Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen Satz 4 (komplexe

Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen
Satz 4 (komplexe Partialbruchzerlegung)
Es sei q/p eine echt gebrochen rationale Funktion, d.h. deg q < deg p und
es sei
p(z) = c (z − z1 )α1 . . . (z − zk )αk
die kanonische Faktorisierung von p. Dann besitzt q/p eine Summendarstellung der Form
a11
a12
a1α1
q(z)
=
+
+
.
.
.
+
+
p(z)
z − z1 (z − z1 )2
(z − z1 )α1
a21
a22
a2α2
+
+
+
.
.
.
+
+
z − z2 (z − z2 )2
(z − z2 )α2
..
.
ak2
akαk
ak1
+
+
.
.
.
+
.
+
z − zk (z − zk )2
(z − zk )αk
(1)
Beweis. Vollständige Induktion nach deg p. Falls deg p = 1 ist deg q = 0
und damit alles klar.
Die Behauptung gelte für alle echt gebrochen rationalen Funktionen für die
der Grad des Nenners nicht größer als n − 1 ist, und es sei nun deg p = n.
Dann ist
p(z) = (z − z1 )α1 r(z)
mit r(z1 ) 6= 0. Für eine beliebige komplexe Zahl a gilt dann
q(z)
a
q(z) − ar(z)
−
=
.
p(z) (z − z1 )α1
p(z)
Setzt man speziell a := q(z1 )/r(z1 ), so ist der Zähler der rechten Seite ein
Polynom mit der Nullstelle z1 , das deshalb von der Form (z − z1 )q1 (z) ist.
Mithin gilt
a
(z − z1 )q1 (z)
a
q1 (z)
q(z)
=
+
=
+
α
α
α
p(z) (z − z1 ) 1 (z − z1 ) 1 r(z) (z − z1 ) 1 p1 (z)
mit deg p1 = deg p − 1. Nach Induktionsannahme besitzt die rationale
Funktion q1 /p1 eine Zerlegung in Partialbrüche, woraus die Behauptung
im allgemeinen Fall folgt.
Zur Bestimmung der Koeffizienten ist der obige Beweis ebenfalls geeignet.
Es gilt nämlich
a1α1 = a =
q(z1 )
,
r(z1 )
und danach wird q1 /p1 = q/p − a1α1 /(z − z1 )α1 zerlegt.
Das ist auch einzusehen, indem man (1) mit (z − zj )αj multipliziert, den
Faktor (z − zj )αj herauskürzt und z = zj einsetzt. Auf diese Weise erhält
man die Koeffizienten
a1α1 , a2α2 , . . . , akαk .
Anschließend zieht man die schon bestimmten Terme von der rechten Seite in (1) ab, multipliziert mit (z − zj )αj −1 , u.s.w. Dieses Verfahren wird
Grenzwertmethode genannt.
Man kann auch eine geschlossene Formel für alle Koeffizienten angeben:
für j = 1, . . . , αm gilt
amj
1
dαm −j αm q(z)
=
lim
(z − zm )
,
(αm − j)! z→zm dz αm −j
p(z)
Am einfachsten (allerdings nicht besonders effektiv) ist jedoch die Methode
des Koeffizientenvergleichs. Dazu multipliziert man (1) mit p(z) und erhält
so eine Identität zwischen zwei Polynomen. Diese kann nur gelten, wenn alle
Koeffizienten dieser Polynome übereinstimmen. Das liefert ein (eindeutig
lösbares) Gleichungssystem für die Unbekannten a11 , . . . , akαk .
Da wir bisher komplexe Funktionen nicht integrieren können, brauchen wir
eine reelle Variante der Partialbruchzerlegung.
Satz 5 (reelle kanonische Faktorisierung) Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten ist in der Form
p(x) = an (x−x1 )α1 ·. . .·(x−xr )αr ·(x2 +A1 x+B1 )β1 ·. . .·(x2 +As x+Bs )βs
darstellbar, wobei x1 , . . . , xr die reellen Nullstellen von p und α1 , . . . , αr
deren Vielfachheiten sind. Die Zahlen Ak und Bk sind reell und die quadratischen Polynome x2 + Ak x + Bk haben keine reellen Nullstellen.
Beweis. Ist z0 eine Nullstelle von p, so gilt auch
p(z 0 ) = an z n0 + an−1 z 0n−1 + . . . + a1 z 0 + a0
= an z n0 + an−1 z 0n−1 + . . . + a1 z 0 + a0
= an z0n + an−1 z0n−1 + . . . + a1 z0 + a0 = p(z0 ) = 0.
