E 5a Elektrische Felder

Physikalisches Anfängerpraktikum, Fakultät für Physik und Geowissenschaften, Universität Leipzig
E 5a
Elektrische Felder
Aufgaben
1 Es soll der Verlauf der Potentiallinien zwischen zwei ebenen Elektroden
(Plattenkondensatormodell) gemessen werden. Die Äquipotential- und die Feldlinien sind graphisch
darzustellen und ihr Verlauf ist zu diskutieren.
2 Die Spannungsverteilung zwischen zwei konzentrischen Elektroden (Modell des
Zylinderkondensators) ist zu messen. Der radiale Verlauf des elektrischen Potentials soll mit der
Theorie verglichen und die radiale Feldverteilung diskutiert werden.
3 Ermitteln Sie den Verlauf der Äquipotentiallinien zwischen einer keilförmigen und einer ebenen
Elektrode (Modell des Blitzableiters)! Die Diskussion des Feldlinienverlaufes soll anhand einer
graphischen Darstellung erfolgen.
Zusatzaufgabe: Messen und diskutieren Sie die Abhängigkeit der Spannung längs der geraden
Verbindungslinie zwischen zwei scheibenförmigen Elektroden!
Literatur
Physikalisches Praktikum, 12. Auflage, Hrsg. D. Geschke, Elektrizitätslehre, 2.0.1, 2.1
Gerthsen Physik, H. Vogel, 20. Auflage, 6.1.1 - 6.1.5
Bergmann-Schaefer, Lb. der Experimentalphysik, Elektrizität und Magnetismus, Bd. 2
Zubehör
Spannungsquelle, Digitalmultimeter, Elektrodenmodelle
Schwerpunkte zur Vorbereitung
- Definition der elektrischen Feldstärke, elektrische Fluss- und Verschiebungsdichte,
Satz von Gauß
- Potentialbegriff der Elektrostatik, Zusammenhang zwischen Potential und elektrischer
Spannung sowie zwischen elektrischem Feld und Potential
- Bilddarstellung von Äquipotentialflächen und Feldlinien
- Influenz von Ladungen, Spiegelung von Ladungen
- Einfluss von Dielektrika auf den Feldlinienverlauf
- Elektronenlinsen
Hinweise zu den Grundlagen
Unterschiedliche Vektorfelder, wie elektrostatische Felder, Stromfelder in homogenen Leitern aber
auch Strömungsfelder in inkompressiblen Flüssigkeiten, sind einander ähnlich, sofern sie wirbelund quellenfrei sind. Dadurch lassen sie sich durch dieselben Differentialgleichungen beschreiben.
Bei elektrostatischen Feldern (keine Ladungen im Feld, keine Wirbel) gelten für die Feldstärke E
G G
die Operatorgleichungen div E = 0 und rot E =0 ( ∫ E ds = 0 ). Daraus folgt E= - grad ϕ (ϕ skalares
S
Potential) und ∇ ϕ = 0 (Laplacesche Differentialgleichung).
Völlig analoge Gleichungen lassen sich für die elektrische Stromdichte in homogenen Leitern mit
der konstanten nicht vom Ort abhängigen Leitfähigkeit σ beim Fehlen von Wirbeln, d. h. von
veränderlichen Magnetfeldern, aufstellen: j= σE , div j = 0, rot j = 0.
Oft existieren praktische Fälle, in denen es keine geschlossenen mathematischen (numerische)
Lösungen gibt. Dann helfen oft nur Modellversuche weiter, in denen man z. B. die
Potentialverteilung (Stromdichteverteilung) ebener Elektrodenkonfigurationen ermittelt, wobei die
2
entsprechenden dreidimensionalen Felder dann geeignete Symmetrien besitzen müssen. In der
Praxis verwendet man häufig leitendes Spezialpapier (imprägniert mit Graphit und
Aluminiumstaub) als flächenhaften Leiter, auf das die Elektroden aufgeschraubt oder mit einer
Silberlösung aufgezeichnet sind.
