1 Einleitung (Crashkurs)

Technische Universität
Chemnitz
Skript1 zur Vorlesung
Analysis I für Physiker
Prof. Stollmann
WS 2001/2002
Fakultät für Mathematik
1 getippt
von Nicole Amecke, Andreas Amrell, Jörg Brabandt, Svend Domdey, Ralf Hambach, Katja
Mayer, Stefan Pauliuk, Robert Peters, Romy Radünz, Jana Schaarschmidt, Andre Schleife, Martin
Tautenhahn, Stephan Wolf, Version vom 8. Oktober 2003
2
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung (Crashkurs)
1.1 Differenzieren . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . .
1.3 Skalarprodukt, Betrag, Winkel in Rn .
1.4 Wichtige Funktionen . . . . . . . . . .
1.4.1 Polynome . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Die Wurzelfunktion . . . . . . .
1.4.3 Die Exponentialfunktion . . . .
1.4.4 Die allgemeine Potenzfunktion
1.4.5 Die Winkelfunktionen . . . . .
1.5 Integralrechnung . . . . . . . . . . . .
1.6 Kurven und Kurven/Linien-Integrale .
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3
4
8
14
17
17
18
20
23
24
25
34
2 Die
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
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40
40
41
42
46
50
reellen Zahlen
Motivation und Geschichtliches .
Der Körper der reellen Zahlen . .
Anordnung von R . . . . . . . . .
Intervallschachtelung und Folgen
Rechnen mit Folgen . . . . . . .
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3 Metrische Räume
54
3.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Offene Mengen, Umgebungen und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Reihen
4.1 Reihen: Definition und einige Eigenschaften
4.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . .
4.3 Die realen Zahlen: Dezimalbrüche . . . . . .
4.4 Manipulation von Reihen . . . . . . . . . .
4.5 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . .
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63
63
67
70
71
73
5 Stetige reelle Funktionen
5.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Umkehrfunktionen, Stetigkeit und allgemeine Potenzen
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80
82
84
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3
1 Einleitung (Crashkurs)
Wir wollen hier einige Beispiele aus der Physik geben, in denen fundamentale Naturgesetze in mathematischer Form niedergeschrieben sind. Die Begriffe, die dazu verwendet
werden, stammen aus der Analysis ... In dieser Einleitung soll unter anderem geklärt
werden, was unter den in folgenden Gleichungen vorkommenden Symbolen zu verstehen ist. Aus der Mechanik kommen die ersten beiden Gleichungen
d~
p
(1) F~ =
Zweites Newtonsches Bewegungsgesetz
dt
d ∂L
∂L
−
=0
Euler–Lagrange–Gleichungen
(2)
∂q
dt ∂p
Dabei ist L die gegebene Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie,
q der Ort des Teilchens und p sei ein Impuls. L(t, q, p) (d.h. abhängig von Zeit,
Ort und Impuls) heißt Lagrange-Funktion (Prinzip der geringsten Wirkung).
(3) Maxwell–Gleichungen: beschreiben die zeitliche Entwicklung elektromagnetischer
Felder
~
~ ×E
~ + ∂ B = ~0
~ ◦E
~ = %
∇
∇
∂t
ε0
~
~
~
~
~
∇◦B =0
∇ × B = µ0 j
(4) Die Quantenmechanik eines Teilchens im äußeren Fall wird gegeben durch die
Schrödinger–Gleichung:
~ ∂Ψ
−~2
=
∆Ψ + V (r)Ψ
i ∂t
2m
Dabei ist die Wellenfunktion Ψ = Ψ(t, x) von Zeit und Ort abhängig und ihr
Betragsquadrat |Ψ(t, x)|2 gibt die Wahrscheinlichkeitdichte dafür an, dass sich
ein Teilchen zur Zeit t am Ort x finden lässt.
(5) Klassische Wellen werden beschrieben durch die Wellengleichung:
X ∂2
∂t2 u(t, x) =
u(t, x)
∂x2i
Man könnte dabei etwa an eine Saite denken, deren Auslenkung zur Zeit t am
Ort x durch u(t, x) beschrieben wird.
Nach unserem Crashkurs sollten die mathematischen Symbole in diesen fundamentalen
Gleichungen erklärt sein. Das Lösen der Gleichungen ist natürlich sehr schwierig und
in voller Allgemeinheit nicht möglich.
4
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
1.1 Differenzieren
In diesem Abschnitt sollen Ableitungen reeller Funktionen, partielle Ableitungen und
zweite Ableitung gebildet und zusammen mit den wesentlichsten Eigenschaften erklärt
werden.
