(Klassen 7 und 8) Aufgabe 1 - Beuth Hochschule für Technik Berlin

16. Berliner Tag der Mathematik
Wettbewerbsstufe I (Klassen 7 und 8)
Aufgabe 1: (4+2+4 Punkte)
a) Zeigt, dass unter zwei teilerfremden ganzen Zahlen zwischen 2 und 8 stets eine
Primzahl dabei ist. (Zwei Zahlen heißen teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer
Teiler gleich 1 ist.)
b) Gebt zwei Zahlen größer oder gleich 2 und kleiner oder gleich 9 an, die keine
Primzahlen und teilerfremd sind.
c) Beweist, dass unter 16 paarweise teilerfremden ganzen Zahlen zwischen 2 und
2011 stets mindestens eine Primzahl dabei ist.
Lösung:
a) Angenommen, 2 ≤ a, b ≤ 8 seien keine Primzahlen und teilerfremd. Offenbar
können a und b weder 2, 3, 5 noch 7 sein. Also können a und b nur eine der Zahlen
4, 6 und 8 sein, die aber alle 2 als gemeinsamen Teiler haben, Widerspruch.
b) 4 und 9.
c) Die Aussage gilt schon für 15 Zahlen. Angenommen, alle 15 Zahlen n1 , n2 , . . . , n15
sind keine Primzahlen. Sei pi der kleinste Primteiler von ni und p = pj die größte
Primzahl unter den pi . Da die ni paarweise teilerfremd sind, so sind die pi verschieden. Damit ist p mindestens so groß wie die fünfzehnte Primzahl, 47. Damit
nj ≥ p2j ≥ 472 = 2209 > 2011, Widerspruch.
Aufgabe 2: (2+3+5 Punkte)
a) Gegeben seien 5 Punkte, die ein regelmäßiges Fünfeck bilden. Zwischen je 2
Punkten wird eine Verbindungsstrecke gezogen. Wie viele Strecken sind das?
b) Färbt die Strecken so mit den Farben rot und blau, dass jede Strecke genau eine
Farbe bekommt und keine 3 der 5 Punkte ein Dreieck mit gleichfarbigen Verbindungsstrecken bilden.
c) Ruth hat Geburtstag und lädt zu ihrer Feier mindestens 6 ihrer Freunde ein. Sie
stellt fest, dass egal, welche ihrer Freunde sie einlädt, es stets drei von ihnen gibt, die
sich gegenseitig kennen, oder es drei von ihnen gibt, die sich paarweise noch nicht
kennen. Beweist, dass das kein Zufall ist, das heißt, dass es bei jeder Gruppe von
mindestens 6 Menschen darunter stets eine Gruppe bestehend aus drei Personen gibt,
die sich entweder paarweise nicht kennen oder sich schon alle gegenseitig kennen.
Lösung:
a) Es sind 10 Strecken.
b) Die 5 Punkte seien mit 1, 2, 3, 4 und 5 nummeriert. Die Strecken (1, 2), (1, 3),
(2, 5), (3, 4) und (4, 5) seien rot, die Strecken (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4) und (3, 5)
blau. Nach Konstruktion enthält dies nun kein gleichfarbiges Dreieck.
c) Wir betrachten die Menschen als Punkte und zeichnen eine rote Verbindungsstrecke zwischen ihnen ein, wenn sie sich kennen, und eine blaue, wenn sie sich nicht
kennen. Zu zeigen ist, dass man stets ein gleichfarbiges Dreieck finden kann.
Wir fixieren einen Punkt und geben ihm die Nummer 1. Mindestens 5 Strecken gehen
zu den weiteren Punkten, also mindestens 3 von gleicher Farbe, ohne Einschränkung
seien diese rot. Die Endpunkte dreier roter von 1 ausgehender Strecken bezeichnen
wir mit 2, 3 und 4. Ist eine der Strecken (2, 3), (2, 4) oder (3, 4) rot, so haben wir ein
rotes Dreieck mit 1 gefunden, sind sie alle blau, so bilden 2, 3 und 4 ein gleichfarbiges
Dreieck.
Aufgabe 3: (8+2 Punkte)
André lauscht an der Tür seiner Schwester Beatrix, dessen Freundin Claudia sie
gerade besucht. Das ist ja witzig: In meinem Portemonnaie sind 1-, 2- und 5”
Cent-Münzen aus allen drei Beneluxländern mit drei verschiedenen Prägedaten“,
freut sich Beatrix. Aber du hast doch nur fünf Münzen in deinem Geldbeutel“,
”
erwidert Claudia. Na ja, einige Eigenschaften kommen halt mehrfach vor. Schau
”
mal, keine 5-Cent-Münze wurde 2003 geprägt und keine Münze aus Belgien wurde
2009 geprägt und ist gleichzeitig 5 Cent wert. Es gibt mehr Münzen aus Belgien als
2-Cent-Münzen und genauso viele 1-Cent-Münzen wie in 2005 geprägte Münzen“,
erklärt Beatrix begeistert. Ist es nicht so, dass kein Land dreimal vertreten ist?“,
”
fragt Claudia. Richtig. Dafür gibt es mehr in 2003 geprägte Münzen als Münzen aus
”
Luxemburg“, erwidert Beatrix. Und alle 2003er-Münzen haben denselben Wert!“,
”
freut sich Claudia. Ja, und die 1-Cent-Münzen kommen aus zwei verschiedenen
”
Ländern, die 5-Cent-Münzen kommen dagegen alle aus demselben Land, sind aber
nicht alle im gleichen Jahr geprägt worden“, fügt Beatrix hinzu. André weiß jetzt,
welche Münzen seine Schwester in ihrem Portemonnaie hat. Ihr auch?
a) Gebt den Inhalt von Beatrix’ Portemonnaie an und zeigt, dass eure Lösung richtig
ist.
b) Begründet, dass es keine weitere Lösung geben kann. Dies kann zum Beispiel
durch ein systematisches Vorgehen in a) sichergestellt werden.
