Teil II: Wärmelehre Einleitung 1. Womit beschäftigt

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Teil II: Wärmelehre
KAPITEL A
Einleitung
1. Womit beschäftigt sich die Wärmelehre?
Die Wärmelehre befaßt sich mit dem Verhalten von Körpern, wobei gegenüber der Mechanik als wesentliche
definieren: Als proportional zur mittleren kinetischen Translationsenergie der Moleküle
1m<v2 >= 3kT
2
2
,
wobei v die Geschwindigkeit der zufälligen Bewegung relativ zum Schwerpunkt ist. Mit der auf der Mechani
benötigt man die Koordinaten und Geschwindigkeiten aller Teilchen (x i,v i) mit i=1,...,N. Über die Mittelung
peratur. Der Vorteil der mikroskopischen Beschreibung ist die gedanklich klare Struktur und die Möglichkeit
Andererseits sind die Koordinaten und Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen keiner direkten Messung z
Eigenschaften das Teilchenbild nicht. Ein großer Teil der Thermodynamik wurde sogar entwickelt, bevor sich
rung überwiegend mit der makroskopischen Thermodynamik befassen.
Neben der Verbindung zur Mechanik gibt es Zusammenhänge mit dem Elektromagnetismus. So spielt z.B.
thermoelektrische Effekte verknüpfen die beiden Gebiete der Physik. Ein wichtiger Zusammenhang mit der O
thermischen Gleichgewicht.
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KAPITEL B
Temperatur
1. Makroskopische Betrachtung
a) Gleichgewicht
Zur makroskopischen Definition der Temperatur kommen wir nicht ohne den Begriff des thermischen Gleich
der übrigen Welt isolierten System die Zustandsvariablen, d.h. die Parameter, die das System beschreiben, ni
man Relaxationszeiten. Zwei Systeme im thermischen Gleichgewicht, die über eine diathermische Wand, d.h
weise direkt nach der Kontaktierung kein Gesamtsystem im thermischen Gleichgewicht. Man sagt dann, sie h
tierung thermisches Gleichgewicht vorliegt, sagt man, sie haben gleiche Temperatur. Man kann
ϑ also jedem Sy
zwei Systeme nach ihrer Kontaktierung im Gleichgewicht bleiben oder nicht. Diese Größe heißt Temperatur.
b) Zustandsvariable
Zustandsvariable sind die makroskopischen Parameter, mit denen man ein System beschreibt.
p,V,n,ϑ Bei einem Gas
zentration oder Zusammensetzung. Bei einer paramagnetischen Substanz sind dies B, M, ϑ . ϑB ist das Magne
die Oberflächenspannung, A die Fläche; bei einem Widerstandsdraht σ = F/A,l,ϑ . Die Zustandsvariablen ein
heißt die Zustandsgleichung. Bevor wir eine Temperaturskala angegeben haben, können wir die Zustandsfunk
gibt. Für ein Gasf(p,V,n,ϑ)
schreiben
= 0wir
c) Temperaturskala
Bei der Definition einer Temperaturskala gibt es eine Reihe im Prinzip willkürlicher Maßnahmen. Man kann
* Man wählt eine Thermometersubstanz ("Standardsystem")
Die Zustandsvariablen
aus, z.B. Quecksilber
seien x, oder
y undHe.
ϑϑ
, z.B. V, p,
daß die Stoffmenge konstant bleibt.
* Man sorgt dafür, daß eine der beiden Zustandsvariablen x oder y konstant bleibt; die andere ist dann die th
p = const, und man mißt die Temperatur über die Volumenausdehnung; bei einem Gasthermometer ist mei
* Man wählt eine thermometrische Funktion ϑ(x) , die angibt, wie die Temperatur mit
ϑ(der
x) =freien
ax Zustandsgrö
Funktionen sind diskutiert
ϑ(x) ∼ lo
worden,
gx , diez.B.
den absoluten Nullpunkt ins Unendliche rücken würde.
* Schließlich benötigt man einen oder mehrere Fixpunkte, d.h. Temperaturen, die sich reproduzierbar einste
Celsius-Skala angegeben.
