Grundlagen der Mathemagie

Übungen zur Vorlesung
Grundlagen der Mathemagie
Helmut Glas und Martin Kreuzer
ASG Passau und Universität Passau
Lehrerfortbildung “Bezaubernde Mathematik”
Universität Passau, 16.12.2014
1
Die vier Asse
Der mathemagische Assistent führt den Trick “Die vier Asse” vor.
(1) Um wie viele Karten wurde jeweils weiter gezählt?
(2) Die Karten mit welchen vier Nummern (gezählt von der obersten
Karte des Decks) wurden schlussendlich aufgedeckt?
(3) Wie muss man das Deck präparieren, damit der Trick
funktioniert?
2
Auflösung
(1) Da man um die Quersumme einer Zahl z ∈ {11, 12, . . . , 19}
zurückzählt, hat man jeweils 9 Karten weitergezählt.
(2) Die erste aussortierte Karte ist also die zehnte Karte von oben
im ursprünglichen Deck.
(3) Die weiteren aussortierten Karten sind die Karten Nummer 11,
12, 13 im ursprünglichen Deck. Dieses war entsprechend präpariert.
3
Die magische Zahl 1089
(1) Schreibe eine dreistellige Zahl auf, deren erste und letzte Ziffer
verschieden sind.
(2) Schreibe die Zahl rückwärts hin und subtrahiere die kleinere Zahl
von der größeren. Erhalte die Differenz D.
(3) Schreibe D rückwärts hin und addiere das Ergebnis zu D.
(4) Das Ergebnis ist 1089 !
4
Auflösung
(1) Modelliere die Angabe. Die gedachte Zahl sei 100a + 10b + c mit
a, b, c ∈ {0, . . . , 9}, wobei o.E. a > c gelte.
(2) Berechne die erste Differenz:
(100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = 100(a − c) − (a − c)
(3) Modelliere die Ziffern dieser Differenz: Sei ã = (a − c) − 1 und
100 − (a − c) = 90 + c̃. Dann ist die Differenz gleich 100ã + 90 + c̃.
(4) Berechne das Endergebnis:
(100ã + 90 + c̃) + (100c̃ + 90 + ã) = 101(ã + c̃) + 180
= 101[(a − c − 1) + 10 − (a − c)] + 180 = 101 · 9 + 180 = 1089
5
Die mathemagischen Stäbe
    
