Seminar 1

Seminar zur Zahlentheorie
(Galoistheorie)
(1)
Der Hauptsatz der Galoistheorie anhand von Beispielen
Literatur: Algebra-Skript, [Bo] 4.2
Wiederholen Sie den Hauptsatz der Galoistheorie (7.7) und die Zusätze (7.8). Wiederholen Sie anschließend die Definition der n-ten Einheitswurzeln und beweisen Sie Satz (8.2). Demonstrieren Sie die Bedeu√
tung der Hauptsatzes, indem Sie nachweisen, dass Q( 5) der einzige echte Zwischenkörper von Q(ζ5 )|Q
√
√
und das Q(i), Q( 2), Q(i 2) die einzigen echten Zwischenkörper von Q(ζ8 )|Q sind. Wiederholen Sie
Definition der Galoisgruppe eines Polynoms und diskutieren Sie die Galoisgruppe von Polynomen der
Form (x2 − a)2 − b wie in [Bo] angegeben.
(2)
Symmetrische Polynome und allgemeine Gleichung
Literatur: Algebra-Skript, [Co] 2.4, [Lo] 15.2
Wiederholen Sie Satz (7.11) ohne Beweis. Definieren Sie die symmetrischen und elementarsymmetrischen
Funktionen. Beweisen Sie Satz F15.4 in [Lo], und leiten Sie daraus den Hauptsatz über symmetrische
Funktionen sowie die Folgerung F 15.5 ab. Illustrieren Sie die Bedeutung des Hauptsatzes, indem Sie
die Formel für die Diskriminante von Polynomen der Form x3 + px + q (möglichst selbständig, aber
unter Zuhilfenahme von [Co]) herleiten. Erwähnen Sie ohne Beweis, dass das Bild der Galoisgruppe eines
Polynoms f ∈ K[x] in Sn genau dann in An enthalten ist, wenn die Diskriminante ein Quadrat in K ist.
(Wenn noch Zeit übrig ist, kann dies für Polynome vom Grad 3 gezeigt werden.)
(3)
Algebraische Grundlagen zur Auflösbarkeit von Polynomgleichungen
Literatur: Algebra-Skript, [Ka] Kap. 11, [Fi] III.5.12, [Bo] 4.1
In diesem Vortrag wird der Beweis des Satzes vorbereitet, nach dem eine Polynomgleichung genau dann
durch Radikale auflösbar ist, wenn die Galoisgruppe des Polynoms auflösbar ist. Was ein Radikal ist,
braucht in diesem Vortrag noch nicht genau definiert werden; es genügt zu sagen, dass es sich dabei um
komplexe Zahlen handelt, die durch verschachtelte Wurzelausdrücke wie etwa
q
q
√
√
3
3
γ =
4 + 5 21 + 4 − 5 21
handelt. Wiederholen Sie aber die Definition der Auflösbarkeit sowie die Sätze (7.10) und (7.11) aus der
Gruppentheorie ohne Beweis. Beweisen Sie, dass die Gruppen An und Sn für n ≤ 4 auflösbar und für
n ≥ 5 nicht auflösbar sind. Weisen Sie nach, dass die Polynomgleichung f = x5 − 4x + 2 aus [Fi] nicht
durch Radikale auflösbar ist. Wiederholen Sie Prop. (7.9) aus der Galoistheorie ohne Beweis, und leiten
Sie daraus Satz 4.1/12 aus [Bo] ab.
(4)
Zyklische Körpererweiterungen
Literatur: [Bo] 4.6 - 4.8
Definieren Sie die K-wertigen Charaktere einer Gruppe G wie in 4.6.1 und beweisen Sie Satz 4.6.2.
