2. Zahlenmengen und Zahlensysteme

© Hartmut Ring, 2010
1
Prof. Dr. Hartmut Ring
Universität Siegen
Diskrete Mathematik für Informatiker
Wintersemester 2009/2010
Diskrete Mathematik für Informatiker
2. Zahlenmengen
und Zahlensysteme
Die ganzen Zahlen
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.1.1 Die ganzen Zahlen
2
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Definition 2.1
Die Menge ℕ der Natürlichen Zahlen ist definiert durch die Peano-Axiome
(P1)
1 ist eine natürliche Zahl.
(P2)
Jede natürliche Zahl besitzt eine eindeutig
bestimmte natürliche Zahl als Nachfolger.
(P3)
1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl.
(P4)
Verschiedene natürliche Zahlen haben
verschiedene Nachfolger.
(P5)
Gilt eine Aussage, die eine natürliche Zahl als Parameter enthält,
für 1, und folgt aus der Gültigkeit der Aussage für eine natürliche
Zahl die Gültigkeit für deren Nachfolger, so gilt die Aussage
für alle natürlichen Zahlen.
Guiseppe Peano
1858 - 1932
Aus (P5) ergibt sich das Beweisprinzip der Vollständigen Induktion
1
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
3
Prinzip der Vollständigen Induktion
2.3 Vollständige Induktion
© Hartmut Ring, 2010
A(n) sei eine Aussage für eine natürliche Zahl n
Induktionsanfang
(Induktionsbasis, Induktionsverankerung)
A(1)
Diskrete Mathematik für Informatiker
Induktionsschritt
∀n ∈ ℕ : ( A(n) ⇒ A(n + 1))
Satz 2.25
Wenn Induktionsanfang und Induktionsschritt
gelten, dann ist die Aussage A(n) für alle
natürlichen Zahlen n richtig.
© Hartmut Ring, 2010
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
4
Prinzip der Vollständigen Induktion
2.3 Vollständige Induktion
Zu zeigen: Eine Aussage A(n) gilt
für alle natürlichen Zahlen n
Induktionsanfang
Behauptung:
A(1)
...
...
Induktionsschritt
Voraussetzung:
Für ein beliebiges n
gilt A(n)
...
Diskrete Mathematik für Informatiker
...
Behauptung: A(n+1)
Beweis
...
Beweis (Voraussetzung verwenden!)
A(n+1) mit Hilfe von A(n) ausdrücken
und für A(n) die Induktionsvoraussetzung
verwenden!
2
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2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
Vollständige Induktion (Beispiel
1) 2.3 Vollständige Induktion 5
Induktionsanfang
Behauptung:
A(1)
1
∑i
=
i =1
Diskrete Mathematik für Informatiker
n
∑i
Zu zeigen: Eine Aussage A(n) gilt
für alle natürlichen Zahlen n
1 (1 + 1 )
=
n(n + 1)
2
i =1
Induktionsschritt
Voraussetzung:
Für ein beliebiges n
gilt A(n)
n
∑i
=
n(n + 1)
2
i =1
2
n +1
∑i
Behauptung: A(n+1)
=
( n + 1 )( n + 2)
2
i =1
Beweis
trivial
Beweis (Voraussetzung verwenden!)
n +1
n
n(n + 1)
i =1
i =1
2
∑ i = ∑ i + (n + 1) =
=
n ( n + 1 ) + 2( n + 1 )
2
=
+ (n + 1)
( n + 1)( n + 2)
2
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2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
Vollständige Induktion (Beispiel
2) 2.3 Vollständige Induktion 6
Zu zeigen: Eine Aussage A(n) gilt
für alle natürlichen Zahlen n
Induktionsanfang
Behauptung:
A(1)
(5n−1) mod 4 = 0
Induktionsschritt
Voraussetzung:
Für ein beliebiges n
gilt A(n)
(5n−1) mod 4 = 0
Behauptung: A(n+1)
(5n+1−1) mod 4 = 0
Diskrete Mathematik für Informatiker
(51−1) mod 4 = 0
Beweis
trivial
Beweis (Voraussetzung verwenden!)
