin-Wechselwirkung geht, wird zunächst die Darstellung des
Spins eines einzelnen Charmquarks und des Gesamtspins des Charmoniums besprochen.
Zu Beginn wurde bereits erwähnt, dass ein Charm ein Fermion, somit ein Spin1
-Teilchen ist. In der Ket-Schreibweise wird dieser Umstand wie folgt dargestellt:
2
s = 1 , ms . ms ist hier die Ausrichtung des Spins, ms = + 1 oder − 1 bei paralleler,
2
2
2
i
bzw. antiparalleler Ausrichtung zum Impuls. Diese Ausrichtung wird für parallel mit
dem Spin up ↑ und für antiparallel mit dem Spin down ↓ dargestellt.
Das Charm und Anticharm können folglich zu einem Spin von s = 1 oder s = 0
koppeln. Der s = 1 Zustand ist ein Triplett-Zustand und kann die folgenden Formen
annehmen:



|1, +1i


|s, ms i = |1, 0i



|1, −1i
=
=
√1 (↑↓
2
+ ↓↑)
(2.4.19)
=
Der s = 0 Zustand ist ein Singulett-Zustand und nimmt die Form
1
|s, ms i = |0, 0i = √ (↑↓ − ↓↑)
2
(2.4.20)
an. Es folgt der Übergang zur Spin-Spin-Wechselwirkung. Das Wechselwirkungspotential sieht wie folgt aus:
18
Charmonium

VSS = −
αs 
m2c
~ (1) · S
~ (2) − 3 S
~ (1) · ~er S
~ (2) · ~er
S
r3
2.4

8π ~ (1) ~ (2) 3 
−
S ·S
δ (~r)
3
(2.4.21)
Für S-Wellenfunktionen spielt nur der Term mit der Deltafunktion eine Rolle, der
andere Term verschwindet. Der Beweis hierzu ist in Anhang A.2 zu finden. Es wird
~ (1) · S
~ (2) und δ 3 (~r) benötigt. Für ersteren wird die vorder Erwartungswert von S
~ (1) mit S
~ (2)
herige Definition des Gesamtspinoperators und die Eigenschaft, dass S
kommutiert verwendet.
~ 2 = S~2 (1) + S~2 (2) + 2S
~ (1) · S
~ (2)
S
~ 2 − S~2 (1) − S~2 (2)
~ (1) · S
~ (2) = 1 S
S
2

 1
D
E 1
4
~ (1) · S
~ (2) = (s(s + 1) − s1 (s1 + 1) − s2 (s2 + 1)) =
S
− 3
2
4
(2.4.22)
(2.4.23)
Triplett
Singulett
(2.4.24)
Die Berechnung des Erwartungswertes der Deltafunktion wird in Gleichung (2.4.25)
gezeigt.
3 δ (~r) =
Z
2
δ 3 (~r)|Ψ(~r)|2 d3 r = |Ψ(0)|2 = R(0)2 Y00 | {z }
1
4π
(2.4.25)
1 u20
=
4π r02
Es wird der Wert der Wellenfunktion am Ursprung benötigt, bekannt ist dieser aber
erst ab der ersten Schrittweite dr. Durch Interpolation der Wellenfunktion bis zum
Ursprung wird ein geschätzter Wert an dieser Stelle erhalten.
Der Erwartungswert von VSS für S-Wellenfunktionen errechnet sich mit der kommenden Gleichung.
hVSS i =
2αs u20
3m2c r02
·


1
4
− 3
4
Triplett
(2.4.26)
Singulett
Die Korrekturen werden zum Schluss dieses Unterabschnitts gezeigt.
Bei den P- und D-Zuständen ist bekannt, dass diese im Ursprung verschwinden,
weshalb der Term mit der Deltafunktion gleich Null ist. Der Erwartungswert von
19
Kapitel 2
NICHT-RELATIVISTISCHE SCHRÖDINGERGLEICHUNG
~ (2) · ~er muss nur noch berechnet werden, da mit Gleichung (2.4.17)
S
~ (1) · S
~ (2) bekannt
der Erwartungswert von r13 und mit Gleichung (2.4.24) der von S
ist.
Für die weiteren Berechnungen werden der spin- und drehimpulsabhängige Teil der
Wellenfunktion durch den Gesamtdrehimpuls J ausgedrückt, wodurch J weiterhin
ein Eigenzustand der einzelnen Spin- und des Drehimpulsoperators bleibt.
~ (1) · ~er
S
X
|Ji = |j, mj , s, li =
ms
ml =mj −ms
hs, ms ; l, ml |j, mj , s, li |s, ms ; l, ml i
|
{z
}
(2.4.27)
Clebsch−Gordan−Koef f izienten
~ (i) · ~er
Für die Berechnung des Erwartungswerts muss zunächst die Wirkung von S
auf |j, mj , s, li betrachtet werden.
 