Gefrierpunkt von
H2O
Siedepunkt vonH2O
O2
S
Au
( 0° C)
( 100° C)
(-182° C)
( 440° C)
(1063° C)
α) Einfache Thermometerskala
Vor 1954 wurden für die amtliche Temperaturskala 2 Fixpunkte und deren Temperaturdifferenz benutzt. Die
ferenz auf 100° festgesetzt wurde. Als System diente Helium, dessen Druck x = p bei konstantem Volumen
ϑ(x) = ax. Eine beliebige Temperatur ergibt sich dann aus
8
ϑ(x)
= x
ϑ(x 2 ) − ϑ(x 1 ) x 2 − x 1
β) Moderne Gasthermometerskala
Die moderne Gasthermometerskala benutzt einen Fixpunkt x1 und seine Temperatur ϑ(x 1 ) . Als Fixpunkt wird
flüssiger und gasförmiger Aggregatzustand gleichzeitig existieren. Der Tripelpunkt läßt sich genauer repr
Abb. 185: Eine lineare thermometrische Funktion
ϑ = 273,16
zugeordnet. Die Temperatur ist, wenn man als thermometrische Funktion die Proportionalität ve
ϑ = p 
273,16  p tr  V=const
Das Gasthermometer besteht aus dem Gasvolumen V und dem Flüssigkeitsmanometer. Durch Anheben oder
bleibt. Der Druck wird an der Höhe h des0+
Flüssigkeitsmanometers
ρ gh).
abgelesen (p = p
d) Die ideale Gastemperatur
Nach dem unter b) beschriebenen Prinzip arbeitende Gasthermometer zeigen eine Temperatur, die noch etwa
Abb. 186: Der Tripelpunkt von Wasser
der Druck im Thermometer ist. Mißt man eine Temperatur, z.B. die Siedepunkttemperatur, indem man unter
fangsdruck am Tripelpunkt ptr variiert, so stellt man fest, daß der Wert, den man durch Extrapolation der gem
nennt man die ideale Gastemperatur. Sie ist für praktische Zwecke mit der Kelvin-Skala identisch, die über de
p
T = ϑ = 273,16 lim  p 
tr V=const
p tr →0
T = 273,16 lim  V 
p tr →0  V tr  p=const
9
Abb. 187: Gasthermometer
e) Thermometer
Mit der nun bekannten Temperaturskala kann man für andere Thermometersubstanzen die Thermometerfunkt
Die Konstanten des Polynoms kann man in Nachschlagewerken finden. Solche Thermometer sind entweder l
Temperaturbereich.
Abb. 188: Extrapolation zu verschwindendem Druck
Ein Widerstandsthermometer nutzt die Widerstandsänderung mit der Temperatur aus
R = R 0 (1+ Aϑ + Bϑ 2 )
Häufig benutzt wird Platin. Der Anwendungsbereich liegt zwischen
er -angewendet.
200° C und + 1200° C. Heute werden al
Ein Thermoelement (s. Kap. I) nutzt die Kontaktspannung zwischen zwei Metallen aus. In
einem Stromkreis mit konstanter Temperatur kompensieren sich die verschiedenen Spannungen. Bei untersc
übrig, die mit der Temperaturdifferenz wächst. Ein Thermoelement sollte möglichst stromlos betrieben werd
sucht. Typische Materialien sind Kupfer und Konstantan. Temperaturbereich für den Einsatz 0 - 1000° C. Die
U = a + bϑ + cϑ 2
Ein einfaches Thermometer liefert ein Bimetallstreifen, d.h. ein Streifen, der aus zwei Metallen mit untersch
das Bimetall.
Es gibt Stoffe, die ein anomales Verhalten bezüglich ihrer thermischen Ausdehnung zeigen und deshalb als T
und Gummi, das sich bei Erwärmung zusammenzieht.