(5n+1−1) mod 4 = (5(5n−1)+4) mod 4
= 5 (5n−1) mod 4 = 0
3
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
7
Vereinfachung durch Verallgemeinerung
2.3 Vollständige Induktion
Kann man ein Brett mit 8 mal 8
quadratischen Feldern,
von denen ein beliebiges fehlt,
in Winkelsteine zerlegen?
Eine Lösung für das Beispiel
Diskrete Mathematik für Informatiker
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2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
8
Vereinfachung durch Verallgemeinerung
2.3 Vollständige Induktion
Verallgemeinerung:
Kann man ein Brett mit 2n mal 2n quadratischen Feldern,
von denen ein beliebiges fehlt, in Winkelsteine zerlegen
(für beliebiges n) ?
Beweis durch Vollständige Induktion!
4
Induktionsanfang: Man kann ein Brett mit 21 mal 21
quadratischen Feldern, von denen ein beliebiges fehlt, in
Winkelsteine zerlegen.
klar!
Diskrete Mathematik für Informatiker
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2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
9
Vereinfachung durch Verallgemeinerung
2.3 Vollständige Induktion
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
Vereinfachung durch Verallgemeinerung
2.3 Vollständige Induktion 10
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Induktionsschritt:
Voraussetzung: Für ein beliebiges n kann man ein Brett mit 2n
mal 2n quadratischen Feldern, von denen ein beliebiges fehlt, in
Winkelsteine zerlegen.
Behauptung: Man kann ein Brett mit 2n+1 mal 2n+1 quadratischen
Feldern, von denen ein beliebiges fehlt, in Winkelsteine zerlegen.
Die vier
Teilquadrate
lassen sich
nach
Voraussetzung
zerlegen.
2n+1
2n
2n
5
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
Vereinfachung durch Verallgemeinerung
2.3 Vollständige Induktion 11
Diskrete Mathematik für Informatiker
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Induktionsschritt:
Voraussetzung: Für ein beliebiges n kann man ein Brett mit 2n
mal 2n quadratischen Feldern, von denen ein beliebiges fehlt, in
Winkelsteine zerlegen.
Behauptung: Man kann ein Brett mit 2n+1 mal 2n+1 quadratischen
Feldern, von denen ein beliebiges fehlt, in Winkelsteine zerlegen.
Die vier
Teilquadrate
lassen sich
nach
Voraussetzung
zerlegen.
2n
2n
Vollständige Induktion?
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.3 Vollständige Induktion
12
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Alle Äpfel sind blau!
Vorbereitung: Man nehme einen Apfel
und lackiere ihn blau.
Präzisere Behauptung:
In jeder Menge mit n Äpfeln
haben alle Äpfel die gleiche Farbe.
Diskrete Mathematik für Informatiker
Induktionsanfang: n = 1 (klar!)
Induktionsschritt:
n
n
Da nun alle Äpfel die
gleiche Farbe haben und
mein Apfel blau ist, sind
alle Äpfel blau!
6
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.3 Vollständige Induktion
Starke Induktion
13
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A(n) sei eine Aussage über die natürliche Zahl n
Induktionsanfang
(Induktionsbasis, Induktionsverankerung)
A(1)
Diskrete Mathematik für Informatiker
Induktionsschritt
∀n ∈ ℕ : ( ∀i ≤ n : A(i ) ⇒ A(n + 1))
Wenn Induktionsanfang und Induktionsschritt gelten,
dann ist die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n richtig.
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.3 Vollständige Induktion
© Hartmut Ring, 2010
Starke Induktion
Zu zeigen: Eine Aussage A(n) gilt
für alle natürlichen Zahlen n
Induktionsanfang
Behauptung:
A(1)
...
14
...
Induktionsschritt
Voraussetzung:
Für ein beliebiges n gilt
A(1), A(2), ..., A(n)
...
Diskrete Mathematik für Informatiker
...
Behauptung: A(n+1)
Beweis
...
Beweis (Voraussetzung verwenden!)
A(n+1) mit Hilfe von A(1), ..., A(n) ausdrücken
und für A(n) die Induktionsvoraussetzung
verwenden!
7
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Starke Induktion (Beispiel)
Zu zeigen: Eine Aussage A(n) gilt
für alle natürlichen Zahlen n
Induktionsanfang
Behauptung:
A(1)
1 lässt sich als
Diskrete Mathematik für Informatiker
Produkt von Primzahlen darstellen.
