Materialien zum Kompaktkurs 2006: ”Urnenmodelle und

Materialien zum Kompaktkurs 2006:
”Urnenmodelle und Finanzmathematik: Elementare
Wahrscheinlichkeitsrechnung und einige Anwendungen”
Prof. Dr. K. Janßen
28. Juli 2006
Mengentheoretische Bezeichnungen
und Redeweisen in der elementaren Stochastik
ω, ω1 , ω2 , . . .
mögliche (Versuchs-) Ergebnisse
Ω
die Menge aller möglichen Ergebnisse (Grundmenge)
A, B, C, . . .
Ereignisse. Ereignisse sind Teilmengen der Grundmenge, also Mengen von Ergebnissen. Auch Ω ist
ein Ereignis.
∅
die leere Menge, die kein Ergebnis enthält. Auch sie ist ein Ereignis.
P(Ω)
Potenzmenge von Ω. Sie enthält
als Elemente alle möglichen Ereignisse (Teilmengen) von Ω.
Symbol
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A
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A
ω
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A
A
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..................
A3ω
A enthält ω
ω 6∈ A
ω nicht in A
ω nicht Element von A
A 63 ω
A enthält ω nicht
A⊂B
A Teilmenge von B
A in B
B⊃A
B umfaßt A
B Obermenge von A
A
{A
AC
A quer
Komplement A
A Komplement
alle Ergebnisse ω von
Ω, die nicht zu dem
Ereignis A gehören
A=A
Ω=∅
∅=Ω
A∩B
A Durchschnitt B
A geschnitten mit B
Durchschnitt von A
und B
alle Ergebnisse, die
sowohl zu A als auch
zu B gehören
Ist A ⊂ B, so gilt
A∩B =A
B
A
............
..... .. .....
... . . ...
.. ...... ...
.............................. ....
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..... . ... . . . . . . .. . .....
....... .. . . . . . .... .......
............... . . . . ..............
... .......................... ..
... ....... ..
... . . . ...
..... ... .....
..............
B
B
A
wenn das Ergebnis ω
vorliegt und zu A
gehört, sagt man,
das Ereignis A ist
eingetreten
dass das Ergebnis ω
nicht in dem Ereignis
A enthalten ist
dass alle Ergebnisse,
die in A enthalten sind,
auch zu B gehören
Es gilt stets
A ⊂ Ω, ∅ ⊂ A
Ist sowohl A ⊂ B
als auch B ⊂ A,
dann ist A = B
Gilt A ∩ B = ∅, so nennt man die Ereignisse A und B ”disjunkte Ereignisse”bzw.
auch elementfremde Ereignisse. Man sagt auch kurz: A und B sind disjunkt.
A∪B
A
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..... . . . . . . . .
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... ..... ............
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.... ...... ............
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... .... ............
...... . . . . . . .
....
......... ............ ............
.........................................
dass das Ergebnis ω
in dem Ereignis A
enthalten ist
Anmerkungen
ω in A
ω gehört zu A
ω Element von A
B
A
bedeutet
ω∈A
ω
................................................
........
......
......
....
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...
.....
..
...
...
.....
....
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.......
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.
.
...
.............
.................................
lies
Vereinigung von A
und B
A vereinigt B
alle Ergebnisse, die entweder zu A oder zu B
(oder zu beiden) gehören
Gilt A ⊂ B, so ist
A∪B =B
Gilt A ∩ B = ∅, so
schreibt man auch
A + B statt A ∪ B
A\B
A minus B
A ohne B
alle Ergebnisse, die zu A
aber nicht zu B gehören
A\B =A∩B
A=Ω\A
Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck
Definition 1: Für n ∈ N0 ist die Zahl n! (gelesen als “n-Fakultät”) definiert durch
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n , 0! = 1
Definition 2: Für n ∈ N0 und 0 ≤ k ≤ n heißt die Zahl
µ ¶
n
n!
:=
k
k!(n − k)!
der Binomialkoeffizient von n über k.
Die Binomialkoeffizienten haben die folgenden Eigenschaften:
n ¡ ¢
P
n k n−k
1. Für a, b ∈ R und n ∈ N gilt (a + b)n =
a b
(Binomialsatz)
k
k=0
¡ ¢ ¡ ¢
¡ ¢
2. n0 = nn = 1, n1 = n
¡ ¢ ¡ n ¢
3. nk = n−k
n ¡ ¢
P
n
4.
= 2n
k
k=0
¡n¢ ¡ n ¢ ¡n+1¢
5. k + k+1 = k+1
Aus der Eigenschaft (e) erhält man das
¡ ¢ Pascalsche
¡ ¢
¡ ¢ Dreieck. Dabei schreibt man in die
n-te Zeile die Binomialkoeffizienten n0 , n1 , . . . , nn . Man erhält also:
n=0:
n=1:
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
n=6:
n=7:
n=8:
1
1
1
1
2
1
3
1
1
1
1
6
5
6
10
15
7
8
3
4
1
35
56
1
4
10
20
21
28
1
1
5
15
35
6
21
1
7
1
56
28
8
1
¡6¢ ¡6¢ ¡7¢
Ablesebeispiel: Durch die Pfeile ist die Berechnung von 4 + 5 = 5 angedeutet.
