Phasenebene

Phasenebene
Die Lösungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung,
u 00 = f (u, u 0 ) ,
können als Kurven
t 7→ (u(t), v (t)),
v = u0 ,
in der sogenannten Phasenebene visualisiert werden. Dabei verläuft für
eine stetig differenzierbare Funktion f durch jeden Punkt (u0 , v0 ) genau
eine Lösungskurve.
Phasenebene
1-1
Phasenebene
Die Lösungen einer autonomen Differentialgleichung zweiter Ordnung,
u 00 = f (u, u 0 ) ,
können als Kurven
t 7→ (u(t), v (t)),
v = u0 ,
in der sogenannten Phasenebene visualisiert werden. Dabei verläuft für
eine stetig differenzierbare Funktion f durch jeden Punkt (u0 , v0 ) genau
eine Lösungskurve.
Punkte (u0 , 0) mit f (u0 , 0) = 0 sind kritische Punkte der
Differentialgleichung, die konstanten Lösungen u(t) = u0 entsprechen.
Phasenebene
1-2
u′
u
Phasenebene
1-3
u′
u
Fasst man v = du/dt als Funktion von u auf, so ist
u 00 = v 0 = dv /dt = (dv /du)(du/dt) und man erhält eine
Differentialgleichung erster Ordnung
dv
v = f (u, v ) ,
du
die die Lösungskurven in der Phasenebene unmittelbar beschreibt.
Phasenebene
1-4
Beispiel:
Phasenebenen für die Bewegungsgleichung eines gedämpften Pendels und
die approximierende lineare Schwingungsgleichung
u′′ = −u − u′
u′′ = − sin u − u′
u′
u′
u
u
Phasenebene
2-1
Beispiel:
Phasenebenen für die Bewegungsgleichung eines gedämpften Pendels und
die approximierende lineare Schwingungsgleichung
u′′ = −u − u′
u′′ = − sin u − u′
u′
u′
u
u
kleine Auslenkungen von u
gute Übereinstimmung
Phasenebene
2-2
Beispiel:
Phasenebenen für die Bewegungsgleichung eines gedämpften Pendels und
die approximierende lineare Schwingungsgleichung
u′′ = −u − u′
u′′ = − sin u − u′
u′
u′
u
u
kleine Auslenkungen von u
gute Übereinstimmung
globales qualitatives Verhalten unterschiedlich; mehrere kritische Punkte
für die Pendelgleichung
Phasenebene
2-3
Energieerhaltung
Die Differentialgleichung
u 00 + Φ0 (u) = 0
beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential
Φ induzierten Kraftfeld.
Phasenebene
3-1
Energieerhaltung
Die Differentialgleichung
u 00 + Φ0 (u) = 0
beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential
Φ induzierten Kraftfeld.
Für die Lösung u ist die Summe E aus kinetischer und potentieller Energie
konstant:
1
E = v 2 + Φ(u), v = u 0 .
2
Phasenebene
3-2
Energieerhaltung
Die Differentialgleichung
u 00 + Φ0 (u) = 0
beschreibt eine eindimensionale Bewegung unter einem durch ein Potential
Φ induzierten Kraftfeld.
Für die Lösung u ist die Summe E aus kinetischer und potentieller Energie
konstant:
1
E = v 2 + Φ(u), v = u 0 .
2
Die Lösungskurven in der Phasenebene entsprechen also konstanten
Energieniveaus E .
Phasenebene
3-3
Beispiel:
Differentialgleichung für die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels
ϑ00 = − sin ϑ
Phasenebene
4-1
Beispiel:
Differentialgleichung für die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels
ϑ00 = − sin ϑ
potentielle Energie Φ(ϑ) = − cos ϑ
Gesamtenergie
1
E = (ϑ0 )2 − cos ϑ
2
p
0
bzw. ϑ = ± 2(E + cos ϑ)
Phasenebene
4-2
Beispiel:
Differentialgleichung für die Auslenkung ϑ eines idealen Pendels
ϑ00 = − sin ϑ
potentielle Energie Φ(ϑ) = − cos ϑ
Gesamtenergie
1
E = (ϑ0 )2 − cos ϑ
2
p
0
bzw. ϑ = ± 2(E + cos ϑ)
3
E>1
2
1
E=1
E<1
ϑ′ 0
ϑ(t)
−1
−2
−3
0
π
2π
ϑ
Phasenebene
3π
4π
4-3
Phasendiagramm
drei qualitativ verschiedene Fälle
Phasenebene
4-4
Phasendiagramm
drei qualitativ verschiedene Fälle
E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ 6= −1 (maximaler Wert
ϑmax = arccos(−E ))
Phasenebene
4-5
Phasendiagramm
drei qualitativ verschiedene Fälle
E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ 6= −1 (maximaler Wert
ϑmax = arccos(−E ))
Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑmax
ϑ
Zmax
T =4
dt
dϑ ,
dϑ
0
dt
1
= (ϑ0 )−1 = p
dϑ
2(cos ϑ − cos ϑmax )
(E = − cos ϑmax )
Phasenebene
4-6
Phasendiagramm
drei qualitativ verschiedene Fälle
E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ 6= −1 (maximaler Wert
ϑmax = arccos(−E ))
Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑmax
ϑ
Zmax
T =4
dt
dϑ ,
dϑ
0
dt
1
= (ϑ0 )−1 = p
dϑ
2(cos ϑ − cos ϑmax )
(E = − cos ϑmax )
E > 1: Die Geschwindigkeit ϑ0 wird nie null; das Pendel schwingt
über.