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f) Zustandsgleichung
Die Form der Zustandsgleichung folgt nicht aus der makroskopischen Theorie. Sie muß experimentell bestim
chungen werden häufig benutzt, um die Änderungen einer Zustandsvariablen aus der einer anderen unter be
eines Gases, d.h. Kompression ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung aus der Volumenänderung die Tem
genwärtigen, daß die Temperatur nur für einen Gleichgewichtszustand definiert ist und daß die Zustandsände
sen. Wir geben im folgenden Zustandsgleichungen für einige Systeme an, zunächst ohne sie zu begründen.
Abb. 189: Thermoelement
α) Ideales Gas
pV = νRT
R=
8,31 J/K mol, allgemeine Gaskonstante
ν:
Anzahl der Mole
1 mol: Molekülgewicht in g
ν = 1, p5 =Pa10= 1 bar, →
T =V273
= 22,4
K l
In dem idealen Gasgesetz sind das Boyle-Mariottsche Gesetz (Robert Boyle 1627 - 1691, E. Mariotte 1620
p = const (Joseph Gay-Lussac 1778 - 1850)
V = V0
T T0
enthalten.
Das ideale Gasgesetz ist für Temperaturen weit vom Kondensationspunkt gut erfüllt. In der Nähe des Konden
Abb. 190: Thermische Ausdehnung von Wasser
rik van der Waals 1837 - 1923)


p + a2 (v− b) = RT ,

v
wobei v das Volumen eines Mols ist und die Konstanten a und b für die verschiedenen Gase unterschiedliche
β) Paramagnetische Substanz
Für Temperaturen weit vom Curie-Punkt gilt das Curie-Gesetz ((Pierre Curie 1859 - 1906)
M = CB
T
11
B ist das Magnetfeld und C die Curiekonstante, M die Magnetisierung.
In der Nähe des Curiepunktes gilt besser das Weißsche Gesetz (Pierre Weiss 1865 - 1940)
M=C
B
T − NρC
ρ ist die Dichte und N eine Konstante.
γ) Oberflächenfilme
Bei Oberflächenfilmen gilt
s = s 0  1− ϑ 
ϑ0
mit 1<n<2. s ist die Oberflächenspannung.
n
2. Mikroskopische Betrachtung
a) Naives Modell des idealen Gases
Um zu zeigen, wie aus einer mikroskopischen Betrachtung Gesetze für makroskopische Größen abgeleitet we
he aus gleichen Massenpunkten der Masse m und der mittleren Geschwindigkeit v. Wir nehmen an, daß der
werden kann. Die Teilchen, die auf eine Wand zufliegen, übertragen bei elastischer Reflexion pro Stoß den Im
∆P = 2mv
Bei inelastischem Stoß wäre der Impulsübertrag ∆P = mv , und das Teilchen würde an der Wand haften bleibe
Wand treffen wie sie wieder verlassen, so daß der elastische Stoß die Situation besser beschreibt als der inela
Bei einer Teilchendichte von n Teilchen, die auf∆t
die Wand zufliegen, treffen die Wand in der Zeit
nAv∆t
Teilchen. Der gesamte Impulsübertrag ist also
∆P = nAv∆t ⋅ 2mv
∆P undderDruckp= F/A = 2nmv2
∆t
Der Druck ist nach Erfahrung unabhängig von der Form des Gefäßes. Wir berechnen ihn daher für einen Wür
nenten der Geschwindigkeit entlang der Koordinatenachsen und beachten wir, daß
die Kraft ist
nur die Geschwindigkeiten mit dem korrekten Vorzeichen zum Druck auf eine Wand beitragen, so erkennen w
p = 1nmv2 = 1N mv2
3
3V
12
pV = 1Nmv2 = 1νN A mv2
3
3
ν ist also eine Zahl, die proportional zur Teilchenzahl ist. Für N = NA ist ν = 1 . Die Stoffmenge ist dann 1 M
Anzahl
N
enthält.
