Vertretungsstunden Mathematik 22

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Marco Bettner/Erik Dinges
Vertretungsstunden
Mathematik 22
9. Klasse: Satzgruppe des Pythagoras
Bergedorfer ® Unterrichtsideen
Marco Bettner/Erik Dinges
Downloadauszug
aus dem Originaltitel:
Vertretungsstunden
Mathematik 9./10. Klasse
Sofort einsetzbar –
lehrplanorientiert – systematisch
Satz des Pythagoras entdecken 1
Satzgruppe des Pythagoras
Satz des Pythagoras
Vergleiche die Größe der beiden Quadrate über den Katheten
(Nachbarseiten des rechten Winkels) mit dem Quadrat über
der Hypothenuse (Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt).
a) Was fällt dir auf?
eine Beobachtung.
Beobacht
b) Notiere eine passende Formel zu deiner
Kathete a
Kathete b
Hypothenuse c
Marco Bettner/Erik Dinges: Vertretungsstunden Mathematik 22
© Persen Verlag GmbH, Buxtehude
1
Satz des Pythagoras entdecken 2
Satzgruppe des Pythagoras
1. Notiere die Namen der entsprechenden Kathete bzw. Hypotenuse.
a)
b)
Katheten:
Katheten:
Hypotenuse:
Hypotenuse:
bezeichnu
2. Notiere den Satz des Pythagoras entsprechend derr Seite
Seitenbezeichnungen
der rechtwinkligen
Dreiecke.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3. Wie geht der Satz weiter? Kreuze an.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck …
… sind die beiden Katheten zusammen so groß wie die Hypotenuse.
… sind die beiden Quadrate über den Katheten zusammen so groß wie das Quadrat über der
Hypotenuse.
… gibt es keine Zusammenhänge zwischen den Katheten und der Hypotenuse.
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2
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2
2
a +b =c
2
Hypothenuse c
Kathete a
Kathete b
b) Notiere eine passende Formel zu deiner Beobachtung.
wie das Quadrat über der Hypothenuse.
Die beiden Quadrate über den Katheten sind zusammen so groß
a) Was fällt dir auf?
Vergleiche die Größe der beiden Quadrate über
er den Katheten
uadrat über
(Nachbarseiten des rechten Winkels) mit dem Quadrat
der Hypothenuse (Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt)
gegenüberliegt).
Satz des Pythagoras
Satz des Pythagoras entdecken 1
Katheten:
Hypotenuse:
a, b
c
b)
x
y, z
a2 = b 2 + c 2
c2 = a2 + b2
e)
b)
✗
z 2 = w 2 + p2
n2 = o2 + m2
f)
c)
d2 = s 2 + t 2
g2 = f 2 + b2
… gibt es keine Zusam
Zusammenhänge zwischen den Katheten und der Hypotenuse.
… sind die b
eiden Qua
beiden
Quadrate über den Katheten zusammen so groß wie das Quadrat über der
Hypo
e.
Hypotenuse.
nd die bei
… sind
beiden Katheten zusammen so groß wie die Hypotenuse.
Bei eine
echtw
einem rechtwinkligen
Dreieck …
3
S
n.
3. Wie geht der Satz
weiter? Kreuze an.
d)
a)
2. Notiere den Satz des Pythagoras entsprechend der Seitenbezeichnungen der rechtwinkligen
Dreiecke.
e.
Hypotenuse:
Hypoten
Katheten:
Kath
a)
1. Notiere die Namen der entsprechenden Kathete bzw. Hypotenuse.
Satz des Pythagoras entdecken 2
Lösungen
Satzgruppe des Pythagoras
3
Fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen 1
Satzgruppe des Pythagoras
Die fehlende Seitenlänge c soll berechnet werden.
a) Stelle zunächst eine entsprechende Gleichung nach dem Satz des
Pythagoras auf. Benutze dabei die gegebenen Seitenlängen und die
fehlende Seitenlänge c.
