Junior Euler Society Rämibühl Aufgabenblatt 9

Junior Euler Society
Rämibühl
Aufgabenblatt 9
Aufgabe 1
An einem Schachturnier haben 5 Spieler teilgenommen. Jeder spielte gegen jeden eine
Partie. Es ist bekannt, dass die Hälfte aller Partien unentschieden waren. Der Spieler, der
den letzten Platz belegt, verlohr alle seine Partien. Welchen Platz belegt der Spieler mit 3
Punkten?
Für einen Sieg gibt es einen Punkt, für ein Unentschieden einen halben Punkt.
Aufgabe 2
Von 11 Kugeln sind 2 radioaktiv verseucht. Für eine beliebige Menge Kugeln kann man in
einem Test bestimmen, ob sich in dieser Menge mindestens eine verseuchte Kugel befindet
(man kann aber nicht feststellen, wie viele verseuchte Kugeln darunter sind). Kann man in
7 Tests beide verseuchten Kugeln finden?
Aufgabe 3
Beweise, dass für jede natürliche Zahl n mindestens eine der Zahlen n3 + n und n3 − n
durch 10 teilbar ist.
Aufgabe 4
Bestimme die grösste 6-stellige Zahl mit der Eigenschaft, dass ab der dritten Ziffer (von
vorne gezählt) jede Ziffer die Summe der zwei vorhergehenden Ziffern ist.
Robert Aehle
Anna Beliakova
Irmgard Bühler
Dima Nikolenkov
Aufgabe 5
Anna, Boris, Claudia und Dieter haben ein Wettrennen durchgeführt. Auf die Frage, wer
welchen Platz belegt hat, haben sie folgende Antworten gegeben:
Anna:
Boris:
Claudia:
Dieter:
Ich
Ich
Ich
Ich
war weder die Erste noch die Letzte.
war nicht der Letzte.
habe gewonnen.
war der Letzte.
Man weiss, dass drei dieser Antworten richtig sind und eine falsch ist. Wer hat gelogen?
Aufgabe 6
a) Welche Reste können bei einer Quadratzahl nach der Division durch 5 entstehen?
b) Kann die Zahl a2 + b2 + c2 durch 5 teilbar sein, wenn keine der Zahlen a, b und c
durch 5 teilbar ist?
Aufgabe 7
Sieben Zwerge sitzen um einen runden Tisch. Jeder Zwerg denkt sich eine Zahl aus und
sagt sie seinen beiden Nachbarn. Dann zählt jeder Zwerg die eigene Zahl und die Zahlen
der beiden Nachbarn zusammen und verkündet diese Summe. Im Uhrzeigersinn werden
folgende Summen genannt: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21.
a) Wie gross ist die Summe aller ausgedachten Zahlen?
b) Welche Zahlen haben sich die Zwerge ausgedacht?
Aufgabe 8∗
Du hast 13 Münzen und weisst, dass eine davon gefälscht ist. Alle echten Münzen sind gleich
schwer. Die gefälschte Münze ist entweder leichter oder schwerer als die anderen Münzen.
Zur Verfügung steht dir eine Waage mit zwei Waagschalen (sie vergleicht das Gewicht der
Münzen in beiden Waagschalen). Finde mit 3 Mal wägen heraus, welche Münze gefälscht
ist.
Robert Aehle
Anna Beliakova
Irmgard Bühler
Dima Nikolenkov