Studiengang: PT/LOT/PVHT Semester: WS 12/13

Studiengang:
PT/LOT/PVHT
Semester: WS 12/13
Algebra
Cramersche Regel
Die Cramersche Regel für lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen
Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten x, y hat folgende Gestalt.
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
Beispiel:
5x + 2y = 9
x + 3y = 7
Um eine allgemeine Lösungungsformel zu bestimmen, multiplizieren wir die erste Gleichung
mit a22 und die zweite Gleichung mit a12 . Somit erhält man
a11 a22 x + a12 a22 y = b1 a22
a21 a12 x + a22 a12 y = b2 a12
Durch Subtraktion der beiden Gleichungen (Elimination der Variablen y) erhält man
(a11 a22 − a21 a12 ) x = b1 a22 − b2 a12
Falls a11 a22 − a21 a12 6= 0 gilt, kann man dividieren und erhält
x=
b1 a22 − b2 a12
a11 a22 − a21 a12
In dieser Form kann man sich die Formel wohl kaum merken. Daher führen wir folgende Abkürzung ein:
a b
c d
−
= ad − cb
Determinate 2. Ordnung
+
Cramersche Regel:
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
a
Falls die Koeffizientendeterminante 11
a21
x= b1 a12
b2 a22
a11 a12
a21 a22
a12
a22
6= 0, dann existiert genau eine Lösung
bzw. y = 1
a11 b1
a21 b2
a11 a12
a21 a22
Merkregel:
Um die 1.Unbekannte x zu bestimmen, ersetzt man im Zähler die 1.Spalte der Koeffizientenmatrix mit der rechten Seiten des Gleichungssystems und für die 2.Unbekannte y entsprechend
die 2.Spalte., d.h.
a
a11 x + a12 y = b1
b1 a12 11 b1
bzw. a21 b2
a21 x + a22 y = b2
b2 a22 Beispiel:
Man löse das Gleichungssystem
5x + 2y = 9
x + 3y = 7
Lösung:
Für die Koeffizientendeterminante gilt
5
D=
1
2
3
= 5 · 3 − 1 · 2 = 13 6= 0.
Somit lautet die Lösung
x = 9 2 7 3 5
1
=
2 3 9·3−2·7
13
=
=1
13
13
und y = 5 9 1 7 5
1
=
2 3 5·7−1·9
26
=
=2
13
13
Aufgaben
1. Lösen Sie unter Verwendung der Cramerschen Regel folgende Gleichungssysteme
a) 5x + 3y = 25
x + 3y = 17
b) 4x − 3y = 2
3x + 2y = 27
c)
6x − 5y = 1
10x − 12y = −2
2. Lösen Sie folgende Gleichungssystem in Abhängigkeit von den Parametern a, b
b + 2x + 3y = 5a
x y
+
= a
2 2
3. Die Quersumme einer gesuchten zweistelligen Zahl ist 5. Vertauscht man beide Ziffern, so
wird die Zahl um 9 größer. Wie lautet die Zahl?
4. Lösen Sie in Abhängikeit des Parameters λ das folgende Gleichungssystem.
λx + 2y
= 3
−8x − λy = 6
Lösungen:
1) a) x = 2, y = 5 b) x = 5, y = 6 c) x = y = 1
2) x = a + b, y = a − b
3) 23
3
6
, y=−
λ−4
λ−4
2.Fall: λ = 4, keine Lösung
3.Fall: λ = −4,
x = t, y = 32 + 2t, t ∈ R beliebig
4) 1.Fall: λ 6= ±4, x =
2