In diesem Versuch sollen die Potentialverteilungen (Feldverteilungen ) für verschiedene
Elektrodenanordnungen ausgemessen werden. Die Elektroden werden an eine konstante
vorgegebene Spannung angeschlossen. Zur Ermittlung des Potentialverlaufes wird mit einer
Messsonde die Oberfläche des Kontaktpapiers abgetastet und die Spannungsdifferenz zwischen
einer der beiden Elektroden und einem Punkt zwischen ihnen mit einem hochohmigen Voltmeter
(Innenwiderstand Ri>10 MΩ) gemessen. Der Spannungswert entspricht dem Potential am
Messpunkt in Bezug auf die mit dem Messgerät verbundene Elektrode. Dadurch erhält man die
Äquipotentiallinien, die eigentlich die Flächen gleichen Potentials repräsentieren. Die elektrischen
Feldlinien sind dann die zu diesen Flächen orthogonalen Kurvenscharen. In den verschiedenen
Versuchsanordnungen sind die Elektroden als Äquipotentialflächen zu betrachten, die an allen
Stellen gleiches Potential besitzen. Diese Bedingung wird praktisch dadurch erfüllt, dass die
elektrische Leitfähigkeit zwischen den Elektroden vernachlässigbar gegenüber der Leitfähigkeit
der Elektrodenmodelle ist. Zur Vermeidung von Beschädigungen des Kontaktpapiers ist dieses
nicht mit den Fingern zu berühren und beim Abtasten nicht zu zerkratzen!
Bei Aufgabe 1 ist der Verlauf der Äquipotentiallinien zwischen zwei ebenen Elektroden mit dem
Abstand d zu ermitteln und das elektrische Feld in Bezug auf seine Homogenität zu überprüfen.
Dazu werden längs der mittleren Verbindungsachse der Elektroden (x-Koordinate) an acht
verschiedenen Punkten die Spannungen U(x) gemessen. Die Potentialverteilung kann durch eine
lineare Gleichung in der allgemeinen Form
U ( x) = ∆ϕ ( x) = a + b x
(1)
beschrieben werden. Es ist zu prüfen, ob die Parameter a und b der Ausgleichsgeraden mit den
experimentellen Bedingungen konsistent sind. Anschließend sind für eine Seite oberhalb oder
unterhalb der Verbindungsachse zwei charakteristische Potentiallinien zu messen, um den
inhomogenen Potentialverlauf außerhalb der Elektroden zu erkennen. Der Verlauf der
Äquipotentiallinien ist graphisch darzustellen und der erwartete Feldlinienverlauf soll schematisch
eingezeichnet werden.
Bei Aufgabe 2 ist die Spannungsverteilung
(Potentialverteilung) im Modell eines
Zylinderkondensators in Bezug auf die Innenelektrode zu messen. Das Modell besteht aus zwei
konzentrischen Elektroden, innere Kreisscheibe mit dem Radius ri und äußerer Kreisring mit dem
Innenradius ra . An den Elektroden liegt die Spannung U0 an. Es ist zu erwarten, dass die
Äquipotentiallinien Kreise um das Zentrum der Elektrodenanordnung sind, da die Elektroden als
Zylinderoberflächen Äquipotentialflächen entsprechen. Mit Hilfe der Potentialtheorie erhält man
U (r ) =
⎛r
ln⎜⎜
ri
⎛r ⎞
ln⎜⎜ a ⎟⎟ ⎝
⎝ ri ⎠
U0
⎞
⎟⎟
⎠
.
(2)
Leiten Sie Gl.(2) unter Verwendung des Satzes von Gauß her. Die radiale Verteilung der
elektrischen Feldstärke E(r) im Zylinderkondensator erhält man aus der Ableitung dU(r)/dr.
