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Kayser
Schulung
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Die Satzgruppe des Pythagoras
Voraussetzung:
Der Satz des Pythagoras und seine beiden Nebensätze gelten nur für rechtwinklige Dreiecke.
Definitionen:
Diejenige Dreieckskante, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Die
beiden Kanten, die an dem rechten Winkel anliegen, heißen Katheten.
a
b
h
q
p
c
Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2
Satz des Pythagoras für die Teildreiecke:
p2 + h2 = a2
q2 + h2 = b2
Kathetensätze:
c ⋅ p = a2
c ⋅ q = b2
Höhensatz:
p ⋅ q = h2
Gliederung der Hypotenuse:
q+ p=c
Hinweise:
1. Die Formeln in der obigen Formulierung gelten nur dann, wenn c die Hypotenuse ist.
2. Es gibt häufig mehrere Wege zur Lösung einer Aufgabe. Formeln, die nicht bei der
Lösung gebraucht wurden, können für eine Probe genutzt werden!
3. Aufgaben in der Geometrie sollte man immer mit einer Skizze anfangen, die alle
wichtigen Informationen enthält.
Copyright © Stefan Kayser 2009
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Anwendungsbeispiel:
Skizze
gegeben: c = 10 cm; p = 7 cm
a
b
Gesucht sind die Längen der übrigen Strecken.
h
q
p
c
Lösung:
a) Die Hypotenuse c setzt sich aus den Hypotenusenabschnitten p und q zusammen.
q + p = c ⇔ q = c − p ⇔ q = 10cm − 7cm = 3cm
b) Mit dem Höhensatz wird die Höhe h bestimmt.
p ⋅ q = h2 ⇒ h =
p ⋅ q = 7cm ⋅ 3m = 21cm 2 ≈ 4,58cm
c) Auf das linke Teildreieck wird der Kathetensatz angewandt, um die Kathete b zu
bestimmen.
c ⋅ q = b 2 ⇒ b = c ⋅ q = 10cm ⋅ 3cm = 30cm 2 ≈ 5,48cm
d) Auf das rechte Teildreieck wird der Satz des Pythagoras angewandt, um a zu bestimmen.
Achtung: Für dieses Teildreieck ist a die Hypotenuse!
p2 + h2 = a2 ⇒ a =
p 2 + h 2 = 49cm 2 + 21cm 2 = 70cm 2 ≈ 8,37cm
Damit ist die Aufgabe gelöst.
e) Probe mit dem Satz des Pythagoras für das gesamte Dreieck:
a 2 + b 2 = c 2 ⇔ 70cm 2 + 30cm 2 = 100cm 2 ⇔ 100cm 2 = 100cm 2
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