Mittenvierecke - Humboldt

HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN
MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHE
FAKULTÄT II
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Vorlesung/Seminar Ausgewählte Kapitel der Didaktik der Mathematik
(Computerunterstützter Mathematikunterricht) SS 09
Dozent: Doktor Ingmar Lehmann
Berlin, den 08.06.2009
Mittenvierecke
Belegarbeit zum Referat
von Emil Groth
Mittenvierecke spielen im aktuellen Lehrplan der Berliner Schulen leider nur eine
Randerscheinung und auch deutschlandweit gehören sie nicht wirklich zu den bedeutendsten
Themen im Mathematikunterricht. Dabei ist es doch ein Thema aus der Geometrie, dass
unglaublich viele Möglichkeiten zum Entdecken und Ausprobieren bietet, vor allem, wenn
man sich mit einer dynamischen Geometriesoftware an die Mittenvierecke heranwagt.
Insofern ist zu hoffen, dass mit dem Einzug von Computern und mathematischer Software
auch die Mittenvierecke eine bedeuterende Stellung bekommen.
Aus den bisher wenigen Zusammenstellungen zu dem Thema lässt sich eine Einordnung des
Themas in die Sekundarstufe I erkennen. Sinn macht es sicherlich, die Mittenvierecke nach
der Einführung aller besonderen Vierecke zu betrachten. Da Themen wie das Haus der
Vierecke in Klasse 8 eine Rolle spielen, lässt sich das hier sicherlich hier gut integrieren. Mit
richtiger Beweisführung wird das Thema auch nur als Stoff für die Begabtenförderung
angegeben, doch je nach Klasse und Aufbau halte ich eine Einbindung in den regulären
Unterricht auch für möglich.
Der folgende Text soll einen kleinen Überblick über die Inhalte zum Thema Mittenviereck
beinhalten, einen methodischen Weg skizzieren und den Umgang mit der dynamischen
Geometriesoftware Geometer’s Sketchpad schulen. Im Anhang befinden sich überdies
Beispiele zu den vorgeschlagenen Konstruktionen, die im Referat als Übungen vorgegeben
wurden.
Das Mittendreieck
Bevor man sich die Inhalte zum Mittenviereck vornimmt, macht es Sinn, sich zunächst mit
den Mittendreiecken auseinander zu setzen, weil deren Kenntnisse zur Beweisführung der
Mittenvierecke benötigt werden. Hierzu bietet sich zunächst eine Übung an, bei der man von
einem Mittendreieck ausgeht und das Dreieck selbst durch Punktspiegelung an den
Seitenmitten erzeugt. Das übt auch gleich noch mal eine Funktion ein, die im Kurs bisher
noch nicht angewendet werden musste, und verdeutlicht gut die Zusammenhänge zwischen
Dreieck und Mittendreieck.
Aufgabe 1:
Konstruiere mit Geometer’s Sketchpad ein (nicht gleichschenkliges) Dreieck ABC. Drehe das
Dreieck ∆ ABC an der Mitte Ma der Seite a um 180°. Benenne den Spiegelpunkt von A mit A’.
Führe selbiges mit den Seitenmitte Mb und Mc durch!
Welche Eigenschaften hat ∆ A’B’C’ im Vergleich zu ∆ ABC? Überprüfe deine Ergebnisse,
indem du die Lage der Punkte A, B und C veränderst!
Kleiner Trick: Wird bei der Drehung (und auch anderen Verschiebungen) nicht nur das
Dreieck markiert sondern auch der Punkt A, nennt das Programm den Punkt automatisch A’.
Folgende Eigenschaften sollten sich ergeben: Das Mittendreieck ist ähnlich zum
Ausgangsdreieck. Die Seiten des Mittendreiecks sind halb so lang wie die des
Ausgangsdreiecks. Die Verbindung zweier Seitenmitten ist parallel zur dritten Seite.
