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Versuch 8:
Auf- und Entladung eines Kondensators
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Aufgaben:
Aufnahme der Strom-Zeit- und Spannungs-Zeitabhängigkeit bei aperiodischer Auf- und Entladung. Messung von Kapazitäten.
Messverfahren:
Strom- und Spannungsregistrierung mit dem Zweikanal-Zeitschreiber.
Auswertung in halblogarithmischer Darstellung.
Vorkenntnisse:
Kapazität, KIRCHHOFFsche Sätze, Exponentialfunktion, gewöhnliche
Differentialgleichung 1. Ordnung.
Lehrinhalt:
Schaltvorgänge bei einfachen RC-Netzwerken, Lösung der zugehörigen
Differentialgleichungen. Handhabung eines ZweikoordinatenZeitschreibers.
1. Einführung
Gegeneinander isolierte leitende Flächen beliebiger Größe und Krümmung bilden zusammen
ganz allgemein einen Kondensator. Die Kapazität eines Kondensators ist definiert als der Quotient
Q
C=
(1)
U
der auf jeder Fläche sitzenden Ladung Q und der zwischen den Flächen liegenden Spannung U.
Maßeinheit:
1 C (Coulomb)
1 F (Farad) =
.
(2)
1 V (Volt)
Der Prototyp eines Kondensators besteht aus zwei im Abstand d einander gegenüberstehenden
parallelen Platten der Fläche F ; die Kapazität dieses Plattenkondensators beträgt:
F
C =ε0 ε
(3)
d
(ε0 = 8,8542 @ 10-12 A@s/V@m elektrische Feldkonstante, ε = (relative) Dielektrizitätskonstante
des Mediums zwischen den Platten). Bei den bei diesem Versuch benutzten technischen Kondensatoren sind die beiden Platten als Metallfolie ausgebildet, die voneinander durch eine dünne isolierende Schicht getrennt und mit dieser zusammen aufgewickelt sind (sog. MetallPapier-Kondensatoren).
Schaltet man zwei Kondensatoren der Einzelkapazitäten C1 und C2 parallel, so ist die Gesamtkapazität dieser Parallelschaltung
C = C1 + C 2 .
(4)
Die Kapazität einer Reihenschaltung zweier Kondensatoren berechnet sich nach der Formel
1 1
1
= +
.
(5)
C C1 C 2
Legt man an die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines entladenen Kondensators eine Gleichspannung, so fließt solange Strom, bis die Spannung am Kondensator UC
gleich der angelegten Spannung U0 ist; der Kondensator lädt sich auf. UC und der Ladestrom I
hängen dabei in folgender Weise von der Zeit ab:
t
U0 - t
U C (t) = U 0 (1 - e RC ) , I (t) =
e RC .
(6)
R
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Entlädt man einen auf die Spannung U0 aufgeladenen Kondensator über einen Widerstand R,
gelten die Beziehungen
t
U0 - t
(7)
e RC .
U C (t) = U 0 e RC , I (t) = R
Die Größe τ = RC wird als Zeitkonstante des Netzwerkes bezeichnet; sie gibt die Zeit an, in der
Strom und Spannung auf den e-ten Teil der Differenz zwischen Anfangs- und Endwert abgefallen bzw. angestiegen sind. - Bestimmt man diese Zeitkonstante aus einer der Funktionen I(t)
oder U(t) und kennt man den Widerstand R, so kann man die Kapazität des betreffenden Kondensators berechnen.
2. Aufgaben
1.
Bestimmung der Kapazität der beiden dem Versuch beigegebenen Kondensatoren.
2.
Bestimmung der Kapazität der Parallel- und der Reihenschaltung der beiden Kondensatoren und Vergleich mit den berechneten Werten.
3.
Herleitung der Gleichungen (4) und (5).
4.
Verifizieren Sie die im Anhang angegebenen Lösungen.
5.
Messen Sie mit dem beigegebenen Mehrfachinstrument bei der Aufladung die Spannung am Kondensator und schalten dabei auf den jeweils kleinstmöglichen Spannungsmessbereich. Was finden Sie? Erklärung! Wie lautet dabei die Formel für die Spannung
am Kondensator nach Aufladung und die für die Zeitkonstante? Zahlenmäßige Bestätigung!
6.
Herleitung der Formel für die Halbwertszeit, ausgedrückt durch die Zeitkonstante.
7.
Wieviel Energie wird bei der Aufladung, wieviel bei der Entladung im Widerstand in
Joulesche Wärme verwandelt? Berechnung! In welchem Verhältnis steht diese Energie
zu der im aufgeladenen Kondensator gespeicherten?
3. Durchführung und Auswertung
Man baue die Schaltung nach Abb. 1 auf. UC (t) und I (t) werden dabei gleichzeitig mit dem
Zweikanalschreiber registriert. Da der Schreiber wegen seines hohen Eingangswiderstandes nur
als Spannungsmesser benutzt werden kann, erfolgt die Aufzeichnung von I (t), in dem man eine
zu I (t) proportionale Spannung am Widerstand R abgreift.
