Blatt 3 - II. Institut für Theoretische Physik

UNIVERSITÄT STUTTGART – II. INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
Prof. Dr. U. Seifert
Klassische Mechanik (SS 2017) – Blatt 3
Aufgabe 8: Teilchen im elektromagnetischen Feld
Ein Teilchen der Masse m und Ladung q > 0 bewegt sich in der x-y-Ebene im homogenen elektrischen Feld E = Eey (E > 0) eines Plattenkondensators. Zusätzlich wird die
Ebene senkrecht von einem homogenen Magnetfeld B = Bez (B > 0) durchsetzt. Auf
das Teilchen wirkt also insgesamt die Lorentzkraft Fl = q(E + 1c v × B) (cgs-Einheiten).
a) Stellen Sie die Newtonschen Bewegungsgleichungen auf und zeigen Sie, dass diese
in der Form
d
C(t) = 0
dt
(C(t) ∈ R2 )
(1)
geschrieben werden können. Identifizieren Sie zwei Erhaltungsgrößen und nutzen
Sie diese aus, um die Bewegungsgleichungen zu entkoppeln.
(1 Punkt)
b) Das Teilchen sei nun zur Zeit t0 am Ort (x0 , y0 + 2b ) und habe die Geschwindigkeit
(vx0 , vy0 ) (vx0 ≥ 0). Bestimmen Sie die zugehörige Trajektorie (x(t), y(t)) ohne
Berücksichtigung der Kondensatorplatten.
(2 Punkte)
c) Es sei nun vx0 = vy0 = 0. Für welche Werte von E verlässt das Teilchen den
Kondensator bei x0 + a, ohne zuvor mit einer der Kondensatorplatten zu kollidieren? Ist es kollisionsfrei möglich, dass das Teilchen den Kondensator bei x0 wieder
verlässt? Skizzieren Sie qualitativ den Trajektorienverlauf für jeden möglichen Fall.
(1 Punkt)
1
Aufgabe 9: Runge-Lenz Vektor
Betrachtet wird ein Teilchen der Masse m in einem Zentralpotential V (r).
a) Zeigen Sie folgende Beziehung:
r
d
0
2 d
(p × L) = mV (r) r
.
dt
dt r
(2)
Folgen Sie hieraus für V (r) = −k/r eine vektorielle Erhaltungsgröße, den RungeLenz Vektor A.
(2 Punkte)
b) Nun hat man mit L, E und A scheinbar sieben Erhaltungsgrößen. Finden Sie zwei
Relationen, die diese Wahl auf vernünftige fünf unabhängige (Warum dürfen es
nicht mehr sein?) einschränkt. Welche Charakteristik der Bahn legt die daraus
folgende zusätzliche Erhaltungsgröße fest?
(2 Punkte)
Aufgabe 10: Periheldrehung
Im Gravitationspotential V0 (r) = −k/r der Sonne bewegt sich ein Planet auf einer
Ellipsenbahn. Kleine Störungen δV im Potential V = V0 + δV führen in der Regel
zu einer Periheldrehung: Nach jedem Umlauf ändert sich die Richtung des Perihels,
d.h. des sonnennächsten Punkts, um den Winkel δφ.
Auf dem Weg von Perihel zu Perihel ändert sich der Winkel um
s
p d Z rmax
l2
∆φ = −2 2µ
dr E − V (r) −
.
dl rmin
2µr2
(3)
a) Überprüfen Sie die Gültigkeit dieser Beziehung. Zeigen Sie ∆φ = 2π für δV = 0.
(1 Punkt)
b) Berechnen Sie die Periheldrehung δφ in erster Ordnung in δV .
(2 Punkte)
Hinweis: Ergebnis
Z
d 1 π
2
dφ r δV (r) ,
δφ = ∆φ − 2π = 2µ
dl l 0
(4)
wobei für r = r(φ) die ungestörte Lösung einzusetzen ist.
c) Werten Sie das Ergebnis für die Störpotentiale δV = γ/r3 und δV = β/r2 aus.
(1 Punkt)
2