Aufgabe 1: Gegeben seien die Eckpunkte eines in der x-y

TU-Berlin, WS 2016/17
Statik und Elementare Festigkeitslehre
Aufgaben zur Vektorrechnung
Fachgebiet Systemdynamik
und Reibungsphysik
Aufgabe 1:
Gegeben seien die Eckpunkte eines in der x-y-Ebene liegenden Dreiecks
A ( 1 |1 ) , B ( 2 | 4 ) , C ( 6 | 2 ) .
(a) Skizzieren Sie das Dreieck im kartesischen Koordinatensystem und stellen Sie die Ortsvektoren ~rA ,
~rB und ~rC zu den Eckpunkten auf.
(b) Ermitteln Sie die Abstandsvektoren ~rAB , ~rBC und ~rCA . Berechnen Sie nun die Längen der Dreiecksseiten. Geben Sie zudem den Einheitsvektor ~eC an, welcher von A nach B weist.
Aufgabe 2:
An einem PKW greifen wie skizziert die beiden Einzelkräfte F~A und F~B an, deren Beträge bekannt sind.
(a) Stellen Sie die Kraftvektoren F~A und F~B auf und berechnen Sie mittels einfacher Superposition
ihre Resultierende F~R := F~A + F~B .
(b) Bestimmen Sie den Betrag der resultierenden Kraft F~R und den Winkel β, den sie mit der x-Achse
einschließt.
Gegeben: FA := F~A = 2 kN; FB := F~B = 1 kN; α = 30◦ ; θ = 45◦
Aufgabe 3:
Ermitteln Sie nachfolgende Determinanten. Für die Berechnung der dreireihigen Determinanten kann
entweder der Laplacesche Entwicklungssatz oder aber die Regel von Sarrus angewendet werden.
√
2 1 −3 2 −2 3 2 3 2 −3 −2 7 5 −7 11 14 √ (a) (b)
(c)
(d)
5
5 9 8 4 3 3 −6 6 −9 Aufgabe 4:


 
1
2
~



2
3 . Ermitteln Sie den Vektor
Gegeben sind die beiden kartesischen Vektoren ~a =
und b =
3
1
~c := ~a × ~b. Welchen Winkel schließen die beiden Vektoren ~a und ~b ein?
1
Aufgabe 5:
Am Ende eines an einer Wand befestigten Rohres/Mastes der Länge l ist ein Seil zwischen den Punkten
A und B abgespannt.
(a) Geben Sie sowohl den Abstandsvektor ~rAB vom Punkt A zum Punkt B als auch ~rAC vom Punkt
A zum Punkt C an.
(b) Wie lang ist das Seil und wie lautet der Einheitsvektor, der von A in die Richtung von B zeigt?
(c) Ermitteln Sie den Winkel θ, den die beiden Vektoren ~rAB und ~rAC einschließen. Nutzen Sie dazu
das Vektorprodukt!1
Gegeben: l = 3 m, a = 2 m
Aufgabe 6:
~ (A) der Einzelkraft F~ bezüglich des Punktes A. Stellen Sie dazu zunächst
Bestimmen Sie das Moment M
den Abstandsvektor vom Bezugspunkt A zum Kraftangriffspunkt B und den Kraftvektor F~ auf. Bilden
Sie anschließend das Vektorprodukt ~rAB × F~ . Ermitteln Sie auch den Betrag des Momentes.
Gegeben: θ = 30◦ ; a = 2 m; b = 1.5 m; F~ = 750 N
1
Diejenigen StudentInnen, welche das Skalarprodukt kennen, können damit den berechneten Winkel überprüfen.
2
Aufgabe 7:
Der skizzierte Pfosten soll mittels zweier Kräfte F~1 und F~2 aus dem
Boden gezogen werden. Die Resultierende der beiden Kräfte
soll dabei
senkrecht nach oben gerichtet sein und den Betrag FR := F~R = 750 N
besitzen. Beachten Sie, dass zudem der Winkel α und der Betrag der
Kraft F~2 gegeben sind. Ermitteln Sie den Betrag von F~1 und den Winkel θ, den die Kraft F~2 mit der y-Achse einschließt!
Gegeben: FR = 750 N, F2 = 500 N, α = 30 ◦ , 0 ◦ ≤ θ ≤ 90 ◦
Hinweis:
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
Aufgabe 8:
Eine klappbare Platte wird u. a. durch ein zwischen den Punkten A und B verlaufendes Seil im Gleichgewicht gehalten. Den Betrag F der Kraft in dem Seil F~ hat der Ingenieur bereits ermittelt.
(a) Stellen Sie zunächst den Abstandsvektor ~rAB vom Punkt A zum Punkt B auf und berechnen Sie
anschließend die Länge des Seiles.
(b) Bestimmen Sie den Einheitsvektor, welcher von A in die Richtung von B weist und geben Sie mit
dessen Hilfe den eingezeichneten Kraftvektor F~ als Linearkombination der kartesischen Basis an.
(c) Ermitteln Sie das Moment der Einzelkraft F~ bezüglich des Ursprungs O. Wie groß ist sein Betrag?
Gegeben: a = 2 m, b = 2.5 m, c = 3 m, F = 340 N
3
Aufgabe 9:
An einem Körper greift im Punkt A die Kraft F~A und im Punkt B die Kraft F~B an. Diese Kräfte und
die Abstandsvektoren ~rCA und ~rCB der Punkte A und B von einem Bezugspunkt C sind nachfolgend
gegeben:
 


 
 
1
3
2
0
~
~







3 m, ~rCB =
4
1 kN, FB =
2  kN
~rCA =
m, FA =
0
−2
1
3
~ (C) bezüglich des Punktes C mit Hilfe des Vektorproduktes
Berechnen Sie das resultierende Moment M
Res
und geben Sie seinen Betrag an!
Aufgabe 10:
Drei (gegebene) Einzelkräfte greifen wie skizziert an einem Rundstab an. Ermitteln Sie das resultierende Moment
~ (O) mit Hilfe des Vektorprodukbezüglich des Ursprungs M
R
tes. Stellen Sie dazu zunächst aus der Geometrie die jeweiligen Abstandsvektoren vom Bezugspunkt O zu den Kraftangriffspunkten A bzw. B auf und wenden Sie dann das
Vektorprodukt an.
Gegeben: a = 4 m, b = 5 m, c = 2 m,






−60
0
80
F~1 =  10 N, F~2 =  50 N, F~3 =  40 N
10
0
−30
Aufgabe 11:
Drei (gegebene) Einzelkräfte greifen wie skizziert an einem Mast
~ (A) bezüglich des Punkan. Ermitteln Sie das resultierende Moment M
R
tes A mit Hilfe des Vektorproduktes. Stellen Sie dazu zunächst aus
der Geometrie die jeweiligen Abstandsvektoren vom Bezugspunkt A
zu den Kraftangriffspunkten auf und wenden Sie dann das Vektorprodukt an.
Ermitteln Sie auch den Betrag des resultierenden Momentes.
Gegeben: a = 8 m, b = 4 m, c = 1 m






100
100
0
F~1 =  200 N, F~2 =  −10 N, F~3 =  0 N
100
−20
−200
4