Beispiele Geometrie 3

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Beispiele Geometrie 3
1. Sei AB der Durchmesser eines Kreises und AP eine Sehne. Die Sehne AQ halbiert den
Winkel ]BAP . Zeige, dass die Tangente in Q normal auf AP steht.
2. Zwei Kreise schneiden einander in P und Q. Eine Gerade durch den Punkt P schneidet die
beiden Kreise erneut in A und B. Die Tangenten an die Kreise in den Punkten A und B
schneiden einander im Punkt C. Zeige, dass AQBC auf einem Kreis liegen.
3. In einem Sehnenviereck ABCD seien die gegenüberliegenden Seiten nicht parallel. Verlängert
man diese Seiten, so schneiden sie einander in den Punkten P und Q. Zeige, dass die Winkelsymmetralen der Winkel ]AP D und ]DQC normal aufeinander stehen.
4. Sei M der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats ABCD und ADE ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck über der Quadratseite nach außen mit dem rechten Winkel in E. Zeige,
dass die Strecke EM den rechten Winkel in E halbiert.
5. In einem Trapez ABCD mit AB k CD sei AB = BC + CD. Welche Beziehung besteht
zwischen den Innenwinkel in A und B
6. Zwei Kreise berühren einander von innen in einem Punkt T . Eine Sehne AB des äußeren
Kreises berührt den inneren Kreis im Punkt P . Zeige, dass T P den Winkel ]AT B halbiert.
7. Gegeben ist ein konvexes Viereck ABCD. P , Q, R, S seien die Mittelpunkte der Seiten AB,
BC, CD und DA, und X, Y die Mittelpunkte der Diagonalen. Zeige, dass die Strecken P R,
QS und XY durch einen gemeinsamen Punkte gehen.
8. Gegeben sei ein Quadrat ABCD ind ein Punkt P auf im Inneren der Seite AB. Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck P QR, dessen Eckpunkte Q und R am Rand des Quadrats
liegen.
9. Einem regelmäßigen Sechseck ist ein Quadrat einzuschreiben, sodass alle Eckpunkte des
Quadrats am Rand des Sechsecks liegen.
10. Über den Seiten CD und AD eines Parallelogramms werden außerhalb des Parallelogramms
gleichseitige Dreiecke CDP und ADQ errichtet. Zeige, dass BP Q ebenfalls ein gleichseitiges
Dreieck ist.
11. Gegeben ist ein rechtwinkeliges Dreieck ABC mit rechtem Winkel in C. P , Q und R seien
die Mittelpunkte der über den Seiten BC, CA und AB errichteten Quadrate. Zeige, dass die
Strecken P Q und CR gleich lang sind und normal aufeinander stehen.
12. Zwei gegen den Uhrzeigersinn beschriftete, gleichseitige Dreiecke ABC und A0 B 0 C 0 liegen
so, dass der Mittelpunkt von BC mit dem Mittelpunkt von B 0 C 0 übereinstimmt. Welchen
Winkel schließen die Geraden AC 0 und A0 B ein?
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