Diskrete Mathematik für Informatiker, WS12/13

Fakultät IV ¨ Mathematik
Hannes Diener
Diskrete Mathematik für Informatiker, WS12/13
Übungsblatt 2, Besprechung in den Übungen vom 31. Okt–4. Nov.
Aufgabe 1. Beweisen oder widerlegen Sie1
(a) Für jedes n P N ist n2 ´ 2 nicht durch 5 teilbar.
(b) Die Summe drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch 3 teilbar.
(c) Wenn p Primzahl ist, dann auch p2 ´ 2.
Aufgabe 2. Wo liegt der Fehler in folgendem “Beweis” für die (falsche) Aussage: Für alle natürlichen
Zahlen n gilt, daß wenn n2 ´ n gerade ist, dann ist n ein Vielfaches von 3.
Beweis. Die natürliche n ist ein Vielfaches von 3, wenn es eine natürliche Zahl k gibt mit n “ 3k.
Dann ist n2 ´ n “ 9k 2 ´ 3k “ 3kp3k ´ 1q. Wenn k gerade ist, dann auch 3k und damit 3kp3k ´ 1q.
Wenn k ungerade ist, dann ist 3k ´ 1 gerade und damit ist auch 3kp3k ´ 1q gerade. In beiden Fällen
ist n2 ´ n “ 3kp3k ´ 1q gerade.
Aufgabe 3. Wo liegt der Fehler in folgendem populären “Beweis” für die (falsche) Aussage: 2 “ 1
Beweis.
1. Seien a, b reelle Zahlen, so daß
a“b
2. Multiplikation mit a gibt
a2 “ ab
1
Zu Teilbarkeit kommt noch ein eigenes fundiertes Kapitel in der Vorlesung. Für diese Aufgabe können Sie annehmen,
daß die üblichen Rechenregeln und Gesetze, die Sie aus der Schule kennen, gelten.
1
3. Subtrahieren von b2 auf beiden Seiten gibt
a2 ´ b2 “ ab ´ b2
4. Faktorisieren wir, dann gibt das
pa ´ bqpa ` bq “ pa ´ bqb
5. Kürzen wir nun mit pa ´ bq bleibt
a`b“b
6. Da a “ b ist dann also
2b “ b
7. Kürzen wir nochmals mit b so erhalten wir
2“1
Aufgabe 4. Beweisen Sie mit Hilfe von Fallunterscheidungen, daß für alle reellen Zahlen x, y gilt:2
(a) maxtx, yu ¨ mintx, yu “ xy
(b) pmaxtx, yu ´ mintx, yuq2 “ px ´ yq2
Hierbei ist maxtx, yu dir größere der beiden Zahlen und mintx, yu die kleinere der beiden.
Aufgabe 5. Beweisen Sie jeweils mit Hilfe von vollständiger Induktion:
(a) Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
12 ´ 22 ` 32 ´ 42 ` ¨ ¨ ¨ ` p´1qn´1 n2 “ p´1qn´1 ¨
npn ` 1q
.
2
(b) Für alle natürlichen Zahlen n gilt, daß n3 ´ n durch 3 teilbar ist.
2
Natürlich können Sie auch hier Ihr Schulwissen über die Grundrechenarten und “, ď, ě verwenden.
2
Aufgabe 6. Wo ist der Fehler im folgenden Beweis? (Natürlich ist die Aussage falsch; geben Sie also
keine Argument hierfür an, sondern versuchen Sie den Punkt zu finden an dem der Beweis fehlerhaft
ist.)
Behauptung: Alle Schafe in einer Herde haben die gleiche Farbe.
Beweis. Mit vollständiger Induktion über n die Anzahl der Schafe in einer Herde. Der Induktionsanfang
ist klar, da in einer Herde mit genau einem Schaf alle Schafe die gleiche Farbe haben. Für den Induktionsschritt nehmen wir an, daß wir die Aussage schon für alle Herden der Größe k bewiesen haben.
Nehmen wir nun eine Herde der Größe k ` 1 und wählen nun beliebige k Schafe aus und bezeichnen
diese Herde als M1 . Gemäß der Induktionsvoraussetzung haben alle Schafe in M1 dieselbe Farbe. Wenn
wir nun ein beliebiges Schaf aus M1 entfernen und stattdessen das zuvor übriggebliebene Schaf hinzufügen, erhalten wir eine Herde, die wir M2 nennen. M2 enthält ebenfalls genau k Schafe, die also —
laut Induktionsvorraussetzung — alle dieselbe Farbe haben. Folglich haben alle Schafe in der gesamten
Herde dieselbe Farbe.
Aufgabe 7. Beweisen Sie, daß für 0 ď a ď 1und für alle natürlichen Zahlen n gilt
p1 ` aqn ď 1 ` p2n ´ 1qa .
Aufgabe 8. Beweisen Sie, daß für alle natürlichen Zahlen n gilt
13 ` 23 ` ¨ ¨ ¨ ` n3 “ p1 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` nq2 .
Hinweis: die schon bewiesene Identität in Satz 1.19 kann öfters hilfreich sein.
Zusatzaufgabe 9. 3 Die bekannten Fibonacci Zahlen sind definiert durch f1 “ 1, f2 “ 1 und fn`2 “
fn`1 ` fn für n ě 0. D.h. eine Fibonaccizahl ist immer die Summe ihrer zwei Vorgänger. Die ersten
Fibonaccizahlen sind also
f1 “ 1, f2 “ 1, f3 “ 2, f4 “ 3, f5 “ 5, f6 “ 8, . . . .
Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion die folgende Identität (Binet-Formel):
´ ? ¯n ´ ? ¯n
1` 5
´ 1´2 5
2
?
fn “
5
ENDE
3
Zusatzaufgaben sind besonders schwer und sollten als optional angesehen werden.
3