Bei Schülern macht es sicherlich Sinn, erste Aussagen zu sammeln und dann auch noch mal
ein Mittendreieck aus dem gegebenen Dreieck zu konstruieren. Ordentliche Begründungen
bzw. Beweise sollten ebenfalls nicht ausgespart werden. Auch würde es Sinn machen, noch
Aussagen über die Flächeninhalt des Mittendreiecks zu treffen, der sich als Viertel des
Ausgangsdreiecks schnell feststellen lässt. Hier kann man dann auch noch Spielereien
anstellen und beispielsweise den Flächeninhalt des fünften Mittendreiecks bestimmen lassen,
was dann aber auch ohne Computer leicht zu bewerkstelligen ist.
Der Vollständigkeit halber führe ich hier noch den Beweis, dass die Verbindung zweier
Seitenmitten (auch Mittellinie genannt) parallel zu dritten Seite verläuft.
Beweis: 1
Voraussetzung: M a , M b und M c sind die Seitenmitten des Dreiecks ∆ ABC.
Behauptung: M b M c ist parallel zu a
Beweis: Aus der Voraussetzung folgt, dass das Verhältnis
AM b
AC
=
AM c
AB
gilt. Nach
Umkehrung des 1. Strahlensatzes muss demnach die Behauptung gelten.
qed
Analog geht der Beweis für die anderen Seiten. Damit kann man nun auch noch diverse
Winkelsätze an geschnittenen Parallelen anwenden und die Ähnlichkeit beweisen.
An dieser Stelle sollte noch eine schöne Funktion erwähnt werden, die zur Übersichtlichkeit
beiträgt. Man kann Flächen farblich hervorheben, indem man einfach die Punkte, die die
Fläche begrenzen, in der richtigen Reihenfolge, also reihum (!) markiert und dann auf
Construct/Interior geht. Die Farbe lässt sich durch einen Doppelklick ändern.
Mit dieser Einführung über Dreiecke kann man nun den Bogen zu den Vierecken schlagen,
bei denen man als Schüler möglicherweise auch ähnliche Zusammenhänge vermutet bzw.
intrinsisch motiviert untersuchen möchte.
Das Mittenviereck
Aufgabe 2:
Zeichne mit Geometer’s Sketchpad ein Viereck ABCD. Konstruiere die Seitenmitten E, F, G
und H des Vierecks und zeichne das Mittenviereck EFGH ein! Was stellst du fest?
Verändere zur Überprüfung deiner Vermutungen die Form des Ausgangsvierecks und miss
mit Hilfe des Computers auch Seitenlängen und Winkel des Mittenvierecks.
Ein Tipp: Wenn man die Vierecksseiten reihum (!) alle markiert, dann lassen sich mit einem
Klick auf Construct/Midpoints sofort alle Mittelpunkte bestimmen. Klickt man danach auch
noch auf Construct/Segments, wird sofort das Mittenviereck konstruiert.
Ziemlich schnell sollte man erkennen, dass das Mittenviereck immer ein Parallelogramm ist.
Das lässt sich mit Sketchpad zum einen durch Ziehen an den Ecken verdeutlichen, man kann
hier aber auch schön die Animation benutzen. Dazu sollte man beispielsweise zunächst vier
Kreise mit unterschiedlichen Radien zeichnen, die sich nicht schneiden. Dann wählt man auf
jedem Kreis einen Punkt und nutzt diesen als Eckpunkt für das Ausgangsviereck. Man
konstruiert nun das Mittenviereck und kann über den Befehl Display/Animate die Eckpunkte
auf den Kreisen laufen lassen. Für schnelle und eifrige Schüler könnte man nun über die
Funktion Display/Trace sogar noch verfolgen lassen, welche Fläche das Mittenviereck in
seiner Veränderung durch die Eckpunkte insgesamt vereinnahmt, was eine weitere schöne
Spielerei zum Thema darstellt.
Wenn man zudem ganz sicher gehen will, dass es auch wirklich ein Parallelogramm ist, kann
man sich zwei Hilfsstrecken zeichnen, die zwei sich gegenüberliegende Seiten des
Mittenvierecks miteinander verbinden. Diese lässt man nun beide messen und man wird
erkennen, dass beide Abstände immer gleich sein werden. Ebenso kann man die beiden als
parallel vermuteten Strecken jeweils markieren und über den Befehl Measure/Slope die
Steigung angeben lassen.