Definieren Sie anschließend die Norm- und Spurabbildung NL|K und SpL|K einer endlichen Körperer√
weiterung und berechnen Sie NL|K (α) und SpL|K (α) für die Körpererweiterung Q( 3 7) und das Element
√
α = 5+2 3 7. Beweisen Sie Lemma 4.7.2 und geben Sie 4.7.4 und 4.7.5 ohne Beweis an, wobei Sie 4.7.4 nur
für endliche separable Erweiterungen ausformulieren. Demonstrieren Sie die Gültigkeit von 4.7.4 anhand
des Elements α und der konkreten Körpererweiterung L|K. Ziel des restlichen Vortrags ist der Beweis
von Satz 4.8.3.
(5)
Beweis des Hauptsatzes zur Auflösbarkeit von Polynomgleichungen
Literatur: [Bo] 6.1
Definieren Sie die Eigenschaften auflösbar“ und durch Radikale auflösbar“ für eine endliche Körperer”
”
weiterung L|K, und übertragen Sie die Definition auf Polynome f ∈ K[x]. Zeigen Sie, dass Q(γ)|Q für
das Element γ aus Vortrag (3) eine durch Radikale auflösbare Körpererweiterung ist. Beweisen Sie anschließend das Auflösbarkeitskriterium 6.1.5. Heben Sie dabei deutlich hervor, welche Ergebnisse aus den
Vorträgen (3) und (4) in den Beweis eingehen. Schließen Sie aus dem Hauptergebnis 6.1.5, dass Polynome
vom Grad ≤ 4 immer auflösbar sind, während dies für Polynome vom Grad ≥ 5 im Allgemeinen nicht
mehr der Fall ist.
(6)
Lösung von Polynomgleichungen dritten Grades
Literatur: [Bo] 6.2, [Co] 1.3
Leiten Sie die Lösungsformel von Cardano her wie in [Bo] dargestellt. Arbeiten Sie sorgfältig heraus,
welche Rolle das Auflösbarkeitskriterium aus Vortrag (5) und die Untergruppenkette S3 ⊇ A3 ⊇ {id}
dabei spielen. Beweisen Sie Satz 1.3.1 und diskutieren Sie die Fälle ∆ < 0 und ∆ > 0 wie auf Seite
16/17; im ersten Fall gibt es eine reelle Nullstelle, die durch reelle Radikale darstellbar ist, im zweiten
Fall drei reelle Nullstellen, die durch nicht-reelle Radikale dargestellt werden. Zum Schluss leiten Sie die
trigonometrische Lösungsformel (Satz 1.3.3) für die kubische Gleichung her, indem Sie die Übungsaufgabe
11 auf Seite 22 lösen.
(7)
Der Casus Irreducibilis für Polynomgleichungen dritten Grades
Literatur: [Co] 8.6
Ein Ergebnis aus Vortrag (6) war die Lösung der Gleichung x3 + px + q = 0 durch
v
v
r ! u
r !
u
u1
u1
∆
∆
3
3
−q + i
+t
−q − i
.
γ = t
2
27
2
27
Die Zahlen unter den Kubikwurzeln sind nicht reell, allerdings heben sich die Imaginärteile der beiden
Kubikwurzeln gegenseitig auf, so dass γ in R liegt. Ziel dieses Vortrags ist der Nachweis, dass γ nicht
durch verschachtelte Wurzeln reeller Zahlen darstellbar ist. Definieren Sie dazu den Begriff des reellen
Radikals wie in 8.6.1, und beweisen Sie Satz 8.6.5. Erläutern Sie, warum sich daraus die gewünschte
Aussage für das Element γ ergibt.
(8)
Lösung von Polynomgleichungen vierten Grades
Literatur: [Bo] 6.2, [Fi] 5.4 und 5.5
Leiten Sie die Lösungsformel für Polynomgleichungen vom Grad 4 her und erläutern Sie, welche Rolle
die Untergruppenkette S4 ⊇ A4 ⊆ V4 ⊇ {id} bei dieser Herleitung spielt. Beschreiben Sie wie in [Fi] die
möglichen Untergruppen von S4 , die als Galoisgruppe eines Polynoms vierten Grades auftreten können,
und begründen Sie insbesondere, dass jede solche Gruppe isomorph zu Z/4Z, V4 , D4 , A4 oder S4 ist.
