Prüfungsvorbereitung Analysis Teil 1

Prüfungsvorbereitung
Mathematik - Analysis
Datum:
Februar 2016
Analysis (Erwartete Kompetenzen)
• Gewinnfunktion aufstellen mit K(x) und E(x)
• Gewinnzone ermitteln (Horner-Schema + pq-Formel/quad.Erg.)
• Gewinnmaximum ermitteln (Hochpunkt von G(x))
• Betriebsminimum und KPU ermitteln (TP von kV(x) ) – ökonomische Interpretation
• Analyse der Kostenfunktion (WP als Übergang von degressivem zu progressiven
Kostenwachstum)
• Interpretation einer Wertetabelle zur ertragsgesetzlichen Kostenfunktion
Übungen
1)
Buch Seite 353 – nachrechnen
2)
Buch Seite 264, Nr. 1
3)
Buch Seite 264, Nr. 2
4)
Buch Seite 264, Nr. 5a
5)
Buch Seite 274, Nr. 3a
6)
Buch Seite 278, Nr. 1
Aufgabe A
Ein Unternehmen stellt Getriebeöl für Hydrauliksysteme her. Es gibt mehrere Anbieter, die
das gleiche Produkt anbieten. Am Markt kann ein Verkaufspreis von 9,25 GE pro ME erzielt
werden. Die fixen Kosten der Produktion betragen 12,5 GE, die variablen Kosten werden mit
K v ( x) = 0,25 x 3 − 2 x 2 + 6 x angegeben.
Die Produktion soll optimiert werden, um für eine bevorstehende Aktionärsversammlung
einen möglichst großen Gewinn vorweisen. Erstellen Sie eine Kosten-, Erlös-, Gewinnanalyse
unter Berücksichtigung der folgenden Punkte:
a)
Aufstellen der Kosten, Erlös- und der Gewinnfunktion
b)
Berechnen der Gewinnzone
c)
Berechnen der gewinnmaximalen Absatzmenge sowie des maximalen Gewinns
d)
Erstellen einer Skizze mit den Graphen der Gewinn-, Erlös- und Kostenfunktion
(x-Achse 0 ≤ x ≤ 10, y-Achse: -20 ≤ y ≤ 120)
e)
Erläutern Sie anhand Ihrer Ergebnisse und der Skizze, bei welchen Bedingungen der
Betrieb optimiert abläuft. Bei welchen Herstellungsmengen kann der Betrieb noch als
akzeptabel organisiert angesehen werden? Welche Herstellungsmengen sollten
möglichst vermieden werden?
f)
Erläutern Sie die ökonomische Bedeutung der Schnittpunkte mit der y-Achse von der
Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion!
Viel Erfolg!
Prüfungsvorbereitung
Datum:
Februar 2016
Mathematik - Analysis
Aufgabe B (Prüfung 2015)
Die Firma Brake-Line stellt Bremsbeläge für Autos her. Am Markt befinden sich diverse
Hersteller dieser Beläge, so dass das Unternehmen in vollständiger Konkurrenz steht. Der
Vertrieb erfolgt ausschließlich im Internet.
Die Geschäftsleitung von Brake-Line geht von der Kostenfunktion K(x) = x³ - 10x² + 36x +22
aus. Eine Mengeneinheit (1ME) seien 1000 Beläge. Die Kapazitätsgrenze der Produktion liegt
bei 10 ME. Die Kosten werden in Geldeinheiten zu 1000 € (1GE) angegeben.
a)
b)
c)
d)
e)
Die Bremsbeläge werden im Internet zu einem Preis von 25€ gehandelt. Geben Sie
die Erlösfunktion an!
Zeigen Sie, dass die Gewinnfunktion G(x) = -x³ + 10x² - 11x - 22 lautet!
Bestimmen Sie die Gewinnschwelle und -grenze!
Bestimmen Sie die gewinnmaximale Absatzmenge und das Gewinnmaximum!
Es drängt ein neuer Konkurrent auf den Markt, die die Ware zu einem günstigeren
Preis von 15 € anbieten kann. Um in diesen Preiskampf einzusteigen, soll zunächst die
Kostensituation untersucht werden, ohne an der Produktion technisch etwas zu
ändern. Die fixen Kosten können zeitweise durch andere Produkte abgedeckt
werden.
