Blatt 2 - Uni Siegen

UNIVERSITÄT SIEGEN
Fachbereich Mathematik
WS 2008/09
Dipl.-Math. M. Rathgeb
Übungen zur Vorlesung Mathematik für Wirtschaftsinformatiker“
”
Blatt 2
Aufgabe 10 (Beweis durch vollständige Induktion).
(1) Für alle n ∈ N gilt:
n
X
ν=1
ν2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
(2) Für alle n ∈ N>1 und 0 6= x ∈ (−1, +∞) gilt: (1 + x)n > 1 + nx. (Bernoulli-Ugl.)
Aufgabe 11.
Schreiben Sie mit Hilfe des Summenzeichens:
(a)
1
1
+
+ . . . + 39 + 310
10
9
3
3
(b) a4 b−1 + a3 + a2 b + ab2 + b3 .
Aufgabe 12.
Berechnen Sie die Werte (ohne Taschenrechner!):
1
1
(a) 10 + 9 + . . . + 39 + 310
3
3
(b)
10
X
((k + 1)3 − k 3 )
.
k=1
Aufgabe 13.
Geben Sie die folgenden Zahlen als Dezimalzahl an (ohne Taschenrechner!):
(a) 102 · 103
(b) (−0.2)4
(c) 4−2
(d) (−0.1)−5 .
Aufgabe 14.
Schreiben Sie folgende Zahlen als n-te Potenz mit n 6= 1:
(a) 3 · 3 · 9
(b) 0.00001
(c)
4
9
(d) −
1
.
32
Aufgabe 15.
Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke soweit wie möglich:
(a)
2
1
+
3 2006
(b) x2p x3p
(c) x
x7
x3
(d)
xp x−4
.
xp+1 x−3
Aufgabe 16.
Bestimmen Sie folgende Logarithmen (ohne Taschenrechner!):
(a) log4 32
(b) log10 0.001
(c) log1000 100000
(d) log9
1
.
27
Aufgabe 17.
Basteln Sie nach dem Muster der drei vorstehenden Aufgaben (zu Potenzen und Logarithmen)
4 Teilaufgaben zu nicht-trivialen Wurzeln.
Aufgabe 18.
Pn
Sei an := 1/n; und (sn ) dementsprechend definiert mit sn :=
ν=1 aν . Berechnen Sie s1 ,
s2 − s1 , s4 − s2 , s8 − s4 , s16 − s8 ; vergleichen Sie die Werte im Besonderen mit 1/2. Was
vermuten Sie über die Konvergenz / Divergenz von (sn )? (Tipp: Vergleichen Sie a2n mit
a2n−1 , a2n−1 +1 , . . . a2n −1 , a2n und bestimmen Sie die Anzahl an Summanden aν in s2n − s2n−1 .)
Aufgabe 19.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
(a) 2008 ist eine natürliche Zahl.
(b) -3 ist eine natürliche Zahl.
(c) Ganze Zahlen sind immer rational.
(d) 1.23456 ist eine rationale Zahl.
(e) Die Zahl −3/7 ist rational.
√
(f) Die Zahl 2 + 3 ist rational.
(g) Das Summe zweier rationaler Zahlen ist (jeweils) eine rationale Zahl.
(h) Die Summe zweier irrationaler Zahlen ist irrational.
(i) Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist irrational.
Bei (g), (h) und (i) gibt es möglicherweise Gegenbeispiele zur Aussage.
Aufgabe 20.
Skizzieren Sie zu Blatt 1, Aufgabe 5, a) einen -Schlauch sowie eine -Umgebung um den
Grenzwert 1. Tragen Sie die Folgenglieder an für n = 1, 2, 3, 4 ein. In welchem Intervall liegen
die weiteren Folgenglieder? (Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass an = 1 − αn für αn > 0 gilt.)
Aufgabe 21.
a) Sie wollen in 10 Jahren eine Weltreise machen, die 10000 e kostet. Ihre Bank bietet Ihnen
einen Sparvertrag an, der in den ersten 5 Jahren 3 % Verzinsung und in den folgenden 5
Jahren 5 % Verzinsung bringt. Wieviel Geld müssen Sie anlegen, damit Sie sich Ihren Traum
von der Weltreise erfüllen können?
b) Eine andere Bank bietet Ihnen durchgehend 4 % Verzinsung an für die 10 Jahre. Welche
Bank hat das für Sie bessere Angebot?
Aufgabe 22.
Bei der Tschernobyl-Katastrophe ist radioaktives Cäsium 137 in die Atmosphäre gelangt.
Wann war dieser Unfall? Was ist die Halbwertszeit von Cäsium 137? Wie lange wird es noch
dauern, bis von dem freigesetzten Cäsium 137 nur noch 1 % übrigbleibt?
Dieses Übungsblatt dürfte Ihnen leichter fallen als das vorherige.
Treffen Sie Ihre eigene Auswahl zur Nachbereitung des Vorlesungsstoffes.
Bis Mittwoch (17.12.08) Mittag werden vermutlich noch Materialien für die
Vorlesung online gestellt.