Analysis I

Zentrum Mathematik
Technische Universität München
Prof. Dr. Juri Suris
Dr. Stephan Schmitz
Prof. Dr. Armin Leutbecher
Analysis I
WS 06/07
Blatt 2
Analysis I
für Mathematik und Informatik
Zentralübungen (30. 10.)
Z3. (Anordnungsregeln)
Beweisen Sie für angeordnete Körper K allein aus den drei Anordnungseigenschaften (O1), (O2),
(O3) die folgenden sechs Regeln für die Anordnung:
Transitivität: x < y, y < z ⇒ x < z .
Translationsinvarianz: x < y ⇒ x + a < y + a für alle
Streckungstreue: a > 0, x < y ⇒ ax < ay .
Negativenvergleich: x < y ⇔ −y < −x .
Kehrwertevergleich: xy > 0, x < y ⇒ y1 < x1 .
Quadratevergleich:
0≤x<y
a.
x2 < y 2 .
⇒
Z4. (Fixpunktfreie Permutationen)
a) Wir bezeichnen für natürliche Zahlen k mit ak die Anzahl der Permutationen einer Menge mit
k Elementen ohne Fixpunkte, weiter sei a0 = 1 gesetzt. Begründen Sie für jede natürliche
Zahl n die Formel
n n X
X
n
n
ak .
ak =
n! =
k
n−k
k=0
k=0
b) Beweisen Sie die Rekursionsformel
an+1 = n(an + an−1 ) ,
n≥2
und leiten Sie daraus eine geschlossene Formel für die Folge der an her.
Z5. Begründen Sie für alle natürlichen Zahlen die folgende Abschätzung
n
X
1 n
1
1+
≤
< 3.
n
k!
k=0
Tutorübungen (30. 10. – 31. 10.)
T4. Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen m, n ∈ N0 mittels vollständiger Induktion die Gleichung
n X
n+1
k
.
=
m+1
m
k=m
T5. (Der goldene Schnitt und das regelmäßige Fünfeck)
Das Verhältnis d/s = ϑ aus Diagonalenlänge d und Seitenlänge s des regelmäßigen Fünfecks ist
nicht rational: Die fünf Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks schneiden sich außer in den Ecken
in fünf weiteren Punkten im Innern des Fünfecks. Diese zweite Sorte von Schnittpunkten bildet
wieder ein regelmäßiges Fünfeck. Dessen Diagonalen- bzw. Seitenlänge nennen wir d0 bzw. s0 .
Damit gilt
d = 2d0 + s0 , s = d0 + s0 .
Wenn es eine Länge ` > 0 gäbe, die sowohl d = m` als auch s = n` als ganzzahliges Vielfaches
von ` besäße, dann wären auch d0 und s0 ganzzahlige Vielfache von `. Aber nach endlich vielen
Wiederholungen des Verkleinerungsprozesses wird das zentrale Fünfeck eine Diagonalenlänge
< ` besitzten. Daraus folgt, dass ϑ irrational ist.
x n
zu den Indizes n > |x| definierte Folge
T6. Zeigen Sie, dass die für reelle x durch en (x) = 1 +
n
monoton wächst und nach oben beschränkt ist.
Hausaufgaben (Abgabe bis Montag, den 6. 11. um 8.30 h.)
H4. (Die Folge der Fibonacci-Zahlen)
Sie wird definiert durch die Rekursionsvorschrift
a0 = 0 ,
a1 = 1 ,
an+1 = an + an−1
(n ≥ 1) .
Beweisen Sie für alle n ≥ 1 mittels vollständiger Induktion
a) an−1 an+1 − a2n = (−1)n .
n−1
n−2
≤ an ≤ 53
.
b) 23
c) Die Quotientenfolge qn = an+1 /an , (n ≥ 1) genügt der Rekursionsformel
q1 = 1 ,
H5.
qn+1 = 1 +
1
.
qn
a) In einem angeordneten Körper K seien die Elemente a, b, c, d mit c > 0, d > 0 und ad−bc > 0
gegeben. Beweisen Sie die Ungleichungskette
b
a+b
a
<
<
.
d
c+d
c
b) Was ergibt sich im Fall K = Q, a = a2n+1 , b = c = a2n , d = a2n−1 bzw. im Fall K = Q,
a = a2n+1 , b = a2n+2 , c = a2n , d = a2n+1 ?
H6.
a) Auf n Zellen sollen k nicht unterscheidbare Teilchen so verteilt werden, dass in jeder Zelle
höchstens ein Teilchen enthalten ist. Zeigen Sie, dass es genau nk verschiedene Verteilungen
gibt.
b) Auf n Zellen sollen k nicht unterscheidbare Teilchen so verteilt werden,
dass jede Zelle beliebig
verschiedene
Verteilungen
viele Teilchen aufnehmen kann. Zeigen Sie, dass es genau n+k−1
k
gibt. Tipp: Beim Induktionsschluss von n auf n + 1 kann man die Verteilungen auf n + 1
Zellen ordnen nach der Teilchenzahl in der letzten Zelle.
Hinweise zu den Hausaufgaben: Die Hausaufgaben dürfen und sollen in Gruppen bis zu drei Personen
abgegeben werden. Letztmöglicher Abgabetermin ist 8:30 Uhr am Montag nach der Woche zur Bearbeitung
des Übungsblattes. Die Abgabe erfolgt durch Einwurf in einen der entsprechend gekennzeichneten Briefkästen
im Keller des Gebäudes für Mathematik und Informatik (hinter den Schließfächern). Auf den Hausaufgaben
sind die Namen und Matrikelnummern der Bearbeiter anzugeben, ferner die Nummer der Tutorgruppe deutlich
lesbar auf der ersten Seite. Mehrblättrige Lösungen bitte zusammenheften.
Für jede der Hausaufgaben werden maximal 10 Punkte vergeben. Beachten Sie, dass zu einer vollständigen Lösung unter anderem die Erläuterung (wenigstens in Stichworten) und nachvollziehbare Darstellung des
Lösungsweges gehören. Rechnungen allein sind nicht ausreichend.
Voraussetzung für den Erwerb eines Übungsscheines ist das Bestehen der Semestralklausur. Die Zulassung zur Semestralklausur erhält, wer mindestens 40 % der Punkte aus den Hausaufgaben erreicht und
mindestens einmal in seiner/ihrer Tutorgruppe vorgerechnet hat.