(i)
σx
sin(θ) cos(φ)

(i)  
~ (i) · ~er = 1 ~σ (i) · ~er = 1 
S
σy  ·  sin(θ) sin(φ) 
2
2
(i)
σz
cos(θ)

(2.4.28)
Die Anwendung der Paulimatrizen auf die Spins ↑ und ↓, die durch zweikomponentige Vektoren darstellbar sind, hat folgende Wirkung:
σx ↑= σx
σx ↓= σx
!
1
=↓
0
!
0
=↑
1
σy ↑=
i↓
σz ↑=
↑
(2.4.29)
σy ↓= −i ↑
σz ↓= − ↓
~ (i) · ~er auf einen Spin gilt dann
Für die Anwendung von S
~ (i) · ~er ↑ = 1 [sin(θ) cos(φ) ↓ +i sin(θ) sin(φ) ↓ + cos(θ) ↑]
S
2
1
= [sin(θ)eiφ ↓ + cos(θ) ↑]
2
1
(i)
~ · ~er ↓ = [sin(θ) cos(φ) ↑ −i sin(θ) sin(φ) ↑ − cos(θ) ↓]
S
2
1
= [sin(θ) cos(−φ) ↑ +i sin(θ) sin(−φ) ↑ − cos(θ) ↓]
2
1
= [sin(θ)e−iφ ↑ − cos(θ) ↓] .
2
20
(2.4.30)
(2.4.31)
Charmonium
2.4
Für den Gesamtspin gilt für die verschiedenen Konfigurationen:
1
[sin2 (θ)e2iφ + cos2 (θ) 4
+ sin(θ) cos(θ)eiφ (↑↓ + ↓↑)]
1
(1)
(2)
~
~
S · ~er S · ~er =
[sin2 (θ)e−2iφ + cos2 (θ) 4
− sin(θ) cos(θ)e−iφ (↑↓ + ↓↑)]
~ (1) · ~er S
~ (2) · ~er (↑↓ + ↓↑) = 1 [(sin2 (θ) − cos2 (θ))(↑↓ + ↓↑)
S
4
+ 2 sin(θ) cos(θ)(e−iφ −eiφ )]
~ (1) · ~er S
~ (2) · ~er (↑↓ − ↓↑) = − 1 (↑↓ − ↓↑)
S
4
~ (1) · ~er
S
~ (2) · ~er =
S
(2.4.32)
(2.4.33)
(2.4.34)
(2.4.35)
Es werden die zwei Fälle behandelt, wo s = 1, bzw. s = 0 entspricht, wobei das Vorgehen für beide analog ist. Die konkrete Berechnung wird an dem Triplett-Zustand
vollführt.
Im Triplett-Zustand sind 3 verschiedene Terme möglich, aus denen der Zustand
|j, mj , 1, li erzeugt werden kann:
C3
|j, mj , 1, li = C1 |l, m1 i + C2 |l, m2 i + √ (↑↓ + ↓↑) |l, m3 i
2
(2.4.36)
Die Ci sind die jeweiligen Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Anstatt der |s, ms i wurden
die Spinkonfigurationen aus Gleichung (2.4.19) eingesetzt. Der Erwartungswert wird
erneut wie in Gleichung (2.4.2) errechnet.
D E Z
D
E
~ (1)
~ (1)
(2)
(2)
~
~
Ψ S · ~er S · ~er Ψ = hΨ|rφθi rφθ S · ~er S · ~er Ψ d3 r
Z∞
=
0
r2 R2 dr
x
sin(θ) hj, mj , 1, l|φθi
|
{z
}
(i)
E
~ (1)
~ (2) · ~er j, mj , 1, l dφdθ
· φθ S
· ~er S
|
{z
}
D
(ii)
(2.4.37)
Das Integral über r ist aufgrund der Normierung gleich eins. Der Term (i) entspricht
der Projektion des Gesamtdrehimpulses auf den Raumwinkel. Es gilt hφθ|j, mj , 1, li =
Ylml , woraus folgt:
21
Kapitel 2
NICHT-RELATIVISTISCHE SCHRÖDINGERGLEICHUNG
C3
†
hj, mj , 1, l|φθi = C1 () hl, m1 | + C2 () hl, m2 | + √ (↑↓ + ↓↑) hl, m3 | |φθi
2
C3
= C1 ()† Ylm1 ∗ + C2 ()† Ylm2 ∗ + √ (↑↓ + ↓↑)† Ylm3 ∗
2
(2.4.38)
†
†
(1)
(2)
~
~
Für (ii) wird der Operator S · ~er S · ~er auf |j, mj , 1, li angewandt und die
Relation der Projektion des Gesamtdrehimpulses auf den Raumwinkel ausgenutzt.
D
E
~ (1)
~ (2) · ~er j, mj , 1, l
φθ S
· ~er S
=
C1
[sin2 θe2iφ + cos2 (θ) + sin(θ) cos(θ)eiφ (↑↓ + ↓↑)]Ylm1
4
C2
+
[sin2 (θ)e−2iφ + cos2 (θ) − sin(θ) cos(θ)e−iφ (↑↓ + ↓↑)]Ylm2
4
C3
+ √ [(sin2 (θ) − cos2 (θ))(↑↓ + ↓↑) + 2 sin(θ) cos(θ)(e−iφ −eiφ )]Ylm3
4 2
(2.4.39)
Die verschiedenen Spinzustände sind orthogonal zueinander.
χ1 =
1
χ0 = √ ↑↓ + ↓↑
2
χ−1 =
(2.4.40)
hχi |χj i = δij
Hierdurch fallen alle Mischterme in den Spins weg und es wird zusammenfassend
die folgende Gleichung erhalten:
E
D ~ (1)
~ (2) · ~er j, mj , 1, l
hj, mj , 1, l|φθi φθ S
· ~er S
1
C3
= [C1 Ylm1 ∗ (C1 cos2 (θ)Ylm1 + C2 sin2 (θ)e−2iφ Ylm2 + √ 2 sin(θ) cos(θ)e−iφ Ylm3 )
4
2
C3
+ C2 Ylm2 ∗ (C1 sin2 (θ)e2iφ Ylm1 + C2 cos2 (θ)Ylm2 − √ 2 sin(θ) cos(θ)eiφ Ylm3 )
2
√
√
m
+ C3 Y m3 ∗ ( 2C1 sin(θ) cos(θ)eiφ Yl 1 − 2C2 sin(θ) cos(θ)e−iφ Ylm2
+ C3 (sin2 (θ) − cos2 (θ))Ylm3 )] (2.4.41)
