2.5 Zahlen und Zahldarstellungen

Mathematik für Informatik 1
2.5 Zahlen und Zahldarstellungen - von N über Z nach Q
Neben den natürlichen Zahlen N bzw. N0, die wir mit Hilfe
der Peano-Axiome definiert haben, gibt es noch eine ganze
Reihe weiterer Zahlenmengen, die Sie natürlich alle schon
aus der Schule kennen.
Bevor wir sukzessive die natürlichen Zahlen erweitern zu
- Ganze Zahlen Z
- Rationale Zahlen Q
- Reelle Zahlen R
- komplexen Zahlen C,
wollen wir zunächst noch kurz auf Darstellungsmöglichkeiten der natürlichen Zahlen eingehen.
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Wir haben bereits die Primzahlen kennengelernt und können
sie mit Hilfe einer Quantoren-Darstellung (∀, ∃ ) definieren :
Beispiel 8
p prim : ⇔ [ ( ∀ k ∈ N : k |* p ) ⇒ ( k = 1 ) ∨ ( k = p )]
∗lies:
k teilt p.
Die Primzahlen erweisen sich in gewisser (multiplikativer)
Weise als Grundbausteine der natürlichen Zahlen:
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Satz 7 : Jede natürliche Zahl n ≥ 2 kann als Produkt aus einer
Primzahl p und einer natürlichen Zahl a ∈ N, also in der Form
n = p ・ a dargestellt werden.
Beweisskizze:
Alle Primzahlen erfüllen den Satz offenbar mit a = 1.
Eine Zahl n ∈ N, die keine Primzahl ist, lässt sich folglich als Produkt n = a ・ b zweier Zahlen a > 1 und a < n
bzw. b > 1 und b < n schreiben.
Da es nur n−1 viele natürliche Zahlen gibt, die kleiner als n sind, ist n nur auf endliche viele verschiedene Arten
als Produkt von zwei natürlichen Zahlen (die größer als 1 sind) darstellbar. Als endliche Menge dieser Faktoren
muss es einen kleinsten Faktor p geben.
Wir zeigen nun, dass p eine Primzahl sein muss, mit Hilfe eines indirekten Beweises: D.h. wir nehmen an, dass p
keine Primzahl sei (also das Gegenteil von dem, was wir beweisen wollen) und leiten daraus einen Widerspruch
her.
Wenn p keine Primzahl wäre, müsste es wieder Zahlen c und d geben, die jeweils echt größer als 1 und diesmal
jeweils echt kleiner als p wären,
1 < c < p und 1 < d < p
und für die p = c ・ d gelten würde. Damit wäre
n = p ・ a = (c ・ d) ・ a = c ・ (d ・ a) ,
da aber p der kleinste Faktor gewesen sein sollte, müsste daraus also p ≥ c folgen, was aber im Widerspruch zu p
< c steht, sodass unsere Annahme, dass p keine Primzahl ist, falsch gewesen sein muss.
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Beispiel 32 :
Dass es durchaus verschiedene solcher Zerlegungen
in ein Produkt einer Primzahl und einer Zahl größer als 1
geben kann, sehen wir z.B. für n = 144 an den beiden
Zerlegungen
144 = 2 ・ 72 = 3 ・ 48 .
Allerdings können wir den Satz, sobald wir die kleinstmögliche
Primzahl p bestimmt haben, auf die damit erhaltene natürliche
Zahl a > 1 anwenden und eine Zerlegung dieser Zahl finden,
sofern diese keine Primzahl war (im obigen Beispiel also auf
72).
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