wettbewerb mathe 04-05-3

Aufgabe 1 (5. – 6. Klasse):
a) Tobi multipliziert fünf natürliche Zahlen miteinander und erhält als Produktwert eine ungerade Zahl. Kann man daraus schließen, ob die Summe dieser Zahlen gerade oder ungerade ist? Begründe deine Antwort.
b) Die 16 Punkte der Figur rechts sollen mit geraden Linien verbunden
werden, ohne dabei den Stift beim Zeichnen vom Papier abzuheben
(markiere die Reihenfolge Deiner Linien). Wer schafft’s mit den wenigsten Linien?
c) Finde Zahlen, deren Ziffern lauter Achter sind und deren Summe 1000 ergibt.
d) Wie lauten die nächsten drei Zahlen in dieser Zahlenfolge? Begründe deine Antwort.
10 11 13 17 25 32 …
e) Susi dividiert die Zahl 111111
...
1424
31 durch 3. Wie viele Nullen sind im Ergebnis?
8001 Stellen
Aufgabe 2 (7. – 8. Klasse):
Ein Zahlenmagier führt folgenden Trick vor: Er gibt einem seiner Zuschauer elf Münzen und
sagt: „Nimm einen Teil der Münzen in die linke Hand und den Rest der Münzen in die rechte,
aber so, dass ich es nicht sehe. Multipliziere jetzt die Anzahl der Münzen in der linken Hand
mit fünf und die Anzahl der Münzen in der rechten Hand mit vier. Diese beiden Zahlen zählst
du zusammen und verrätst mir das Ergebnis.“ Daraufhin weiß der Magier genau, wie viele
Münzen in welcher Hand sind. Wie macht er das?
Aufgabe 3:
Die bisher größte bekannte Primzahl ist die Zahl 225 964 951 – 1. Sie wurde erst im Februar
2005 gefunden und besitzt 7 816 230 Dezimalstellen!
a) Wie lautet die letzte Ziffer dieser Primzahl? (7. – 13. Klasse)
Hinweis: Berechne die ersten zehn Zweierpotenzen. Entdeckst du ein System?
b) Wie viele Stellen hat diese Primzahl im Dualsystem? Welche Ziffer steht hier an der letzten Stelle? (7. – 13. Klasse)
Hinweis: Wer nicht mehr weiß, was es mit dem Dualsystem auf sich hat, sollte mal im
Matheheft der 5. Klasse nachschauen…
Überhaupt ist die Frage interessant, für welche natürlichen Zahlen x und n Zahlen der Form
xn – 1 Primzahlen sind. Leider gibt es dafür keine allgemeine Antwort. Einfacher ist es hingegen, Bedingungen zu finden, unter denen diese Zahlen keine Primzahlen sind:
c) Zeige: Wenn n gerade ist, kann xn – 1 keine Primzahl sein. (8. – 13. Klasse)
d) Zeige: Für x ≠ 2 ist xn – 1 niemals Primzahl. (11. – 13. Klasse)
Hinweis: x = 1 ist Nullstelle des Polynoms xn – 1.
Gib deine Lösung sauber ausgearbeitet und begründet auf einem DIN A4 – Blatt (Name
und Klasse nicht vergessen) bei deinem Mathematik-Lehrer ab.
Du kannst die Lösung auch per e-mail an [email protected] schicken.
Letzter Abgabetermin: 13. Mai 2005
Wer regelmäßig teilnimmt, darf am Ende des Schuljahres auf eine Belohnung hoffen.
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mathe im Internet: www.gym-vaterstetten.de/mathe