Mathematisches Argumentieren und Beweisen . ¨Ubung zum Lesen

Mathematisches Argumentieren und Beweisen
.
Übung zum Lesen mathematischer Texte
Aufgabenstellung: Lesen Sie den Text über teilgeordnete Mengen und
bearbeiten Sie danach die folgenden Aufgaben.
1. Geben Sie ein Beispiel für eine endliche, teilgeordnete Menge an, deren
Elemente keine Zahlen sind.
2. Geben Sie ein Beispiel für eine teilgeordnete Menge an, die nicht total
geordnet ist.
3. Formulieren Sie eine mathematische Frage, die sich Ihnen nach dem
Lesen von Definition 1 stellt.
4. Beantworten Sie diese Frage, falls es Ihnen möglich ist.
5. Es sei X eine Menge und P (X) die Menge aller Teilmengen von X.
Was bedeutet das Symbol (P (X), ⊆)?
6. Wenn Sie selbst den Begriff eines maximalen Elements definieren sollten, wie würde Ihre spontan formulierte Definition aussehen? Wäre sie
gleichbedeutend mit der in Definition 2 gegebenen?
7. Führen Sie den fehlenden Teil des Beweises von Feststellung 3 aus.
8. Finden Sie ein Beispiel für eine total geordnete Menge, die ein maximales Element aber kein minimales Element besitzt.
9. Formulieren Sie eine präzise Definition eines minimalen Elements einer
Teilmenge T ⊆ M einer teilgeordneten Menge (M, ≤).
10. Formulieren Sie eine interessante Frage über minimale oder maximale
Elemente von Teilmengen einer teilgeordneten Menge (M, ≤).
11. Versuchen Sie diese Frage zu beantworten und Ihre Antwort zu begründen.
12. Formulieren Sie eine Version der Feststellung 4, die für teilgeordnete
Mengen richtig ist.
Teilgeordnete Mengen
Im folgenden kurzen Text werden der Begriff der teilgeordneten Menge, sowie
minimale und maximale Elemente in solchen Mengen eingeführt.
Definition 1: Eine teilgeordnete Menge ist eine nichtleere Menge
M zusammen mit einer Relation ≤, welche folgende Eigenschaften besitzt:
1. Für alle m ∈ M gilt m ≤ m.
2. Aus m1 ≤ m2 und m2 ≤ m1 folgt m1 = m2 .
3. Aus m1 ≤ m2 und m2 ≤ m3 folgt m1 ≤ m3 .
Die Relation ≤ nennt man eine Teilordnung von M .
Eine Totalordnung von M ist eine Teilordnung von M mit der Eigenschaft
4. Für alle m1 , m2 ∈ M gilt m1 ≤ m2 oder m2 ≤ m1 .
Eine nichtleere Menge M zusammen mit einer Totalordnung ≤ nennt man
eine total geordnete Menge.
Anmerkung: Als Symbol für eine teilgeordnete Menge M mit Teilordnung ≤ verwendet man üblicherweise (M, ≤).
In Anwendungen teilgeordneter Mengen, wie zum Beispiel bei Optimierungsproblemen, spielen kleinste und größte Elemente eine herausragende
Rolle. Allerdings ist die Sachlage hier erheblich unübersichtlicher als im Fall
der natürlichen, ganzen oder rationalen Zahlen.
Definition 2: Es sei (M, ≤) eine teilgeordnete Menge.
Ein Element m0 ∈ M heißt minimal, falls es kein m ∈ M \ {m0 } mit
der Eigenschaft m ≤ m0 gibt.
Ein Element m0 ∈ M heißt maximal, falls es kein m ∈ M \ {m0 } mit
der Eigenschaft m0 ≤ m gibt.
Es ist klar, dass es teilgeordnete Mengen ohne minimale oder maximale Elemente gibt. Weiter kann eine teilgeordnete Menge mehrere minimale
Elemente oder mehrere maximale Elemente besitzen. In total geordneten
Mengen ist die Situation in dieser Hinsicht etwas einfacher:
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Feststellung 3: Eine total geordnete Menge (M, ≤) besitzt höchstens
ein minimales und höchstens ein maximales Element.
Beweis: Die Elemente m1 , m2 ∈ M seien beide minimal. Da ≤ nach
Voraussetzung eine Totalordnung ist, gilt entweder m1 ≤ m2 oder m2 ≤ m1 .
Im ersten Fall muss m1 = m2 gelten, da sich sonst ein Widerspruch zur
Minimalität von m2 ergibt. Im zweiten Fall muss m1 = m2 gelten, da sich
sonst ein Widerspruch zur Minimalität von m1 ergibt.
Den Beweis der Behauptung über maximale Elemente führt man analog.
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Es ist klar, dass jede nichtleere Teilmenge T ⊆ M einer teilgeordneten
Menge (M, ≤) selbst eine teilgeordnete Menge ist. Damit ist auch klar, was
unter minimalen und maximalen Elementen einer Teilmenge einer teilgeordneten Menge zu verstehen ist.
Feststellung 4: Es seien (M, ≤) eine total geordnete Menge, s0 ein
minimales Element der Teilmenge S ⊆ M und t0 ein minimales Element
der Teilmenge T ⊆ M . Aus S ⊆ T folgt dann t0 ≤ s0 .
Beweis: Da ≤ eine Totalordnung ist, gilt entweder s0 ≤ t0 oder t0 ≤ s0 .
Da nach Voraussetzung S ⊆ T gilt und für kein t 6= t0 die Relation t ≤ t0
bestehen darf, folgt im ersten Fall s0 = t0 , also wie behauptet t0 ≤ s0 . Im
zweiten Fall ist nichts zu beweisen.
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