Pythagoras
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Die Satzgruppe des Pythagoras
© D. Ortner 2004
Einführung
Pythagoreischer Lehrsatz 1
Pythagoreischer Lehrsatz 2
Höhensatz
Kathetensatz
Wenn man in einem Rechteck …
a
.
eine Diagonale zieht, …
b
c
so erhält man ein rechtwinkeliges
Dreieck …
mit den beiden Katheten a und b …
und der Hypotenuse c.
rechter Winkel
Die alten Ägypter wussten bereits:
4
3
Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
Der Satz des Pythagoras
a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
c2
Das Quadrat über der Hypotenuse
ist gleich der Summe der beiden
Kathetenquadrate.
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Kathetensatz
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cp
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aa22 == cp
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a2 = cp
b2 = cq
Das Quadrat über einer Kathete ist gleich
dem Produkt aus der Hypotenuse und dem
anliegenden Hypotenusenabschnitt.
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und der Hypotenuse c.
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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Der Satz des Pythagoras
a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
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ist gleich der Summe der beiden
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Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
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Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
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Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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a2
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
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Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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b2
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Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
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Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
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a2
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a2
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c
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mit den beiden Katheten a und b …
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4
3
Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
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Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
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Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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a2
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b2
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Kathetensatz
Wenn man in einem Rechteck …
a
.
eine Diagonale zieht, …
b
c
so erhält man ein rechtwinkeliges
Dreieck …
mit den beiden Katheten a und b …
und der Hypotenuse c.
rechter Winkel
Die alten Ägypter wussten bereits:
4
3
Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
Der Satz des Pythagoras
a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
c2
Das Quadrat über der Hypotenuse
ist gleich der Summe der beiden
Kathetenquadrate.
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Pythagoras 1
Pythagoras 1
.
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c
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b
q
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=?
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Kathetensatz
h
a c
cp
a
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b
a2
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aa22 == cp
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a2 = cp
b2 = cq
Das Quadrat über einer Kathete ist gleich
dem Produkt aus der Hypotenuse und dem
anliegenden Hypotenusenabschnitt.
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Einführung
Pythagoreischer Lehrsatz 1
Pythagoreischer Lehrsatz 2
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Wenn man in einem Rechteck …
a
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eine Diagonale zieht, …
b
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so erhält man ein rechtwinkeliges
Dreieck …
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und der Hypotenuse c.
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4
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
Der Satz des Pythagoras
a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
c2
Das Quadrat über der Hypotenuse
ist gleich der Summe der beiden
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Dreieck …
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
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a2
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
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Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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3
Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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a2
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b2
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Wenn man in einem Rechteck …
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
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3
Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
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a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
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5
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Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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a2
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Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
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und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
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4
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5
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und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
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und der Hypotenuse c.
rechter Winkel
Die alten Ägypter wussten bereits:
4
3
Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
Der Satz des Pythagoras
a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
c2
Das Quadrat über der Hypotenuse
ist gleich der Summe der beiden
Kathetenquadrate.
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Pythagoras 1
Pythagoras 1
.
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c
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Höhensatz
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Kathetensatz
h
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cp
a
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b
a2
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aa22 == cp
h
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a2 = cp
b2 = cq
Das Quadrat über einer Kathete ist gleich
dem Produkt aus der Hypotenuse und dem
anliegenden Hypotenusenabschnitt.
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Die Satzgruppe des Pythagoras
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Einführung
Pythagoreischer Lehrsatz 1
Pythagoreischer Lehrsatz 2
Höhensatz
Kathetensatz
Wenn man in einem Rechteck …
a
.
eine Diagonale zieht, …
b
c
so erhält man ein rechtwinkeliges
Dreieck …
mit den beiden Katheten a und b …
und der Hypotenuse c.
rechter Winkel
Die alten Ägypter wussten bereits:
4
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
Der Satz des Pythagoras
a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
c2
Das Quadrat über der Hypotenuse
ist gleich der Summe der beiden
Kathetenquadrate.
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Wenn man in einem Rechteck …
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Dreieck …
mit den beiden Katheten a und b …
und der Hypotenuse c.
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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a2
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b2
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Wenn man in einem Rechteck …
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
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Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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a2
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b2
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Wenn man in einem Rechteck …
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
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a2
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b2
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Pythagoreischer Lehrsatz 1
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Wenn man in einem Rechteck …
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
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a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
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Wenn man in einem Rechteck …
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
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a2
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Wenn man in einem Rechteck …
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
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a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
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Wenn man in einem Rechteck …
a
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
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Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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a2
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a2 + b2 = c2
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Wenn man in einem Rechteck …
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Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
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Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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a2
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
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Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
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Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
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Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
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a2
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Pythagoreischer Lehrsatz 1
Pythagoreischer Lehrsatz 2
Höhensatz
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Wenn man in einem Rechteck …
a
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Dreieck …
mit den beiden Katheten a und b …
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
Der Satz des Pythagoras
a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
c2
Das Quadrat über der Hypotenuse
ist gleich der Summe der beiden
Kathetenquadrate.
… zurück zum Menu …
Pythagoras 1
Pythagoras 1
.
.
c
c
a2
a
c2
cb
a
b2 b
c
.
