¨UBUNGSBLATT 1 Aufgabe 1. Gegeben sind die Punkte A(0|0|0), B

ÜBUNGSBLATT 1
F. LEMMERMEYER
Aufgabe 1. Gegeben sind die Punkte A(0|0|0), B(2|−1|2), C(1|1|0) und D(−1|2|2).
Im folgenden soll auf drei verschiedene Arten untersucht werden, ob ABCD ein
Quadrat ist. Man suche alle gemachten Fehler und gebe eine korrekte Lösung an.
1. Lösung.
(1)
(2)
(3)
(4)
Zeige, dass alle vier Seiten gleich lang sind.
Schließe daraus, dass ABCD eine Raute ist.
Zeige, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
Schließe daraus, dass ABCD ein Quadrat ist.
2. Lösung.
(1) Zeige, dass AB und DC gleich lang und parallel sind.
(2) Schließe daraus, dass ABCD ein Parallelogramm ist.
(3) Zeige, dass der Mittelpunkts M von AC nicht den gleichen Abstand von A
und B hat.
(4) Schließe daraus, dass ABCD kein Quadrat ist.
3. Lösung.
(1) Zeige, dass alle vier Seiten gleich lang sind.
(2) Zeige, dass das Viereck ABCD in C einen rechten Winkel hat.
(3) Schließe daraus, dass ABCD ein Quadrat ist.
2
Aufgabe 2. Zeige, dass F1 (x) = x2x−4 und F2 (x) = x24−4 Stammfunktionen derselben Funktion f (x) sind.
Schreibe F1 als Integralfunktion, d.h. bestimme a so, dass
Z x
F1 (x) =
f (t) dt
a
gilt. Ist dies auch für F2 möglich?
Aufgabe 3. Skizziere die Ebene
2x1 + 3x2 + 4x3 = 12.
a) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Spurpunkten der Ebene
gebildet wird.
b) Bestimme auf zwei verschiedene Arten das Volumen der Pyramide, die vom
Ursprung und den drei Spurpunkten der Ebene gebildet wird.
1
2
F. LEMMERMEYER
Aufgabe 4. Einem Quadrat ABCD wird ein gleichseitiges Dreieck DCE aufgesetzt.
Der Mittelpunkt dieses Dreiecks wird mit M bezeichnet, und der Schnittpunkt der
Geraden AC und BE mit S.
Zeige, dass das Dreieck CMS gleichschenklig ist.
Hinweis: Führe Koordinaten ein, lege A in den Ursprung, und wähle die Kantenlänge AB = 1.