A Teilchen
Man schreibt
pV = νRT
23
Man nennt
· 10
/mol die Avogadrozahl (Amadeo Avogadro 1776 - 1856)
A= 6 N
RT = 2N A 1mv2 ; 1mv2 = 3 R T = 3kT
3 2
2
2N A
2
Abb. 191: Alle Teilchen, die auf A treffen
R = NAk
R = 8,3 J/K mol ist die ideale Gaskonstante.
-23
k = 1,38
J/K
·10 ist die Boltzmann-Konstante (Ludwig Boltzmann 1844 - 1906).
b) Wahrscheinlichkeit
Der Schwachpunkt in der naiven Ableitung besteht darin, daß die "mittlere" Geschwindigkeit überhaupt nich
unterschiedliche Geschwindigkeiten. Um hierüber mitteln zu können, muß man angeben, wie diese Verteilun
untereinander und mit der Wand dauernd ihre Geschwindigkeit ändern und daß die entstehende Verteilung ein
se, etwa geeignetes Würfeln reproduzieren können. Dies wollen wir im folgenden versuchen.
α) Wurf einer Münze
Beim Wurf einer Münze haben wir die Vorstellung, daß bei sehr vielen Würfen die Hälfte die Zahl, die Hälft
können wir so zu diesem Ergebnis kommen:
Die möglichen Ereignisse sind: Die Münze zeigt eine Zahl oder ein Wappen. Die Zahl der möglichen Ereign
der günstigen Ereignisse
ist z
dafür, daß ein günstiges Ereignis auftritt, erhalten wir
g = 1. Als Wahrscheinlichkeit
zg
W(z) = z = 1
m
2
β) Wurf zweier Münzen
13
Abb. 192: Die Anzahl der Teilchen, die auf eine Würfelfläche treffen.
Bei zwei Münzen verfahren wir ebenso. Wollen wir z.B. wissen, wie wahrscheinlich es ist, daß beide Münze
"Ensemble"). Dies wären hier 4, und die Teilmenge, die uns interessiert, wäre hier ein Ereignis. Die Wahrsch
γ) Regeln zur Wahrscheinlichkeit
Interessieren wir uns dafür, wie wahrscheinlich es ist, daß ein Ereignis auftritt, das aus zwei Ereignissen zusa
auftritt, so addieren sich gemäß der oben eingeführten Abzählmethode die Einzelwahrscheinlichkeiten
W = W(1) + W(2) (1 oder 2 findet statt)
Da die Summe aller möglichen Ereignisse gleich dem Nenner ist, erhält man
N
Σ W(i) = 1
i=1
Wir sagen, die Wahrscheinlichkeit ist auf 1 normiert. Will man hingegen die Wahrscheinlichkeit für alle Fäll
zieren sich die Wahrscheinlichkeiten, da bei jedem Eintreffen von Ereignis 1 der Bruchteil der Fälle bekannt
auch als das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten in Beispiel a deuten.
c) Die Binominalverteilung
Eine der wichtigsten Verteilungen ist die Binominalverteilung. Auf ihr fußt die Maxwell- und die Poissonve
einfachsten Fall ist sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der geworfenen Zahlen bei N gleich
bei dem die Wahrscheinlichkeiten, eine Zahl oder ein Wappen zu werfen, nicht gleich sind. Wir untersuchen
wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit er von insgesamt N Schritten n nach rechts macht. Im Gegensatz zu
lassen ihn beispielsweise 10 Schritte machen und notieren die Anzahl der Schritte nach rechts n. Wir untern
gangspunkt angefangen wird. Die meisten dieser Versuche werden n = 5 oder eine Zahl in der Nähe von 5 er
lung W(n). Für eine große Anzahl von Schritten wird recht genau n = N/2 erfüllt sein, d.h. W(n) ist im Verhäl
Die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach rechts sei p, für einen Schritt nach links q mit p + q = 1. Die An
Konfiguration nennen wir ein Muster der nacheinander registrierten Schritte nach rechts oder links, z.B. r, r, l
n2
einer Konfiguration vorkommen. Die Wahrscheinlichkeit für genau diese Konfiguration
p n 1ist
⋅ pW
konf =
schiedliche Wahrscheinlichkeiten für den Wurf einer Zahl oder eines Wappens haben (p, q). Die Wahrschein
usw.
Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, daß genau n1 Schritte nach rechts, n2 Schritte nach links gemacht
Rechtsschritte und n2 Linksschritte enthalten. Zunächst zählen wir die Gesamtzahl der Möglichkeiten ab, über
14
erste Element und stellen es nacheinander auf einen Platz weiter, ohne die Reihenfolge der anderen zu ändern
der ersten Fälle gibt es N-1 Möglichkeiten, das 2. Element zu versetzen. Insgesamt also N(N-1) ...2 · 1 = N! M
zu. Hierbei sind allerdings innerhalb der Schritte nach rechts n1! und der Schritte nach links n2! Permutation
unabhängig
Reihenfolge.
von der
Wir dividieren
n Diedaher
gesuchte
Wahrscheinlichkeit
durch nist also
1! ·2!.
W(n 1 ,n 2 ) =
N! p n 1 q n 2
n 1 !n 2 !
Wir schreiben diese
n als Variable
um2 auf
= N1n-mit
n n
1 = noch
W(n) =
N! p n q (N−n)
n!(N − n)!
Abb.193: Die möglichen Ereignisse bei dem Wurf von
zwei Münzen.
W(n) gibt
Wahrscheinlichkeit
die an, daß der Betrunkene nach insgesamt N Schritten n Schritte nach rechts gemacht hat.
Diese Verteilung heißt Binominalverteilung, denn die Zahlenwerte W(n) sind identisch mit den Binominalkoe
N
N
N! p n q (N−n)
(p + q) = Σ
n=0 n!(N − n)!
Sie tritt überall in der Physik da auf, wo sich ein System mehrmals zwischen zwei Alternativen entscheiden k
Galton 1822 - 1911)
Um makroskopische Werte zu erhalten, muß man Mittelwerte bilden. Haben wir eine Größe F(n), die von de
stärke seiner Stimme, so ist der Mittelwert wie üblich
< F(n) >=
Σ W(n i )F(n i )
= Σ W(n i )F(n i )
Σ W(n i )
Der Nenner ist wegen der Normierung 1.
d) Die Gaußverteilung
α) Ableitung der Gaußverteilung
Für N >> 1 geht die Binominalverteilung in eine Gaußverteilung über. Da für N >> 1 die Verteilung sehr sch
liegt da, wo W(n) sein Maximum besitzt.
15
n = ⟨n⟩ + η;  dW  = 0
dn ⟨n⟩
Bei Entwicklung zeigt es sich, daß es günstiger ist, statt W(n) ln(W(n)) zu entwickeln. Um dies plausibel zu m
vor. Entwickeln wir ≈sie
1 +direkt,
Ng. N
Wegen
so>>kann
wird
1 fdas lineare Glied also noch sehr groß ausfallen. Die Reihe konvergiert
1
lnf = Nln (1+ g) = N  g + g 2 + ...
, erhält man eine gut konvergierendee Reihe.
2
Die Entwicklung von lnW bis zur 2. Ordnung hat die Form
2
 η 2 + ...
lnW(n) = (lnW) ⟨n⟩ +  dln W  η + 1 d lnW
2

2 dn  ⟨n⟩
dn ⟨n⟩
(1)
Setzt man die Binominalverteilung ein, erhält man rechts
lnW = lnN!− lnn!− ln(N − n)!+ nln p + (N − n)ln q
Die Ableitungen lassen sich
N >>
mit
vereinfachen
1einem Hilfssatz
(Formel
für von James Stirling 1692 - 1770)
Abb. 194: Wie weit kommt der Betrunkene?
dln n! ≈ ln(n + 1)!− lnn! = ln(n + 1)! = ln(n + 1) ≈ lnn
1
n!
dn
damit wird
dln W = −lnn + ln(N − n) + lnp − lnq
dn
d 2 lnW = − 1 − 1 = − N
n N−n
n(N − n)
dn 2
(2)
(3)
Der Ausdruck auf der rechten Seite läßt sich vereinfachen. Da <n> bei dem Maximum von W(n) liegt, ist
 dln W  = 0
 dn  ⟨n⟩
Der zweite Term in (1) fällt also fort. Außerdem kann man <n> durch
man Np ersetzen, denn bildet man von (2) d
−ln⟨n⟩ + ln(N − ⟨n⟩) + lnp − lnq = 0
p
N − ⟨n⟩
= 1;Np − ⟨n⟩p = ⟨n⟩q
⟨n⟩q
16
Abb. 195: Die Möglichkeiten, 4 unterscheidbare Elemente anzuordnen.