Die gefundenen Zusammenhänge gelten sogar, wenn sich das Viereck überschlägt, was sich
mit dem Programm ebenfalls schnell darstellen lässt. Das ist aber alles als Beweis noch nicht
ausreichend und muss noch besprochen werden. Über die Zusammenhänge im Dreieck ist
dieser aber schnell auch von den Schülern zu finden.
Beweis 2:
Voraussetzung: M a , M b , M c und M d sind Seitenmitten des Vierecks ABCD.
Behauptung:
Viereck M a M b M c M d ist ein Parallelogramm d.h. M a M b ist parallel zu
M c M d und M b , M c ist parallel zu M a , M d .
Beweis: M a M b ist Mittenlinie im Dreieck ABC. Daraus folgt: M a M b ist parallel zu AC .
Zudem ist M c M d Mittenlinie im Dreieck ACD. Daraus folgt: M c M d ist parallel zu AC .
Also gilt: M a M b ist parallel zu AC ist parallel zu M c M d und somit ist M a M b parallel zu
McM d .
qed
Analog erfolgt der Beweis, dass M b , M c parallel zu M a , M d ist.
Da es ganz spezielle Parallelogramme gibt, ist es nun auch eine Überlegung wert, wie das
Mittenviereck aussieht, wenn man ein besonderes Viereck vorzuliegen hat, oder welche
Bedingungen erfüllt sein müssen, wenn man ein ganz spezielles Mittenviereck haben möchte.
Dazu kann man sich zunächst erstmal veranschaulichen, wie das Mittenviereck für ein
Rechteck aussieht.
Aufgabe 3:
Zeichne in ein Rechteck das Mittenviereck ein und begründe den folgenden Satz: Wenn man
in ein Rechteck das Mittenviereck einzeichnet, dann ist es ein Rhombus.
Gilt davon auch der Kehrsatz?
Aufgabe 4:
Zeichne einen Rhombus mit der Seitenlänge 5 cm, deren Form sich verändern lässt, und
konstruiere nun ein Viereck so, dass der Rhombus das Mittenviereck ist. Probiere aus, wie
sich das Viereck verändern könnte, das Mittenviereck aber ein Rhombus bleibt. Welche
Bedingung(en) muss das Ausgangsviereck erfüllen?
Die zweite Aufgabe erfordert relativ viel Arbeit mit Sketchpad. Schon die Konstruktion des
veränderbaren Rhombus’ erfordert einige Überlegungen. Unter Umständen bietet sich hier ein
fragend-entwickelnder Unterricht mit den Schülern an, oder man gibt bei der
Aufgabenstellung einige Arbeitsschritte vor. Dies kann auch teilweise als Lückentext
geschehen. Dies hängt alles von verschiedenen Faktoren ab (Klassenstärke, Qualität, Zeit, …)
und muss individuell entschieden werden.
Die Konstruktion des Rhombus’ erfolgt über Hilfskreise, bei denen der Radius als Parameter
vorher festgelegt wird (Graph/New Parameter). Will man sogar die Seitelänge verändern
können, konstruiert man sich zunächst eine Gerade, misst diese und verschiebt einen Punkt
so, dass man auf 5 cm kommt. Nun konstruiert man sich einen Kreis mit dieser Länge, und
legt zwei Punkt fest, die man mit dem Mittelpunkt verbindet. Nun zeichnet man um diese
beiden Punkte auf dem Kreis jeweils wieder einen Kreis mit gleichem Radius (5 cm) und
erhält so zwei Berührungspunkte. Der eine ist mein erster Mittelpunkt, der zweite ist mein
vierter Punkt für den Rhombus. Die Punkte werden nun zu einem Rhombus miteinander
verbunden. Die Eckpunkte nennt man E, F, G, und H.
Als nächstes nimmt man sich eine beliebige Strecke AB , bei der beispielsweise F der
Mittelpunkt ist. Dazu sollte man zunächst die Strecke AF zeichnen und diese dann um 180°
um den Punkt F drehen. Von den Eckpunkten A und B zeichnet man nun die Strecken
AE und BG und dreht die wiederum um die Eckpunkte des Rhombus’. Bei Drehen sollte man
immer die Punkte mit markieren, weil man dann später an jeder Stelle beliebig ziehen kann.
