v - Uni Kassel

Kraftfelder
Die Kraft auf eine Masse kann an verschiedenen Orten unterschiedlich sein.
Zur vollständigen Angabe muss für jeden Ort

r = ( x, y , z ) der Kraftvektor

F = ( Fx , Fy , Fz ) angegeben werden. → Kraftfeld
Grafische Darstellung
Schreibweise:
 
F ( r ) = ( Fx ( x, y , z ), Fy ( x, y , z ), Fz ( x, y , z ))
Mit dem Aktionsprinzip kann man die Beschleunigung einer Masse
 

am Ort r in einem Kraftfeld F (r ) direkt berechnen.
60
Man unterscheidet bei der Interpretation von Wechselwirkungen zwischen
Nahwirkung und Fernwirkung.
Bei der Nahwirkung erzeugt eine Masse ein Gravitationsfeld. Die andere
Masse wechselwirkt mit dem Feld an dem Ort an dem sie sich befindet
Bei der Fernwirkung wechselwirken die Massen direkt, ohne vermittelndes
Feld über große Entfernung.
Felder können sich als Wellen von ihren Erzeugern lösen (Beispiel
elektromagnetische Wellen) und über große Entfernungen und Zeiten
Energie und Impuls transportieren. Mit Feldern und Nahwirkung können
diese Phänomene sehr überzeugend beschrieben werden.
Ein statisches Feld erfüllt den gesamten Raum und trägt Energie
(Energiedichte).
60b
Gravitationsfeld
Es wird die Kraft auf eine kleine Masse m
in der Nähe der Masse M gemessen.
Die Richtung der Kraft zeigt auf die
Masse M d.h. in Richtung von

−r
Der Betrag der Kraft ist
m⋅M
FG = γ
r2
Also

m⋅M
FG = −γ  2
r

r

r
oder

m⋅M 
FG = −γ
⋅ er
2
r
61
Kraftfelder können zusätzlich auch von der Zeit abhängen.
 
F (r , t )
dies ist der Fall, wenn sich die felderzeugenden Massen gegeneinander
bewegen.
In manchen Fällen hängen die Kräfte auf einen Körper nicht nur von
seiner Position im Kraftfeld ab, sondern z.B. auch von seiner
Geschwindigkeit (Ladungen im Magnetfeld - Lorenzkraft). Das Konzept des
Feldes funktioniert dennoch. Die Eigenschaften des Körpers und des Feldes
müssen sorgfältig voneinander getrennt im Modell berücksichtigt werden.
Kräfte aufgrund von Berührungen von Körpern lassen sich nicht durch
Felder beschreiben, sondern durch die unmittelbare Wechselwirkung der
Körper miteinander.
62
Ort, Masse, Geschwindigkeit sind Eigenschaften von Körpern.
Das Feld hängt von Eigenschaften des felderzeugenden Körpers ab. Es darf
aber nicht von Eigenschaften des Körpers abhängen, der eine Kraft im Feld
erfährt. Wir führen daher eine Feldstärke ein, die unabhängig von der
Masse m des Probekörpers ist und erhalten das Gravitationsfeld
 
  F (r )
g (r ) =
m
Aus Feldstärke und Eigenschaften des Probekörpers berechnet sich die
Kraft auf den Probekörper
 
 
F (r ) = m ⋅ g (r )
Wegen der Gleichheit „Träge Masse = schwere Masse“ ist die Feldstärke
des Gravitationsfeldes eine Beschleunigung (= Schwerebeschleunigung).

 
m ⋅ a = m ⋅ g (r )
63
Beispiele:
Feld einer Punktmasse
64
Feld von zwei gleichgroßen Punktmassen
65
Ausschnitt mit Zerlegung der Kräfte (Feldstärke) in ihre Komponenten
66
Feld von zwei Punktmassen m1/m2 =
5/1
67
Feld von drei gleichgroßen Punktmassen
68
Zur graphischen Darstellung von Feldern: Feldlinien
Jede Feldlinie beginnt im Unendlichen und endet an einer Masse
Die Richtung der Feldlinie stimmt an jedem Punkt mit der Richtung der
Kraft auf eine Probemasse überein.
Die Dichte der Feldlinien pro Flächeneinheit (bei senkrechtem Durchstoßen)
ist proportional zur zum Betrag der Kraft. (In Abb. nicht richtig dargestellt)
69
Bewegung einer Masse in einem Kraftfeld
Newton‘s Aktionsprinzip lautet in diesem Fall
 

F (r ) = m ⋅ a
Die Beschleunigung hängt vom Ort ab, an dem sich die Masse befindet.
Newton‘s Aktionsprinzip liefert eine Anleitung, um die Bewegung
der Masse durch das Kraftfeld zu berechnen:


Ausgehend vom Startpunkt r0 mit Startgeschwindigkeit v0
wird in jedem Moment folgendes berechnet:
• aus der Kraft die Beschleunigung = Änderung der Geschwindigkeit
• daraus die neue Geschwindigkeit = Änderung des Ortsvektors
• daraus der neue Ort
70
Aus dem Aktionsprinzip erhält man eine Differentialgleichung,
die Bewegungsgleichung.
2


d
Schreibt man die Beschleunigung als a (t ) =
r (t )
2
dt
 
F (r )  
und
= g (r )
m
erhält man
 
d2 
r (t ) = g (r )
2
dt

Diese Differentialgleichung hat als Lösung Funktionen r (t ) .
Lösung sind alle möglichen Bewegungen (Bahnkurven) im Gravitationsfeld,

d.h. alle zulässigen Funktionen r (t ) .
Erst die Angabe von Anfangsbedingungen für Ort und Geschwindigkeit
beschränkt die Lösung auf eine bestimmte Bewegung.
71
Beschreibung und Vorhersage der Bewegungen von Massen.
Beschreibung des Experimentes mittels eines Modells.
• Zusammenstellen aller Kräfte die auf bewegliche Massen wirken.
• Aufstellen der Bewegungsgleichung.
• Lösen der Bewegungsgleichung.
• Feststellen der Anfangsbedingungen.
• Berechnung der Bahnkurven zu diesen Anfangsbedingungen.
• Vergleich mit dem Experiment.
• ggf. Falsifizieren des Modells.
72
Die Bewegungsgleichung d.h. die Differentialgleichung kann numerisch
oder in bestimmten Fällen analytisch gelöst werden.
Einfache numerische Lösung:


Ausgehend vom Startpunkt r0 mit Startgeschwindigkeit v0
wird in jedem Moment folgendes berechnet:
• aus der Feldstärke die Beschleunigung = Änderung der Geschwindigkeit
• daraus die neue Geschwindigkeit = Änderung des Ortsvektors
• daraus der neue Ort
 
d2 
r (t ) = g (r )
2
dt

d 
r (t ) = v (t )
dt

 
r ( t + ∆t ) = r + v ⋅ ∆t

 
v (t + ∆t ) = v + a ⋅ ∆t
→
 
d 
v (t ) = g (r )
dt
d.h.
d.h.



rneu = ralt + valt ⋅ ∆t



vneu = valt + a ⋅ ∆t
73
Die Beschleunigung berechnet sich aus der Feldstärke, also:

  
v (t + ∆t ) = v + g (r ) ⋅ ∆t
d.h.
Komponentenweise ergibt sich:


 
vneu = valt + g (ralt ) ⋅ ∆t
Anfangsbedingung:
x (t + ∆t ) = x (t ) + v x (t ) ⋅ ∆t
x (0) = x0
y (t + ∆t ) = y (t ) + v y (t ) ⋅ ∆t
y ( 0) = y 0
z (t + ∆t ) = z (t ) + v z (t ) ⋅ ∆t
z ( 0) = z 0
v x (t + ∆t ) = v x (t ) + g x ( x, y, z ) ⋅ ∆t
v x ( 0) = v x 0
v y (t + ∆t ) = v y (t ) + g y ( x, y, z ) ⋅ ∆t
v y ( 0) = v y 0
v z (t + ∆t ) = v z (t ) + g z ( x, y, z ) ⋅ ∆t
v z ( 0) = v z 0
74
Beispiel: Bewegung der Erde um die Sonne (Sonne selbst sei ortsfest)