Np = ⟨n⟩(p + q) = ⟨n⟩
Der 3. Term in Gl. (1) wird mit (3) und dieser Beziehung
N
N
=
= 1
⟨n⟩(N − ⟨n⟩) Np(N − p) Npq
Einsetzen in Gleichung (1) ergibt:
− 1 1 η 2 = lnW(n) − lnW(⟨n⟩)
2Npq
1 η2
W(η) = W(⟨n⟩)e 2 Npq
mit <n> = Np
η = n−< n >= n − Np
Dies ist die Gaußverteilung (Carl Friedrich Gauß 1777 - 1855)
β ) Diskussion der Gaußverteilung
In unserem Problem des eindimensionalen "random Walk" gibt diesition
Gaußverteilung
n nach N Schritten
nicht diezuWahrscheinlichk
erreichen, sond
Wahrscheinlichkeit, n Schritte nach rechts2 ausgeführt
= N - n Schritte
zu haben.
nachGleichzeitig
links, so daßgab
die es
erreichte
n
Position bei
Abb.196: Das Galtonsche Brett
m = 2n=- n - (N - n) = 2n - N
liegt. Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, mit N Schritten m zu erreichen, braucht man nur in W(n) das
17
n=
1
2(m + N)
zu ersetzen.
η = n − ⟨n⟩ = 1(m + N) − Np = 1(m + N + 2Np)
2
2
= 1[m + N(1 − 2p)]
2
Zur Symmetrisierung des Ausdrucks wird in der runden Klammer 1 durch p + q ersetzt
η = 1[m + N(q − p)]
2
Die Wahrscheinlichkeit p(m) m zu erreichen, hat dann die Form
 [m − N(p − q)] 2 
 m − m0 
P(m)
= exp −
 = exp −

8Npq
P(⟨m⟩)
m 2e 



P(m )
Es liegt also eine Gaußsche Glockenkurve
mitvor.
der
Bei
Verschiebung
das
m =Maximum
m 0 m
-e m
erreicht die Kurve
= 1 . Bei (m
0 = N(p - q)
0 liegt
0) =
P(⟨m⟩)
P(m)
= e1
P(⟨m⟩)
m e = 8Npq ist also ein Maß für die Breite der Kurve. Je mehr Ereignisse stattgefunden haben, desto brei
8pq
me
=
mit steigendem N ab. Die Verschiebung wird Null, wenn p = q, d.h.
sind.wenn die Schritte nach rech
N
N
e) Die kontinuierliche Gaußverteilung
α) Umschreiben auf x
Wenn im Ortsraum die Schrittweite sehr klein ist gegen die Ausdehnung der Kurve, kann man die Gaußverte
wie wahrscheinlich eine diskrete Schrittzahl m ist, sondern wie wahrscheinlich es ist, daß die
∆x Ereignisse in e
man in m Schritten die Position x = ml. Bei genügend
∆x als
kleiner
konstant
Schrittweite
ansetzen.kann
Dann
man
ist
∆xP(m)
die Anzahl
im Intervall
der Ereignis
∆x
∆Z = P(m)∆m = P(m) = f(x)∆x
l
f(x) = dZ nennen wir die Verteilungsfunktion der Zahl der Ereignisse. Sie hat nach der
∆xDefinition
→0
die Dimen
dx
Zahl der Ereignisse. Wenden wir diese Definition einer Verteilungsfunktion auf Geschwindigkeitsverteilunge
f(v)dv
18
die Anzahl von Teilchen mit Geschwindigkeiten zwischen v und v + dv.
f(x) erhält man aus der Gaußverteilung, indem man m im Exponenten durch x/l ersetzt:
[x/l − N(p − q)]
[x − Nl(p − q)]
[m − N(p − q)]
=
=
8Npq
8Npq
2(4Nl 2 pq)
2
2
2
Hierin
µ =istlN(p − q) eine Verschiebung und
σ 2 = 4Nl 2 pq
ein Maß für die Breite.