Zu welchem Preis könnten die Bremsbeläge angeboten werden, wenn man die fixen
Kosten außer Betracht lässt, aber alle variablen Kosten gedeckt sein sollen? Welche
Menge müsste man dazu herstellen? (Betriebsminimum)
Aufgabe C
x
K(x)
K'(x)
K''(x)
KV(x)
kV(x)
k(x)
0,00
32,00
15,00
-12,00
0,00
#DIV/0!
#DIV/0!
a)
b)
1,00
42,00
6,00
-6,00
10,00
10,00
42,00
2,00
46,00
3,00
0,00
14,00
7,00
23,00
3,00
50,00
6,00
6,00
18,00
6,00
16,67
4,00
60,00
15,00
12,00
28,00
7,00
15,00
5,00
82,00
30,00
18,00
50,00
10,00
16,40
6,00
122,00
51,00
24,00
90,00
15,00
20,33
7,00
186,00
78,00
30,00
154,00
22,00
26,57
8,00
280,00
111,00
36,00
248,00
31,00
35,00
9,00
410,00
150,00
42,00
378,00
42,00
45,56
Ermitteln Sie mit Hilfe der Wertetabelle einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion das
Betriebsminimum, die kurzfristige Preisuntergrenze, die Fixkosten und den
Wendepunkt sowie die Produktionsmengenbereiche mit degressivem und
progressiven Wachstum.
Begründen Sie, warum man in dieser Tabelle auch ohne Informationen über kV‘(x) das
Betriebsminimum ermitteln kann
Viel Erfolg!
10,00
582,00
195,00
48,00
550,00
55,00
58,20
Prüfungsvorbereitung
Mathematik - Analysis
Datum:
Februar 2016
Aufgabe C (Prüfung 2016)
Die Cubus GmbH ist ein mittelständischer Fahrradproduzent mit Sitz in Dortmund. Das
Unternehmen stellt hochwertige Mountainbikes aus Aluminium in Werkstättenfertigung her.
Zur kommenden Saison wurde das neue, extrem leichte, voll gefedertes Model „Nerve“
entwickelt, dass nun in den Produktion gehen soll. Aus den vom Controlling gelieferten
Daten konnte die Kostenfunktion K(x) = 1,8x³ - 101,6x² + 2300x + 16320 für die Herstellung
der Mountainbikes entwickelt
werden. Dabei ist x die Anzahl der produzierten
Mountainbikes und K(x) stellt die entstehenden monatlichen Kosten in EUR dar. Die
monatliche Kapazität liegt bei 60 Rädern. Die Räder sollen zu einem Preis von 2700 EUR
verkauft werden
Der Geschäftsführer Herr Jaksche erwartet, dass er monatlich mindestens 20 Räder verkauft.
Wenn es optimal läuft, soll mit dem neuen Modell ein monatlicher Gewinn von über 40.000
EUR erwirtschaftet werden. Als neuer Mitarbeiter werden Sie damit beauftragt, eine
Gewinn- und Kostenanalyse vorzunehmen.
a)
Ermitteln Sie dazu zunächst die Erlös- und die Gewinnfunktion für das Modell
„Nerve“.
Rechnen Sie ab jetzt mit der folgenden Gewinnfunktion weiter:
G ( x) = −1,8 x ³ + 101,6 x ² + 400 x − 16320
Hinweis: G(x) besitzt im Intervall [10; 15] eine ganzzahlige Nullstelle.
b)
c)
d)
e)
f)
Berechnen Sie die Gewinnzone.
Bestimmen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge und den maximalen
Gewinn.
Entscheiden Sie begründet, ob Herr Jaksche mit seiner anvisierten
Mindestabsatzmenge Gewinn macht und ob der von ihm erhoffte maximale Gewinn
realistisch ist.
Um auf Preisreduzierungen bei der Konkurrenz reagieren zu können, möchte Herr
Jaksche beim Preis flexibel bleiben. Bestimmen Sie das Betriebsminimum und die
kurzfristige Preisuntergrenze und erklären Sie deren ökonomische Bedeutung.
Die Kostenentwicklung bei der Herstellung des Modells „Strive“ verläuft nicht linear.
Herr Jaksche möchte wissen, ab wann die Kosten progressiv steigen. Bestimmen Sie,
ab welcher Produktionsmenge von einer progressiven Kostenentwicklung
auszugehen ist.
Viel Erfolg!