 
mS r
g (r ) = −γ 2
r r
Komponentenweise ergibt sich:
x (t + ∆t ) = x (t ) + v x (t ) ⋅ ∆t
y (t + ∆t ) = y (t ) + v y (t ) ⋅ ∆t
z (t + ∆t ) = z (t ) + v z (t ) ⋅ ∆t
v x (t + ∆t ) = v x (t ) − γ
mS
x2 + y2 + z2
mS
v y (t + ∆t ) = v y (t ) − γ 2
x + y2 + z2
mS
vz (t + ∆t ) = vz (t ) − γ 2
x + y2 + z2
x
x2 + y2 + z2
y
x +y +z
z
2
2
x +y +z
2
2
2
2
⋅ ∆t
⋅ ∆t
⋅ ∆t
75
Umsetzung auf dem Computer:
Berechnung der Bahnkurve der Erde um die Sonne.
mE = 5.98 1024 kg
mS = 1.99 1030 kg
γ = 6.67 10-11 N m2 / kg2
∆t = 1000 s ( ca. 15 min, ist klein gegen einen Umlauf = ein Jahr)
Abstand Erde-Sonne:
min: 147.1 109 m
Große Halbachse der Ellipse:
a = 149.6 109 m
Bahngeschwindigkeit:
max: 30289 m/s
max: 152.1 109 m
min: 29293 m/s
Anfangsbedingungen sind z.B.
x0 = 152.1 109 m
y0 = 0.0 m
z0 = 0.0 m
vx0 = 0.0 m/s
vy0 = 29293 m/s
vz0 = 0.0 m/s
76
Berechnung der Bahnkurve auf dem Computer
Wahl verschiedener Anfangsbedingungen.
x0 = 152.1 109 m
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 29293 m/s
x0 = 152.1 109 m
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 20000 m/s
x0 = 152.1 109 m
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 15000 m/s
x0 = 250.0 109 m
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 15000 m/s
x0 = 150.0 109 m
y0 = 0 m
vx0 = -20000
vy0 = 20000 m/s
77
Vergleich von Newtons Modell (Axiome und Gravitationsgesetzt) mit
Keplers Modell für das Sonnensystem.
1. Die Bahnkurven sind Ellipsen in deren einem Brennpunkt die Sonne
steht.
2. Flächensatz (wird hier nicht überprüft)
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich
wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen.
T12 a13
= 3
2
T2 a2
T12 T22
→
= 3 = const.
3
a1
a2
T2
(365.24 Tage) 2
2
3
=
=
0
.
039844
Tage
/
Gm
(149.6 Gm)3
a3
78
Vergleich für verschiedene Bahnkurven:
x0 = 152.1 109 m
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 29293 m/s
T2 / a3 = (365.24 Tage)2 / (149.6 Gm)3 = 0.039844 Tage2 / Gm3
x0 = 152.1 109 m
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 20000 m/s
T2 / a3 = (195.61 Tage)2 / (98.66 Gm)3 = 0.039844 Tage2 / Gm3
x0 = 152.1 109 m
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 15000 m/s
T2 / a3 = (162.84 Tage)2 / (87.30 Gm)3 = 0.039854 Tage2 / Gm3
x0 = 250.0 109 m
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 15000 m/s
T2 / a3 = (398.72 Tage)2 / (158.61 Gm)3 = 0.039842 Tage2 / Gm3
Beide Modelle stimmen im Rahmen der numerischen Lösung auf 10-4
miteinander überein.
79
Leichte Modifikation des Gravitationsgesetzes:
(Variation des Exponenten)

 
mS ⋅ m E r
F (r ) = −γ
r 2 .01 r
Beispiele:
x0 = 150 109 m
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 15000 m/s
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 15000 m/s
Exponent = 2.01
x0 = 150 109 m
Exponent = 1.98
Die Bahnkurven sind keine Ellipsen mehr, sondern Rosettenbahnen.
Tatsächlich ist die Bahn des Merkur eine Rosettenbahn aufgrund von
Effekten der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Kräfte durch andere
Planeten.
80
Grenzen Newtons Modells zur Beschreibung der Bewegung von Massen
Nano-Kosmos
Bewegt sich eine kleine Masse auf einer „Keplerbahn“ mit Radius im
nm Bereich, dann stimmt das Modell nicht mehr mit Experimenten überein.
1.
Die Anfangsbedingungen der Bewegung sind nicht präzise bestimmbar
Sie sind nur mit einer Unschärfe: x = x0 ± ∆x und v = v0 ± ∆v messbar.
Es gilt:

1.054 10−34 kg m 2 /s
∆x ⋅ ∆v ≥
=
m
m
kg
Diese Unschärfe gibt die Natur vor, sie kann mit keinem noch so genauen
Experiment überwunden werden.
Der vermutliche Aufenthaltsort eines Teilchens durch eine
Wahrscheinlichkeitsfunktion (Wellenfunktion) beschrieben.
80a
aus: S. Brandt & H.D. Dahmen,
The Picture Book of Quantum
Mechanics, Springer Verlag
80b
Teilchen innerhalb dieser Unschärfe haben unterschiedliche Umlaufzeiten.
Ein anfängliche lokal begrenzte Verteilung verbreitert sich im Laufe der Zeit.
Nach mehreren Umläufen ist die Verteilung über die ganze Bahn verschmiert.
Man weiß nicht mehr wo „auf der Bahn“ das Teilchen ist.
2.
Zusätzlich haben die „Teilchen“ eine Wellennatur und Überlagerungen
führen zu Interferenzen wie man sie vom Licht her kennt.
Überlagert sich das Teilchen mit sich selbst, d.h. sein n-ter Umlauf mit
seinem (n+1)-ten Umlauf, dann beobachtet man eine Wellenstruktur
in der Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Dies alles wird in der Quantenmechanik mathematisch formuliert.
80c
aus: S. Brandt & H.D. Dahmen,
The Picture Book of Quantum
Mechanics, Springer Verlag
80d
Richtige Behandlung der Gegenkraft:
Auf die Sonne wirkt die gleiche Kraft wie auf die Erde, aber
in entgegengesetzter Richtung. Auch die Sonne wird beschleunigt.
Behandlung der Sonne als frei bewegliche Masse durch zusätzliche
Bewegungsgleichungen.
Die Erde bewegt sich im Gravitationsfeld der Sonne, die Sonne bewegt sich
im Gravitationsfeld der Erde.
2
mS
d 
r (t ) = −γ  
2 E
dt
rE − rS
2
2
mE
d 
r (t ) = −γ  
2 S
dt
rS − rE
2
 