Wir beginnen als Motivation mit folgender Problemstellung: Was ist Geschwindigkeit?
Bei konstantem Zuwachs und linearer Abhängigkeit gilt
v=
s(t)
s(1)
=
= Steigung der Kuve
t
1
Intuitiv berechnet man die Durchschnittsgeschwindigkeit in einer Zeitspanne ∆t als
s(t + ∆t) − s(t)
∆t
Nun ist einsichtig, dass man die Momentangeschwindigkeit erhält, wenn man ∆t gegen
Null gehen lässt.
Momentangeschwindigkeit:
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
∆t→0
∆t
vt0 = lim
Dies funktioniert nicht zwangsläufig, da die Differenzierbarkeit der Funktion s(·) bei
t0 gegeben sein muss.
1.1 Beispiel.
(1) Sei s(t) = υ · t für t ∈ R (Intervall)
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
v(t0 + ∆t) − υ · to
=
=υ
∆t
∆t
(2) Sei s(t) = s0 + υ · t + h · t2 für t ∈ R. Dann gilt
lim
∆t→0
s(t0 + ∆t) − s(t0 )
= ... = 2ht0 + υ
∆t
(ballistische Bewegung)
Wir verlassen jetzt für kurze Zeit die physikalische Raum-Zeit und wenden uns der
abstrakten mathematischen Analysis zu.
1.2 Definition. Sei f : I → R, wobei I ⊂ R ein Intervall
sowie x0 ∈ I ist. Weiterhin sei f : I → R eine Funkion. Falls er existiert, heißt der
Grenzwert
f (x0 + h) − f (x)
f 0 (x0 ) := lim
h→0
h
1.1. DIFFERENZIEREN
5
die Ableitung von f in x0 und f heißt richtungsdifferenzierbar in x0 .
Andere Schreibweisen:
df
df (x0
df f (x0 ) =
(x0 ) =
=
dx
dx
dx x=x0
df
=
(x0 ) (wenn wir die Variable lieber t wie Zeit nennen)
dt
= f˙(x0 ) (für Zeitableitungen)
0
In diesem Crashkurs erlauben wir uns einige Ungenauigkeiten. So ist z.B. noch nicht
definiert, was ein Grenzwert wirklich ist. Bei in x0 unstetigen Funktionen existiert die
Ableitung dort nicht.
1.3 Beispiel (Fallender Stein). Für einen an der Erdoberfläche in der Höhe z0 mit
vertikaler Anfangsgeschwindigkeit v0 hochgeworfenen Stein gilt
1
z(t) = z0 + v0 t − gt2
2
für t ∈ R.
Seine Geschwindigkeit ergibt sich zu
z 0 (t)
=
=
=
=
=
z(t + ∆t) − z(t)
∆t
z0 + v0 (t + ∆t) − 12 g(t + ∆t)2 − z0 − v0 t + 12 gt2
lim
∆t→0
∆t
v0 ∆t − 12 g(∆t)2 − t∆tg
lim
∆t→0 ∆t
1
lim v0 − gt − g∆t
∆t→0
2
v0 − gt
lim
∆t→0
Wir notieren die folgenden Ableitungsregeln für die Funktionen f, g : I → R, x0 ∈ I,
und f und g differenzierbar:
(1) f = const.
⇒
⇒
(2) f (x) = mx + c
(3) f (x) = xn
f0 = 0
⇒
f0 = m
f 0 = nxn−1
(4) Summenregel: (f + g)0 = f 0 + g 0
(5) Faktorregel: (cf )0 = cf 0
0
(6) Quotientenregel: fg =
für c ∈ R
f 0 g−f g 0
g2
für g 6= 0
(7) Produktregel: Seien f , g : I → R, x0 ∈ I. Wenn f und g in x0 differenzierbar
sind, so ist auch f · g in x0 differenzierbar und
(f g)0 = f 0 g + f g 0 .
6
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
Beweis.