Vor Beginn der Messung sollten Spannungsquelle und Schreiber geeignet eingestellt werden
(siehe Beilage in der Anleitung); die beiden Taster T1 und T2 dienen dabei zum schnellen Aufbzw. Entladen des Kondensators. Unbedingt Nulllinie bereichsweise aufzeichnen. Zur Bestimmung der Zeitkonstante ist eine Kalibrierung der beiden Verstärker des Schreibers nicht
erforderlich, man benötigt lediglich die (am Schreiber in Stufen einstellbare) Geschwindigkeit
des Papiervorschubes. Zur Kontrolle ist dem Versuch noch eine Stoppuhr beigegeben.
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Y1
T1
UR
R
0-30V
C
U0
UC
T2
Y2
I
S
Abb.1 Schaltung zur Auf- und Entladung eines Kondensators, gleichzeitige Registrierung von Strom und Spannung durch Zweikanalschreiber. Y1, Y2 Kanäle des
Schreibers; Benutzung der Taster T1 und T2 siehe Text.
Spannung und Strom werden zunächst gleichzeitig bei der Aufladung eines der beiden Kondensatoren aufgezeichnet, dann bei der Entladung; wesentlich dabei die Kontrolle der Nulllinie
vor und nach jeder Messung (Taster). Die Zeitkonstante (Relaxationszeit) wird aus zwei geeigneten der vier Kurven auf jede der drei folgenden Weisen bestimmt:
a)
Aus der Zeit für den Abfall der Differenz zwischen Anfangs- und Endwert auf den e-ten
Teil. Als "Anfangswert" kann dabei der Wert der Ordinate zu einem beliebigen Zeitpunkt während des Ablaufs genommen werden (warum?);
b)
Aus dem Zeitintervall unter der Tangente an den gewählten Anfangswert (warum?);
c)
Aus der Steigung der Geraden einer jeweils geeignet zu wählenden halblogarithmischen
Darstellung. Man überlege sich, wie insbesondere die erste der beiden Gleichungen (6)
umgeschrieben werden muss, damit die halblogarithmische Auftragung als Funktion der
Zeit eine Gerade ergibt. Man zeichne die beiden halblog. Darstellungen zusammen auf
ein Blatt. Beachten Sie bei der Auswertung der Steigung den Unterschied zwischen dem
dekadischen und dem natürlichen Logarithmus.
Stimmen die so aus den beiden Kurven gewonnenen Zeitkonstanten innerhalb der Fehlergrenze
überein? Mit dem angegebenen Wert des Ladewiderstandes berechne man dann die Kapazität
des benutzten Kondensators (Fehlerangabe, ∆R/R = 1%!).
Bei der anschließenden Messung mit Parallel- und mit Reihenschaltung der beiden Kondensatoren beschränken wir uns auf eines der beiden oben angegebenen Verfahren a) oder b). Stimmen die gemessenen Werte mit den nach Glgn. (4) und (5) berechneten überein? Man gebe
auch die Herleitung dieser beiden Glgn. an.
Die Differentialgleichungen und Lösungen für die Schaltvorgänge sind im Anhang zusammengestellt. Man leite die Lösungen ab durch Trennung der Variablen und Integration unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen; man verifiziere die Richtigkeit der Lösungen.
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4. Literaturhinweise
WALCHER,
Praktikum der Physik, 6. Aufl., Teubner 1989, Abschn. 5.6.1.
MARTIENSSEN,
Einführung in die Physik II, 2. Aufl., Akadem. Verlagsgesellschaft 1979,
Abschn. 5.2.1.
5. Anhang
5.1 Theorie des einfachen RC-Netzwerkes
Spannungsbilanz (zweiter KIRCHHOFFscher Satz)
Beziehung zwischen den Variablen
Differentialgleichungen für die Aufladung:
Differentialgleichungen für die
Entladung:
U0 = UR (t) + UC (t) .
t
Q
U R = I R , U C = , Q (t) = ∫ I (t ′ ) d ′t .
C
0
U 0 = RC
RC
dI 1
dU C
+ U C (t) = 0 , R + I (t) = 0 .
dt
dt C
Anfangsbedingungen für die Aufladung:
Anfangsbedingungen für die Entladung:
dI 1
dU C
+ U C (t) , R + I (t) = 0 .
dt
dt C
U C (0) = 0 , I (0) =
U0
.
R
U C (0) = U 0 , I (0) = -
Lösungen für die Aufladung
(Einschaltvorgang):
U C (t) = U 0 (1 - e τ ) , I (t) =
Lösungen für die Entladung
(Ausschaltvorgang):
U C (t) = U 0 e τ , I (t) = -
t
t
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U0
.
R
U0 -t
e τ mit τ = RC .
R
U0 - t
e τ mit τ = RC .
R