Hat man die Konstruktion fertig, ist es bei Schülern sicherlich notwendig, einen weiteren Tipp
zu geben, damit die Aufmerksamkeit auf die Diagonalen des Ausgangsdreiecks gelegt wird.
Auf folgendes Ergebnis sollten die Schüler nun kommen: Wenn in einem Viereck die
Diagonalen gleichlang sind, dann ist das dazugehörige Mittenviereck ein Rhombus. Eine Seite
des Rhombus’ ist halb so lang wie die Diagonale.
Beweis 3:
Voraussetzung: M a , M b , M c und M d sind Seitenmitten des Vierecks ABCD. AC = BD
Behauptung: M a M b = M b M c = M c M d = M d M a
Beweis: M a M b ist parallel zu AC (siehe Beweis 2) und es gilt
MaMb =
Strahlensatz). Analog gilt auch, dass M b M c parallel zu BD ist und M b M c =
1
AC (2.
2
1
BD gilt.
2
Da aber AC = BD nach Voraussetzung gilt, muss auch M a M b = M b M c
gelten. Da
M a , M b , M c und M d zudem ein Parallelogramm ist (Beweis 2), gilt die Behauptung.
qed
Den Abschnitt kann man mit einer kleinen Anwendungsaufgabe abschließen.
Aufgabe 5:
Konstruiere zwei verschiedene Vierecke ABCD mit a = 6 cm, b = 3,5 cm und β = 80°, so
dass das zugehörige Mittenviereck einen Rhombus ergibt.
Als elegante Lösung bietet sich hier erneut an, die Distanzen über Kreise zu realisieren.
Zunächst legt man zwei Parameter fest, die die Längen von a und b haben. Dann legt man
einen Punkt B fest und konstruiert mit diesem Mittelpunkt beide Kreise. Auf dem größeren
Kreis legt man den Punkt A fest. Nun muss man den Winkel festsetzen. Hierzu markiert man
den Punkt B und geht auf Transform/Mark Center. Nun markiert man nur Punkt A und geht
auf Transform/Rotate und legt den Winkel fest. Da die Rotation in mathematisch positiver
Richtung erfolgt, muss man unter Umständen einen negativen Winkel angeben, um die
gewünschte Ausrichtung des Vierecks zu behalten. Nun lässt sich über den Hilfspunkt A’ nun
Punkt C des Vierecks auf dem kleineren Kreis festlegen. Nun kann man eine Diagonale AC
zeichnen und mit der gleichen Länge einen Kreis um Punkt B ziehen. Ein beliebiger Punkt auf
dem erhaltenen Kreisbogen, der zwischen A und C liegt, kann nun als Punkt D festgelegt
werden. Zur Kontrolle kann man nun alle Seiten des Vierecks markieren, die Mittelpunkte
festlegen lassen und die Segmente konstruieren. Punkt D lässt nun verschieben, um das zweite
Viereck zu erhalten.
Neben dem Rhombus ist auch das Rechteck noch ein spezielles Parallelogramm. Die Frage
stellt sich nun, wann ein Rechteck ein Mittenviereck ist.
Aufgabe 6:
Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit das Mittenviereck ein Rechteck ist? Probiere
deine Vermutungen aus!
Da die Schüler inzwischen viel Vorerfahrung besitzen, kann man diese Aufgabe sehr offen
gestalten und die Schüler selbst probieren lassen. Wer sich an die Beweisidee zum
Parallelogramm erinnert, sollte hier schnell auf eine Idee kommen. Die Herangehensweise
kann aber auch genauso wie bei dem Rhombus zum Erfolg führen. Auf jeden Fall bieten sich
einige Möglichkeiten, mit ein paar Funktionen des Programm Geometer’s Sketchpad etwas zu
probieren und die Anwendungen zu festigen.
Als Ergebnis sollte man folgenden Satz erhalten: Wenn in einem Viereck die Diagonalen
senkrecht aufeinander stehen, dann ist das zugehörige Mittenviereck ein Rechteck.