(f · g)0 (x0 )
=
=
=
=
=
(f g)(x0 + h) − (f g)(x0 )
h
f (x0 + h)g(x0 + h) − f (x0 )g(x0 )
lim
h→0
h
f (x0 + h)(g(x0 + h) − g(x0 )) + g · (f (x0 + h) − f (x0 ))
lim
h→0
h
f (x0 + h) − f (x0 )
g(x0 + h) − g(x0 )
lim f (x0 + h)
+ lim g ·
h→0
h→0
h
h
0
0
f (x0 )g (x0 ) + g(x0 )f (x0 )
lim
h→0
(8) Kettenregel: Sei f : I → R differenzierbar in x0 ∈ I, f (I) ⊂ J, g : J → R
differenzierbar in y0 = f (x0 ) und g ◦ f (x) := g(f (x)). Dann gilt
(g ◦ f )0 (x0 = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 )
Gerade in der Physik haben wir es oft mit Funktionen (Größen) zu tun, die von mehreren Variablen abhängen. Die Differenzierbarkeit solcher Funktionen ist ein Thema, das
uns später noch intensiver beschäftigen wird. Auf der Grundlage der eben eingeführten
Differenzierbarkeit können wir jedoch schon partielle Ableitungen einführen, wie sie in
den Grundgleichungen der Einleitung auftauchen:
Partielle Ableitungen
Partielle Ableitungen treten bei Funktionen mehrerer Variablen auf. Ein Beispiel dafür
ist die Lagrange-Funktion für den fallenden Stein (siehe Beispiel 1.3), die von Zeit, Ort
und Geschwindigkeit abhängt:
L(t, x(t), ẋ(t)) = kinetische Energie–potentielle Energie =
m
ẋ(t)2 − mgx(t)
2
Nach dem sogenannten Hamiltonschen Prinzip erfüllt (x(t), ẋ(t)) die Euler–LagrangeGleichungen:
∂L
d ∂L
−
=0
∂x
dt ∂ ẋ
∂L
∂L
Zur Klärung, was dabei
und
bedeuten, wird folgende Definition benötigt:
∂ ẋ
∂x
1.4 Definition. Sei f : Rn → R, (x1 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , . . . , xn ) sowie x0 =
(x01 , . . . , x0n ) ∈ Rn . Dann heißt f an der Stelle x0 partiell nach xi differenzierbar, falls
∂f 0
f (x01 , . . . , x0i + h, . . . , x0n ) − f (x0 )
(x ) := lim
h→0
∂xi
h
existiert.
1.1. DIFFERENZIEREN
7
1.5 Beispiel (Fallender Stein s. (1.3)).
∂L
(t, x, ẋ) = −mg
∂x
⇒ −mg − mẍ = 0
∂L
= mẋ
∂ ẋ
⇒
d ∂L
= mẍ
dt ∂ ẋ
ẍ = −g
konstante Beschleunigung
1
⇒ x(t) = x0 + v0 t − gt2
2
Bemerkung. Wenn wir die Hilfsfunktion (partielle Funktion) g(x) = f (x01 , . . . , x0i +
x, . . . , x0n ) definieren, folgt
∂f
dg
(x0 ) =
(0).
∂xi
dx
Anschaulich bedeutet partielle Differentiation nach xi ein Festhalten (d.h. als Konstanten behandeln) aller anderen xj und normales“ Differenzieren nach xi .
”
1.6 Beispiel.
2
F (p, q) = e−p
+q 2
⇒
2
2
∂F
(p, q) = −2pe−p +q
∂p
2
2
∂F
(p, q) = 2qe−p +q
∂p
Wir haben am Beispiel der Euler–Lagrange–Gleichungen Gebrauch von der zweiten
Ableitung ẍ gemacht. Hier die Definition:
1.7 Definition. Sei I ⊂ R ein Intervall sowie f : I → R in jedem x ∈ I differenzierbar.
Dann definiert f 0 : x 7→ f 0 (x) die Ableitungsfunktion. Existiert für x0 ∈ I die Ableitung
(f 0 )0 =: f 00 (x0 ), so heißt dies die zweite Ableitung von f . Diese wird auch als
f 00 (x0 ) =
d2 f
(x
)
= f¨(x0 )
0
dx2
bei Zeit–Ableitungen
geschrieben.
Bevor wir uns anderen Dingen zuwenden, sei noch erwähnt, dass im Falle der Existenz
von f 0 (x) für alle x ∈ I die Funktion f differenzierbar auf I“genannt wird. Gemäß der
”
Definition von f 00 (x) gibt f 0 (x) die Steigung der Tangente im Punkt x an den Graphen
von f an.
8
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
Damit sind folgende Eigenschaften sehr plausibel. Sie werden aber später noch zu beweisen sein.
Monotonie und Ableitung
Ist I ⊂ R ein Intervall und f : I → R differenzierbar mit f 0 (x0 )
so ist f auf I monoton
≥
0 für alle x0 ∈ I,
≤
steigend
.
fallend
Ist f : I → R stetig differenzierbar und monoton steigend (fallend), so ist f 0 ≥ 0
(f 0 ≤ 0).
!
A
A
Merkregel: An Stellen von Minima und Maxima ist die Ableitung 0. Aus dem Nullwerden der ersten Ableitung folgt aber nicht das Vorliegen einer Extremstelle.
