Fibonacci-Zahlen und Goldener Schnitt

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Mathematik I für inf/swt
PD Dr. P.H. Lesky
Fibonacci-Zahlen und Goldener Schnitt
Z1) Mit Hilfe der Fibonacci–Folge (fn )n∈N , gegeben durch
f1 := 1, f2 := 1,
fn+1 := fn + fn−1
wird eine Folge (an )n∈N definiert durch an =
Zeigen Sie:
limn→∞ fn+1
fn =
für alle n ∈ N, n ≥ 2,
fn+1
fn
für alle n ∈ N.
√
1+ 5
2
Anleitung: Beweisen Sie nacheinander folgende Behauptungen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
1
an
∀n ∈ N :
an+1 = 1 +
∀n ∈ N :
a2n−1 < a2n+1
∀n ∈ N :
a2n−1 < a2n
∀m, n ∈ N :
∀n ∈ N :
(am < an ⇒ am+1 > an+1 )
a2n > a2n+2
∃φ− ≤ φ+ ∈ R :
limn→∞ a2n−1 = φ− ,
limn→∞ a2n = φ+
φ− = φ+ =: φ
√
φ = 1+2 5
Hinweis: Was geschieht mit der Gleichung an+1 = 1 +
1
an
für n → ∞ ?
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Z2)
a) Es gilt die folgende Gleichung:
1
1+
=
1
1+
√
1+ 5
2
1
1+
1+
1
1 + ...
Die linke Seite nennt man einen unendlichen Kettenbruch. Interpretieren Sie diesen als Grenzwert endlicher Kettenbrüche und erläutern Sie, warum Sie in Aufgabe
3 diese Gleichung bewiesen haben.
b) Berechnen Sie
1
2+
1
2+
1
2+
1
2 + ...
Hinweis: Es geht auch ohne Taschenrechner !
2+
Z3) Sei (gn )n∈N eine Folge komplexer Zahlen, welche der Differenzengleichung
gn+1 = gn + gn−1
für alle n ∈ N, n ≥ 2
genügt.
a) Versuchen Sie den Ansatz gn = λn
Differenzengleichung erfüllt ?
für alle n ∈ N. Für welche λ ∈ C ist die
b) Welche weiteren Lösungen der Differenzengleichung kann man mit Hilfe der obigen
speziellen Lösungen sofort hinschreiben ?
c) Beweisen Sie hiermit die folgende explizite Formel für die Fibonacci-Folge (fn )n∈N
(vgl. Aufgabe 3):
√ !n
√ !n !
1+ 5
1
1− 5
∀n ∈ N : fn = √
−
2
2
5
=
d) Bestätigen Sie hiermit nochmals das Resultat von Aufgabe 3: limn→∞ fn+1
fn
√
1+ 5
.
2
bitte wenden
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√
Z4) Die Zahl φ = 1+2 5 heißt auch Goldener Schnitt. Bestätigen Sie die folgenden geometrischen Eigenschaften:
a) Teilt man eine Strecke so, daß sich deren Gesamtlänge zur Länge des größeren
Teilstücks ebenso verhält wie die Länge des größeren Teilstücks zu der des kleineren Teilstücks, so hat dieses Verhältnis den Wert φ.
b) Die Diagonalen in einem regelmäßigen Fünfeck teilen sich gegenseitig im Verhältnis φ.
c) Die Zeichnung unten gibt die ersten zwei Glieder einer Folge von ineinanderliegenden Sternen. An den dabei auftretenden Strecken kann man sich den Kettenbruch
aus Aufgabe 4(a) veranschaulichen.
Hinweise: (a) verlangt eine kurze Rechnung. Benutzen Sie dann diese Charakterisierung
von φ und begründen Sie (b) und (c) durch elementare geometrische Überlegungen an
der gezeichneten Figur.