Ubungen zur Mathematik für Physiker III

Ausgabe: 01. 11. 2010
Universität Konstanz
FB Mathematik & Statistik
Prof. Dr. M. Junk
Dr. Z. Yang
Abgabe : 08.11.2010
Vor 12Uhr Montag
Übungen zur Mathematik für Physiker III
Blatt 02
Aufgabe 1:
Klassifieren Sie die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen und transformieren
Sie sie zu expliziten, autonomen Systemen erster Ordnung.
(a)
ẋ1 = 3x2 − ẋ3 ,
1
ẋ2 = −2x1 + 3x3 − ẋ1 − ẋ3 ,
2
1
2
ẋ3 = x2 − ẋ2 .
3
3
(b)
ẍ(t) = −αẏ(t) + ω02 x(t) + f (t),
ÿ(t) = β ẋ(t) − ω1 y(t) + ω2 x(t) + g(t),
Aufgabe 2:
Berechnen Sie zur skalaren Gleichung
ẋ(t) = x(t),
x(0) = 1,
für 0 ≤ t ≤ 1 eine Näherungslösung x̂(t) mit dem expliziten Euler Verfahren und
dem expliziten Runge-Kutta Verfahren zweiter Stufe sowie vierter Stufe.
(i) Programmieren Sie die Verfahren für die Schrittweite h = 1/10.
(ii) Zeichnen Sie die Näherungslösungen x̂(t) und die exakte Lösung x(t) = exp(t).
(iii) Geben Sie die Werte x̂(t)−x(t) zum Zeitpunkt t = 1 für h = 1/10, 1/20, 1/40, 1/80
aus.
h
x̂(ti ) − x(ti ) (Euler)
x̂(ti ) − x(ti ) (RK2)
x̂(ti ) − x(ti ) (RK4)
1/10
1/20
1/40
1/80
Aufgabe 3:
Vorgelegt sind die numerischen Verfahren bezüglich des AWP: u̇(t) = f (t, u), u(0) =
u0 . Geben Sie das Runge-Kutta Verfahren zum Tableau (a), (b) und umgekehrt
das Tableau zum Verfahren (c), (d) an.
1
0
(a)
√
3− 3
6
√
3+ 3
6
1
4
1
4
+
1
4
√
3
6
−
1
4
(b)
1
2
1
2
(c)
√
3
6
1
2
1
4
1
2
3
4
1
2
3
16
1
16
0
0
0
3
− 16
1
1
7
7
90
4
7
1
2
6
16
6
7
9
16
− 12
7
8
7
0
32
90
12
90
32
90
7
90
1
1
um+1 = um + h f (tm , um ) + h f (tm + h, um + hf (tm , um )),
2
2
(d)
um+1 = um + hf (tm +
h
, U ),
2
U = um +
h
h
f (tm + , U ).
2
2
Aufgabe 4:
Sei F : C 0 ([0, T ]) → C 0 ([0, T ]) Lipschitz stetig und Φ : C 0 ([0, T ]) → C 0 ([0, T ])
Funktion gegeben durch
Z t
Φ(u)(t) = ū +
F (u(τ ))dτ,
0 ≤ t ≤ T, u ∈ C 0 ([0, T ]),
(1)
0
wobei ū eine vorgegebener Vektor ist. Zeigen Sie, für T klein ist Φ kontrahierend
bzgl. der Supermumnorm || · ||∞ , wobei ||u||∞ := sup ||u(t)||.
t∈[0,T ]
AltKlausur Aufgabe:
Beweisen Sie die Formel für die Determinante der Vandermonde Matrix, d.h. für
beliebigen Zahlen a1 , . . . , an ∈ C gilt:


1
1
1
1
...
1
 a1
a2
a3
a4
...
an 
 2

2
2
2
 a1
a2
a3
a4
...
a2n 
 3
 Y
3
3
3
3  =
det  a1
(ak − aj ).
a
a
a
.
.
.
a
2
3
4
n


k>j
 ..

..
..
..
.
..
.. 
 .
.
.
.
.
a1n−1
a2n−1
a3n−1
a4n−1
. . . ann−1
Hinweis: Induktion und
xp − y p = (x − y)
X
xm y n ,
m+n=p−1
X
xm y n = xp−1 + y
m+n=p−1
X
m+n=p−2
2
xm y n .