Geometrische Interpretation der Ableitung: Steigung der Tangente an die Funktion. Ist
f 00 > 0 d.h. die erste Ableitung ist streng monoton steigend, so ist f links gekrümmt.
Analog ist eine Funktion mit f 00 < 0 rechts gekrümmt.
Zusammenfassung
Wir kennen nun die prinzipielle Bedeutung der Ableitung f 0 (x0 ) einer Funktion f :
I → R und die geometrische Veranschaulichung über die Steigung der Tangente.
Ist f : I → R an allen Punkten von I differenzierbar, so heißt f 0 : I → R, x 7→ f 0 (x)
erste Ableitung von f (deren Ableitung f 00 = (f 0 )0 heißt zweite Ableitung). Mit Hilfe
der Rechenregeln können Ableitungen für normale“ Funktionen bestimmt werden.
”
Für Funktionen f : Rn → R (mehrerer Variablen) können wir partielle Ableitungen
bestimmen.
f 0 (x0 )
f 00 (x0 )
∂F
∂xi
Steigung der Tangente an der Stelle x0
Krümmung an der Stelle x0 (wenn f 0 differenzierbar)
partielle Ableitung, richtungsabhängige Steigung
1.2 Vektorrechnung
Viele wesentlichen Größen sind vektoriell. Zum Beispiel Ort, Impuls, Kraft und magnetische Felder.
Zunächst: R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}
1.2. VEKTORRECHNUNG
9
Rechenregeln:
a) Für x, y ∈ R gilt x + y = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) (siehe Skizze)
b) Für λ ∈ R, x ∈ R2 gilt λ x = (λx1 , λx2 )
Man kann leicht nachprüfen, dass (R, ⊕, ) ein Vektorraum über R ist, im Sinne der
mathematischen Definition, die besagt, dass Addition von Vektoren und Multiplikation mit Skalaren aus R den üblichen Rechenregeln gehorchen. Auf Details wird
später eingegangen.
Vorteil dieser Betrachtungsweise ist, dass man in vielen Rechnungen auf die umständliche Koordinatenschreibweise verzichten kann. Wir lassen von jetzt an die Kringel um
+ und · weg.
Die Punkte des dreidimensionalen (physikalischen) Raums werden durch R3 =
{(x, y, z) : x, y, z ∈ R} beschrieben und die Vorschrift für Addition und Multiplikation mit Skalaren ist - wie im R3 - koordinatenweise gegeben. Schließlich können wir
die Zeit als vierte Dimension einführen und bekommen
R4 = {(t, x, y, z) : t, x, y, z ∈ R}
mit dessen Punkten wir die Lage im Raum zu einer bestimmten Zeit festlegen können.
Es wird später nützlich sein, diese Konzepte noch weiter zu verallgemeinern. D.h. um
Größen zu beschreiben, die von n unabhängigen Variablen bestimmt werden, betrachtet man den
Rn = {x = (x1 , ..., xn ) : xi ∈ R}
Hier gelten analoge Rechenregeln. Das heißt für x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ) ist
x + y = (x1 + y1 , ..., xn + yn ) und λ · x = (λx1 , ..., λxn )
Mit Vektoren können wir wie mit Zahlen rechnen, aber
x
y
oder
x
y
gibt es (noch) nicht.
1.8 Beispiel. Der Phasenraum eines punktförmigen Teilchens R ist R6
10
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
R6 = {(q1 , q2 , q3 , p1 , p2 , p3 ) : qi , pi ∈ R}
| {z } | {z }
Ort
Impuls
Wie viele Dimensionen benötigt man für
zwei, drei, N Massenpunkte?
Wir hatten zu Beginn von Kapitel 1.1 die Ableitung mit Hilfe der Geschwindigkeit motiviert, dabei war der Weg“und der Ort“eindimensional. Wir wollen nun die analogen
”
”
Betrachtungen für eine Bewegung im R (besonders wichtig: d = 3, für Zeichnungen:
d = 2) durchführen.
Bewegung:
x(t) = x0 + tv0
|{z} |{z}
∈R3
∈R3
dx(t)
= v0
dt
x(t) Bewegung im Raum:
Im Zeitraum von t bis t + ∆t hat sich der Punkt von x(t) bis x(t + ∆t) bewegt.
x(t + 4t) − x(t)
= mittlere Geschwindigkeit zwischen t und t + ∆t
4t
ẋ(t) = x0 (t) = lim
4t→0
x(t + 4t) − x(t)
d
= Geschw. zur Zeit t =
x(t)
4t
dt |{z}
Vektor
Falls dieser Grenzwert existiert, ist er der richtige Wert für die momentane Geschwindigkeit.