Diese Formel kann ins Integral eingesetzt und gelöst werden. Der Erwartungswert
errechnet sich zu:
D
E Z2π Zπ
~ (1) · ~er S
~ (2) · ~er
S
= dφ dθ sin(θ) · (2.4.41)
0
22
0
(2.4.42)
Charmonium
2.4
Analog wird für die Singlett-Zustände erhalten:
D
~ (1)
S
E Z2π Zπ
C
(2)
~ · ~er
· ~er S
= dφ dθ sin(θ) |Ylm |2
4
0
(2.4.43)
0
Wegen
C
|j, mj , 0, li = √ (↑↓ − ↓↑) |l, ml i
2
(2.4.44)
existiert nur eine Ausrichtung des Drehimpulses und nur ein Clebsch-GordanKoeffizient. Die einzelnen Erwartungswerte sind in Tabelle 2.3 zu finden.
~ (1) · ~er S
~ (2) · ~er für die einzelnen Zustände.
Tabelle 2.3: Erwartungswerte von S
Zustand
D
~ (1) · ~er
S
E
~ (2) · ~er
S
Zustand
D
~ (1) · ~er
S
E
~ (2) · ~er
S
1
P1
1
4
1
D2
1
4
3
P0
− 14
3
D1
3
P1
1
4
3
D2
1
4
3
P2
1
20
3
D3
1
28
1
− 12
Die Werte sind für die verschiedenen mj identisch. Die Energiebeiträge der SpinSpin- und Spin-Bahn-Wechselwirkung, die daraus resultierende korrigierte Masse
und die Literaturwerte werden in der Tabelle 2.4 aufgeführt. Um besser zu erkennen
wie nah die errechneten Werte an denen des Experiments liegen, ist das Termschema
in Abbildung 2.3 beigefügt. Die Beschriftung der Abszisse folgt dem Schema J P C mit
P = (−1)l+1
und C = (−1)l+s
.
(2.4.45)
Es ist zu erkennen, dass die vom Programm erhaltenen Werte qualitativ mit denen
des Experiments übereinstimmen. Es gibt allerdings auch große Abweichung, so
beispielsweise bei den höher angeregten 3 S1 -Zuständen. Die Aufspaltung der 3 PZustände kommt bei den Berechnungen zu groß heraus. Viele Werte liegen aber
auch sehr nahe den Literaturwerten. Zum Beispiel der höher angeregte D-, der 1 P1 und die niedrig angeregten S-Zustände liegen weniger als 30 MeV von der Literatur
entfernt. Allgemein liegt die betragsmäßig größte Abweichung bei etwa 100 MeV.
23
Kapitel 2
NICHT-RELATIVISTISCHE SCHRÖDINGERGLEICHUNG
Tabelle 2.4: Energiekorrekturen und experimentelle Werte [Ber12].
Zustand
11 S0
13 S1
11 P1
13 P0
13 P1
13 P2
21 S0
23 S1
11 D2
13 D1
13 D2
13 D3
21 P1
23 P0
23 P1
23 P2
31 S0
33 S1
23 D1
41 S0
43 S1
ungestörte Masse
MeV
3069
3487
3674
3785
3961
4126
4203
4514
Spin-Spin
MeV
-98
+33
+34
-23
+11
-2
-70
+23
+19
-6
+6
-2
+32
-21
+11
-2
-62
+21
-3
-58
+19
Spin-Bahn
MeV
0
0
0
-67
-34
+34
0
0
0
-57
-19
+38
0
-63
-32
+32
0
0
-29
0
0
gestörte Masse
MeV
2971
3102
3521
3397
3464
3519
3604
3697
3804
3722
3772
3821
3993
3877
4940
3991
4064
4147
4174
4456
4533
Experiment
MeV
2981.0 ± 1.1
3096.916 ± 0.31
3525.41 ± 0.16
3414.75 ± 0.31
3510.66 ± 0.07
3556.20 ± 0.09
3638.9 ± 1.3
3686.109+0.012
−0.014
3773.15 ± 0.33
3927.2 ± 2.6
4039 ± 1
4153 ± 3
4421 ± 4
Masse
MeV
4800
41S0
43S1
4400
31S
3
33S1 2 D1
0
21P1
4000
23P0
13 D1
3600
21S
23S1
11P1
0
13P0
23P1
23P2
11D2
13P1
13D2
13D3
13P2
13S1
3200
11S0
2800
0− +
1− −
1+ −
0+ +
1+ +
2+ +
2− +
2− −
3− −
JPC
Abbildung 2.3: Termschema des Charmoniums mit den errechneten (schwarz) und den
im Experiment gemessenen (rot-gestrichelt) Energien.
24
Kapitel 3
Pauligleichung
In diesem Kapitel wird anstatt der Schrödingergleichung die Pauligleichung gelöst.
Als Potential wird nicht, wie im vorherigen Kapitel, nur das Potential der starken
Wechselwirkung, sondern auch das der Spin-Spin- und Spin-Bahn-Wechselwirkung
verwendet. Die Besonderheit an der Pauligleichung ist, dass sie auch die Wechselwirkung der Spins berücksichtigt.
3.1
Lösung der Pauligleichung
Der Hamiltonoperator in der zu lösenden Pauligleichung hat die Form:
H=
p2
3αs ~ ~
αs
+
L·S
+ br −
mc
r
2m2 r3