Diskutieren Sie die Abhängigkeit E(r). Wegen der Rotationssymmetrie der Anordnung genügt es,
2
die Messungen längs eines beliebigen Radius zu realisieren. Zur Erhöhung der Genauigkeit sollen
die Messungen von U(r) längs vier verschiedener, um etwa 90 ° versetzter Radien vom Mittelpunkt
nach außen erfolgen. Die gemittelten Spannungswerte sind graphisch in einem einfachlogarithmischen Koordinatensystem mit der Ordinate U(r) und der Abszisse lnr und darzustellen.
Mit der gemessenen Spannung U0 und den ermittelten Radien ri und ra ist der theoretische Verlauf
nach Gl.(2) zu berechnen und in das Diagramm einzuzeichnen.
Abb. 1 (schematisch)
Zur Messung der Äquipotentiallinien am
Elektrodenmodell eines Zylinderkondensators
Bei Aufgabe 3 ist der Verlauf der Äquipotentiallinien am zweidimensionalen Modell einer positiv
geladenen spitzenförmigen Elektrode gegenüber einer negativ geladenen ebenen Elektrode zu
ermitteln. Für geeignete Spannungswerte sind die Punkte gleichen Potentials in ausreichend
kleinen Abständen zu messen, um den charakteristischen Potentialbzw. Feldlinienverlauf
nahe der Spitze zu erfassen. Längs der
Symmetrieachse s zwischen der Elektrodenspitze und der ebenen
Elektrode sind weitere Werte U(s) zu messen (Abb. 2).
Abb. 2 Elektrodenmodell 'Blitzableiter'
Es sind die Äquipotentiallinien sowie die Feldlinien graphisch darzustellen. Mit der Darstellung
U(s) als Funktion von s soll die Änderung der elektrischen Feldstärke diskutiert werden. Dazu ist
über den Anstieg der Tangente dU(s)/ds der Betrag der elektrischen Feldstärke nahe der ebenen
und der spitzenförmigen Elektrode zu bestimmen.
Bei der Zusatzaufgabe ist die Spannungsverteilung U(x) längs der geraden Verbindungslinie
(Koordinate x) zwischen zwei entgegengesetzt geladenen, scheibenförmigen Elektroden (Radius r)
zu messen (Abb. 3). Es ist zu überprüfen, ob die gemessene Spannungsverteilung U(x) derjenigen
zweier geladener Kugeln
⎤
1 ⎡⎛1
1 ⎞ r(d − r )
U ( x) = U0 ⎢ ⎜ −
+ 1⎥
⎟
2 ⎣ ⎝ x d − x ⎠ 2r − d
⎦
oder der Potentialverteilung scheibenförmiger Elektroden
3
(3)
⎡ ⎛d − x⎞
⎤
ln⎜
⎟
⎢
⎥
1
x ⎠
U ( x) = U 0 ⎢ ⎝
+ 1⎥
2
⎢ ⎛ r ⎞
⎥
⎢ ln⎜ d − r ⎟
⎥
⎠
⎣ ⎝
⎦
(4)
genügt. Dazu stellen Sie die Messwerte U(x) graphisch dar und berechnen für ausgewählte x-Werte
die U(x)-Werte nach Gl.(3) und Gl.(4), die ebenfalls das Diagramm eingezeichnet werden.
Versuchen Sie, die Gleichungen (3) und (4) durch die Überlagerung der jeweiligen elektrischen
Felder der beiden Elektroden (Punktladung bzw. Flächenladung) und nachfolgender Integration
herzuleiten.
Abb. 3 Zur Messung von zwei scheibenförmigen Elektroden
Abb. 4
3D-Darstellung einer Potentialverteilung
4
Abb. 5
Feldlinienbilder für verschiedene Elektrodenanordnungen
JAVA-Applet
Elektrisches Feld von Punktladungen, http://www.pk-applets.de/phy/efeld/efeld.html
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