1.2. VEKTORRECHNUNG
11
Diese Größe ist zwar genau wie die erste Ableitung einer reellwertigen Funktion definiert, es handelt sich aber um einen Vektor!
Hier x : R → R3 , t → x(t). In der Mechanik ist es üblich den Impuls p = mẋ des
Massenpunktes der Masse m zu betrachten.
1.9 Beispiel. (geradlinige Bewegung)
x(t)
= x0 + v0 t
x(t0 + h) − x(t0 )
ẋ(t0 ) = lim
h→0
h
x0 + (t0 + h)v0 − (x0 + t0 v0 )
= lim
= v0
h→0
h
1.10 Beispiel. (beschleunigte Bewegung) x(t) = x0 + v0 t − g2 t2 (0, 0, 1) ∈ R3 mit
x0 ∈ R3 , v0 ∈ R3
ẋ(t0 )
x(t0 + h − x(t0 )
h
x0 + v0 (t0 + h) − g2 (t0 + h)2 (0, 0, 1) − [x0 + v0 t0 − g2 t20 (0, 0, 1)]
= lim
h→0
h
v0 h − gt0 h(0, 0, 1) − g2 h2 (0, 0, 1)
= lim
h→0
h
g
= v0 − gt0 (0, 0, 1) − lim h(0, 0, 1)
h→0 2
|
{z
}
=
lim
h→0
=(0,0,0)
ẋ(t0 ) = v0 − gt0 (0, 0, 1)
ẍ(t0 ) = −g(0, 0, 1)
Bemerkung. (1) Kennt man x(t), so lässt sich daraus p(t) = mẋ(t), der Impuls zur
Zeit t, bestimmen.
(2) Der Lagrange-Formalismus liefert Differentialgleichungen, aus denen sich für jedes mechanische System im Prinzip aus dem Anfangszustand (x(0), p(0)) alle
(x(t), p(t)) , t ∈ Rn ausrechnen lassen.
In der Praxis wird dies aber schwierig ab 3 Körpern!
(3) Viele Mathematiker lassen grundsätzlich die Einheiten weg, Herr Stollmann auch.
(4) Die gerade Bewegung (s. letztes Beispiel) ist die “Lieblingsbewegung“ von Masse
m. Daraus muss man sie mit Kraft ablenken.
F =
dp
= mẍ (2. Newtonsche Bewegungsgleichung)
dt
Tiefe Wahrheit: träge Masse = schwere Masse
von Newton entdeckt und von Einstein wieder widerlegt.
12
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
In der Definition der Ableitung vektorwertiger Funktionen ist ein Konvergenzbegriff
versteckt, den wir bisher nicht präzisiert haben. Was bedeutet lim ∆x
∆t ? Anders for∆t→0
muliert: Was bedeutet lim xn = x für eine Folge (xn ) von Vektoren?
n→∞
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
h
2
Bild in R :
Wir sagen, dass eine Folge (xn ) in R gegen
x ∈ R2 konvergiert, wenn
|xn − x| → 0 für n → ∞
Dabei ist
|a − b| =
p
(a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2
der euklidische Abstand (bestimmt aus Pythagoras). Für Punkte x, y ∈ Rn ist der Abstand analog:
p
|x − y| = (x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2
2
2
Konvergenz (xn ) in R
p gegen x ∈ R , wenn |xn − x| → 0 für n → ∞
2
Dabei ist |a − b| = (a1 − b1 ) + (a2 − b2 )2 der euklidische Abstand bestimmt aus
Pythagoras.
p
|x − y| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2
Setzen wir für x ∈ Rd mit x = (x1 , ..., xd ) die Länge fest als Abstand vom Nullpunkt:
q
|x| = x21 + ... + x2d ,
so haben wir ein Mittel, um Konvergenz zu definieren.
1.11 Definition. (1) Seien x1 , x2 , ... ∈ Rd , x ∈ Rd . Wir sagen, dass die xn gegen x
konvergieren, in Zeichen
lim xn = x oder xn → x für n → ∞,
n→∞
wenn
lim |xn − x| = 0
n→∞
(2) Entsprechend sagen wir, dass f : I → Rd stetig ist in t0 ∈ I, falls
lim |f (t) − f (t0 )| = 0.
t→t0
1.2. VEKTORRECHNUNG
13
(3) f : I → Rd ist differenzierbar in t0 ∈ I, wenn es ein Df (t0 ) ∈ Rd gibt mit
f (t0 + h) − f (t0 )
lim − Df (t0 ) = 0
h→0
h
Wir schreiben auch
df
(t0 ) = f 0 (t0 ) = Df (t0 )
dt
und nennen Df (t0 ) erste Ableitung von f an der Stelle t0 .