Leiten Sie die Tabelle auf Seite 344 her und demonstrieren Sie die Anwendung anhand der Polynome
x4 + 8x + 12 und x4 + 3x2 + 7.
(9)
Der Fundamentalsatz der Algebra
Literatur: [Bo], 6.3
Formulieren Sie den Fundamentalsatz der Algebra und erinnern Sie (kurz) daran, wie dieser Satz in der
Funktionentheorie-Vorlesung aus dem Satz von Liouville abgeleitet wurde. Präsentieren Sie anschließend
einen eher algebraischen Beweis wie in [Bo] angegeben, wobei Sie die Begründung für die eingangs
formulierten Eigenschaften von R nachliefern. Beweisen Sie außerdem Theorem 6.3.1 und begründen Sie
mit Hilfe dieses Theorems, warum es keine Erweiterung L|K vom Grad 3 gibt, bei der L algebraisch
abgeschlossen ist.
(10)
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, Teil I
Literatur: [Co] 10.1
Definieren Sie den Begriff der konstruierbaren komplexen Zahl. Unter einem konstruierbaren Winkel
verstehen wir eine Zahl θ ∈ R mit der Eigenschaft, dass eiθ eine konstruierbare komplexe Zahl ist.
Beweisen Sie, dass die konstruieren Zahlen einen unter Quadratwurzelziehung Teilkörper von C bilden
(Satz 10.1.4). Beweisen Sie anschließend das Konstruierbarkeitskriterium 10.1.6 und die Folgerungen
10.1.7 und 10.1.8. Begründen Sie damit, dass die sprichwörtliche Quadratur des Kreises“ ebenso wie die
”
Dreiteilung des Winkels mit Zirkel und Lineal nicht möglich sind.
(11)
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, Teil II
Literatur: [Co] 10.1 und 10.2
Beweisen Sie das Kriterium 10.1.12, das einen Zusammenhang herstellt zwischen der Konstruierbarkeit
einer komplexen Zahl α und dem Grad des Zerfällungskörpers des Minimalpolynoms von α. Begründen
Sie mit Hilfe der Ergebnisse von Vortrag 8, dass keine Nullstelle des Polynoms x4 − 4x2 + x + 1 mit Zirkel
und Lineal konstruierbar ist (Beispiel 10.1.13), und leiten Sie mit Hilfe von 10.1.6 daraus ab, dass es
keinen Zwischenkörper von Q(α)|Q vom Grad 2 über Q gibt. Beweisen Sie anschließend das Kriterium
für die Konstruierbarkeit des regelmäßigen n-Ecks (Satz 10.2.1).
(12)
Der Satz von Galois zur Auflösbarkeit
Literatur: [Lo] 15.5
Aus Vortrag (3) wissen wir bereits, dass Gleichungen vom Grad 5 im Allgemeinen nicht durch Radikale
auflösbar sind. Es gibt allerdings vereinzelt irreduzible Polynome vom Grad 5, für die dies doch möglich
ist; beispielsweise hat das Polynom x5 + 15x − 44 die Nullstelle
q
q
q
q
√
√
√
√
5
5
5
5
−1 + 2 + 3 + 2 2 + 3 − 2 2 + −1 − 2 2.
In [Lo] werden Kriterien dafür formuliert, wann ein irreduzibles Polynom vom Primzahlgrad p durch
Radikale auflösbar ist. Formulieren und beweisen Sie diese Kriterien (Satz 15.8 und F 15.11).
Literatur
[Bo] S. Bosch, Algebra. Springer-Verlag, 7. Auflage, 2009.
[Co] D. Cox, Galois Theory. Wiley, 2012.
[Fi] G. Fischer, Lehrbuch der Algebra. Vieweg-Verlag, 2. Auflage, 2011.
[Ka] C. Karpfinger, K. Meyberg, Algebra. Spektrum Akademischer Verlag, 2009.
[Lo] F. Lorenz, F. Lemmermeyer, Algebra 1. Spektrum Akademischer Verlag, 4. Auflage, 2007.