7 5 4 7
    
3976
    
    
2415
    
9 5 8 6
    
9 7 4 2
    
2569
    
    
2315
    
8 7 9 8
    
3 9 7 4
    
8937
    
    
1436
    
8 1 9 8
    
9 8 6 8
    
4558
    
    
1276
    
6 6 8 3
(1) Suchen Sie eine Relation in den Spalten, d.h. Zahlen ai , b mit
a1 z1 + a2 z2 + a3 z3 + a4 z4 = b für alle Spalten (z1 , z2 , z3 , z4 ).
(2) Was passiert, wenn man die Spalten (beginnend mit der
Einerziffer) addiert? Folgern Sie die einfache Berechnung, die der
mathemagische Assistent auszuführen hat!
6
Auflösung
(1) Die Spalten (z1 , z2 , z3 , z4 ) erfüllen jeweils z1 + z2 + z4 = 19.
(2) Wenn man die Einerstelle addiert, ergibt sich also z3 − 1 mit
Übertrag 2.
(3) Wenn man dann die Zehnerstelle addiert, ergibt sich
19 + 2 + z3 ≡ z3 − 1 wieder mit Übertrag 2. Dasselbe passiert bei der
Hunderter- und Tausenderstelle.
(4) Der mathematische Assistent nimmt also die dritte Zeile
(a1 , a2 , a3 , a4 ) und schreibt die Ziffernfolge
2, (a1 + 1), (a2 + 1), (a3 + 1), (a4 − 1) hin.
7
Die durchscheinenden Hände
Der Kandidat verteilt die Münzen beliebig in der linken und rechten
Hand.
Die Zahl der rechts gehaltenen Münzen wird mit vier, die der links
gehaltenen mit fünf multipliziert.
Aus der Summe der Ergebnisse kann der mathemagische Assistent
sofort die Anzahlen der Münzen in den Händen berechnen.
8
Auflösung
Sei m die Gesamtzahl der Münzen und s die vom Kandidaten
genannte Summe.
Ist x die Zahl der Münzen in der linken Hand, so gilt
s = 4 · (m − x) + 5x = 4m + x.
Somit kann man x mittels x = s − 4m leicht berechnen.
Dann ist m − x die Zahl der Münzen in der rechten Hand.
9
Noch mehr Quadrate verschwinden
Das folgende Beispiel ist ein berühmter Fall eines verschwindenden
Quadrats:
10
Auflösung
Die beiden grossen “Dreiecke” sind gar keine Dreiecke und auch nicht
gleich gross. Die Steigung der roten Grenzlinie im orangen Bereich ist
0,4 und im blauen Bereich ist sie 0,375.
11
Ein kleinerer und ein größerer Fall des gleichen Tricks.
(1) Welche allgemeine Formel für Fibonacci-Zahlen liegt dem
Verschwinden des weißen Quadrats zugrunde?
(2) Wieso sind die Steigungen der beiden Teilstücke so nahe
beieinander? Wogegen konvergiert diese Steigung?
12
Auflösung
(1) Die Fibonacci-Zahlen sind definiert durch F1 = F2 = 1 und
Fn = Fn−1 + Fn−2 für n ≥ 3. Sie erfüllen die Identität von Cassini:
Fn−1 · Fn+1 − Fn2 = (−1)n
wie man mit z.B. vollständiger Induktion leicht zeigen kann. Die
rechte Seite ist das verschwindende Quadrat.
(2) Die Steigungen sind Fn−1 /Fn sowie Fn /Fn+1 . Die Folge der
Quotienten Fn /Fn−1 konvergiert sehr schnell gegen den goldenen
√
Schnitt τ = (1 + 5)/2. Die Steigungen der Teilstücke sind also
ungefähr gleich 1/τ .
13
Der Stinkefinger
(1) Die Zuschauer halten ihre linke Hand hoch und spreizen die
Finger. Sie stecken einen Ring imaginär auf einen Finger.
(2) Jeder Zuschauer denkt sich eine Zahl zwischen 1 und 20 und lässt
den Ring entsprechend viele Finger weiterwandern. Am Daumen und
kleinen Finger dreht er dabei jeweils um.
(3) Der Ring wandert noch einmal so viele Finger weiter wie die
Nummer des aktuellen Fingers angibt. Dabei gilt: Daumen = 1,
Zeigefinger = 2, Mittelfinger = 3, Ringfinger = 4, kleiner Finger = 5.
(4) Der Ring kann nicht auf dem Daumen und dem kleinen Finger
sein. Diese beiden werden eingeknickt.
(5) Der Ring wandert noch einmal einen Finger weiter. Die beiden
leeren Finger werden eingeknickt. Übrig bleibt der Stinkefinger !
14
Wer siegt beim Pferderennen?
Die Vorhersagekünste des mathemagischen Assistenten werden am
besten durch die folgende vereinfachte Variante des Tricks erläutert.
(1) Ein Kandidat denkt sich eine Zahl zwischen 1 und 63 aus.
(2) Der Mathemagier gibt ihm 6 Karten mit Zahlen.
(3) Der Kandidat gibt dem Mathemagier die Karten zurück, auf
denen seine gedachte Zahl steht.
(4) Der Mathemagier kann ihm die gedachte Zahl sofort nennen.
15
Zahlen mit 1 und der Einer-, Zweier und Viererstelle in der
Darstellung im Binärsystem
16
Zahlen mit 1 and der 8er-, 16er- und 32er-Stelle
Der Mathemagier braucht nur die Zweierpotenzen links oben auf den
zurückgegebenen Karten zu addieren.
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Der Kruskal Count
Beim Kartentrick “Kruskal Count” soll die Wahrscheinlichkeit
bestimmt werden, dass er fehlschlägt.
Annahme: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Rahmen des
Weiterzählens zur nächsten Karte weitergezählt wird, sei ungefähr
geometrisch verteilt zur Wahrscheinlichkeit p.
Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man
n Karten weiterzählt dann gleich P (X = n) = pn−1 (1 − p) ist und
dass E(X) = 1/(1 − p) gilt.
Aufgabe 2: Beweisen Sie, dass die geometrische Verteilung
gedächtnislos ist, d.h. dass P (X = n + k | X ≥ n) = P (X = k) gilt.
18
Aufgabe 3: Sei nun Y die Zufallsvariable, die angibt, wann zwei
Versuchsreihen die gleiche Summe ergeben, d.h. wann sich zwei
Starts des Kruskal Counts treffen. Beweisen Sie die Formel
P (Y > n) = pn (2 − p)n
mit vollständiger Induktion nach n.
Beweis: n = 1: Nachrechnen.
(j)
die
(1)
n > 1: Seien X1 und X2 die beiden Versuchsreihen und sei Xi
j-te Summe in Xi . Dann gilt:
(1)
(1)
(1)
P (Y > n) = P (Y > n | X1
≥ 2, X2
≥ 2) · P (X1
≥ 2, X2
≥ 2)
+P (Y > n | X1
= 1, X2
≥ 2) · P (X1
= 1, X2
≥ 2)
+P (Y > n | X1
≥ 2, X2
= 1) · P (X1
≥ 2, X2
(1)
(1)
(1)
(1)
19
(1)
(1)
(1)
(1)
= 1)
Wegen der Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung sind die
ersten Faktoren in jedem der drei Produkte gleich P (Y > n − 1).
Zusammen mit der Induktionsvoraussetzung folgt dann
P (Y > n)
=
=
(1)
(1)
P (Y > n − 1) · P (max(X1 , X2 ) ≥ 2)
P (Y > n − 1) · p(2 − p) = pn · (2 − p)n
q.e.d
20