Bemerkung. (1) xn → x, wenn die Koordinaten von x konvergieren, d.h. Konvergenz
= komponentenweise Konvergenz.
(2) Ist wie in unserem Anfangsproblem die Variable die Zeit, so schreibt man oft
f˙(t0 ) = Df (t0 )
(3) Die obige Definition ist aber von der zeitlichen Interpretation unabhängig und
es gibt viele Situationen, in denen die Variable x ∈ I heißen wird.
1.12 Korollar. Sei f : I → Rn ; dann ist f (x) = (f1 (x), . . . , fn (x)) die Darstellung
in Koordinaten. f1 , . . . , fn : I → R heißen Koordinatenfunktion von f . Wenn alle fi
stetig differenzierbar sind, ist f stetig diffenzierbar und
f 0 (x) = (f10 (x), . . . , fn0 (n))
1.13 Beispiel.
(1) Betrachte
f : R → R3 ; f (x) = x, x2 , ex
Berechnung über die Komponentenfunktionen
f1 (x) = x, f2 (x) = x2 , f3 (x) = ex
f10 (x) = 1, f20 (x) = 2x, f30 (x) = ex
⇒ f 0 (x) = (1, 2x, ex )
Das Rechnen mit der Definition würde sich hier als sehr umständlich erweisen.
(2) Betrachte
x(t) = e−t cos(t), e−t sin(t)
Was ist ẋ(t)?
Komponentenfunktionen:
ẋ1 (t) = −et sin(−t) − et cos(−t)
ẋ2 (t) = −et sin(−t) + et cos(−t)
ẋ(t) = −e−t (cos(−t) + sin(−t), sin(−t) − cos(−t))
14
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
(3) Gegeben sei
v (x1 , x2 ) = x1 2 + x2 2
für x = (x1 , x2 ) ∈ R2 die potentielle Entergie. die kinetische Energie ist 1/2ẋ2 .
Als Lagrangefunktion ergibt sich:
L (x, ẋ) =
00
1
1 2
ẋ − x2 =
x˙1 2 + x˙2 2 − x1 2 − x2 2
2
2
Die partiellen Ableitungen müssen die Euler-Lagrange-Gleichungen erfüllen:
d
∂L
−
=0
∂x1/2
dẋ1/2
In unserem Fall erhalten wir
∂L
∂L
= −2x1 ;
= −2x2
∂x1
∂x2
∂L
∂L
= x˙1 ;
= x˙2
∂ x˙1
∂ x˙2
Euler-Lagrange:
−2x1 − x¨1 = 0
−2x2 − x¨2 = 0
⇒ x¨1 = −2x1 x¨2 = −2x2
Lösungen sind z.B.
√ 2 t
√ 2 t
x2 (t) = cos
x1 (t) = cos
1.3 Skalarprodukt, Betrag, Winkel in Rn
Bisher haben wir die Länge |x| zur Untersuchung von Konvergenz herangezogen. Man
kann |x| aus einer anderen wichtigen Größe ableiten, dem Skalarprodukt (nicht verwechseln mit dem Produkt: Skalar√
· Vektor = Vektor).
Für jeden Vektor x ∈ Rn ist |x| = x1 2 + · · · + xn 2
1.14 Definition. Für x, y ∈ Rn wird durch (x|y) = x1 · y1 + · · · + xn · yn ∈ R eine
Abbildung (·|·) : Rn × Rn → R definiert, die die Eigenschaften eines Skalarprodukts
erfüllt, d.h.
• (x + y|z) = (x|z) + (y|z);
(λx|y) = λ(x|y)
• (x|y + z) = (x|y) + (x|z);
(x|λy) = λ(x|y)
1.3. SKALARPRODUKT, BETRAG, WINKEL IN RN
15
• (λx|y) = λ(x|y)
• (x|x) = |x|2 > 0 falls x 6= 0
• (x|y) = (y|x)
Diese Eigenschaften können natürlich in beliebigen Vektorräumen über R betrachtet
und zur Definition des Begriffs Skalarprodukt“ verwendet werden. Dies soll nun aber
”
nicht weiter verfolgt werden.