Phasenebene
4-7
Phasendiagramm
drei qualitativ verschiedene Fälle
E < 1: Lösungen periodisch, da cos ϑ 6= −1 (maximaler Wert
ϑmax = arccos(−E ))
Berechnung der Periode T aus der maximalen Auslenkung ϑmax
ϑ
Zmax
T =4
dt
dϑ ,
dϑ
0
dt
1
= (ϑ0 )−1 = p
dϑ
2(cos ϑ − cos ϑmax )
(E = − cos ϑmax )
E > 1: Die Geschwindigkeit ϑ0 wird nie null; das Pendel schwingt
über.
E = 1: Das Pendel nähert sich dem instabilen höchsten Punkt,
ohne ihn in endlicher Zeit zu erreichen.
Phasenebene
4-8
Beispiel:
auf eine Rakete wirkende Kraft im Gravitationsfeld der Erde
F =−
γmM
r2
m und M: Massen von Rakete und Erde
γ > 0: Gravitationskonstante
r : Abstand zum Erdmittelpunkt
Phasenebene
5-1
Beispiel:
auf eine Rakete wirkende Kraft im Gravitationsfeld der Erde
F =−
γmM
r2
m und M: Massen von Rakete und Erde
γ > 0: Gravitationskonstante
r : Abstand zum Erdmittelpunkt
Bewegungsgleichung nach dem “Burnout” bei vertikaler Flugrichtung
r 00 = −
γM
r2
Phasenebene
5-2
Beispiel:
auf eine Rakete wirkende Kraft im Gravitationsfeld der Erde
F =−
γmM
r2
m und M: Massen von Rakete und Erde
γ > 0: Gravitationskonstante
r : Abstand zum Erdmittelpunkt
Bewegungsgleichung nach dem “Burnout” bei vertikaler Flugrichtung
r 00 = −
γM
r2
Anfangsbedingungen
r (0) = R,
r 0 (0) = v
R und v : Flughöhe und Geschwindigkeit bei “Burnout”
Phasenebene
5-3
Phasenebene
5-4
E>0
r′
E<0
r
Phasenebene
5-5
E>0
r′
E<0
r
Lösungskurven für verschiedene Geschwindigkeiten v und R = 6.371 km
(Erdradius)
Phasenebene
5-6
E>0
r′
E<0
r
Lösungskurven für verschiedene Geschwindigkeiten v und R = 6.371 km
(Erdradius)
konstante Energieniveaus
1
γM
E = (r 0 )2 −
2
r
Phasenebene
5-7
E < 0: maximale Flughöhe
rmax = −
γM
E
Phasenebene
5-8
E < 0: maximale Flughöhe
rmax = −
γM
E
E ≥ 0: Flughöhe unbeschränkt
Phasenebene
5-9
E < 0: maximale Flughöhe
rmax = −
γM
E
E ≥ 0: Flughöhe unbeschränkt
kritische Startgeschwindigkeit v∗ (fett gezeichnete Lösungskurve)
1 2 γM
v −
=E =0
2 ∗
R
d.h. v∗ =
q
2γ M
R
Phasenebene
5-10
E < 0: maximale Flughöhe
rmax = −
γM
E
E ≥ 0: Flughöhe unbeschränkt
kritische Startgeschwindigkeit v∗ (fett gezeichnete Lösungskurve)
1 2 γM
v −
=E =0
2 ∗
R
q
d.h. v∗ = 2γ M
R
(r 0 (t) → 0 für t → ∞)
Phasenebene
5-11