(3.1.1)
~ (1) · S
~ (2) − 3 S
~ (1) · ~er S
~ (2) · ~er
S
αs 
8π ~ (1) ~ (2) 3 
−
S ·S
δ (~r)
− 2
mc
r3
3
Es wird davon ausgegangen, dass die Wellenfunktion die Gestalt aus Gleichung
(2.4.12)
Ψ = R(r) Ylm χ1 ⊗ χ2
besitzt, mit χ1 dem Spinor des Charms und χ2 dem des Anticharms. Wie genau
diese und die Spinoperatoren aussehen sei hier nicht gezeigt, wichtig ist nur, dass
diese Eigenfunktionen der jeweiligen Spinoperatoren sind. Aus diesem Grund können
anstatt der Auswertung der jeweiligen Operatoren der Spin-Spin- und Spin-BahnWechselwirkung die Erwartungswerte in den Hamiltonian eingesetzt werden. Die
Eigenwertgleichung sieht wie folgt aus:
25
Kapitel 3
PAULIGLEICHUNG
D
E
3αs
2
l(l + 1)
αs
~
~
+
aii =
+
+ bi dr −
L·S
mc dr2 mc (i dr)2
i dr 2m2 (i dr)3
E
D
E
D

~ (1) · S
~ (2) − 3 S
~ (1) · ~er S
~ (2) · ~er
D
E
S
3 αs
8π
~ (1) · S
~ (2)
− 2
−
S
δ (~r) 
3
mc
(i dr)
3

..
.

. .
 .

0

 ..
 .

0
..
.
...
−1
mc dr2
···
0
...
···
aii
..
.
−1
mc dr2
0
..
.
..
.


 
0
u1
u1


 . 
..  
.
.. 
 .. 
. 

 

 
 
=
E
0
u


 ui  (3.1.2)
 i 
 . 

. .   .. 
 . 
.  . 
 . 