Man erhält somit
¡6¢
4
15
+
+
70
1
¡6¢
5
6
=
=
¡7¢
,
21.
5
Urnenmodelle:
zufälliges Ziehen von n Kugeln aus einer Urne mit N Kugeln:
Laplace-Verteilung auf dem Raum der möglichen Ergebnisse:
Sei M = {1, . . . , N }
I: Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge
ΩI = M n ,
|ΩI | = N n
II: Ziehen ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge (n ≤ N )
ΩII = {(a1, . . . , an) ∈ M n : ai 6= aj für alle i 6= j}
¡ ¢
!
|ΩII | = N (N − 1) · · · (N − n + 1) = (NN−n)!
= Nn n!
III: Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge (n ≤ N )
ΩIII = {A ⊂ M : |A| = n} oder
Ω0III = {(a1, . . . , an) ∈ M n : ai < ai+1 für 1 ≤ i < n}
¡N ¢
0
|ΩIII | = |ΩIII | = n
IV: Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
ΩIV = {(a1, . . . , an) ∈ M n : ai ≤ ai+1 für 1 ≤ i < n}
¡N +n−1¢
|ΩIV | =
n
Erfolgswahrscheinlichkeiten in Urnenmodellen
a) Gegeben sei eine Urne mit N Kugeln, von denen R rot und
N − R schwarz gefärbt sind. Sei n ∈ N. In der Situation
des n–fachen zufälligen Ziehens einer Kugel mit Zurücklegen betrachten wir die Ereignisse
Ak : Es werden genau k rote Kugeln gezogen.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von Ak gegeben durch
µ ¶
n k
P (Ak ) =
p (1 − p)n−k
k
wobei p = NR ist.
für 0 ≤ k ≤ n,
b) Gegeben sei wieder eine Urne mit N Kugeln, von denen R rot
und N − R schwarz gefärbt sind. Sei n ∈ N mit n ≤ N .
In der Situation des n–fachen zufälligen Ziehens einer Kugel
ohne Zurücklegen, mit oder ohne Beachten der Reihenfolge,
betrachten wir die Ereignisse
Ak : Es werden genau k rote Kugeln gezogen.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von Ak für
0 ≤ k ≤ n mit k ≤ R gegeben durch
¡R¢¡N −R¢
P (Ak ) =
k
¡Nn−k
¢ .
n
Rechenregeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten
Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Menge Ω.
Sei {Ai}i∈I (I abzählbar) eine Familie paarweise disjunkter Teilmengen von Ω mit P (Ai) > 0 für i ∈ I. Dann gelten:
a) Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
Für B ⊂ Ω mit B ⊂ ∪i∈I Ai ist
X
P (B) =
P (Ai) · P (B | Ai).
i∈I
b) Bayes-Formel
Für B ⊂ Ω mit P (B) > 0 und B ⊂ ∪i∈I Ai ist
P (Ak ) · P (B | Ak )
P (Ak | B) = P
P (Ai) · P (B | Ai)
für k ∈ I.
i∈I
c) Produktformel
Für B1, B2, . . . , Bn ⊂ Ω mit P (∩n−1
k=1 Bk ) > 0 ist
P (∩nk=1Bk ) = P (B1) · P (B2 | B1) · . . . · P (Bn | ∩n−1
k=1 Bk ).
(Zähl-)Dichten, Erwartungswerte und Varianzen einiger Verteilungen
Zufallsvariable X
Dichte
X = a konstant
pk = 1 für k = a (0 sonst)
X Laplace-verteilt auf {1, . . . , n}
pk =
1
n
E(X)
V ar(X)
a
0
n+1
2
n2 − 1
12
np
np(1 − p)
p
1−p
p
(1 − p)2
λ
λ
a+b
2
(b − a)2
12
µ
σ2
1
λ
1
λ2
für k = 1, . . . , n
¡n¢
pk (1 − p)n−k
X B(n, p)-verteilt
pk =
zum Parameter p ∈ [0, 1]
für k = 0, . . . , n
X geometrisch-verteilt
pk = (1 − p)pk
zum Parameter p ∈ [0, 1)
für k ∈ N0
X Poisson-verteilt
pk =
zum Parameter λ > 0
für k ∈ N0
X gleichverteilt auf [a, b]
f (x) =
X normalverteilt N (µ, σ 2 )
k
λk −λ
e
k!
