Q11 * Mathematik * Ableitungsregeln

Q11 * Mathematik * Ableitungsregeln
Produktregel
( u(x)  v(x) )´  u´(x)  v(x)  u(x)  v´(x)
Quotientenregel
(
Kettenregel
( f ( g(x) ) )´  f ´(g(x))  g´(x)
z(x)
n(x)  z´(x)  z(x)  n´(x)
)´ 
n(x)
n(x) 2
Beispiele:
( (x 2  1)  (2  x ) )´  2x  (2  x )  (x 2  1) 
(
1
2 x
3x
3  (x 2  1)  2x  3x 3x 2  3  6x 2
3  3x 2
)´



x2  1
(x 2  1) 2
(x 2  1) 2
(x 2  1) 2
( (x 2  3x  1)3 )´  3  (x 2  3x  1)2  (2x  3)
Aufgaben
Berechnen Sie jeweils die Ableitung f ´(x) !
Bestimmen Sie anschließend alle Stellen der Funktion mit f ´(x) = 0.
1. f (x)  ( 2x 3  6)2
3. f (x) 
5. f (x) 
2x  1
x2  1
4. f (x) 
0,5x 2  2
7. f (x) 
2  3x
4  5x 2
9. f (x) 
3x  6
x
; x R 
x2
1 x2
15. f (x)  (x  1)  x 2  1
17. f (x) 
19. f (x) 
x2  4
x2  1
5x
; x  R \{1 ; 1}
2
x 1
x2  1
x2  1
6. f (x)  2  x  1  (x 2  1) ; x [ 1 ;  [
8. f (x) 
11. f (x)  3x 4  4x 3  12
13. f (x) 
2. f (x)  (3x 2  12)  (x 3  x)
10. f (x) 
12. f (x) 
14. f (x) 
2x  5x 2
; x  R \{2}
2x  4
5x  x 2
x2  1
0,5x 4  x 2
4  x2
; x  ] 1 ;  [
x 1
16. f (x) 
0,5x 4  4x 2  1
18. f (x) 
x 1
; x ] 1 ;  [
x1
20. f (x) 
x2  1
; R \{0}
5x
Q11 * Mathematik * Ableitungsregeln * Lösungen
1. f (x)  ( 2x 3  6)2  f´(x)  12x 2  (2x 3  6) ; f´(x)  0  x1/2  0 ; x 3 
3
2. f (x)  (3x 2  12)  (x3  x)  f´(x) 15x 4  27x 2 12 ;
f´(x)  0  x1/2  
3. f (x) 
2x  1
2x 2  2x  2

f´(x)

;
x2  1
(x 2  1) 2
f´(x)  0  x1 
4. f (x) 
5. f (x) 
9  161
  1, 47
10
1 5
1 5
 1, 62 ; x 2 
  0, 62
2
2
x2  1
4x
 f´(x)  2
2
x 1
(x  1) 2
0,5x 2  2  f´(x) 
; f´(x)  0  x1  0
x
2  0,5x 2  2
; f´(x)  0  x1  0
6. f (x)  2  x  1  (x 2  1) ; x [  1 ;  [  f´(x) 
5x 2  4x  1
;
x 1
f´(x)  0  x1  0, 2; ( x 2   1 ; lim
f´(x)  0)

x  1
7. f (x) 
2  3x
12  20x  15x 2

f´(x)

;
4  5x 2
( 4  5x 2 ) 2
f´(x)  0  x1 
8. f (x) 
2x  5x 2
5x 2  20x  4
; x  R \{2}  f´(x) 
;
2x  4
2  (x  2) 2
f´(x)  0  x1 
9. f (x) 
10. f (x) 
10  2 70
10  2 70
 0, 45 ; x 2 
 1, 79
15
15
3x  6
x
10  4 5
10  4 5
 3, 79 ; x 2 
 0, 21
5
5
; x R   f´(x) 
3x  6
; f´(x)  0  x1  2
2x  x
5x  x 2
 5x 2  2x  5

f´(x)

;
x2  1
(x 2  1) 2
f´(x)  0  x1 
1  26
1  26
 0,82 ; x 2 
 1, 22
5
5
11. f (x)  3x 4  4x 3  12  f´(x) 12x 3  12x 2 ; f´(x)  0  x1/2  0 ; x 3  1
3
12. f (x) 
0,5x  x
4
2
x3  x
 f´(x) 

0,5x 4  x 2
x  (x 2  1)
x  0,5x 2  1
f´(x)  0 hat keine Lösung, denn lim
f´(x)   1

x 0

13. f (x) 
14. f (x) 
x2
1 x2
 f´(x) 
x 3  2x
; f´(x)  0  x1  0
(1  x 2 )  1  x 2
4  x2
 3x 2  4x  4
; x  ] 1 ;  [  f´(x) 
; f´(x)  0 hat keine Lösung!
x 1
2(x  1)  x  1
15. f (x)  (x  1)  x 2  1  f´(x) 
2x 2  x 1
x2  1
; f´(x)  0 hat keine Lösung!
x 3  4x
16. f (x) 
0,5x 4  4x 2  1  f´(x) 
17. f (x) 
x2  4
 f´(x) 
x2  1
18. f (x) 
x 1
 x 3
; x ] 1 ;  [  f´(x) 
; f´(x)  0 hat keine Lösung!
x1
2(x  1) 2  x  1
19. f (x) 
20. f (x) 
0,5x 4  4x 2  1
 x 3  7x
x 2  4  (x 2  1)2
; f´(x)  0  x1  0
; f´(x)  0  x1  0
5x
 5(x 2  1)
;
x

R
\{1
;

1}

f´(x)

; f´(x)  0 hat keine Lösung!
x2  1
(x 2  1)2
x2  1
x2  1
; R \{0}  f´(x) 
; f´(x)  0 hat keine Lösung!
5x
5x