Theoretische Physik II - Quantenmechanik (SS 2017)

Theoretische Physik II - Quantenmechanik
(SS 2017)
Übung 9
19.06.2017
Das Übungsblatt wird in der Woche vom 26. Juni abgegeben.
Aufgabe 31
(Virialsatz)
(4 + 4 = 8 Punkte)
(a) Beweisen Sie den dreidimensionalen Virailsatz
~ i
2hT i = h~r · ∇V
für stationäre Zustände.
Hinweis: Betrachten Sie die Zeitableitung von h~r · p~i in einem stationären Zustand.
(b) Wenden Sie den Virialsatz auf den dreidimensionalen isotropen Oszillator an und zeigen
Sie, dass in diesem Fall gilt:
hT in = hV in = En /2.
Aufgabe 32
(Drehimpuls-Erhaltungssätze)
(5 + 5 = 10 Punkte)
(a) In der Vorlesung wurde bewiesen, dass der Drehimpuls-Operator mit dem Operator r̂2
kommutiert und damit mit dem Operator der potentiellen Energie, sofern diese kugelsymmetrisch ist.
Zeigen Sie nun, dass die Komponenten des Drehimpuls-Operators ebenfalls mit dem Operator der kinetischen Energie kommutieren.
~
(b) Zeigen Sie, dass die zeitliche Änderung des Erwartungswertes für den Bahndrehimpuls L
eines Teilchens in einem Potenzial V (~r) gleich dem Erwartungswert für das Drehmoment
ist:
d ~
~i
hLi = hN
dt
mit
~ = ~r × (−∇V
~ ).
N
Diese Aussage ist das Analogon des Ehrenfest Theorems für Rotationsbewegungen.
Folgern Sie, dass für ein beliebiges kugelsymmetrisches Potenzial der Erwartungswert des
Drehimpulses eine Erhaltungsgröße ist.
Aufgabe 33
(Leiteroperatoren des Drehimpulses)
(6 Punkte)
Die Auf- und Absteigeoperatoren des Drehimpulses ändern den Wert von m jeweils um eine
Einheit.
L̂± |`, mi = A`m |`, m ± 1i
mit einer Normierungskonstanten A`m .
Bestimmen Sie die Normierungskonstante und vergewissern Sie sich, dass der Ausdruck für A`m
die Abbruchbedingungen an den ”Enden der Leiter” impliziert.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass L̂+
± = L̂∓ ist und verwenden Sie die aus der Vorlesung
bekannte Beziehung für das Produkt eines Auf- mit einem Absteigeoperator.
Aufgabe 34
(Starrer Rotor)
(4 + 4 = 8 Punkte)
Zwei Teilchen der Masse m sind auf den Endpunkten eines masselosen starren Stabes der Länge
a befestigt. Das System kann in allen drei Dimensionen frei um den Mittelpunkt rotieren, der
Mittelpunkt selbst aber ist fixiert.
(a) Zeigen Sie, dass die erlaubten Energien dieses starren Rotors durch
En =
N
h̄2 n(n + 1)
ma2
für n ∈ 0 gegeben sind.
Hinweis: Drücken Sie die (klassische) Energie zunächst mit Hilfe des Gesamtdrehimpulses
aus.
(b) Geben Sie die stationären Zustände dieses Systems an. Wie groß ist die Entartung des
n-ten Energieniveaus?
Aufgabe 35
(Bahndrehimpuls)
(8 + 4 + 3 + 3 = 18 Punkte)
Die fundamentalen Vertauschungsrelationen für den Drehimpuls lassen sowohl halbzahlige als
auch ganzzahlige Eigenwerte zu. Doch beim Bahndrehimpuls treten ausschließlich ganzzah~ = ~r × p~ eine zusätzliche Bedingung
lige Werte auf. Es muss also in der speziellen Beziehung L
geben, die die halbzahligen Werte ausschließt.
Wir bezeichnen mit a eine passende Konstante mit der Dimension einer Länge (beim hamonischen Oszillator wäre dies z.B. die charakteristische Oszillatorlänge `). und definieren die
Operatoren
i
i
1 h
1 h
p1 = √ px − (h̄/a2 )y
q1 = √ x + (a2 /h̄)py
2
2
h
i
i
1
1 h
q2 = √ x − (a2 /h̄)py
p2 = √ px + (h̄/a2 )y .
2
2
(Hier und im Folgenden wurden die ”Hütchen” über den Operatoren weggelassen.)
(a) Prüfen Sie die Aussagen [q1 , q2 ] = 0 = [p1 , p2 ] und [q1 , p1 ] = ih̄ = [q2 , p2 ]. Damit erfüllen
die q und p die kanonischen Vertauschungsrelationen für Ort und Impuls, und die Größen
mit dem Index 1 sind zu denen mit dem Index 2 kompatibel.
(b) Zeigen Sie, dass
Lz =
h̄ 2
a2 2
2
(q
−
q
)
+
(p1 − p22 ).
1
2
2
2a
2h̄
(c) Überprüfen Sie die Aussage Lz = H1 − H2 . Dabei ist jedes H der Hamilton-Operator für
einen harmonischen Oszillator mit der Masse m = h̄/a2 und der Frequenz ω = 1.
(d) Wir wir wissen, hat der Hamilton-Operator für den harmonischen Oszillator die Eigenwerte (n + 1/2)h̄ω mit n ∈ 0 . Leiten Sie damit her, dass die Eigenwerte von Lz ganzzahlig
sein müssen.
N