Beweis 4:
Voraussetzung: M a , M b , M c und M d sind Seitenmitten des Vierecks ABCD. AC ⊥ BD
Behauptung:
Viereck
M aMbM cM d
ist
ein
Rechteck,
also
gilt:
M aMb ⊥ MbM c ⊥ M cM d ⊥ M d M a
Beweis: M a M b ist parallel zu AC (siehe Beweis 2). Analog gilt auch, dass M b M c parallel
zu BD ist.
Da AC ⊥ BD nach Voraussetzung gilt, muss auch M a M b ⊥ M b M c gelten. Da M a , M b , M c
und M d zudem ein Parallelogramm ist (Beweis 2), gilt die Behauptung.
qed
Dieses Thema lässt sich auch wieder mit einer Anwendungsaufgabe abschließen.
Aufgabe 7:
Konstruiere ein Viereck ABCD mit a = 9 cm, d = 6,5 cm und α = 75°, so dass sich als
Mittenviereck
a) ein Rechteck
b) ein Quadrat
ergibt!
Hier können ebenfalls nochmals die erworbenen Kenntnisse mit dem Programm geübt
werden. Ähnlich wie in Aufgabe 5 können zunächst die Punkte A, B und D des Vierecks
festgelegt werden. Danach kann man die Diagonale BD einzeichnen und eine Senkrechte von
Punkt A konstruieren. Auf dieser Senkrechten muss Punkt C liegen, damit es ein Rechteck ist.
Konstruiert man nun um den Punkt a noch einen Kreis mit dem Radius der Strecke von BD ,
gibt es einen Schnittpunkt zwischen der Senkrechten und dem Kreis. Legt man dorthin seinen
Punkt C, ist das Mittenviereck ein Quadrat, weil dort die Bedingungen für Rechteck und
Rhombus als Mittenviereck erfüllt sind.
Doch auch damit ist man noch lange nicht am Ende des Themengebietes angekommen.
Zahlreiche weitere Fragen kann man sich stellen. Wie sieht das Mittenviereck beim Trapez
oder beim gleichschenkligen Trapez aus? Was lässt sich über die Fläche des Mittenvierecks
aussagen? Gibt es andere Vierecke, zum Beispiel diejenigen, die sich durch Teilung der
Seiten im Verhältnis 2:1 ergeben, über die man allgemeine Aussagen treffen kann. Wie lässt
sich dieser Inhalt auch auf Körper übertragen, bei denen man sowohl die Mitten der Kanten
als auch die Mitten der Flächen als neue Ecken nehmen könnte? Hier lässt sich eine wahre
Entdeckungsreise vollführen, die den Zeitrahmen ohne Probleme sprengt. Schüler finden
sicher noch viele weitere Ideen, die sich untersuchen lassen. Vorreiter und Namensgeber der
Mittenvierecke, die auch Seitenmittenvierecke oder Varignon-Parallelogramme genannt
werden, ist Pierre de Varignon, der zum Beispiel auch noch diesen Zusammenhang gefunden
hat:
Im Viereck schneiden sich die zwei Mittellinien und die Verbindungsstrecke der
Diagonalenmitten in einem Punkt, und dieser ist der Mittelpunkt der drei Strecken.
Die Möglichkeiten sind also unerschöpflich und fördern die mathematische Entdeckungslust
bei Schülern jeden Alters. Selbst in der Oberstufe kann man mit Fragestellungen über das
Sehnen-
oder
Tangentenviereck
noch
weitere
Aufgaben
im
entsprechenden
Schwierigkeitsgrad zu diesem Thema finden. Es ist also mehr als nur eine Überlegung wert,
dieses Themengebiet in den Unterricht einfließen zu lassen.
Literatur:
http://www.dynamicgeometry.com/ am02.06.2009 um 10:17 Uhr
http://www.lehrer-online.de/mittendreieckmittenviereck.php?sid=68000500832898350320236463646710 am 31.05.2009 um 12:44 Uhr
Lehrplan Mathematik der Berliner Schulen Sekundarstufe 1 von der Senatsverwaltung Berlin
Anhang
1. Beispiel zu Aufgabe 2
2. Beispiel zu Aufgabe 4
3. Beispiel Aufgabe 5
4. Beispiel Aufgabe 7