..
uN
uN
.
Der Radialteil der Deltafunktion ist in Kugelkoordinaten gegeben durch
δ 3 (~r) =
δ(r)
r02
.
(3.1.3)
Gute Ergebnisse werden bei 1500 Stützstellen erhalten, wenn die Delta-Funktion
über die ersten 20 Stützstellen wirkt. Als r0 wird dr, die Schrittweite gewählt. Die
jeweiligen anderen Erwartungswerte sind in den Gleichungen (2.4.9), (2.4.24) und
der Tabelle 2.3 zu finden.
Die Matrix wird in das Programm eingespeist. Die Massen befinden sich in Tabelle
3.1. Das zugehörige Termschema ist in Abbildung 3.1 zu finden. Ein großer Unterschied zu der störungstheoretischen Einbringung der Spin-Spin- und Spin-BahnWechselwirkung ist nicht zu erkennen. Einige Zustände, wie die unteren S-Zustände
liegen jetzt etwas weiter entfernt von der Literatur, wo hingegen die 3 D1 -Zustände
näher an ihnen liegen. Bei den höher angeregten P-Zuständen liegt nun der 3 P0
über den 3 P1 und die Aufspaltung dieser Zustände ist kleiner. Bei den anderen DZuständen existiert keine qualitative Veränderung; die einzelnen Werte haben sich
geringfügig verändert. Eine kleine Auswahl der Wellenfunktionen ist in Abbildung
3.2 dargestellt.
Die S-Wellenfunktionen lassen erkennen, dass die Amplitude und im Quadrat genommen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des 1 S0 -Zustands im Ursprung größer als
die des 3 S1 -Zustands ist. Allgemein sind bei einigen Wellenfunktionen, aufgrund der
numerischen Berechnung, die Werte in der Nähe des Ursprungs nicht zu gebrauchen,
zu sehen bei den Wellenfunktionen der rechten Spalte. Bei den 3 P0 -Zuständen beginnt deshalb die Darstellung erst ab etwa 0.1 fm. Eine vollständige Darstellung der
Wellenfunktionen, wie sie durch die Berechnungen herauskommen, ist im Anhang
B.3 zu finden.
26
Lösung der Pauligleichung
3.2
Tabelle 3.1: Massen des letzten Kapitels und der Lösung der Pauligleichung.
Zustand
11 S0
13 S1
11 P1
13 P0
13 P1
13 P2
21 S0
23 S1
11 D2
13 D1
13 D2
13 D3
21 P1
23 P0
23 P1
23 P2
31 S0
33 S1
23 D1
41 S0
43 S1
gestörte Masse
MeV
2971
3102
3521
3397
3464
3519
3604
3697
3804
3722
3772
3821
3993
3877
4940
3991
4064
4147
4174
4456
4533
Pauligleichung
MeV
3010
3079
3515
3446
3460
3514
3634
3681
3793
3748
3778
3802
3988
3943
3936
3986
4092
4132
4165
4482
4519
Experiment
MeV
2981.0 ± 1.1
3096.916 ± 0.011
3525.41 ± 0.16
3414.75 ± 0.31
3510.66 ± 0.077
3556.20 ± 0.09
3638.9 ± 1.3
3686.109+0.012
−0.014
3773.15 ± 0.33
3927.2 ± 2.6
4039 ± 1
4153 ± 3
4421 ± 4
Masse
MeV
4800
41S0
43S1
4400
23D1
31S0
33S
4000
21P1
1
23P0
23P1
23P2
13 D1
21S0
3600
3200
11S0
23S1
11D2
11P1
13P0
13P1
13D2
13D3
13P2
13S1
2800
0− +
1− −
1+ −
0+ +
1+ +
2+ +
2− +
2− −
3− −
JPC
Abbildung 3.1: Termschema zu der Lösung der Pauligleichung.
27
Kapitel 3
PAULIGLEICHUNG
Abbildung 3.2: Radialwellenfunktionen zur Pauligleichung.
3.2
Weitere relativistische Korrekturen
Um das Spektrum noch besser reproduzieren zu können, werden weitere relativistische Korrekturen in die Pauligleichung eingebaut. Dies sind die geschwindigkeitsabhängige Masse und ein Annihilationsterm.
Weil das Charmonium aus einem Teilchen und dem zugehörigen Antiteilchen besteht, können diese, wenn sie sich zu einem Zeitpunkt am gleichen Ort befinden
gegenseitig auslöschen. Bei diesem Prozess werden mindestens zwei Gluonen erzeugt. Der Annihilationsterm stammt von der Behandlung des Positroniums ab. Bei
dem Positronium werden allerdings nicht Gluonen, sondern Photonen abgestrahlt,
weshalb in dem Annihilationsterm eigentlich die Kopplungskonstante der elektromagnetischen Wechselwirkung steht. Der Term wird trotzdem mit der Kopplungskonstanten αs der starken Wechselwirkung verwendet. Der zusätzliche Hamiltonian
sieht wie folgt aus:
28
Weitere relativistische Korrekturen
Hrel = −
1 4 αs π ~ (1) · S
~ (2) δ 3 (~r)
3
+
4
S
p
~
+
4m3
2m2
3.2
(3.2.1)
Der erste Term beschreibt die relativistische Massenzunahme und der zweite die Annihilation. Die Potentiale stammen ebenfalls aus [W. 95]. Der Annihilationsterm hat
nur im Triplett-Zustand einen Beitrag ungleich 0, wodurch die Drehimpulserhaltung
nicht verletzt wird.
2
Für p~ 4 wird versucht (~p 2 ) einzusetzen, mit p~ 2 = −∆, worin ∆ in Kugelkoordinaten
gewählt wird.
4
−
p~ =
=
d2
2 d
+
2
dr
r dr
~2
L
+ 2
r
!2
~2 · L
~ 2 2L
~ 2 d2
d4
4 d3
L
+
+
−
dr4 r dr3
r4
