12 Aufbau der Sterne, Teil 2

Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Kapitel VI:
Der Aufbau der Sterne
1
Visuelle Doppelsterne
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Intrinsische Bahnelliptizität vs
Bahnneigung
Intrinsische Ellipse: Schwerpunkt in einem
Brennpunkt der Ellipse
 Geneigte Kreisbahn: Schwerpunkt im
Schnittpunkt der Halbachsen

2
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Bestimmung der Bahnneigung
3
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Astrometrische Doppelsterne


Begleiter zeigt sich aufgrund von periodischen
Schwankungen in der Position um einen
gemeinsamen Schwerpunkt
Aktuelles Beispiel: Suche nach extrasolaren
Planeten. Mittlerweile wurden >100 Planeten so
gefunden.
4
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Spektroskopische
Doppelsterne
5
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Bedeckungsveränderliche
http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/ astro101/java/eclipse/eclipse.htm
6
Massenbestimmung

Visueller Doppelstern
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Bahngeometrie
Große Halbachse
[Länge]
m2 a1 D1 D1 cos i ~1



 ~  Massenver hältnis
m1 a2 D 2 D 2 cos i  2

Kepler 3:
4 2a 3 4 2 3 3
m1  m2 

D große Halbachse
2
2
GP
GP
[Winkel]
3
2 ~3
4   D 


2 
GP  cos i 

Problem: Bestimmung des Abstand D
7
Massenbestimmung

Spektroskopischer Doppelstern
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Bahngeometrie
max
n ,rad
v

 vn sin i
max
v
m1
,rad
 1max
 Massenver hältnis
m2 v2,rad

P
(v1  v2 ) :
Mit Kepler 3 und a  a1  a2 
2
max
max 3
P (v1,rad  v2,rad )
m1  m2 
2G
sin 3 i



Unabhängig von D !!!!
Aber abhängig von Bahnneigung i
Bahnexzentrizität: Abweichung von sinus-Variation
8
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Effekt der Bahnexzentrizität
M1=0.5, M2=2.0,  =0.3, i=30°
9
Massenbestimmung

Spektroskopischer Doppelstern
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Wenn nur eine Komponente beobachtbar
m1
v2 
v1
m2
P (v )  m1 
1 

m1  m2 
2G sin i  m2 
max 3
1,rad
3

3
oder:
m23
P
3
max 3
sin
i

(
v
1,rad )
2
(m1  m2 )
2G
Massenfunktion
Observablen
10
Beispiele

LMC-X3
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne





Stellares Objekt in der Großen Magellanschen
Wolke (LMC, eine Satellitengalaxie der Milchstraße
im Abstand von 50 kpc)
Hauptreihenstern vom Spektraltyp B3
 Masse des Sterns: M≈7M⊙
Geschwindigkeit variiert mit einer Periode von
P=1.7±0.01 d.
Gemessene Bahngeschwindigkeit:
v=235 km/s
Sinusartige Geschwindigkeitsvariation
 nahezu zirkularer Orbit.
11
Beispiele
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

LMC-X3
m23
2.3


(m2  7)2 sin i
i
90
75
60
45
30
0
m2
8,1
8,6
10,2
14,5
28,5
-
(in Sonnenmass en)
 M > 8,1 M⊙, aber unsichtbar
 regulärer Stern wäre nicht zu
übersehen
 zu massereich für einen
Weissen Zwerg (MWD < 1.4 M⊙)
(siehe Kapitel VII)
 zu massereich für einen
Neutronenstern (MN* < 3 - 6 M⊙)
(siehe Kapitel VII)
 Schwarzes Loch ?
12
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
LMC-X3
13
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
51 Peg
14
Beispiele

51 Peg
51 Peg ist ein Stern ähnlich der Sonne
 Kleinste Variationen in der
Radialgeschwindigkeit:
vr=59±3 m/s (m nicht km !!!)
 Geschwindigkeit variiert mit einer Periode
von
P=4.229±0.001 d.
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

15
Beispiele
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

51 Peg
m23
m23
0.47


m

2
(m1  m2 )2 m12
sin i
i
90
60
30
15
5
0
m2
0,47
0,54
0,94
1,82
5,42
-


(in Jupitermas sen)
M≈MJupiter, außer wir beobachten
das System nahezu perfekt von
der Seite („edge-on“)
Wie wahrscheinlich ist so ein Fall ?
P
Fläche des Rings zwischen i1 und i2
Fläche der Hemisp häre
1