Bemerkung. Ist α = ∠ (~x; ~y ) der Winkel zwischen ~x und ~y , wobei |~x| = |~y | = 1, so gilt:
(~x | ~y ) = cos(α)
Erinnerung:
Rn = {(x1 , . . . , xn ) | xi ∈ R}
3
x, y
x + y; λx (x ∈ R)
f : I → Rn
f (t0 + h) − f (t0 )
f 0 (t0 ) = lim
h→0
h
Konvergenz kommt mit Abstand:
p
Abstand von x, y = |x − y| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2
Damit ist der lim wie folgt zu verstehen:
h→0
0
f (t0 + h) − f (t0 ) lim f (t0 ) −
=0
h→0 h
Zum Rechnen:
f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t))
mit fi : I → R
f 0 (t0 ) = (f10 (t0 ), . . . , fn0 (t0 ))
Wir haben schon gesehen, dass auf Rn ein Skalarprodukt exisiert:
( · | · ) : Rn × Rn → R,
Übung: h · , · i
n
X
(x|y) = x1 · y1 + · · · + xn · yn =
xi · yi
i=1
Es gilt: (x|x) = |x|2
Bemerkung. (1) Durch Einsetzen sehen wir, dass für die von uns im Rd eingeführten
(·|·) und | · | gilt, dass
d
X
(x|x) =
x2i = |x|2
i=1
16
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
(2) Es gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
∀ x, y ∈ Rd : |(x|y)| ≤ |x| · |y|
(3) Ist α = ∠(x, y) der Winkel zwischen x und y, so gilt (für x, y 6= 0):
(x|y)
x y
x
cos(α) =
=
;
ist Einheitsvektor in x-Richtung.
|x| · |y|
|x| |y|
|x|
Begründung.
(1) Spezialfall:
Dazu betrachten wir zunächst
zwei Einheitsvektoren im R2
x y
,
= (x|y)
|x| |y|
= (x1 · y1 + x2 · y2 + 0 + · · · + 0)
= 1 · cos(α) + 0 · sin(α)
= cos(α)
(2) Allgemeiner Fall folgt aus Spezialfall, weil das Skalarprodukt unter Drehung invariant ist (Beweis: s. lineare Algebra)
D : Rn → Rn , Drehung x, y
⇒ (Dx|Dy) = (x|y)
und sich durch eine Drehung stets x → e1 , y → (cos(α); sin(α); 0; . . . , 0) bewegen lässt.
Zusammenfassung:
Rd ist ein Vektorraum, d.h. es gibt eine vernünftige“ Addition:
”
Vektor + Vektor = Vektor,
die geometrisch (d ≤ 3) durch Aneinanderhängen der Vektoren zu veranschaulichen
ist.
1.4. WICHTIGE FUNKTIONEN
17
Desweiteren gibt es die Vielfachenbildung:
Skalar
| {z } ·Vektor = Vektor
reelle Zahl
Funktionen von I ⊂ R; I Intervall in den Rd können wir (manchmal!) differenzieren.
Die Ableitung im Punkt x ∈ R ist ein Vektor, falls sie existiert. Beim Grenzwert des
Differenzenquotienten geht für den Konvergenzbegriff die (Länge) von Vektoren (nach
Pythagoras) ein. Die Länge lässt sich wiederum auf das Skalarprodukt
( · | · ) : Rd × Rd → R, (V ektor|V ektor) = Zahl = Skalar
zurückführen, welches auch den Winkel zwischen x und y festlegt.
1.15 Beispiel.
x : R → R3
x(t) = (cos(t); sin(t); t)
ẋ(t) = − sin(t); cos(t); 1
|
{z
}
⊥ zu cos(t); sin(t)
1.4 Wichtige Funktionen
Zurück zu reellwertigen Funktionen: f : R → R
1.4.1 Polynome
Wenn a1 , . . . , an ∈ R sind, können wir die Polynomfunktion
P : R → R, x 7→ P (x) =
n
X
ai · xi = a0 · 1 + a1 · x + a2 · x2 · · · + an · xn
i=0
betrachten. Ist an 6= 0, so heißt n Grad des Polynoms. Die Ableitung ist
P 0 (x)
=
n−1
X
(i + 1) · ai+1 · xi = a1 + 2a2 + · · · + n · an · xn−1
i=0
P 00 (x)
P (n) (x)
P (n+1) (x)
l=i+1
=
n
X
l · al · xl−1
l=1
= ...
:= n-te Ableitung = n! · an
≡ 0.
Rationelle Funktionen: P, Q Polynome, R(x) =
P (x)
Q(x) ,
definiert für x mit Q(x) 6= 0.
18
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
1.16 Beispiel. Betrachte:
1
: R\{0} → R
x
Auch rationale Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich differenzierbar.