r2 dr2
(3.2.2)
(3.2.3)
Wegen der dritten Ableitung in r ist der Hamiltonoperator nicht mehr hermitesch und damit ein unzulässiger Operator. Aus diesem Grund wird der p~ 4 -Term
störungstheoretisch eingebaut. Sei H0 der Hamiltonian ohne den p~ 4 -Term, H1 eben
dieser, E0 die Energie von H0 und E1 die Energie von H1 . In V sollen das Potential der starken-, Spin-Bahn-, Spin-Spin-Wechselwirkung und der Annihilationsterm
zusammengefasst sein. Es gilt dann:
p~ 2
+ V = H0 = E0
mc
p~ 2 = mc (E0 − V )
(3.2.4)
(3.2.5)
p~ 2 wird nun in H1 eingesetzt.
1
(E0 − V )2
4m
1 E1 = hH1 i = −
(E0 − V )2
4m
H1 = −
(3.2.6)
(3.2.7)
Es werden optimale Ergebnisse mit einer Stützstellenanzahl von 1000 und einer
Masse von 1380 MeV erzielt. Diese sind in der folgenden Tabelle und Abbildung
dokumentiert. Erwähnenswerte Unterschiede zu den vorherigen Termschemata sind,
dass der 33 S1 -Zuständ über den des 23 D1 liegt, gleiches gilt für 13 P0 und 13 P1 .
Eine allgemein deutliche Näherung oder Entfernung der errechneten Werte zu den
Literaturwerten ist nicht erkennbar.
29
Kapitel 3
PAULIGLEICHUNG
Tabelle 3.2: Zusammenfassung aller errechneten Massen und den Literaturwerten.
Zustand
11 S0
13 S1
11 P1
13 P0
13 P1
13 P2
21 S0
23 S1
11 D2
13 D1
13 D2
13 D3
21 P1
23 P0
23 P1
23 P2
31 S0
33 S1
23 D1
41 S0
43 S1
gestörte Masse
MeV
2971
3102
3521
3397
3464
3519
3604
3697
3804
3722
3772
3821
3993
3877
4940
3991
4064
4147
4174
4456
4533
Pauligleichung
MeV
3010
3079
3515
3446
3460
3514
3634
3681
3793
3748
3778
3802
3988
3943
3936
3986
4092
4132
4165
4482
4519
weitere relativistische
Korrekturen /MeV
2987
3142
3555
3466
3464
3553
3591
3695
3819
3748
3798
3828
3981
3914
3875
3979
4008
4097
4091
4351
4431
Experiment
MeV
2981.0 ± 1.1
3096.916 ± 0.31
3525.41 ± 0.16
3414.75 ± 0.31
3510.66 ± 0.07
3556.20 ± 0.09
3638.9 ± 1.3
3686.109+0.012
−0.014
3773.15 ± 0.33
3927.2 ± 2.6
4039 ± 1
4153 ± 3
4421 ±4
Masse
MeV
4800
4400
41S0
43S1
23D1
31S0
21P1
33S1
4000
23P0
13 D1
21S0
3600
23S1
11P1
13P0
23P2
23P1
13P1
11D2
13D2
13D3
13P2
13S1
3200
11S0
2800
0− +
1− −
1+ −
0+ +
1+ +
2+ +
2− +
2− −
3− −
JPC
Abbildung 3.3: Termschema zu der Lösung der Pauligleichung mit der relativistischen
Masse und dem Annihilationsterm.
30
Kapitel 4
Fazit
In dieser Arbeit wurde das Charmonium zunächst mit der nicht-relativistischen
Schrödingergleichung beschrieben, welche diskretisiert und numerisch gelöst wurde.
Anschließend wurden die Spin-Spin- und Spin-Bahn-Wechselwirkung in erster Ordnung Störungstheorie eingebracht. Die erhaltenen Massen der Zustände des Charmoniums lagen Nahe den experimentellen Daten. In dem Versuch das Spektrum noch
besser reproduzieren zu können wurde das Charmonium mit der Pauligleichung beschrieben und erhielt erneut Werte die mit denen des Experiments vergleichbar waren. Einige Zustände sind durch diese Beschreibung weiter in die Nähe der Literaturwerte gerückt, aber einige auch weiter weg. In beiden Fällen stammen die Spektren
qualitativ mit denen des Experiments überein. Im letzten Teil dieser Thesis wurde
noch berücksichtigt, dass die Masse des Charmoniums geschwindigkeitsabhängig ist
und dass die Bestandteile des Charmoniums, das Charm und Anticharm, sich annihilieren können. Die Ergebnisse waren wie zuvor auch gut mit dem experimentell
bestimmten Spektrum vergleichbar. Im Vergleich zu den vorher berechneten Spektren gab es nur einige Veränderungen. Insgesamt liegen die höchsten Abweichungen
aller errechneten Werte von den experimentellen Werten bei etwa 100 MeV, was bei
jeweils ein bis zwei Zuständen der Fall ist. Die maximalen, mittleren und minimalen
Abweichungen von den Literaturwerten sind in der Tabelle 4.1 zusammengefasst. Es
ist zu erkennen, dass die Abweichungen von Schritt zu Schritt geringer wurden, was
zeigt, dass man einer korrekten Beschreibung des Charmoniums näher gerückt ist.
Zusammenfassend lässt sich das Charmonium recht gut durch das effektive Potential
der starken Wechselwirkung zwischen einem Quark und Antiquark und der nichtTabelle 4.1: Markante Werte der Berechnungen.
kleinste Abweichung
mittlere Abweichung
größte Abweichung
gestörte Masse
MeV
4
40
112
Pauligleichung
MeV
5
37
98
weitere relativistische
Korrekturen /MeV
3
34
62
31
Kapitel
FAZIT