1
1[a,b] (x)
b−a
µ
¶
1
(x − µ)2
f (x) = √
exp −
2σ 2
2πσ
mit den Parametern µ und σ 2
für µ ∈ R, σ 2 > 0
X exponential-verteilt
f (x) = λe−λx
zum Parameter λ > 0
für x ≥ 0 (0 sonst)
Erwartungswert
Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X : Ω → R ist definiert
durch
Z
E(X) :=
X dP,
falls
Z
|X| dP < ∞ ist.
Ist Ω abzählbar und A = P(Ω), so ist
X
E(X) =
X(ω)P ({ω}),
ω∈Ω
falls diese Reihe absolut konvergent ist.
Ist X eine diskrete Zufallsvariable (d.h. es existiert eine Folge (xi )i∈N von
Punkten in R mit P (X = xi ) = pi für i ∈ N, wobei 0 ≤ pi ≤ 1 und
P
P
p
=
1
ist),
und
ist
i
i∈N
i∈N |xi |P (X = xi ) < ∞, so ist der Erwartungswert gegeben durch
E(X) =
X
xi P (X = xi ) =
i∈N
X
xi p i .
i∈N
Ist X absolutstetig verteilt mit Dichtefunktion f (d.h. es ist P (X ≤ a) =
Ra
R
f
(x)
dx
f
ür
alle
a
∈
R),
und
ist
|x|f (x) dx < ∞, so ist der Erwar−∞
tungswert von X gegeben durch
E(X) =
Z
xf (x) dx.
Rechenregeln für den Erwartungswert
1. Ist c ∈ R ein konstanter Faktor, so gilt für reelle Zufallsvariablen X:
E(cX) = cE(X).
2. Für den Erwartungswert einer Summe von reellen Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn gilt:
E
à n
X
!
Xi
=
i=1
n
X
E(Xi ).
i=1
3. Der Erwartungswert des arithmetischen Mittels X n :=
somit als
Ã
E(X n ) = E
n
1X
Xi
n i=1
!
1
n
Pn
i=1
Xi berechnet sich
n
1X
=
E(Xi ).
n i=1
4. Für N0 -wertige Zufallsvariablen X gilt:
E(X) =
∞
X
P (X > k).
k=0
5. Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in {xi : i ∈ N} und ist ϕ : R → R eine
messbare Abbildung, so gilt:
X
ϕ(xi )P (X = xi ),
E(ϕ ◦ X) =
i∈N
sofern dieser Erwartungswert existiert.
6. Ist X eine absolutstetig verteilte Zufallsvariable mit Dichtefunktion f , und ist ϕ :
RR → R messbar, so besitzt die Zufallsvariable ϕ ◦ X einen Erwartungswert, falls
|ϕ(x)|f (x) dx < ∞ ist; es ist dann
Z
E(ϕ ◦ X) = ϕ(x)f (x) dx.
7. Für eine R+ -wertige Zufallsvariable X mit Verteilungsfunktion F gilt:
Z
E(X) =
(1 − F (t)) dt.
R+
8. Produktformel: Für reelle Zufallsvariablen X, Y mit existierenden Erwartungswerten gilt
E(X · Y ) = E(X) · E(Y ).
Varianz und Kovarianz
Die Varianz V ar(X) einer reellen Zufallsvariablen X ist definiert durch
¡
¢
V ar(X) := E (X − E(X))2 = E(X 2 ) − E(X)2 ,
falls die hier auftretenden Erwartungswerte definiert sind.
Für zwei Zufallsvariablen X und Y ist entsprechend die Kovarianz Cov(X, Y )
definiert durch
Cov(X, Y ) := E ((X − E(X))(Y − E(Y ))) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Der Quotient ρX,Y = p
Cov(X, Y )
V ar(X)V ar(Y )
heißt der Korrelationskoeffizient der Zufallsva-
riablen X und Y .
Gilt Cov(X, Y ) = 0, also auch ρX,Y = 0, so heißen die beiden Zufallsvariablen unkorreliert. Sind X und Y unabhängig, dann sind sie unkorreliert.
Rechenregeln für die Varianz
1. Für a ∈ R gilt: V ar(X + a) = V ar(X) (Verschiebungssatz).
2. Für c ∈ R gilt: V ar(cX) = c2 V ar(X).
3. Für die Varianz einer Summe von zwei Zufallsvariablen X, Y gilt:
V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y ).
4. Sind X und Y unkorrelierte Zufallsvariable, d.h. ist Cov(X, Y ) = 0, so folgt
V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ).
5. Es folgt: Sind X1 , X2 , . . . , Xn paarweise unkorrelierte Zufallsvariable (d.h. gilt
Cov(Xi , Xj ) = 0 für i 6= j), so ist
!
à n
n
n
X
X
1 X
V ar(Xi ) und V ar(X n ) = 2
V ar(Xi ).
Xi =
V ar
n
i=1
i=1
i=1