4 cm
7 cm
c
b) Löse die Gleichung nach derr Variablen c auf.
auf
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4
Fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen 2
Satzgruppe des Pythagoras
1. Berechne die fehlenden Seitenlänge.
a)
b)
5 cm
c)
z
14 dm
22 dm
8 cm
200 mm
x
c
147 mm
d)
e)
f)
a
5 dm
b
40 mm
x
478 mm
52 mm
605 mm
7 dm
e auf den
en angegebenen
angegeb
2. Berechne die fehlende Seitenlänge. Achte
rechten Winkel.
ucht: c
a) a = 10 cm; b = 9 cm; γ = 90°; gesucht:
b) a = 58 ccm; b = 42 cm; γ = 90°; gesucht:
gesuch
ht: c
0°; gesucht:
gesucht: b
c) a = 20 cm; c = 30 cm; γ = 90°;
d) b = 10,5 cm; c = 22,3 cm; γ = 90°; gesucht:
gesuc a
ges cht: b
e) a = 8 cm; c = 15 cm; β= 90°; gesucht:
1 cm;
m; α = 90°;; gesucht: a
f ) b = 6 cm; c = 11
cm α= 90°; gesucht:
ge h c
g) a = 30 cm; b = 20 cm;
90° gesucht: b
h) a = 100 cm; c = 80 cm; β = 90°;
Echzell
3. Von Rans
adt nach Nidda sind es 7 km.
Ranstadt
Nidda und
un Echzell sind 3 km voneinander
inander e
fernt
entfernt.
Wie lang ist der abgebildete See?
Nidda
4. Ein Rechtec
Rechteck
lang.
k ist 6 cm lan
Die
e Diagonale
Diagonale ist 8 cm
c lang.
a) Fertige
tige eine Skizze an und trage
die geg
gegebenen Maße ein.
Ranstadt
b) Berechne die Breite des Rechtecks.
5. Berechne den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks.
7 cm
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5
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c
7 cm
c ≈ 8,06 cm
c2 = 65
b) c2 = 16 + 49
a) c2 = 42 + 72
b) Löse die Gleichung nach der Variablen c auf.
4 cm
chung nach dem Satz des
a) Stelle zunächst eine entsprechende Gleichung
enen Seitenlängen
Seitenläng und die
Pythagoras auf. Benutze dabei die gegebenen
fehlende Seitenlänge c.
Die fehlende Seitenlänge c soll berechnet
hne werden.
Fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen
hnen 1
e) b = 4,9 dm
d) a = 33,23 mm
c) z = 248,21 mm
h) b = 128,06 cm
6 cm
8 cm
Das gleichseiti
gleichseitige Dreieck besitzt einen
n Flächeninh
Flächeninhalt von 21,21 cm2.
hne den Flächeninhalt
Fläch
Dreiec
5. Berechne
des gleichseitigen Dreiecks.
Da
Das Rechteck ist 5,29 cm breit.
b) Berechne die Breite dess Rechtecks.
Fert
n und trage
a) Fertige
eine Skizze an
di
e ein.
die gegebenen Maße
4. Ein Rechteck ist 6 cm lang.
ie Diagonale
D
ang.
Die
ist 8 cm lang.
bilde See ist ca. 7,6
Der abgebildete
7,62 km lang.
Ranstadt
f ) a = 12,53 cm
g) c = 22,36 cm
sin es 7 km.
3. Von Ranst
Ranstadt nach Nidda sind
d Echzell sind 3 km voneinander entfernt.
Nidda und
g ist der abgebildete
abg
Wie lang
See?
d) a = 19,67 cm
e) b = 17 cm
b) c = 71,61 cm
22,3 cm
c) b = 22,36
aa) c = 13,45
1
cm
7 cm
Nidda
Echzell
f ) x = 370,87 mm
2. Bere
Berechne die fehlende Seitenlänge. Achte auf den angegebenen rechten Winkel.
b) x = 26,08 dm
a) c = 9,43 cm
1. Berechne die fehlenden Seitenlänge.
Fehlende Seitenlängen mit dem Satz des Pythagoras berechnen 2
Lösungen
Satzgruppe des Pythagoras
6
Höhensatz 1
Satzgruppe des Pythagoras
1. Stelle die bekannte Gleichung für den Höhensatz auf.
h2 =
2. Betrachte die abgebildete Zeichnung und formuliere eine entsprechende
Gleichung.