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15
n lässt sich als Produkt
von Primzahlen darstellen
Induktionsschritt
Voraussetzung:
Für ein beliebiges n gilt
A(1), A(2), ..., A(n)
Behauptung: A(n+1)
1, 2, ... n lassen sich
als Produkt von Primzahlen
darstellen.
n+1 lässt sich als
Produkt von Primzahlen
darstellen.
Beweis
Beweis (Voraussetzung verwenden!)
„leeres
Produkt“
Entweder ist n+1 eine Primzahl und damit Produkt
(aus 1 Primzahl)
oder n+1 besitzt einen Teiler t mit 1 < t < n+1.
Dann ist (n+1) / t eine natürliche Zahl s mit 1 < s < n+1.
Nach Voraussetzung lassen sich t und s als Produkte
von Primzahlen darstellen und damit auch n+1 = t s.
Das Schubfachprinzip
Diskrete Mathematik für Informatiker
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.3 Vollständige Induktion
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.3 Vollständige Induktion
16
Wenn in s Schubfächern k Gegenstände liegen
und k > s ist,
dann liegen in (mindestens) einem Schubfach
(mindestens) zwei Gegenstände.
s
k
K und S seien endliche Mengen mit |K| > |S|.
Dann gibt es keine injektive Abbildung von K nach S.
8
Diskrete Mathematik für Informatiker
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und Zahlensysteme
Das Schubfachprinzip: Beispiel2 Zahlenmengen
2.3 Vollständige Induktion 17
Unter drei ganzen Zahlen befinden sich immer zwei,
deren arithmetisches Mittel eine ganze Zahl ist.
gerade
ungerade
k=3
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Das Schubfachprinzip
Diskrete Mathematik für Informatiker
s=2
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.3 Vollständige Induktion
18
Wenn in s Schubfächern k Gegenstände liegen
und s < k ist,
dann liegen in (mindestens) einem Schubfach
(mindestens) zwei Gegenstände.
Beweis durch Vollständige Induktion (über s):
Induktionsanfang (s = 1):
Wenn in 1 Schubfach k > 1 Gegenstände liegen,
dann liegen in (mindestens) einem Schubfach
(mindestens) zwei Gegenstände.
s=1
k>1
9
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Das Schubfachprinzip
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.3 Vollständige Induktion
19
Wenn in s Schubfächern k Gegenstände liegen und s < k ist,
dann liegen in (mindestens) einem Schubfach
(mindestens) zwei Gegenstände.
Beweis durch Vollständige Induktion (über s):
Induktionsschritt:
Voraussetzung:
Wenn in s Schubfächern k Gegenstände liegen und s < k ist,
dann liegen in (mindestens) einem Schubfach
(mindestens) zwei Gegenstände.
Behauptung:
Wenn in s+1 Schubfächern k Gegenstände liegen und s+1 < k ist,
dann liegen in (mindestens) einem Schubfach
(mindestens) zwei Gegenstände.
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
Das Schubfachprinzip (Induktionsschritt)
2.3 Vollständige Induktion 20
Fall 1:
Kein
Element
liegt im
„neuen“
Schubfach.
Fall 2:
Ein
Element
liegt im
„neuen“
Schubfach.
s+1 < k
s<k
k
1
s+1 < k
s < k-1
k-1
1
1
Fall 3: Mehr als ein Element liegt im „neuen“ Schubfach.
10
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
Das Schubfachprinzip (Induktionsschritt)
2.3 Vollständige Induktion 21
Das Schubfachprinzip ist sogar
äquivalent zur Vollständigen Induktion
Das Prinzip der Vollständigen Induktion
ist auch äquivalent zum
Prinzip vom kleinsten Element:
Jede nicht leere Menge von natürlichen Zahlen
hat ein kleinstes Element.
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Ganze Zahlen
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.1.2 Ganze Zahlen
22
Definition 2.2
Die Gleichung a + x = b
ist in ℕ nicht immer lösbar.
Man erweitert deshalb zur
Diskrete Mathematik für Informatiker
Menge ℤ der ganzen Zahlen:
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
ℤ = ℕ−ℕ
11
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Die ganzen Zahlen sind aufzählbar!
