Mensch-Maschine

Formeln und Notizen
Mensch-Maschine-Schnittstelle
Florian Franzmann∗
7. April 2009, 23:53 Uhr
Abbildungsverzeichnis
1.
Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Tabellenverzeichnis
1.
2.
3.
4.
5.
Teile von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vielfache von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometrische Funktionen – Funktionswerte besonderer
Potenzen der imaginären Einheit . . . . . . . . . . . . . .
Bekannte Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Winkel
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. 3
. 4
. 7
. 11
. 12
Inhaltsverzeichnis
1. Mensch-Maschine-Schnittstelle
5
A. Mathematische Grundlagen
A.1. Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2. Kreisfrequenz . . . . . . . . . . . . .
A.1.3. Normierte Kreisfrequenz . . . . . . .
A.1.4. Die z-Ebene . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Lösungsformel für quadratische Gleichungen
A.3. Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . .
∗
[email protected]
1
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5
5
5
5
5
5
5
5
A. Mathematische Grundlagen
A.3.1. Gerade durch einen Punkt P (x0 , y0 ) mit Steigung m . . . . .
A.3.2. Gerade durch die Punkte P (x0 , y0 ) und A(x1 , y1 ) . . . . . . .
A.3.3. Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.4. Allgemeine Form der Geradengleichung . . . . . . . . . . . .
A.4. Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5. Rechenregeln des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.1. Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.1.1. Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.1.2. Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.1.3. Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.1.4. Logarithmische Differentiation . . . . . . . . . . . .
A.6.1.5. Differentiation eines parameterabhängigen Integrals
A.6.1.6. l’Hospital’sche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.2. Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.2.1. Laplace-Operator ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.2.2. Divergenz-Operator div . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.2.3. Gradient-Operator ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.2.4. Rotations-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.2.5. Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix) . . . . . . . . . .
A.6.2.6. Hesse-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.2.7. Zusammengesetzte Operationen . . . . . . . . . . .
A.7. Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.1. Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.2. Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.3. Logarithmische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.4. Integration der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.1. Komplexe Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.9. Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.9.1. Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.10.Abschätzung mittels Union-Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.11.Bessel-Funktion erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.11.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.11.2. Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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5
5
6
6
6
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
10
10
10
10
10
10
10
11
11
12
12
13
13
13
13
A. Mathematische Grundlagen
Tabelle 1: Teile von Einheiten
Bezeichnung
Präfix
Faktor
Faktor2
Faktor3
yotto
y
10−24
10−48
10−72
zepto
z
10−21
10−42
10−63
atto
a
10−18
10−36
10−54
femto
f
10−15
10−30
10−45
pico
p
10−12
10−24
10−36
nano
n
10−9
10−18
10−27
micro
µ
10−6
10−12
10−18
milli
m
10−3
10−6
10−12
centi
c
10−2
10−4
10−8
deci
d
10−1
10−2
10−4
3
A. Mathematische Grundlagen
Tabelle 2: Vielfache von Einheiten
Faktor
Faktor2
Faktor3
da
101
102
103
Hekto
h
102
104
106
Kilo
k
103
106
1012
Mega
M
106
1012
1018
Giga
G
109
1018
1027
Tera
T
1012
1024
1036
Peta
P
1015
1030
1045
Exa
E
1018
1036
1054
Zeta
Z
1021
1042
1063
Yotta
Y
1024
1048
1072
Bezeichnung
Präfix
Deka
4
1. Mensch-Maschine-Schnittstelle
1. Mensch-Maschine-Schnittstelle
A. Mathematische Grundlagen
A.1. Frequenz
A.1.1. Definition
f :=
1
T
(1)
T ist die Periode der Schwingung.
A.1.2. Kreisfrequenz
ω := 2πf
(2)
ω
fa
(3)
z := ejΩ
(4)
A.1.3. Normierte Kreisfrequenz
Ω :=
fa ist die Abtastfrequenz.
A.1.4. Die z-Ebene
A.2. Lösungsformel für quadratische Gleichungen
ax2 + bx + c = 0
√