3. Löse die Gleichung nach h auf.
58 cm
h
52 cm
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18,5
8,5 cm
7
Höhensatz 2
Satzgruppe des Pythagoras
1. Berechne die fehlenden Seitenlängen.
a)
b)
c)
h
h
h
8 cm
7 cm
3 cm
52 mm
140 mm
20 cm
d)
e)
f)
x
3,5 cm
92 cm
8 cm
5,2 cm
q
5 cm
p
40 cm
enlängen
2. Berechne die fehlenden Seitenlängen.
gesu ht: c, h
a) p = 7 cm; q = 9 cm; γ = 90°; gesucht:
m; γ = 90°;
°; gesucht:
gesucht c, h
b) p = 38 cm; q = 2
20 cm;
cm γ = 90°; gesucht:
ge h q, c
c) p = 10 cm; h = 30 cm;
90° gesucht: p, c
d) q = 32 mm; h = 40 mm; γ = 90°;
vo
Gie
he des Hauses
Hause soll
3. Die vordere
dreieckige Giebelfläche
mit Holz verkleidet werden.
4m
2m
a) Wie viel Quadratmeter
Holz werden benötigt
ratmeter H
(Verschnitt
berechnet)?
nitt wird nicht
nicht bere
b) Ein Quad
Quadratmeter
Holz kostet 52 €. Wie viel Euro müssen
ratmeter Hol
bezahlt werden,
auf den Preis noch 19 % Mehrwerden, wenn
w
wertsteuer
wird?
rtsteuer aufgeschlagen
a
4. Ein Rechteck ist 6 cm lang und 4 cm breit. Konstruiere ein flächengleiches Quadrat.
Tipp: Der Höhensatz hilft dir bei der Konstruktion.
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8
p·q
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4 = 31,02 cm
h2 = 962
2. h2 = 52 · 18,5
52 cm
58 cm
18,5 cm
h
3. Löse die Gleichung nach h auf.
ormu ere eine entsprechende
2. Betrachte die abgebildete Zeichnung und formuliere
Gleichung.
h2 =
1. Stelle die bekannte Gleichung für den
en Höhensatz a
auf.
Höhensatz 1
c) h = 85,32 mm
4m
m lang und 4 cm breit.
b
4. Ein Rechteck ist 6 cm
Konstruiere ein flächengleiches Quadrat.
Tipp: Der Höhensatz hilft dir bei der Konstruktion.
n 525,36 € bezahlt
bezahl werden.
Es müssen
Qua atmeter Holz kostet 52 €. Wie viel Euro müssen
b) Ein Quadratmeter
au den Preis noch 19 % Mehrbezahlt werden, wenn auf
er augeschlagen wird?
wertsteuer
Ess werden 8,49 m2 Holz benötigt.
vie Quadratmeter
uadratmeter Holz
H werden benötigt
a) Wie viel
(V
hnitt wird nicht
nich berechnet)?
(Verschnitt
dr
3. Die vordere dreieckige
Giebelfläche des Hauses soll
it Holz verkleidet
verkl
werd
mit
werden.
b) c = 58 cm; h = 27,57 cm
d) p = 50 mm; c = 82 mm
9 cm; c = 100 cm
c) q = 90
f ) x = 7,73 cm
a)) c = 16 cm; h = 7,94 cm
Be
2. Berechne
die fehlenden Seitenlängen.
b) h = 12,65 cm
e) q = 211,6 cm
a) h = 4,58 cm
d) p = 12,8 cm
1. Berechne die fehlenden Seitenlängen.
Höhensatz 2
2m
Lösungen
Satzgruppe des Pythagoras
9