2
2
i2
 d  di sin i  cos i
1
0
 cos i2
i1
 P(0  i  5 )  3.8  103
16
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Bedeckungsveränderliche
http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/ astro101/java/eclipse/eclipse.htm
17
Bedeckungsveränderliche
(siehe auch Übungsblatt)

Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne


Bedeckung  sin i ≈1.
max
v
Radialgeschwindigkeiten v1max
,
,rad
2 ,rad
 Massen M1, M2 .
Bedeckung





Bahnkurve




Scheinbare Helligkeit m1, m2
Temperatur T1, T2
Sternradien R1, R2
daraus Abstand D, Leuchtkraft L1, L2
Bahnradius a
Exzentrizität 
Bahnneigung i
und vieles mehr
18
Sternaufbaugleichungen
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Hydrostatisches
Gleichgewicht
Annahme: Kugelsymmetrie
 Masse innerhalb Radius r

r
M r   dr4r2  ( r)
0

Gleichgewicht zwischen Druckgradient und
Gravitationskraft (siehe auch Kapitel I)
dP
GM r
  2  (r)
dr
r
19
Abschätzung des Drucks im
Sonneninneren
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Linke Seite: Ersetze Differentiale durch
Differenzen Zentrum-Rand



dP  P = Pc- 0 = Pc
dr  r = R
Rechte Seite: Benutze Mittelwerte

r=R/2
Mr=M (wegen Dichteanstieg zum Zentrum)
(r)=

Pc=1.2×1010 atm (genaue Modelle: 2×1017 atm)


4GM
 Pc 

R
20
Ist die Sonne im stationären
Gleichgewicht ?
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Umlaufzeit für äußere Schichten
2
4

T2 
a3
GM

Freifall-Zeitskala
T
R3
3
M
 ff 


mit  
2
GM
4G
4R 3
21
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Ist die Sonne im stationären
Gleichgewicht ?

3
M
 ff 
mit  
4G
4R 3
Beispiele




Sonne
Roter Riese
Weißer Zwerg
M =1M⊙, R =1R⊙  ff=1200s
M =1M⊙, R =100R⊙  ff=20d
M =1M⊙, R =0.01R⊙ ff=1.6s
Schlussfolgerung



Sterne verändern sich auf Zeitskalen, die lang im
Vergleich zur dynamischen Zeitskala sind
nahezu perfektes Gleichgewicht
Sternentwicklung: Sequenz von
Gleichgewichtszuständen
quasi-stationäres Gleichgewicht
22
Zustandsgleichung
Im allg. gilt nicht P=P()
 Ideales Gas
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne



k
P
T
mH
: mittleres Atomgewicht (hängt von der
chemischen Komposition ab)
Strahlungsdruck (dominiert bei
niedrigen Dichten)
1 4
P  aT
3

a=7.565×10-15 dyn cm-2 K-4
23
Zustandsgleichung

Entartetes Elektronengas (hohe Dichten)
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne



Elektronen: Spin-½-Teichen  folgen der FermiDirac-Statistik
Paulisches Ausschließungsprinzip:
maximal zwei Elektronen () pro
6D-Phasenraumzelle mit Volumen h3
Zahl der Phasenraumzellen bis zur Energie E (oder
bis Impuls p via E=p2/2m)
p3 E 3 / 2
NE 





Entartung, wenn T<TFermi
 kalt, hohe Dichten  Weiße Zwerge
Alle Phasenraumzellen bis TFermi sind besetzt
24
Zustandsgleichung

Entartetes Elektronengas
Dem entarteten Elektronengas kann keine
Bewegungsenergie mehr entzogen werden
 P=P(), unabhängig von der Temperatur
 nicht-relativistisches Elektronengas
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

kTFermi  mec 2  Pe   5 / 3


relativistisches Elektronengas
kTFermi  mec 2  Pe   4 / 3
Für extreme Dichten (1014 gcm-3)

Entartetes Neutronengas (Neutronenstern)
25
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Zustandsgleichung
26
Sternaufbaugleichungen
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Neue Abhängigkeit:
P  P(  , T , X i )


Energietransportgleichung


benötigt: zusätzliche Gleichungen
für T(r), P(r), Xi(r)
Liefert T(r), führt aber neue Abhängigkeit ein:
Leuchtkraft L(r)
Energieerzeugung, nukleares Brennen

Liefert L(r), Xi(r)
27
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
Vogt-Russel-Theorem
Die Masse und Komposition eines
Sterns bestimmt eindeutig seinen
Radius, seine Leuchtkraft und seine
innere Struktur sowie seine künftige
Entwicklung
NB: vernachlässigt:


Magnetfelder
Rotation
28
Polytrope Modelle
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne


Für den Fall P=P() ist die Struktur bereits
durch die Annahme des hydrostatischen
Gleichgewichts bestimmt.
Interessante Spezialfälle:
5/ 3
n=1.5
P


 nicht-relativ. Elektronengas
4/3
P


n=3
 Relativ. Elektronengas



Adiabatisches Gas
(z.B. voll-konvektiver Stern)
Konstantes Verhältnis von
Strahlungsdruck zu Gasdruck
P

1
n
 1
P   4/3
Polytrope Zustandsgleichung
P  Kn 
n 1
n
29
Polytrope Modelle
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Hydrostatisches Gleichgewicht
1 dP
 n 1
 Kn 

 dr
 n 
1 n
n

GM r
 2
r
r
r

M ( r )  4  dr ' r '2  ( r ' )
besser:
0
1 dP
 n 1
 Kn 

 dr
 n 
1 n
n
  

  (r )  
 (n  1) K 

d

r
dr
n
n
30
Polytrope Modelle
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Gravitationspotential über PoissonGleichung
 2  2  2
  2  2  2  4G
x
y
z

1 d  2 d  d 2
2 d

r
 2
2
r dr  dr  dr
r dr
Kugelsymmetrie

mit hydrostatisches Gleichgewicht
  
d
2 d

  4G 

2
dr
r dr
 (n  1) K 
2
n
31
Polytrope Modelle
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Variablensubstitution:
(i )
z  Ar
(ii )
n 1
4G
4G
n 1
  c  
A 
c n
n
n
(n  1) K
( n  1) K
2
1/ n
(iii )
 
w
  
 c  c 
d 2 w 2 dw
1 d  2 dw 
n
n



w

0

z

w


dz 2 z dz
z 2 dz  dz 
Lane-Emden-Gleichung
32
Lane-Emden Gleichung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Analytische Lösungen

n=0:

n=1:

n=5:
1 2
w( z )  1  z ;     const .
6
sin z
w( z ) 
z
1
w( z ) 
 R
2
1 z / 3


n=:

K
  c e , isothermal
33
Lane-Emden Gleichung
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Numerische Lösung für n≠0,1,5,
n
zn
0
1
1,5
2
3
4
4,5
5
2,44940
3,14159
3,65375
4,35287
6,89685
14,97155
31,8365

 2 dw 
 z

dz  z  zn

4,8988
3,14159
2,71406
2,41105
2,01824
1,79723
1,73780
1,73205
c

1,00000
3,28987
5,99071
11,40254
54,18250
622,4080
6189,470

34
Anwendung für Sterne

Masse innerhalb r:
r
r
m(r )   4r ' dr ' 4c  w r ' dr '
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne
2
0
n
2
0
r
1 dw 
n 2
3
 4c 3  w z dz  4c r  

z 0
 z dz 
3 z

Gesamtmasse
  3 dw 
 1 dw 
M  4c R  

 


 c  z dz  z  zn
 z dz  z  zn
3
35
Anwendung für Sterne
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

oder
 1 dw 
3 n 1
M  4  
 zn 

 z dz  z  zn  4G 

3/ 2
K
3/ 2

3 n
2n
c
Radius
2
1
r
A   
(n  1) K
4G
z
2
R
1 n
2n
c
M
1 n
3 n
1 n
n
c
 Dichtere Objekte sind kleiner
 n=1.5: massereichere Objekt
36
sind kleiner !!!
Anwendung Sonne
Modelliere Sonne als n=3-Polytrope
(konstantes Verhältnis von Gas- zu
Strahlungsdruck)
 Wir kennen M, R
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne




3
   c  75.8g cm
 54.18

3M
3

 1.4 g cm
3
4R
1
 c  3 dw 
 

  z dz  z  z
3
37
Anwendung Sonne
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne

Aus Zustandsgleichung P  K 
 2 dw   K 
M  4   z
 

dz  z  z3  G 

3/ 2
 K  3.8 10
14

Vergleich mit idealem Gas
P  K
4/3
kT
7

  T  1.110 K
0.6mH
38
Chandrasekhar-Masse
Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Kapitel VI: Der Aufbau der Sterne


Spezialfall relativistisches
Elektronengas:
1/ 3
hc
3
4/3
P  K ; K   
4/3

8
(
m

)
 
u e
 2 dw   K 
M  4   z
 

dz  z  z3  G 

3/ 2
Masse unabhängig von der
Zentraldichte
M ch 
5,836

2
e
M⊙  1,4 M⊙
39