.
c2 c=2 a=2 ?+ b2
… zurück zum Menu …
Pythagoras 2
Pythagoras 2
c
a
2
a
c2
bc
b2 b
a
c
c2 c=2 a=2 ?+ b2
c
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Höhensatz
Höhensatz
p
h
h
ah2
pq
.
b
q
p
=?
h2 h=2 pq
… zurück zum Menu …
Kathetensatz
Kathetensatz
h
a c
cp
a
.
b
a2
q
p
?
aa22 == cp
h
p
Kathetensatz
a2 = cp
b2 = cq
Das Quadrat über einer Kathete ist gleich
dem Produkt aus der Hypotenuse und dem
anliegenden Hypotenusenabschnitt.
… zurück zum Menu …
Slide 18
Die Satzgruppe des Pythagoras
© D. Ortner 2004
Einführung
Pythagoreischer Lehrsatz 1
Pythagoreischer Lehrsatz 2
Höhensatz
Kathetensatz
Wenn man in einem Rechteck …
a
.
eine Diagonale zieht, …
b
c
so erhält man ein rechtwinkeliges
Dreieck …
mit den beiden Katheten a und b …
und der Hypotenuse c.
rechter Winkel
Die alten Ägypter wussten bereits:
4
3
Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
Der Satz des Pythagoras
a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
c2
Das Quadrat über der Hypotenuse
ist gleich der Summe der beiden
Kathetenquadrate.
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Pythagoras 1
Pythagoras 1
.
.
c
c
a2
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c2
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b2 b
c
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c2 c=2 a=2 ?+ b2
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Pythagoras 2
Pythagoras 2
c
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2
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Höhensatz
Höhensatz
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ah2
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q
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=?
h2 h=2 pq
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Kathetensatz
Kathetensatz
h
a c
cp
a
.
b
a2
q
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?
aa22 == cp
h
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Kathetensatz
a2 = cp
b2 = cq
Das Quadrat über einer Kathete ist gleich
dem Produkt aus der Hypotenuse und dem
anliegenden Hypotenusenabschnitt.
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Einführung
Pythagoreischer Lehrsatz 1
Pythagoreischer Lehrsatz 2
Höhensatz
Kathetensatz
Wenn man in einem Rechteck …
a
.
eine Diagonale zieht, …
b
c
so erhält man ein rechtwinkeliges
Dreieck …
mit den beiden Katheten a und b …
und der Hypotenuse c.
rechter Winkel
Die alten Ägypter wussten bereits:
4
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Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
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Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
Der Satz des Pythagoras
a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
c2
Das Quadrat über der Hypotenuse
ist gleich der Summe der beiden
Kathetenquadrate.
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Pythagoras 1
Pythagoras 1
.
.
c
c
a2
a
c2
cb
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b2 b
c
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Pythagoras 2
Pythagoras 2
c
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2
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c2
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b2 b
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Höhensatz
Höhensatz
p
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ah2
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q
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=?
h2 h=2 pq
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Kathetensatz
Kathetensatz
h
a c
cp
a
.
b
a2
q
p
?
aa22 == cp
h
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Kathetensatz
a2 = cp
b2 = cq
Das Quadrat über einer Kathete ist gleich
dem Produkt aus der Hypotenuse und dem
anliegenden Hypotenusenabschnitt.
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Die Satzgruppe des Pythagoras
© D. Ortner 2004
Einführung
Pythagoreischer Lehrsatz 1
Pythagoreischer Lehrsatz 2
Höhensatz
Kathetensatz
Wenn man in einem Rechteck …
a
.
eine Diagonale zieht, …
b
c
so erhält man ein rechtwinkeliges
Dreieck …
mit den beiden Katheten a und b …
und der Hypotenuse c.
rechter Winkel
Die alten Ägypter wussten bereits:
4
3
Ein Dreieck mit den Seitenlängen
3, 4 und 5 ist ein rechtwinkeliges
Dreieck.
5
Einen mathematischen Beweis kannten sie nicht.
Pythagoras lebte etwa 580 bis 496 v. Chr.
Pythagoras erkannte ganz allgemein:
Wenn a, b und c die Seiten eines Dreiecks sind
und wenn gilt: a2 + b2 = c2 …
… dann ist das Dreieck rechtwinkelig.
Zum Dank für die Entdeckung seines Lehrsatzes soll er – dem
Vernehmen nach – den Göttern 100 Ochsen geopfert haben
(Pythagoras war Vegetarier).
Der Satz des Pythagoras
a2
Es ist zu beweisen:
a2 + b2 = c2
b2
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Das Quadrat über der Hypotenuse
ist gleich der Summe der beiden
Kathetenquadrate.
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Pythagoras 1
Pythagoras 1
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Höhensatz
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=?
h2 h=2 pq
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Kathetensatz
Kathetensatz
h
a c
cp
a
.
b
a2
q
p
?
aa22 == cp
h
p
Kathetensatz
a2 = cp
b2 = cq
Das Quadrat über einer Kathete ist gleich
dem Produkt aus der Hypotenuse und dem
anliegenden Hypotenusenabschnitt.
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