Rotationskurve um eine Punktmasse

v1.0 (25.10.2008)
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Theorie
Rotationskurve um eine Punktmasse
Kreisbahn
Im Sonnensystem kreisen alle größeren Körper, wie die Planeten und
einige Zwergplaneten, auf annähernd Kreisbahnen um die Sonne im
Zentrum. Der Körper hat dabei einen konstanten Abstand r vom Zentrum
und eine im Betrag gleichbleibende Geschwindigkeit v.
Hinweis: Die Kreisbewegung um einen zentralen Punkt ist eine beschleunigte Bewegung.
Die Beschleunigung ergibt sich nicht aus der Änderung des Betrags der Geschwindigkeit
(z.B. vergleiche Beschleunigung a = ∆v / ∆t) sondern durch die zeitliche Änderung der
Richtung der Geschwindigkeit (vergleiche \vec a = ∆\vec v / ∆t).
v
Körper
(Planet)
r
Zentralkörper
(Sonne)
Kreisbahn
Abbildung 1.1) Geschwindigkeit in der Kreisbahn
Kräftegleichgewicht
Die Geschwindigkeit eines Körpers in einer kreisförmigen Umlaufbahn
erhält man, wenn wir das Gleichgewicht von Gravitationskraft FG und
Zentrifugalkraft FZ betrachten.
FG = FZ
Hinweis: Die Gravitationskraft auf den umkreisenden Körper wirkt immer in der
Verbindungslinie zwischen ihm und dem Zentralkörper in Richtung des Zentralkörpers.
Die Zentrifugalkraft auf den umkreisenden Körper wirkt immer senkrecht auf die
Tangente der Umlaufbahn nach außen. Da es sich bei der Umlaufbahn um eine Kreisbahn
mit dem Zentralkörper im Mittelpunkt handelt ist auch die Verbindungslinie zwischen den
Körpern senkrecht auf die Tangente der Umlaufbahn. Somit können wir das
Kräftegleichgewicht mit den Beträgen der Kräfte bestimmen.
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FZ
FG
Körper
(Planet)
Zentralkörper
(Sonne)
Kreisbahn
Abbildung 1.2) Kräftegleichgewicht in der Kreisbahn
Rotationskurve
Somit ergibt sich durch Einsetzen der Formeln für die Gravitationskraft
FG = G M m / r2
und die Zentrifugalkraft
FZ = m v2 / r
durch Umformung der Gleichung den Betrag der Geschwindigkeit des
umkreisenden Körpers
v=√GM/r
Ist die Masse des Zentralkörpers M konstant, so hängt die Geschwindigkeit
des umkreisenden Körpers nur vom Abstand r zwischen ihm und dem
Zentralkörper ab. Das heißt wir bekommen die Abhängigkeit
v = v(r) = K / √ r
wobei
K = √ G M = konstant
Die Geschwindigkeit v als Funktion des Abstandes r wird auch als
Rotationskurve bezeichnet. Im Spezialfall einer zentralen Punktmasse wird
sie auch Kepler-Rotation genannt.
Hinweis: Bei der starren Rotation, z.B. einer starren Scheibe, bekommt man für die
Geschwindigkeit eines Punktes auf der Scheibe mit dem Abstand r vom Mittelpunkt die
Abhängigkeit
v = v(r) = K r
wobei
K = ω = konstant
und ω die Kreisgeschwindigkeit [1 / s] ist.
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Zeichenerklärung
FG .... Gravitationskraft (Betrag der -) in Newton [N]
FZ .... Zentrifugalkraft (Betrag der -) in Newton [N]
G..... Gravitationskonstante; G = 6.672 ⋅ 10-11 …
M..... Masse des Zentralkörpers in Kilogramm [kg]
m .... Masse des umkreisenden Körpers in Kilogramm [kg]
r...... Abstand zwischen Zentralkörper und umkreisenden Körper in Meter [m]
v ..... Geschwindigkeit (Betrag der -) des umkreisenden Körpers in Meter pro Sekunde [m
/ s]
Einheiten
1 [N]ewton = 1 kg m / s2
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