¨Ubungsblatt VII Theoretische Physik I Prof. Dietrich Zawischa
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Übungsblatt VII Präsenzübungen Theoretische Physik I Prof. Dietrich Zawischa 27. und 28. November 2001 [P1] Streuquerschnitt: An einem harten Zylinder (Radius R, Länge L, Masse M) werden senkrecht zur Zylinderachse einfallende Teilchen der Masse m ≪ M gestreut. (1) Wodurch ist in diesem System der einfallende Teilchenstrom, wodurch ein einzelnes Teilchen zu charakterisieren? (2) Wie könnte man einen für dieses Problem sinnvollen Streuquerschnitt definieren? (3) Drücken Sie den Stoßparameter b durch den Streuwinkel ϑ aus. (4) Berechnen Sie den differentiellen und den totalen Streuquerschnitt. [P2] Harmonischer Oszillator mit Reibung: Auf einen harmonischen Oszillator der Masse m und Frequenz ω wirkt zusätzlich eine dem Quadrat der Geschwindigkeit v proportionale m Reibungskraft F = −( 2a )v 2 êv . Es sei a > 0. Die Bewegungsgleichung läßt sich einmal integrieren, indem man sie auf v = v(x) umschreibt und y = v 2 als neue Variable einführt. Geben Sie v(x) explizit an. Hinweis: Eine weitere analytische Integration zu x = x(t) ist nur in Spezialfällen noch möglich. Sie können jedoch den Bewegungsablauf qualitativ verstehen, indem Sie die sogenannte Phasenebene betrachten. Die Phasenebene erhalten Sie, indem Sie den Ort x gegen den Impuls p = mv in einem kartesischen Koordinatensystem als Kurve (Trajektorie) auftragen, die das System bei vorgegebenen Anfangsbedingungen durchläuft. Skizzieren Sie eine typische Trajektorie die Systems. 1 Übungsblatt VI Hausübungen Theoretische Physik I Prof. Dietrich Zawischa Abgabe 30. November 2001 [H1] Streuung and einer “weichen” Kugel : Untersuchen Sie die Streuung einer Masse m am Potential −V0 wenn r ≤ a , (siehe Skizze unten) V (r) = 0 wenn r > a . Gehen Sie wie folgt vor: Bestimmen Sie zunächst die Abhängigkeit zwischen Stoßparameter ρ und Streuwinkel ϑ, indem Sie Energie- und Drehimpulserhaltung ausnutzen. ρ dρ(θ) dσ Ermitteln Sie damit den differentiellen Wirkungsquerschnitt dΩ = sin θ dθ . Geben Sie schließlich noch den totalen Wirkungsquerschnitt an. Hinweis: Wie hängt ϑ mit θ zusammen? (3 P.) ϑ ϑ a ρ [H2] Anharmonischer Oszillator : Die Bewegungsgleichung eines anharmonischen Oszillators sei ẍ + ω02 x + αx2 = 0 . Der dritte Term der Gleichung ist dabei für kleine Auslenkungen klein im Vergleich zum zweiten Term. Berechnen Sie den zeitlichen Mittelwert von x(t) und die Frequenzverschiebung mittels Störungstheorie bis zur zweiten Ordnung. (3 P.) [H3] Betrachten Sie eine Schaukel als Pendel mit veränderlicher Länge ℓ(t). Zur Vereinfachung werde folgende Idealisierung betrachtet: Die Länge ℓ kann nur zwei Werte ℓ1 und ℓ2 mit ℓ2 < ℓ1 annehmen. Das Heben und Senken von einem Wert zum anderen soll instantan erfolgen. Weiter sei die Period von ℓ(t) genau halb so groß wie die der Pendelbewegung. (1) Überlegen Sie qualitativ, wo das Heben und Senken erfolgen muß, damit sich die Bewegung der Schaukel aufschaukelt. (2) Verwenden Sie die Erhaltungssätze, um einen Zusammenhang zwischen den Amplituden φn und φn+1 zweier aufeinander folgender Halbschwingungen zu finden. Diskutieren Sie die gefundene Formel graphisch. (3) Bestimmen Sie die Gesamtenergien En und En+1 am jeweiligen Beginn zweier aufeinander folgender Halbschwingungen (vergessen Sie dabei das Senken nicht). Zeigen Sie damit, dass En exponentiell anwächst. Hinweis: Wählen Sie den Energie-Nullpunkt so, dass E = 0 für ℓ = ℓ1 und φ = 0 ist. (4) Nach wievielen Halbschwingungen (als Funktion von φ0 ) überschlägt sich die Schaukel? (4 P.) 2
