Probeklausur Analysis 1

Name:
Matrikelnummer:
I
II
WS 2016/17
Dr. O. Kutovyi
III
IV
P
Probeklausur Analysis 1
I. (a) Geben Sie die Definitionen der folgenden Objekte an: das Maximum
einer Teilmenge von R, eine beschränkte Teilmenge von R, eine konjugiert
komplexe Zahl.
(3 Punkte)
(b) Geben Sie ein Beispiel einer Teilmenge von R an die ein Maximum
und kein Minimum besitzt.
(1,5 Punkte)
(c) Formulieren Sie das Archimedische Prinzip.
(1,5 Punkte)
(d) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
(3 Punkte)
für alle n ∈ N :
3n+1 ≥ (n + 2)2 .
II. (a) Geben Sie die Definitionen der folgenden Objekte an: der Grenzwert einer Folge reeller Zahlen, eine monoton steigende Folge. Formulieren
Sie das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz einer Folge.
(3,5 Punkte)
(b) Geben Sie die Definition eines Verdichtungspunktes einer Folge an.
Zeigen Sie, dass ein a ∈ R̄ ein Häufungspunkt der Folge {xn } genau dann
ist, wenn a ein Verdichtungspunkt ist.
(3,5 Punkte)
(c) Formulieren Sie den Satz von Heine-Borel. Welche Teilmengen von R
heißen kompakt? Zeigen Sie dass jede unbeschränkte Teilmenge von R nicht
kompakt ist.
(5 Punkte)
(d) Bestimmen Sie mithilfe von Majoranten-, Quotienten-, oder Wurzelkriterium, ob die folgenden Reihen konvergieren.
(6 Punkte)
∞
X
2017 + (−1)n (n + 2017)
n=1
n3
,
∞ X
3
n=1
(−1)n
+
4
2
n
bitte wenden
III. (a) Geben Sie die Definitionen der folgenden Objekte an: die Exponentialfunktion von x ∈ C, der Abschluß einer Teilmenge von R, der Grenzwert einer Funktion an der Stelle a ∈ R.
(3 Punkte)
(b) Formulieren Sie den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
(1,5 Punkte)
(c) Was gilt für die Stetigkeit der Komposition zweier stetiger Funktionen? Erklären Sie mit Beweis.
(2,5 Punkte)
(d) Es sei f : R 7→ R definiert durch
(6 Punkte)
(1)
f (x) =
sin x1 , x 6= 0
0, x = 0
f (x) =
x2017x , x 6= 0
1, x = 0
(2)
Entscheiden Sie, ob f stetig ist und beweisen Sie Ihre Behauptung.
IV. (a) Geben Sie die Definitionen der folgenden Objekte an: das Differential einer reellwertigen Funktion, das o-klein (Landau-symbol), eine konvexe Funktion. Wie kann man die Differenz f (x + dx) − f (x) für eine differenzierbare Funktion an der Stelle x ∈ R mithilfe des Differentials und des
o-klein darstellen?
(4 Punkte)
(b) Formulieren Sie die Quotientenregel für die Ableitung und den Satz
über die Ableitung der Umkehrfunktion.
(3 Punkte)
(c) Formulieren Sie den Satz von Fermat. Formulieren Sie und beweisen
Sie den Mittelwertsatz von Cauchy.
(5 Punkte)
(d) Berechnen Sie:
(6 Punkte)
ex − xe
,
x→e (x − e)
lim
lim (ex + x)
2017
x
.
x→0
Formulieren Sie genau die verwendete Version der l’Hospitalschen Regeln.