2

 −b ± b − 4ac
2a
p
⇒ x1,2 =
2

 −b ± j −(b − 4ac)
2a
(5)
falls b2 − 4ac ≥ 0
(6)
falls
b2
− 4ac < 0
A.3. Geradengleichung
A.3.1. Gerade durch einen Punkt P (x0 , y0 ) mit Steigung m
y = m(x − x0 ) + y0
(7)
A.3.2. Gerade durch die Punkte P (x0 , y0 ) und A(x1 , y1 )
y = y0 +
y1 − y0
· (x − x0 ) mit x1 6= x0
x1 − x0
5
(8)
A. Mathematische Grundlagen
cot
tan
sin
cos
Abbildung 1: Trigonometrische Funktionen
A.3.3. Parameterform
x = x0 + t cos α
(9)
y = y0 + t sin α
(10)
mit t ∈ ]−∞, ∞[.
A.3.4. Allgemeine Form der Geradengleichung
Ax + By + C = 0
(11)
A.4. Additionstheoreme
1
sin α · sin β = (cos(α − β) − cos(α + β))
2
1
cos α · cos β = (cos(α − β) + cos(α + β))
2
1
sin α · cos β = (sin(α − β) + sin(α + β))
2
1
sin2 α = (1 − cos 2α)
2
1
2
cos α = (1 + cos 2α)
2
2
(14)
(16)
2
cos 2α = cos α − sin α = 1 − sin α
6
(13)
(15)
sin 2α = 2 sin α cos α = 1 − cos2 α
2
(12)
(17)
(18)
A. Mathematische Grundlagen
Tabelle 3: Trigonometrische Funktionen – Funktionswerte besonderer Winkel
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
ϕ
0◦
30◦
45◦
60◦
90◦
180◦
270◦
I
II
III
IV
sin ϕ
0
1
2
1
0
−1
+
+
−
−
cos ϕ
1
1
2
0
−1
0
+
−
−
+
tan ϕ
0
1
3
nicht
definiert
0
nicht
definiert
+
−
+
−
cot ϕ
nicht
definiert
0
nicht
definiert
0
+
−
+
−
√
√
√
1
2
3
3
3
1
2
√
√
2
1
2
3
1
2
2
√
1
1
√
1
3
3
√
3
ejα − e−jα
2j
jα
e + e−jα
cos α =
2
(19)
sin α =
e
Quadrant
(20)
ejα = cos α + j sin α
(21)
−jα
(22)
= cos α − j sin α
A.5. Rechenregeln des Logarithmus
logb (u · v) = logb u + logb v
logb
logb uz = z · logb u
logb
u
√
n
v
u=
= logb u − logb v
(23)
1
· logb u
n
(24)
A.6. Differentiation
A.6.1. Regeln
A.6.1.1. Quotientenregel
u 0
v
=
u0 v − uv 0
v2
(25)
A.6.1.2. Kettenregel
(u(v(x)))0 = u0 (v(x)) · v 0 (x)
7
(26)
A. Mathematische Grundlagen
A.6.1.3. Produktregel
(u(x) · v(x))0 = u(x) · v 0 (x) + u0 (x) · v(x)
(27)
A.6.1.4. Logarithmische Differentiation
y = u(x)v(x) mit u(x) > 0
v(x) · u0 (x)
0
v(x)
0
⇒ y = u(x)
v (x) · ln u(x) +
u(x)
(28)
(29)
A.6.1.5. Differentiation eines parameterabhängigen Integrals
∂
∂x
b(x)
b(x)
Z
Z
∂
f (t, x) dt + f (b(x), x) · b0 (x) − f (a(x), x) · a0 (x)
f (t, x) dt =
∂x
a(x)
(30)
a(x)
A.6.1.6. l’Hospital’sche Regel
u(x)
u0 (x)
= lim 0
x→a v(x)
x→a v (x)
lim
(31)
A.6.2. Operatoren
A.6.2.1. Laplace-Operator ∆
∆f :=
n
X
∂2f
i=1
∂x2i
(32)
= Sp (Hessf (~x))
(33)
= ∇ · ∇f
(34)
A.6.2.2. Divergenz-Operator div
Definition
divf :=
n
X
∂fi
= Sp(J~v ) = ∇ · f
∂xi
(35)
i=1
Rechenregeln
∇ · (φ~v ) = (∇φ) · ~v + φ(∇~v )
∇ · (~v × w)
~ =w
~ · (∇ × ~v ) − ~v · (∇ × w)
~
(36)
(37)
A.6.2.3. Gradient-Operator ∇
Definition
gradf := ∇f = (fx1 , · · · , fxn )T
8
(38)
A. Mathematische Grundlagen
Rechenregeln
∇(A + B) = ∇A + ∇B
(39)
∇(A ◦ B) = ∇A ◦ B + ∇A ◦ B
(40)
Hierbei bedeutet „◦“ eines der Produkte „·“, „ד oder „⊗“ und „A“ bedeutet, daß ∇
nur auf A angewandt wird. Damit folgt:
∇(φψ) = φ(∇ψ) + (∇φ)ψ
(41)
∇(φ~v ) = ~v ⊗ (∇φ) + φ(∇~v )
(42)
∇(~v · w)
~ = (∇~v )T w
~ + (∇w)
~ T ~v
(43)
∇ · (φf ) = (∇φ) · f + φ∇ · f
(44)
A.6.2.4. Rotations-Operator
Definition




