Aufgabenblatt 10

Prof. Dr. A. Beliakova
SS08 Junior Euler Society
Aufgabenblatt 10
Aufgabe 1
In einem Trapez ABCD mit AD||BC seien M respektive N die Mittelpunkte der Strecken
AD respektive BC. Zwischen den Geraden gegeben durch AB respektive CD und der
Gerade gegeben durch M N wird der gleiche Winkel aufgespannt. Zeige, dass das Trapez
gleichschenklig ist.
Aufgabe 2
Auf einem Quadrat ABCD seien vier Punkte P, Q, R und S auf den Seiten AB, BC, CD
respektive DA gegeben und zwar so, dass
AP : P B = BQ : QC = CR : RD = DS : SA.
Zeige, dass P QRS ein Quadrat ist.
Aufgabe 3
Auf einer Ebene seien zwei parallele Geraden sowie ein Punkt P vorgegeben. Konstruiere
ein gleichseitiges Dreieck, so dass eine Ecke des Dreiecks mit dem Punkt P übereinstimmt
und die anderen zwei Ecken je auf einer der Geraden liegen.
Aufgabe 4
Finde auf einer gegebenen Geraden einen Punkt M , so dass
(a) die Summe der Distanzen von zwei gegebenen Punkten zu M minimal ist;
(b) die Differenz der Distanzen von zwei gegebenen Punkten zu M maximal ist.
Aufgabe 5
(a) Zeige, dass falls ein Dreieck zwei Symmetrieachsen hat, so hat es mindestens drei
Symmetrieachsen.
(b) Gibt es ein Pentagon mit genau zwei Symmetrieachsen?
Aufgabe 6
Es sei ein Kreis und 5 Geraden gegeben (maximal je zwei davon seien zueinander parallel).
Schreibe diesem Kreis ein Fünfeck ein, so dass die Ecken auf dem Kreis liegen und jede
Seite zu je einer Geraden parallel ist.
Aufgabe 7
Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Schenkeln AB und AC sei gegeben. Der Winkel
∠A sei 36◦ und K auf der Seite AC gegeben durch die Winkelhalbierende des Winkels
∠B. Zeige, dass BK = BC.
A
36°
K
B
C
Aufgabe 8
Zeige, dass die Summe der Winkel an den Ecken eines Fünfsterns gleich 180◦ ist.
C
D
B
A
E