Die kontinuierliche Gaußverteilung hat damit die Form
f(x)dx = Ce
(x−µ) 2
2σ 2
dx
β) Normierung
C ist eine Konstante, die sich aus der notwendigen Normierung der Verteilungsfunktion
Abb. 197: Die Gaußverteilung
∞
∫ f(x)dx = 1
−∞
−x
ermitteln läßt. Bei der Berechnung dieses oder ähnlicher Integrale benötigt man
e −ximmer
undx n ewieder
Integrationsfo
zusammengestellt werden.
Zur Berechnung von
2
∞
I = ∫ e −x dx
2
−∞
2
wird
betrachtet.
I
∞
I =∫ e
2
−∞
−x 2
∞
dx
∫
−∞
e
−y 2
∞
dy = ∫ e
−  x 2 +y 2 
−∞
dxdy
2 2 2
Durch die Transformation auf
= xPolarkoordinaten
+ y, das Flächenelement
rdrdϕ
wird
undr das Integral
2π ∞
I2 = ∫
e −r rdrdϕ
∫
0 −∞
2
2
19
2
das sich ebenfalls über die ganze Ebene
= t, 2erstreckt.
rdr = dt Durch
und die
ϕSubstitution
dϕ = 2π erhält
rüberman
∫Integration
I 2 = π ∫ e −t dt = π
Die höheren(nMomente
≠ 0) kann man entweder durch partielle Integration auf dieses Integral zurückführen oder direkt
∞
I n = ∫ x n e −x
2 /a 2
−∞
dx
ergibt
I0 = π a
I1 = a2
Abb. 198: Die Gaußsche Glockenkurve
I2 = 1 π a3
2
Die Normierungskonstante der Verteilung erhält man nun aus
C ∫ e −(x−µ)
2
/2σ 2
dx = C π 2 σ = C 2π σ = 1
1
2π σ
C=
γ) Mittleres Schwankungsquadrat
Analog zu Mittelwerten bei diskreten Verteilungen ist der Mittelwert der Funktion von x, F(x) bezüglich der k
∞
⟨F(x)⟩ = ∫ f(x)F(x)dx
−∞
Der Mittelwert des Schwankungsquadrates
2
1
(x − µ) =
2π σ
=
∞
∫ (x − µ)
−∞
2 −(x−µ) 2 /2σ 2
e
dx
1 1 π σ 3 2 3/2 = σ 2 = 4Npql 2
2π σ 2
20
Abb. 199: Der Übergang zur kontinuierlichen
Verteilung
für l = 1, p = q = 1/2 erhält man
(x − µ)
=σ= N
2
Die absoluten Größen der Schwankungen wachsen also mit Wurzel N. Die relativen Größen
N
= 1
N
N
nehmen mit Wurzel N ab, z.B. Bei 10 Photonen im Detektor muß man mit einer Schwankung
von 3 und einem relativen Fehler von 30 % rechnen. Bei 1000 Photonen wächst der Absolutwert der Schwankung auf 30, der relative Fehler sinkt auf 1/30 ≈ 3 %. Das Signal erscheint
glatter.
f) Geschwindigkeitsverteilung in Gasen
α) Eindimensionales Gas
Wir betrachten zunächst ein eindimensionales Gas wie es etwa bei geladenen Teilchen im
Magnetfeld vorkommt, wo sich die Gyrationszentren nur parallel zum Magnetfeld bewegen
können. Wir nehmen an, daß durch die Vielzahl von Stößen, die ein Teilchen statistisch nach
rechts oder links streuen, eine Verteilung wie beim eindimensionalen "random walk" entsteht.