Diskrete Mathematik für Informatiker
23
...
3
2
1
0
-1
-2
Eine unendliche Menge M
heißt aufzählbar,
wenn man sie mit Hilfe
der natürlichen Zahlen
durchnummerieren kann.
(genauer: wenn es eine bijektive
Abbildung f: M → ℕ gibt)
-3
Rationale Zahlen
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2 Zahlen und Zahlensysteme
2.1.2 Ganze Zahlen
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.1.3 Rationale Zahlen
24
Definition 2.3
Die Gleichung a x = b (für a ≠ 0)
ist in ℤ nicht immer lösbar.
Man erweitert deshalb zur Menge
Diskrete Mathematik für Informatiker
Menge ℚ der rationalen Zahlen:
ℚ={
m
|m∈ℤ
ℤ, n ∈ ℕ
ℕ}
n
ℚ = ℤ/ℕ
Standarddarstellung:
m und n teilerfremd (gekürzt)
12
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
Die rationalen Zahlen sind aufzählbar
2.1.3 Rationale Zahlen 25
ℕ
ℚ+
1
1
2
2
3
1/2
4
1/3
5
3
6
4
7
3/2
8
2/3
9
1/4
10
1/5
11
5
12
6
1/1
2/1
3/1
4/1
5/1
6/1
7/1
8/1
1/2
2/2
3/2
4/2
5/2
6/2
7/2
8/2
1/3
2/3
3/3
4/3
5/3
6/3
7/3
8/3
1/4
2/4
3/4
4/4
5/4
6/4
7/4
8/4
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
6/5
7/5
8/5
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
7/6
8/6
1/7
2/7
3/7
4/7
5/7
6/7
7/7
8/7
1/8
2/8
3/8
4/8
5/8
6/8
7/8
8/8
Reelle Zahlen
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.1.4 Die Reellen Zahlen
26
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Definition 2.7
Die reellen Zahlen können als die
Menge aller Dezimalbrüche angesehen werden:
∞


ℝ = n + ∑ ai 10− i n ∈ ℤ , ai ∈ {0,1,2,… ,9} 
i =1


Beispiel:
1 ∞
= ∑ 3 ⋅ 10− i
3 i =1
Es gilt: ℚ ⊆ ℝ
Frage: Ist ℚ = ℝ ?
13
Reelle Zahlen
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.1.4 Die Reellen Zahlen
27
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Satz 2.6
2 ist keine rationale Zahl (Euklid, ca. 365 – 300 v.Chr.)
⇒ Es gibt teilerfremde natürliche Zahlen p und q mit 2 = p/q.
⇒ 2q2 = p2 ⇒ p2 ist eine gerade Zahl und damit auch p.
⇒ Es gibt eine natürliche Zahl k mit p = 2k.
⇒ 2q2 = 4k2 oder q2 = 2k2.
⇒ q2 ist eine gerade Zahl und damit auch q.
⇒ p und q sind nicht teilerfremd.
⇒ Annahme war falsch. Also ist 2 nicht rational.
Definition
Reelle Zahlen, die nicht rational sind, heißen irrationale Zahlen.
Reelle Zahlen
© Hartmut Ring, 2010
Also:
ℚ≠ℝ
Widerspruchsbeweis:
Annahme: 2 ist rational.
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.1.4 Die Reellen Zahlen
28
3 ist keine rationale Zahl
Indirekter Beweis:
Annahme: 3 ist rational.
⇒ Es gibt teilerfremde natürliche Zahlen p und q mit 3 = p/q.
Diskrete Mathematik für Informatiker
⇒ 3q2 = p2 ⇒ p2 ist durch 3 teilbar und damit auch p.
⇒ Es gibt eine natürliche Zahl k mit p = 3k.
⇒ 3q2 = 9k2 oder q2 = 3k2.
⇒ q2 ist durch 3 teilbar und damit auch q.
⇒ p und q sind nicht teilerfremd.
⇒ Annahme war falsch. Also ist
3 irrational.
14
Wo steckt der Fehler?