rE − rS
 
rE − rS
 
rS − rE
 
rS − rE
 
rE − rS

rS

rE
81
Beispiele auf dem Computer:
Original Massenverhältnis
Masse Sonne = 2 1030 kg
Erde:
x0 = 150 109 m
Sonne: x0 = 0 m
Masse Erde = 6 1024 kg
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 30000 m/s
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 0 m/s
Massenverhältnis 10:1
Masse Sonne = 2 1030 kg
Erde:
x0 = 150 109 m
Sonne: x0 = 0 m
Masse Erde = 2 1029 kg
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 30000 m/s
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 0 m/s
Massenverhältnis 1:1
Masse Sonne = 2 1030 kg
Erde:
x0 = 150 109 m
Sonne: x0 = 0 m
Masse Erde = 2 1030 kg
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 30000 m/s
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 0 m/s
82
Bewegung um gemeinsamen Schwerpunkt:
Massenverhältnis 10:1
Masse Sonne = 2 1030 kg
Erde:
x0 = 150 109 m
Sonne: x0 = 0 m
Masse Erde = 2 1029 kg
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 30000 m/s
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = -3000 m/s
Massenverhältnis 1:1
Masse Sonne = 2 1030 kg
Erde:
x0 = 150 109 m
Sonne: x0 = 0 m
Masse Erde = 2 1030 kg
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = 15000 m/s
y0 = 0 m
vx0 = 0
vy0 = -15000 m/s
83
Analytische Behandlung von kreisförmigen Planetenbahnen:
Wichtige Methode beim Lösen von Differentialgleichungen ist das
„intelligente raten“ der richtigen Funktion und anschließend
Berechnung der Parameter .
Betrachtung des Spezialfalls kreisförmige Bahnkurve

r (t ) = ( x, y ) = (r cos ϕ (t ) , r sin ϕ (t ))
y
Bewegung auf Kreis ist gleichförmig
(Keplers Flächensatz) Winkel nimmt
gleichmäßig zu.
ϕ (t ) = ω t
ω = const.

r
ϕ
x
also

r (t ) = (r cos(ω t ), r sin (ω t ))
84

Ableiten von r (t ) = ( r cos(ω t ), r sin (ω t )) nach der Zeit:


v (t ) = r (t ) = (−ω r sin(ω t ), ω r cos(ω t ))


(
)
a t = v (t ) = (−ω 2 r cos(ω t ),−ω 2 r sin(ω t ))
nach ausklammern von -ω2 ergibt sich:
y

v

2 
a (t ) = − ω r (t )
Die Beschleunigung zeigt immer auf
das Zentrum des Kreises.
Sie heißt Zentripetalbeschleunigung

r

a
ϕ
a = −ω r
x
2
Bewegungen auf einer Kreisbahn sind
immer beschleunigte Bewegungen.
Beschleunigung steht senkrecht zu v,
sie ändert nicht den Betrag von v, sondern nur die Richtung.
85
Die Zentripetalbeschleunigung muss durch eine Kraft verursacht werden
(Newton‘s Aktionsprinzip).
  
m a = F (r )
mit m1 ortsfest im Zentrum und m2 auf der Kreisbahn ergibt sich:

m1 m2 r
2
− m2 ω r = −γ
r2 r
⇒
m1m2
m2 ω = γ 3
r
2
m1
⇒ ω =γ 3
r
2
Ein Umlauf d.h.
2π
ω=
T
m1
⇒ ω= γ 3
r
ϕ = 2π
wird nach der Zeit 2π = ω ⋅ T erreicht.
nennt man Winkelgeschwindigkeit.
86
Aus
m1
ω =γ 3
r
2
liest man das 3. Keplersche Gesetz ab (es folgt aus Newtons Modell bei
ortsfester Sonne und einem Planeten):
m1
 2π 
  =γ 3
r
 T 
2
⇒
r3
m1
γ
=
= const.
2
2
T
4π

Für den Betrag der Bahngeschwindigkeit v gilt:

v = v x2 + v y2 = ω r ⋅ sin 2 (ω t ) + cos 2 (ω t )
also
v =ω r
=1
Analytische Behandlung von Ellipsen schwieriger
Analytische Behandlung einer Rosettenbahn sehr schwierig
87