f(v x ) =
1 e −v 2x /2σ
2π σ
Da der Mittelwert der Geschwindigkeit gleich Null sein wird, ist das mittlere Schwankungsquadrat gegeben durch
σ = ⟨v 2x ⟩
Wir definieren jetzt als Temperatur wie früher
1 m v 2 = 1 kT
⟨ x⟩
2
2
Der Faktor 1/2 statt 3/2 rührt daher, daß wir ein eindimensionales Gas betrachtet haben. Man
sagt, die Teilchen erhalten pro Freiheitsgrad 1/2 kT (Gleichverteilungssatz). Damit wird die
Verteilungsfunktion
(1/2)mv 2
1
− kT x
)
f(v =
e
x
2π
kT
m
β) Dreidimensionales Gas
Bei einem dreidimensionalen Gas erhält man analog
21
f(v x , v y , v z ) = Ce
− 12 m  v 2x +v 2y +v 2z  /kT
Zur Bestimmung der Normierungskonstanten ordnen wir die Variablen im Integral so um,
daß ein Produkt von gleichartigen Integralen erscheint, die wir schon kennen.
C ∫ e−
(1/2)mv 2x
kT
dv x ∫ e −
(1/2)mv 2y
kT
dv y ∫ e −
(1/2)mv 2z
kT
dv z = 1
3


C  2πkT
 =1
m


C =  m 
2πkT
3/2
Die Verteilungsfunktion lautet damit
f(v x , v y , v z ) =  m 
2πkT
3/2
e
−(1/2)m  v 2x +v 2y +v 2z  /kT
γ) Verteilung für |v|=v
Die Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen, daß sein Geschwindigkeitsbetrag zwischen v und
v + dv liegt, ergibt sich aus der obigen Formel, indem man im Exponenten v 2x +v 2y +v 2z durch v
ersetzt und als Volumenelement im Geschwindigkeitsraum eine Kugelschale nimmt, die zwischen v und v + dv liegt. Ihr Volumen ist 4πv 2 dv . Die Verteilungsfunktion wird damit
f(v) = 4π  m 
2πkT
3/2
v 2 e −(1/2)mv
2 /kT
Man nennt sie die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung.
Bei der Angabe von charakteristischen Geschwindigkeiten muß man unterscheiden zwischen
 df(v) 
vm, der häufigsten Geschwindigkeit, die sich aus der Bedingung
= 0 ergibt,
 dv  v m
v m = 2kT/m
<v>, der mittleren Geschwindigkeit
∞
⟨v⟩ = ∫v f(v)dv = 8kT/πm = 1, 13v m
0
22
<v2>, der mittleren quadratischen Geschwindigkeit
2
⟨v 2 ⟩ = ∫v 2 f(v)dv = 3kT/m = (1, 22v m )
δ ) Boltzmann Verteilung
Die Boltzmann Verteilung ist anwendbar für ein Gas, das aus Atomen besteht, die diskrete
Energiezustände Ei einnehmen können. Wir betrachten gleich den allgemeineren Fall, in dem
Niveaus entartet sein können, d.h. es gibt gi Niveaus, die die gleiche Energie Ei haben. gi ist
das statistische Gewicht. Statistische Betrachtungen, die ähnlich sind wie die, die zur Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung geführt haben, ergeben für die Anzahl der Teilchen
in den Niveaus E1 und E 2
f(E 1 ) g 1 e −E 1 /kT g 1 −(E 1 −E 2 )/kT
=
= e
f(E 2 ) g 2 e −E 2 /kT g 2
Deutet man die Erdatmosphäre als ein Ensemble von Teilchen in den Energieniveaus der Gravitation, erhält man aus der Boltzman Verteilung die barometrische Höhenformel
f(h)
= e −mgh/kT
f(0)
23
Abb. 200: Verteilung für vx
Abb. 201: Verteilung von |v|
24
Abb. 202: Maxwellverteilung für zwei Temperaturen