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.1.4 Die Reellen Zahlen
29
© Hartmut Ring, 2010
Behauptung
4
4 ist keine rationale
Zahl
Indirekter Beweis:
Annahme: 4 ist rational.
⇒ Es gibt teilerfremde natürliche Zahlen p und q mit 4 = p/q.
Diskrete Mathematik für Informatiker
⇒ 4q2 = p2 ⇒ p2 ist durch 4 teilbar und damit auch p.
⇒ Es gibt eine natürliche Zahl k mit p = 4k.
⇒ 4q2 = 16k2 oder q2 = 4k2.
⇒ q2 ist durch 4 teilbar und damit auch q.
⇒ p und q sind nicht teilerfremd.
⇒ Annahme war falsch. Also ist 4 irrational.
Irrationale Zahlen
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.1.4 Die Reellen Zahlen
30
Beispiele: 2 ,
3 , π, e
Satz
Die reellen Zahlen sind nicht aufzählbar!
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Reelle Zahlen, die nicht rational sind, heißen irrationale Zahlen.
15
Gauß-Klammern
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.1.4 Die Reellen Zahlen
31
© Hartmut Ring, 2010
Definition
Für alle reellen Zahlen x wird definiert:
x  ≔ max { n ∈ ℤ | n ≤ x }
x  ≔ min { n ∈ ℤ | n ≥ x }
In der Mathematik
wird meist [x] statt x 
geschrieben
(Gauß-Klammer)
Diskrete Mathematik für Informatiker
Satz
Es gilt x−1 < x  ≤ x ≤ x  < x+1
Das Summensymbol
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Definition 2.20
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.2 Summen und Produkte
32
Beispiel
Summensymbol:
Summe der ersten 100 Quadratzahlen:
b
∑ f (i )
def f(i):
return i*i
i =a
hat den durch folgende PythonFunktion definierten Wert
print(sigma(1, 100, f))
def sigma(a, b, f):
s = 0
i = a
while i <= b:
s += f(i)
i += 1
return s
16
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.2 Summen und Produkte
Das Summensymbol
33
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Satz 2.22
Für reelle oder komplexe Zahlen ai, bi gilt
n
n
n
∑ (a + b ) = ∑ a + ∑ b
i =1
i
i
i
i =1
i =1
i
a1
a2
a3
...
an
a1
a2
a3
...
an
b1
b2
b3
...
bn
b1
b2
b3
...
bn
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.2 Summen und Produkte
Das Summensymbol
34
Satz 2.24
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Für reelle oder komplexe Zahlen aik gilt
m
n
∑∑ a
i =1 k =1
ik
n
m
= ∑∑ aik
k =1 i =1
a11
a12 ⋯
a1n
a11
a12 ⋯
a1n
a21
a22 ⋯
a2n
a21
a22 ⋯
a2n
⋮
⋮
⋮
am11
⋮
am22 ⋯ amn
am11
⋮
⋮
am22 ⋯ amn
17
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.2 Summen und Produkte
Das Summensymbol
35
„Ausmultiplizieren“
© Hartmut Ring, 2010
Für reelle oder komplexe Zahlen c, ai gilt
n
∑ ca
i =1
i
n
= c ∑ ai
i =1
Diskrete Mathematik für Informatiker
Beispiel
∑ ( 3i
n
+ 5 ) = ∑ 3i + ∑ 5 = 3∑ i + ∑ 5
n
2
i =1
i =1
=3
© Hartmut Ring, 2010
n
n
2
i =1
i =1
i =1
n(n + 1)(2n + 1)
+ 5n
6
Das Produktsymbol
Diskrete Mathematik für Informatiker
n
2
2 Zahlenmengen und Zahlensysteme
2.2 Summen und Produkte
Definition 2.20
Beispiel
Produktsymbol:
Fakultät:
b
∏ f (i)
i =a
36
n
n! = ∏ i
i =1
hat den durch folgende PythonFunktion definierten Wert
def f(i):
return i
def product(a, b, f):
p = 1
i = a
while i <= b:
p *= f(i)
i += 1
return p
print(product(1, 5, f))
Ergebnis: 5! = 120
18
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung reeller2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 37
Definition 2.20
Verallgemeinerung
Die Dezimalzahl
am am-1 ... a1 a0 , a-1 a-2 a-3 ... a-n
ist definiert als
Die Stellenwertdarstellung
am am-1 ... a1 a0 , a-1 a-2 a-3 ...
