Ubungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die Stochastik für das

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
WS 2009/2010
Fakultät für Mathematik
apl. Prof. Dr. W. Kahle
Dr. Brigitte Leneke
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Einführung in die Stochastik
für das Lehramt an Berufsbildenden Schulen
Serie 12*
50. Zur Montage eines Gerätes benötigt eine Firma ein Verbindungsstück V, das
nicht im eigenen Betrieb hergestellt wird. Der Hersteller V behauptet, dass
der Ausschussanteil p höchstens 10 % beträgt.
a) Der Hersteller von V bietet an, dass man eine Lieferung zurückweisen
darf, wenn in einer Stichprobe von 100 Bauteilen mehr als k defekt sind.
Für welchen Wert von k kann man mit mindestens 95 % Sicherheit (d. h.
mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5 %) die Behauptung
des Herstellers zurückweisen?
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, d.
h. die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abzulehnen, wenn der wahre
Wert p = 0.15 ist.
c) Durch häufiges Zurückweisen von Sendungen ist der Verdacht aufgekommen, dass der Ausschussanteil von V auf 20 % angestiegen sein könnte.
Welche Stichprobenlänge n muss ein Test haben und welcher kritische
Bereich ist zu wählen, wenn die Hypothese H0 : p ≤ 0.1 mit einer Sicherheit von mindestens 95 % bei ihrem Zutreffen nicht verworfen werden
soll, aber auch die Alternative H1 : p = 0.2 höchstens mit 5 % Wahrscheinlichkeit irrtümlich abgelehnt werden soll?
(Hinweis: Benutzen Sie den Grenzwertsatz von Moivre-Laplace.)
51. Eine Firma stellt eine bestimmte Drahtsorte her, deren mittlere Reißfestigkeit zu µ0 = 72.6 N bestimmt wurde. Durch ein neues Herstellungsverfahren
erhofft man, die Reißfestigkeit zu erhöhen. Eine konkrete Stichprobe vom Umfang n = 120 aus der Produktion der neuen Drahtsorte ergab x̄n = 75.8 N und
sn = 7.5 N . Die zugehörige Grundgesamtheit sei normalverteilt. Hat die neue
Drahtsorte eine signifikant größere Reißfestigkeit? Prüfen Sie mit α = 0.01.
52. Ein Spieler vermutet, dass von den 4 Münzen, mit denen er spielt, mindestens
eine gefälscht ist. Um das zu prüfen, wirft er 160 mal seine 4 Münzen und
erhält folgende Verteilung für Zahl“:
”
1
Anzahl Zahl“
”
Beobachtete Anzahl
0 1 2 3 4
15 54 55 30 6
a) Welche Verteilung muss sich für die Zufallsvariable Anzahl Zahl“ bei
”
einem Wurf mit 4 Münzen ergeben, wenn es sich um ideale Münzen handelt?
b) Prüfen Sie mit Hilfe des χ2 –Testes, ob die Münzen des Spielers ideal sind
und interpretieren Sie das Ergebnis. (Signifikanzniveau 5 %)
53. Zum Korrosionsschutz werden Bleche beschichtet. Die Gesamtstärke der beschichteten Bleche sei eine normalverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern µ = 7 mm und s = 0.5 mm. Der Toleranzbereich sei durch das Intervall
[6.0 mm; 8.0 mm] gegeben.
a) Ein beschichtetes Blech ist normgerecht, wenn seine Gesamtstärke im
Toleranzbereich liegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Blech normgerecht?
b) In welchen Grenzen 7 mm − c und 7 mm + c liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 die Gesamtstärke eines beschichteten Bleches?
c) Zur Überwachung des Fertigungsprozesses wird der laufenden Produktion eine konkrete Stichprobe vom Umfang n = 25 entnommen, deren
arithmetisches Mittel x̄25 = 7.35 mm beträgt. Berechnen Sie ein konkretes Konfidenzintervall für den Parameter µ zum Konfidenzniveau 0.9 und
testen Sie die Nullhypothese H0 : µ = 7.0 mm gegen die Alternativhypothese H1 : µ 6= 7.0 mm auf dem 5 %-Niveau.
Im Internet verfügbar unter http://fma2.math.uni-magdeburg.de/∼leneke/einfstoch ws09.htm
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