~ := 
rotV




∂v3
∂x2
−
∂v2
∂x3
∂v1
∂x3
−
∂v3
∂x1
∂v2
∂x1
−
∂v1
∂x2



~
=∇×V



(45)
Rechenregeln
∇ × (φ~v ) = (∇φ) × ~v + φ(∇ × ~v )
∂~v
∂w
~
∇ × (~v × w)
~ = (∇ · w)~
~ v+
− (∇ · ~v )w
~−
∂w
~
∂~v
Hierbei ist
∂~v
∂w
~
die Richtungsableitung von ~v in Richtung von w,
~ d. h.
(46)
(47)
∂
∂w
~
=w
~ · ∇.
A.6.2.5. Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix)



~

∂
f
∇f~ =
= J f~ = 

∂~x



∂f1
∂x1
···
∂f1
∂xn
..
.
..
..
.
∂fm
∂x1
···
9
.
∂fm
∂xn



 = f~ ⊗ ∇



(48)
A. Mathematische Grundlagen
A.6.2.6. Hesse-Matrix



∂2φ 
=
Hessφ (~x) =

∂x2


∂2φ
∂x21
∂2φ
∂x1 ∂x2
∂2φ
∂x1 ∂x3
∂2φ
∂x2 x1
∂2φ
∂x22
∂2φ
∂x2 ∂x3
∂2φ
∂x3 x1
∂2φ
∂x3 x2
∂2φ
∂x23








= grad(gradφ) = ∇ ⊗ ∇φ
(49)
(50)
A.6.2.7. Zusammengesetzte Operationen
∇ · (∇ × ~v ) = 0
(51)
∇ × (∇φ) = 0
(52)
∇ × (∇ × ~v ) = ∇(∇ · ~v ) − ∆~v
(53)
A.7. Integrationsregeln
A.7.1. Partielle Integration
Z
Z
u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) − u0 (x)v(x) dx
(54)
A.7.2. Substitutionsregel
x = u(t) bzw. t = v(x). u und v seien zueinander Umkehrfunktionen.
Z
Z
f (x) dx = f (u(t))u0 (t) dt bzw.
Z
Z
f (u(t))
f (x) dx =
dt
v 0 (u(t))
A.7.3. Logarithmische Integration
Z 0
f (x)
dx = ln |f (x)| + c
f (x)
Z
1
f 0 (x) · f (x) dx = · f 2 (x) + c
2
(55)
(56)
(57)
(58)
A.7.4. Integration der Umkehrfunktion
u und v seien zueinander Umkehrfunktionen. Dann ist
Z
u(x) dx = xu(x) − F (u(x)) + c1
mit
(59)
Z
F (x) =
v(x) dx + c2
10
(60)
A. Mathematische Grundlagen
Tabelle 4: Potenzen der imaginären Einheit
j(n
n
0
1
2
3
mod 4)
1
j
−1
−j
A.8. Komplexe Zahlen
z = a + jb
(61)
= ρ(cos ϕ + j sin ϕ)
(−π < ϕ ≤ +π ∧ k ∈ Z)
arg z = ϕ + 2kπ
(62)
(63)
a = ρ cos ϕ
(64)
b = ρ sin ϕ
p
ρ = a2 + b2
(65)