zur Basis b ist definiert als
m
∑ a 10
i =− n
m
i
i
Dabei müssen alle Stellen
(a-n ... am) Dezimalziffern (im
Bereich {0, 1, 2, ..., 9} sein
∑ ab
i =−∞
i
i
Ziffern aus {0, 1, 2, ..., b-1}
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Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung reeller2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 38
Stellenwertdarstellung der positiven reellen Zahl
x zur Basis b ∈ ℕ (b > 1)
am … a1a0 , a−1a−2 a−3 …
Diskrete Mathematik für Informatiker
mit
m = logb x 
ai = b −i x  − b b −i −1 x 
19
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung reeller2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 39
am … a1a0 , a−1a−2 a−3 … m = logb x ai = b −i x  − b b −i −1 x 
Beispiel: Zahl π zur Basis 10
m = log10 π  = 0
a0 = 10 0 π  − 10 10 −1π  = 3,1... − 10 0,3... = 3-0
= 3
a−1 = 10 π  − 1010 π  = 31,... − 103,...
= 1
1
0
=
31-30
,
a−2 = 10 2 π  − 10 101π  = 314,... − 1031,... = 314-310 = 4
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung reeller2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 40
am … a1a0 , a−1a−2 a−3 … m = logb x ai = b −i x  − b b −i −1 x 
Beispiel: Zahl π zur Basis 2
m = log 2 π  = 1
−1
−2
a1 = 2 π  − 2 2 π  =
a0 = 2 0 π  − 2 2 −1π  =
1,5... − 20,7... = 1-0
= 1
3,1... − 21,5...
3-2
= 1
1
0
a−1 = 2 π  − 2 2 π 
=
6,2... − 23,1... = 6-6
= 0
a−2 = 2 2 π  − 2 21π 
=
12,5... − 26,2... = 12-12 = 0
a−3 = 23 π  − 2 2 2 π 
=
25,1... − 212,5... = 25-24 = 1
=
,
20
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© Hartmut Ring, 2010
Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung reeller2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 41
am … a1a0 , a−1a−2 a−3 … m = logb x ai = b −i x  − b b −i −1 x 
Eigenschaften der Stellenwertdarstellung
1
2
ai ∈ {0,1,… , b − 1} (∀i ∈ ℤ)
erlaubte Ziffern
i > m ⇒ ai = 0
höchste Stelle
3
am ≠ 0
m
4
∑a b
i =n
i
m
i
≤ x < ∑ ai b i + b n
korrekte Approximation
i =n
Diskrete Mathematik für Informatiker
© Hartmut Ring, 2010
Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung reeller2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 42
am … a1a0 , a−1a−2 a−3 … m = logb x ai = b −i x  − b b −i −1 x 
1
ai ∈ {0,1,… , b − 1} (∀i ∈ ℤ)
erlaubte Ziffern
Beweis:
ai = b − i x  − b b − i −1 x  < b − i x − b(b − i −1 x − 1) = b
ai > (b − i x − 1) − b(b − i −1 x ) = −1
Daraus folgt die Behauptung wegen ai ∈ ℤ.