Nicht reelle Nullstellen treten also in Paaren konjugiert komplexer Zahlen
auf. Es seien deshalb
x1 , x2 , . . . , xr
die reellen
u1 + i v1 , . . . , us + i vs
die nicht reellen
u1 − i v1 , . . . , us − i vs
Nullstellen von p und α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs deren Vielfachheiten. Das Resultat folgt durch Zusammenfassung der Produkte
(x − uj − i vj )(x − uj + i vj ) = x2 − 2uj x + u2j + vj2 .
Satz 6 (reelle Partialbruchzerlegung) Es sei q/p eine reelle echt gebrochen
rationale Funktion und es sei
p(x) = an (x − x1 )α1 · . . . · (x − xr )αr (x2 + A1 x + B1 )β1 · . . . · (x2 + As x + Bs )βs
die reelle kanonische Faktorisierung von p. Dann existieren reelle Zahlen
akj , bkj , ckj so, daß gilt
q(z)
a11
a12
a1α1
=
+
+
.
.
.
+
+
p(x)
x − x1 (x − x1 )2
(x − x1 )α1
..
.
ar2
arαr
ar1
+
+
.
.
.
+
+
+
x − xr (x − xr )2
(x − xr )αr
b11 x + c11
b1β x + c1β1
+ 2
+ ... + 2 1
+
x + A1 x + B1
(x + A1 x + B1 )β1
..
.
bs1 x + cs1
bsβ x + csβs
+ 2
+ ... + 2 s
.
x + As x + Bs
(x + As x + Bs )βs
mit reellen Zahlen akj , bkj , ckj .
Der Beweis kann aus Satz 4 abgeleitet werden, wenn man dort die Terme zusammenfaßt, die zu konjugiert komplexen Nullstellen gehören (diese
haben konjugiert komplexe Koeffizienten).
Zur Koeffizientenbestimmung benutzt man meist die Methode des Koeffizientenvergleichs oder kombinierte Methoden.
Integration von Partialbrüchen
Partialbrüche sind von einer der Formen
1
,
(x − a)m
Ax + B
(x2 + ax + b)m
mit a2 < 4b.
Die zugehörigen Stammfunktionen können mit Hilfe der folgenden Formeln
bestimmt werden, wobei stets a2 < 4b und m ≥ 2 vorausgesetzt wird.
Z
dx
= ln |x − a|
x−a
Z
dx
1
1
=
−
·
(x − a)m
m − 1 (x − a)m−1
Z
2
2x + a
dx
√
√
=
arc
tan
x2 + ax + b
4b − a2
4b − a2
Z
Z
Z
dx
(x2 + ax + b)m
=
2x + a
+
(m − 1)(4b − a2 )(x2 + ax + b)m−1
Z
dx
2(2m − 3)
+
2
2
(m − 1)(4b − a ) (x + ax + b)m−1
Ax + B
dx
2
x + ax + b
A
Aa 2
= ln(x + ax + b) + B −
2
2
Z
A
Ax + B
dx
=
−
+
(x2 + ax + b)m
2(m − 1)(x2 + ax + b)m−1
Z
Aa dx
+ B−
.
2
(x2 + ax + b)m
x2
dx
+ ax + b
Spezielle Integrationsmethoden
Im weiteren steht R für eine rationale Funktion in zwei Variablen x und y.
Die Variable y ist jeweils durch den angegebenen Ausdruck zu ersetzen.
R
• R(x) dx
Partialbruchzerlegung
√
R
• R(x, a2 − x2 ) dx
trigonometrische Substitution x = a sin t.
√
R
• R(x, a2 + x2 ) dx
hyperbolische Substitution x = a sinh t.
√
R
• R(x, ax2 + bx + c) dx
Eulersche
Substitution
√
√
2
t = ax + bx + c + x a.
R
• R(cos x, sin x) dx
t := tan (x/2)
R
• xm (a + bxn )p dx
Binomische Differentiale
Bei den binomischen Differentialen müssen zwischen m, n und p gewisse
Beziehungen gelten.
Alle Integrale werden duch diese Substitutionen auf den Fall rationaler
Integranden transformiert.
• Elliptische Integrale 1.,2. und 3. Art sind die folgenden Stammfunktionen
Z
dϕ
F (ϕ, k) := p
dϕ,
2
2
1 − k sin ϕ
Zq
E(ϕ, k) :=
1 − k 2 sin2 ϕ dϕ,
Z
dϕ
p
Π(ϕ, h, k) :=
dϕ
2
2
2
(1 + h sin ϕ) 1 − k sin ϕ
Es gibt leistungsfähige Software (z.B. MATHEMATICA, MAPLE, MATLAB) (und umfangreiche Tafeln) zur Berechnung unbestimmter Integrale.
Empfohlene klassische Literatur: Fichtenholz Bd. 2.