relativistischen Pauli- und Schrödingergleichung beschreiben. Diese Beschreibung ist
zwar nicht absolut, besticht jedoch durch ihre Einfachheit und qualitativ sehr guten
Ergebnisse. Eine vollständige Beschreibung ist damit nicht möglich, hat aber auch
nicht den Anspruch dazu, hierzu ist das System des Charmoniums zu komplex.
Ein Ansatz das Charmonium theoretisch noch besser zu beschreiben müsste von der
Quantenfeldtheorie ausgehen. Die Quantenfeldtheorie hätte den Vorteil, dass direkt
relativistisch gerechnet und so alle relativistischen Effekte mitgenommen werden
würden, ohne diese störungstheoretisch einbringen zu müssen.
32
Anhang A
Herleitungen
A.1
Impulsquadrat in sphärischen Polarkoordinaten
Die Herleitung des Impulsquadrates in sphärischen Polarkoordinaten wird unter
Verwendung der einsteinschen Summenkonvention und der allgemeinen Definition
des Drehimpulses vollzogen:
~2 =
L
3
X
L2i = εijk rj pk εilm rl pm
(A.1.1)
i=1
mit
εijk εilm = δjl δkm − δjm δkl
(A.1.2)
und
[pi , rj ] = −i~δij
pk rk = rk pk − 3i~δij
(A.1.3)
(A.1.4)
folgt
~ 2 = rj pk rj pk − rj pk rk pj
L
(A.1.5)
= rj rj pk pk − i~rj pj − rj rk pk pj + 3i~rj pj
(A.1.6)
= ~r 2 p~ 2 − i~rj pj − rj pj xk pk − i~rj pj + 3i~rj pj
(A.1.7)
= ~r 2 p~ 2 − i~rj pj − rj pj rk pk
(A.1.8)
= ~r 2 p~ 2 − (~r · p~)2 + i~~r · p~
(A.1.9)
33
Kapitel A
HERLEITUNGEN
In Kugelkoordinaten ist ~r = r~er , weshalb ~r · p~ durch
~ = −~r
~r · p~ = −~~r · ∇
∂
∂r
(A.1.10)
gegeben ist. Durch Umstellung nach p~ 2 in Gleichung (A.1.9) wird die kommende
Gleichung erhalten.
1 ~ 2 ~2
− 2
p~ = 2 L
r
r
2
!
2
∂
∂
r
+r
∂r
∂r
(A.1.11)
Die Klammer kann auf die in Abschnitt 2.1.2 verwendete Form zurückgeführte werden:
2
1 ∂ ∂
1 ∂
∂2
1 ∂
1 ∂ ∂
2 ∂
r +
= 2+
=
r =
r
r ∂r ∂r r ∂r
∂r
r ∂r
r ∂r
r ∂r ∂r
1 ∂2
1 ~2
⇒ p~ 2 = −~2
r + 2L
2
r ∂r
r
A.2
(A.1.12)
(A.1.13)
Beweis zu den S-Zuständen
Am Beispiel des 3 S1 Zustands
soll gezeigt
werden,
D
dass der
E linke Term der Spin(1) ~ (2)
(1)
(2)
~
~
~
Spin-Wechselwirkung: S · S − 3 S · ~er S · ~er
gleich Null ist. Hierzu
muss der zweite Term bestimmt werden
|j, m, s, li = |1, 1, 1, 0i =† |0, 0i
h1, 1, 1, 0|φ θi = h0, 0|φ θi =† Y00
{z
}
|
(A.2.1)
∗
(A.2.2)
(i)
E
~ (1)
~ (2) · ~er 1s , 1s , 0l , 0l =
φ θ S
· ~er S
|
{z
}
D
(ii)
1
(cos2 (θ) + cos(θ) sin(θ)eiφ (↑↓ + ↓↑) + sin2 (θ)e2iφ )Y00 (A.2.3)
4
1 ∗
1
(i) · (ii) = Y00 Y00 cos2 (θ) =
cos2 (θ)
(A.2.4)
4
16π
Z2π Zπ
1
1
cos2 (θ) sin(θ) dθdφ =
(A.2.5)
16π
12
0
0
D
E
~ (1) · S
~ (2) = 1/4 ergibt der linke Term von VSS Null. Somit ist gezeigt, dass
Mit S
für S-Wellenfunktionen nur der Term mit der Deltafunktion in VSS auszuwerten ist.
Analog errechnet sich das selbe Ergebnis für die 1 S0 -Zustände.
34
Anhang B
Bilderanhang
B.1
Wasserstoff
1S
RHrL
Programm
400 000
Literatur
300 000
200 000
100 000
r
1
2
3
4
5
6
Å
2S
RHrL
Programm
150 000
Literatur
100 000
50 000
r
1
2
3
4
5
6
Å
35
Kapitel B
BILDERANHANG
2P
RHrL
Programm
30 000
25 000
Literatur
20 000
15 000
10 000
5000
r
2
4
6
8
Å
3P
RHrL
Programm
15 000
Literatur
10 000
5000
r
2
4
6
8
10
12
Å
-5000
3D
RHrL
10 000
Programm
8000
Literatur
6000
4000
2000
r
5
10
15
Å
3S
RHrL
Programm
80 000
Literatur
60 000
40 000
20 000
r
2
36
4
6
8
10
Å
Schrödingergleichung des Charmoniums
B.2
B.2
Schrödingergleichung des Charmoniums
1S
RHrL
25 000
20 000
15 000
10 000
5000
r
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
fm
2S
RHrL
20 000
15 000
10 000
5000
r
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
fm
3S
RHrL
20 000
15 000
10 000
5000
r
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
fm
37
Kapitel B
BILDERANHANG
1P
RHrL
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
r
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
fm
2P
RHrL
2000
r
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
fm
-2000
-4000
-6000
1D
RHrL
4000
3000
2000
1000
r
0.05
38
0.10
0.15
0.20
0.25
fm
Pauligleichung des Charmoniums
B.3
B.3
Pauligleichung des Charmoniums
39
Kapitel B
40
BILDERANHANG
Pauligleichung des Charmoniums
B.3
41
Kapitel B
42
BILDERANHANG
Pauligleichung des Charmoniums
B.3
43
Kapitel B
44
BILDERANHANG
Abbildungsverzeichnis
1.1
Fermidiagramme zum hadronischen Zerfall des 3 S1 -Charmoniumszustands
[Per00]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1
Darstellung der Radialwellenfunkionen. Durchgezogene Linie: von dem