a

arccos ρ
(66)
für b ≥ 0 ∧ ρ > 0
a
ρ
− arccos
für b < 0 ∧ ρ > 0


unbestimmt für ρ = 0

b

für a > 0
arctan a


π


für a = 0 ∧ b > 0
+ 2
π
ϕ = −2
für a = 0 ∧ b < 0


b

arctan a + π für a < 0 ∧ b ≥ 0




arctan ab − π für a < 0 ∧ b < 0
(67)
z = ρ · ejϕ
(69)
ϕ=
e
e
a+jb
jϕ
= cos ϕ + j sin ϕ
a
a
= e · cos b + je · sin b
A.8.1. Komplexe Wurzel
p
√
ψ + 2πk
ψ + 2πk
n
n
z = |z| · cos
+ j sin
n
n
mit k = 0, . . . , n − 1 und ψ = arg(z).
11
(68)
(70)
(71)
(72)
A. Mathematische Grundlagen
Tabelle 5: Bekannte Reihen
Formel
∞
X
1
n
1
n=1
∞
X
2
Anmerkung
divergiert
qk
1
falls |q| < 1
1−q
qk
q k0 − q k1 +1
1−q
k=0
k1
X
k=k0
n
X
ln
(−1)n
∞
X
1
n2
n=1
∞
X
1
2
π
6
1
nα
konvergiert für α > 1
n
m · (m + 1)
2
n2
m · (m + 1) · (2n + 1)
6
n=1
m
X
n=1
m
X
n=1
A.9. Binomialkoeffizient
n!
n
n
=
=
n−k
k
k!(n − k)!
(73)
A.9.1. Reihen
Für konvergente Reihen gilt
∞
X
(αan + βbn ) = α
n=1
1
2
∞
X
n=1
Harmonische Reihe
Geometrische Reihe
12
an + β
∞
X
n=1
bn
(74)
Literatur
A.10. Abschätzung mittels Union-Bound
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ≤ P (A) + P (B)
(75)
A.11. Bessel-Funktion erster Art
A.11.1. Definition
1
Jν (η) =
2π
Zπ
ej(η sin x−νx) dx
(76)
−π
≈
x n+1
1
1 x n
·
−
·
falls x 1
n!
2
(n + 1)!
2
(77)
A.11.2. Eigenschaften
• n gerade ⇒ Jn (x) = Jn (−x) = J−n (x) = J−n (−x)
• n ungerade ⇒ Jn (x) = −Jn (−x) = −J−n (x) = J−n (x)
Literatur
[1] Furlan, Peter: Das Gelbe Rechenbuch 1. Lineare Algebra, Differentialrechnung für
Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker. Dortmund : Verlag Martina
Furlan, 1995. – ISBN 3–9316–4500–2
[2] Huber, Johannes: Nachrichtenübertragung. Erlangen : Vorlesungsskript zur gleichnamigen Veranstaltung, 2006
[3] Kammeyer, Karl-Dirk: Nachrichtenübertragung. Stuttgart : Teubner, 2004. – ISBN
3–519–26142–1
[4] Konstantin Adolfowitsch Semendjajew, Ilja Nikolajewitsch B.: Taschenbuch
der Mathematik. Thun und Frankfurt am Main : Verlag Harri Deutsch, 2001. – ISBN
3–8171–2005–2
[5] Paul Mühlbauer, Friedrich B.: Mathematische Formeln und Definitionen. München : Bayerischer Schulbuchverlag, 1998. – ISBN 3–7627–3261–X
[6] Rabenstein, Rudolf: Mensch-Maschine-Schnittstelle. Erlangen : Vorlesungsskript
zur gleichnamigen Veranstaltung, 2007
13
Index
Symbole
F
∆, 8
j, 11
∇, 8
femto, 3
Funktion
trigonometrische, 6, 7
Funktionalmatrix, 9
A
G
Ableitungsoperator
Nabla, 8
Divergenz, 8
Gradient, 8
Laplace, 8
Rotation, 9
zusammengesetzte Operationen, 10
Additionstheoreme, 6
atto, 3
Geradengleichung
allgemeine Form, 6
durch Punkt und Steigung, 5
durch zwei Punkte, 5
Parameterform, 6
Giga, 4
Gradiend, 8
H
B
Bessel-Funktion, 13
Binomialkoeffizient
Hekto, 4
n
k
I
, 12
Integration
logarithmische, 10
partielle, 10
Substitutionsregel, 10
Umkehrfunktion, 10
C
centi, 3
cos-, 6
D
J
deci, 3
Deka, 4
Differentialoperator, siehe Ableitungsoperator
Differentiation, 7
Kettenregel, 7
logarithmische, 8
parameterabhängiges Integral, 8
Produktregel, 8
Quotientenregel, 7
Divergenz, 8
Jakobimatrix, 9
K
Kettenregel, 7
Kilo, 4
Komplexe Zahlen, 11
L
Laplace-Operator, 8
l’Hospitalsche Regel, 8
Logarithmus
Rechenregeln, 7
E
Exa, 4
14
Index
M
Y
Matrix
Funktional, 9
Hesse, 10
Jakobi, 9
Mega, 4
micro, 3
milli, 3
Yotta, 4
yotto, 3
Z
Zahl
komplexe, 11
Wurzel, 11
zepto, 3
Zeta, 4
N
nano, 3
P
Peta, 4
pico, 3
Produktregel, 8
Q
Quadratische Gleichung, 5
Quotientenregel, 7
R
Reihe
geometrische, 12
harmonische, 12
Reihen, 12
Rotation rot, 9
S
sin-, 6
T
Tera, 4
U
Union-Bound, 13
W
Wurzel
komplexe, 11
15