21
am … a1a0 , a−1a−2 a−3 … m = logb x ai = b −i x  − b b −i −1 x 
2
i > m ⇒ ai = 0
3
am ≠ 0
höchste Stelle
Beweis:
Nach Def. ist m = logb x  , also:
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Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung reeller2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 43
m ≤ logb x < m + 1 ⇒ b m ≤ x < b m +1 ⇒ b −1 ≤ b − m −1 x < 1
0 < b −i −1 x < b −i x ≤ b − m −1 x < 1
i >m⇒
Also ist
(a)
b −i x  = 0
und
b −i −1 x  = 0
Nach Def. ist ai = b − i x  − b b − i −1 x  = 0 − 0 = 0
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Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung reeller2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 44
am … a1a0 , a−1a−2 a−3 … m = logb x ai = b −i x  − b b −i −1 x 
2
i > m ⇒ ai = 0
3
am ≠ 0
höchste Stelle
b −1 ≤ b − m −1 x < 1 (a)
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Beweis:
m ≤ logb x ⇒ bm ≤ x
⇒ xb−m ≥ 1
Mit der Def. folgt
(a) ⇒
0 < b−m−1x < 1
am = b − m x  − b b − m−1 x  ≥ 1 − 0 = 1
22
Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung reeller2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 45
© Hartmut Ring, 2010
am … a1a0 , a−1a−2 a−3 … m = logb x ai = b −i x  − b b −i −1 x 
m
∑a b
4
i
i =n
m
i
≤ x < ∑ ai b i + b n
4.1
4.2
i =n
b −1 ≤ b − m −1 x < 1 (a)
Beweis:
4.1 O.B.d.A. sei n ≤ m. Nach der Def. von ai ist
m
m
m
m
= ∑ b −i x  b i −
∑ a b = ∑ b x b − ∑ b x b
Nach (a) ist b
= b x  b − b
xb
und
∑ a b = b x b ≤ b xb = x
−i
i
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korrekte Approximation
i =n
i
i =n
n
−n
i
− m −1
i =n
m +1
i
−n
m
damit
4.2
i=n
(
− ( i +1)
i +1
i=n
−n
n
n
i
)
− m −1
x = 0
m +1
∑ b x b
−i
i
i = n +1
(b)
x < b n b − n x  + 1 ≤ b − n x  b n + b n
Einsetzen von (b) ergibt:
m
x < ∑ ai b i + b n
i =n
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Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung ganzer2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 46
am … a1a0 , a−1a−2 a−3 … m = logb x ai = b −i x  − b b −i −1 x 
n
a0 = n  − b   = n mod b
b 
n  n 
a1 =   − b  2  = (n div b) mod b
 b  b 
usw.
Beispiel: n = 11
m = log 2 11 = 3
11
a0 = 11 − 2  = 11 mod 2 = 1
2
5
a1 = 5 − 2  = 5 mod 2 = 1
2
2
a2 = 2 − 2  = 2 mod 2 = 0
2
1110=10112
1
a3 = 1 − 2  = 1 mod 2 = 1
2
23
Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung ganzer2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 47
am … a1a0 , a−1a−2 a−3 …
Diskrete Mathematik für Informatiker
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Allgemein:
m
4
∑a b
i
i =n
m
i
≤ x < ∑ ai b i + b n
korrekte Approximation
i =n
Für ganze Zahlen: Keine Nachkommastellen:
am ... a1a0
m
∑a b
i =0
i
m
i
≤ x < ∑ ai b + b
i
m
0
i =0
⇒
x = ∑ ai b i
i =0
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Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung ganzer2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 48
am ... a1a0
x = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbm
= a0 + b (a1b0 + a2b1 + a3b2 + ... + ambm-1)
Letzte Ziffer
x ohne letzte Ziffer
x mod b
x div b
Praktisches Verfahren
Beispiel: Darstellung von 1357 zur Basis 8 (oktal):
1357
169
21
2
= 169 ⋅ 8 + 5
= 21 ⋅ 8 + 1
= 2⋅8+5
= 0⋅8+2
also: 135710 = 25158
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Zahlenmengen und Zahlensysteme
Stellenwertdarstellung ganzer2Zahlen
2.4 Stellenwertsysteme 49
Diskrete Mathematik für Informatiker
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Umrechnung von der Basis b zur Basis b2
a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3
= (a0 + a1b)b0
+ (a2 + a3b)b2
+ ... + a2nb2n + a2n+1b2n+1
+ ... + (a2n + a2n+1b)b2n
= (a0 + a1b)(b2)0 + (a2 + a3b)(b2)1 + ... + (a2n + a2n+1b)(b2)n
Dies ist die Stellenwertdarstellung zur Basis b2
mit den Koeffizienten
a0' = (a0 + a1b)
a1' = (a2 + a3b)
...
an' = (a2n + a2n+1b)
Allgemein lässt sich so
durch Gruppieren von Ziffern
zwischen einer Basis b
und einer Basis bn umrechnen.
Beispiel: 1A2B16
= 0001 1010 0010 10112.
Die Lücken zeigen
die Zifferngruppierung.
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