Programm errechnete Funktion; Gestrichene Linie: Analytisch errechnete Funktion [Nol06]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Darstellung der Radialwellenfunkionen des Charmoniums. . . . . . . 15
Termschema des Charmoniums mit den errechneten (schwarz) und
den im Experiment gemessenen (rot-gestrichelt) Energien. . . . . . . 24
2.2
2.3
3.1
3.2
3.3
Termschema zu der Lösung der Pauligleichung. . . . . . . . . . . . . . 27
Radialwellenfunktionen zur Pauligleichung. . . . . . . . . . . . . . . . 28
Termschema zu der Lösung der Pauligleichung mit der relativistischen
Masse und dem Annihilationsterm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
45
Tabellenverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
Energien des ungestörten Wasserstoffatoms. . . . . . . . . . . . . . .
Ungestörte Massen des Charmoniums.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
(1)
(2)
~ · ~er S
~ · ~er für die einzelnen Zustände.
Erwartungswerte von S
Energiekorrekturen und experimentelle Werte [Ber12]. . . . . . . . . .
13
14
23
24
3.1
3.2
Massen des letzten Kapitels und der Lösung der Pauligleichung. . . . 27
Zusammenfassung aller errechneten Massen und den Literaturwerten. 30
4.1
Markante Werte der Berechnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
47
Literaturverzeichnis
[Ber12] Beringer, J. et al. (Particle Data Group): c c-bar Mesons. In: Physical
Review D 86 (2012), –. http://pdg.lbl.gov
[B.R96] B.R. Martin, G. Shaw: Particle Physics. West Sussex : John Wiley &
Sons Ltd, 1996
[COD]
CODATA:
Fundamental
Physical
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html.
Aufruf: 25.09.2012
Constants.
–
letzter
[Göc07] Göcke, T.: Numerische Lösung der Schrödingergleichung an verschiedenen Beispielen. 2007
[G.V10] G.V. Pakhlova, P.N. Pakhlov, S.I. Eidel’man: Exotic Charmonium.
In: Physics-Uspekhi 53 (2010), Nr. 3, S. 219–241
[H.R09] H.R. Schwarz, N. Köckler: Numerische Mathematik. 7., überarb.
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[Nol06] Nolting, W.: Quantenmechanik- Methoden und Anwendungen. 6. Aufl.
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[Per00] Perkins, D.H.: Introduction to High Energy Physics. 4. Aufl. Cambridge
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[Pre96] Press, W.H. et al.: Numerical Recipes in Fortran 90. Bd. 2. 2. Aufl.
Cambridge : Press Syndicate of the University of Cambridge, 1996. – 1225–
1230 S.
[S. 85]
S. Godfrey, N. Isgur: Mesons in a relativized quark model with chromodynamics. In: Physical Review D 32 (1985), July, Nr. 1, S. 189–231
[Sch07] Schwabl, F.: Quantenmechanik (QMI). 7. Aufl. Berlin, Heidelberg, New
York : Springer, 2007
[Sch08] Schwabl, F.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QMII). 5., erw. u.
aktualis. Aufl. Berlin, Heidelberg : Springer, 2008
49
Kapitel B
LITERATURVERZEICHNIS
[unb]
unbekannter
Autor:
Das
Wasserstoffatom.
http://www.ieap.uni-kiel.de/et/download/physik3/V7.pdf.
–
letzter Aufruf: 19.09.2012
[W. 95] W. Greiner, J. Reinhardt: Quantenelektrodynamik. 2., überarb. u.
erw. Aufl. Thun, Frankfurt am Main : Verlag Harri Deutschland, 1995
50
Danksagung
Mit dem Bachelor schließe ich die erste Etappe meines Studiums ab. An dieser Stelle
sind Worte des Dankes angebracht.
Viel Dank gebührt Prof. Dr. Christian Fischer dafür, dass er mir die Möglichkeit
bot bei ihm meine Bachelorarbeit anfertigen zu dürfen und dafür, dass er sich bei
Fragen immer die Zeit nahm diese zu beantworten.
Ich bedanke mich bei Dipl.-Ing. Tobias Göcke für seine Hilfe, ohne die meine Thesis
nicht ganz so schnell vorangegangen wäre.
Des Weiteren gilt mein Dank allen Mitarbeitern des Instituts, deren Türen bei diversen Fragen für mich offen standen.
Ich danke auch meinen Kommilitonen, ohne die meine Mittagspausen nicht ganz so
lustig gewesen wären.
Ich möchte noch meiner Familie danken, die mich bei allem was ich tue unterstützt;
moralisch, wie auch finanziell.
Zu guter Letzt danke ich meinen Freunden für die Ablenkungen vom Studienalltag
und meiner Freundin Pamela dafür, dass sie immer für mich da ist.
51
Erklärung
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und
keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.
Gießen, den 28. September 2012
53