Lösung:
Es gibt mindestens zwei 1-Cent-Münzen (da sie aus zwei verschiedenen Ländern
kommen) und mindestens zwei 5-Cent-Münzen (da sie in verschiedenen Jahren geprägt wurden). Also gibt es genau zwei 1-, eine 2- und zwei 5-Cent-Münzen.
Damit gibt es genau zwei in 2005 geprägte Münzen (genauso viele wie 1-Cent-
Münzen). Da mindestens zwei 2003 geprägt wurden (mehr Münzen als welche die aus
Luxemburg stammen), sind es damit genau zwei und nur eine wurde 2009 geprägt.
Da kein Land dreimal vertreten ist, so stammen aus zwei Ländern je zwei Münzen
und aus einem genau eine. Damit stammt eine aus Luxemburg (weniger als in 2003
geprägte Münzen) und je zwei aus Belgien und den Niederlanden.
Die 5-Cent-Münzen wurden in verschiedenen Jahren geprägt, aber nicht in 2003.
Also wurden sie in den Jahren 2005 und 2009 geprägt. Nun kann keine in 2009
geprägte 5-Cent-Münze aus Belgien kommen. Da aber beide Münzen aus demselben
Land stammen, sind zwei niederländische 5-Cent-Münzen aus den Jahren 2005 und
2009 in Beatrix’ Geldbeutel.
Da alle zwei 2003er-Münzen denselben Wert haben, muss es sich um 1-Cent-Münzen
handeln. Diese kommen aus zwei verschiedenen Ländern. Also hat Beatrix auch je
eine in 2003 geprägte 1-Cent-Münze aus Belgien und Luxemburg.
Es verbleibt noch eine in 2005 geprägte 2-Cent-Münze aus Belgien. Damit ist der
Inhalt von Beatrix’ Portemonnaie eindeutig und widerspruchsfrei bestimmt.
Aufgabe 4: (5+3+2 Punkte)
a) Konstruiert ein Dreieck 4ABC mit Umkreis r = 4cm und Seitenlängen b = 4cm
und c = 7cm (c ist die Länge der Strecke AB und b die Länge der Strecke AC) nur
mit Zirkel und Lineal. Gebt eine Beschreibung für eure Konstruktion an.
b) Bestimmt alle nicht zueinander kongruenten Dreiecke mit Umkreis r = 4cm und
Seitenlängen b = 4cm und c = 7cm. Beweist, dass alle gefundenen Dreiecke (die
eventuell schon mit bloßem Auge als nicht kongruent zueinander erkannt werden
können) tatsächlich nicht deckungsgleich sind. Messen ist kein Beweis! Formuliert
euren Beweis so, dass er sogar ohne Anfertigung einer Skizze verständlich ist.
c) Begründet, dass es keine weiteren, nicht zu den schon gefundenen kongruente
Dreiecke mit diesen Eigenschaften gibt.
Lösung:
Sei M der Mittelpunkt eines Kreises mit Radius r. Dies wird der Umkreis von
4ABC. Wir wählen einen beliebigen Punkt A auf diesem Kreis. Da der Durchmesser des Umkreises 8cm beträgt, so schneidet der Kreis mit Mittelpunkt A und
Radius c den Umkreis in genau zwei Punkten, welche offensichtlich spiegelsymmetrisch bezüglich der Achse AM liegen. Ohne Einschränkung (Spiegelung ist eine
Kongruenztransformation) können wir einen dieser Punkte fixieren, dies sei dann
B. Der Kreis mit Mittelpunkt A und Radius b schneidet den Umkreis ebenso in zwei
bezüglich AM symmetrisch liegenden Punkten C1 und C2 . Damit haben wir bis auf
Kongruenz alle gesuchten Dreiecke mit Zirkel und Lineal angegeben und konstruiert.
Es verbleibt zu zeigen, dass 4ABC1 und 4ABC2 nicht kongruent zueinander sind.
Angenommen, es gäbe eine Kongruenztransformation zwischen diesen Dreiecken.
Lässt diese Kongruenztransformation A und B fix, so bildet sie C1 auf C2 ab. Dies
kann nur die Spiegelung an AB sein. Diese lässt aber nicht den Mittelpunkt M des
Umkreises fest, also kann es keine Kongruenztransformation sein.
Wegen |AC1 | = |AC2 | =4cm und |AB| = 7cm würde die Kongruenztransformation
B fix lassen, wenn sie A fix lässt. Nach oben ist das aber nicht möglich. Also wird
A nicht fix gelassen, woraus |BCi | = 4cm oder |BCi | = 7cm folgt, für jeweils beide
i = 1, 2.
Im ersten Fall wären 4ABC1 , 4ABC2 und 4ABM zueinander kongruent und
gleichschenklig (aber nicht gleichseitig) mit Basis AB, sodass sie sich nur durch
Spiegelung an AB unterscheiden könnten. M, C1 , C2 sind aber paarweise verschieden,
Widerspruch.
Im zweiten Fall würde der Kreis mit Mittelpunkt B und Radius 7cm den Umkreis
in den drei paarweise verschiedenen Punkten A, C1 , C2 schneiden, Widerspruch.
Also sind 4ABC1 und 4ABC2 nicht kongruent zueinander.