Ableitung:
P 0 (x) · Q(x) − P (x) · Q0 (x)
[Q(x)]2
Ketten-/
Quotientenregel ⇐
P (x) · Q(x)−1
Produktregel
R0 (x) =
Für x → ±∞ gilt |P (x)| → ∞, falls P nicht konstant ist. Vorzeichen hängt ab vom
Grad von P und von an .
1.17 Beispiel.
(1) P (x) = x2 + 1, keine Nullstellen,
P (x) → +∞ für x → ±∞, P 0 (x) = 2x, P 00 (x) = 2, P (3) (x) = 0
(2) P (x) = −x3 + 2x2 − x = −x(x2 − 2x + 1) = −x(x − 1)2 ,
P (x) → ∓∞ für x → ±∞
Ableitung:
P 0 (x) = −(x − 1)2 − 2x(x − 1) = −(x − 1)(x − 1 + 2x) = −(x − 1)(3x − 1)
1.4.2 Die Wurzelfunktion
√
√ 2
Für x ≥ 0 ist x die eindeutig bestimmte Zahl > 0 mit ( x) = x.
Graph:
1
Bei Spiegelung an x = y wird aus Steigung m die Steigung m
.
Rechnung: y = m · x, Umkehrfunktion/Spieglung an x = y
1
·y
x=m·y ⇒x= m
1.4. WICHTIGE FUNKTIONEN
19
Differenzierbarkeit:
√
Für x0 > 0 ist
bei x0 differenzierbar:
√
lim
h→0
x0 − h −
h
√
lim
h→0
Es ist also
√
0
x =
√
0+h−
h
√
√
√
√
( x0 − h − x0 ) · ( x0 + h + x0 )
√
= lim
√
h→0
h · ( x0 + h + x0 )
h
√
= lim
√
h→0 h · ( x0 + h +
x0 )
1
=
√
2 x0
√ 0
⇒
→ +∞ für x → 0
√
nicht differenzierbar bei 0
x0
√
0
1
lim √ ∈
/R
h
=
h→0
1
√
.
2 x
In Übereinstimmung mit dem Graphen gilit
ist bei 0 nicht differenzierbar.
Beweis.
√
0
x → +∞ für x → 0, die Wurzelfunktion
1
→0
n
q
1
n
+0−
1
n
√
0
=
√
n → +∞ für n → ∞
also existiert limh→0 ... nicht.
1.18 Beispiel.
y(x) =
Ableitung:
p
1 − x2
−2x
x
1
(−2x) = √
=− √
y 0 (x) = √
2 1 − x2
2 1 − x2
2 1 − x2
1.19 Beispiel. Die obere Einheitslinie im Bild stellt den Graph einer Funktion k :
[−1, 1] → R. Wie lautet diese Funktion und ihre Ableitung (linkes Bild)?
Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Funktion [0, ∞] 3 x 7→ x2 (rechtes
Bild).
20
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
1.4.3 Die Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion ist die wichtigste Funktion überhaupt. Sie ist definiert durch
die Potenzreihe
∞
X
1 k
ex = exp(x) =
x .
k!
k=0
Wichige Eigenschaften:
(1) Die Funktionalgleichung der Exponentialgleichung lautet
ex+y = ex + ey .
(Kann man durch Multiplizieren der Reihen und etwas Rechnen nachprüfen.)
(2) Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion lautet
exp0 = exp .
Das können wir nachprüfen, indem wir die Reihe gliedweise differenzieren. Dass
das gerechtfertigs ist, beweisen wir später:
exp(x)
=
exp0 (x)
=
l=k−1
=
∞
∞
X
X
1 k
xk
x =1+
k!
k!
k=0
∞
X
k=1
∞
X
l=0
k=1
k−1
k·x
k!
∞
X
xk−1
=
(k − 1)!
k=1
l
x
l!
Differentialgleichungen dieses Typs liegen vielen Wachstums- und Zerfallsprozessen zugrunde (radioaktiver Zerfall).
(3) Es gilt stets ex > 0, ∀ x ∈ R und ex ≥ 1, ∀ x ≥ 0. Ferner gilt 1 = ex−x = ex e−x .
Aus diesen Eigenschaften folgt
e−x =
1
>0
ex
und ex =
1
> 0.
e−x
1.4. WICHTIGE FUNKTIONEN
21
Ferner gilt:
lim exp(x) = ∞
x→∞
lim exp(x) = 0
x→−∞
(4) Aus exp0 = exp > 0 folgt, daß exp streng monoton wachsend ist. Es ist also
exp : R → (0, ∞) streng monoton (injektiv) und surjektiv, d.h. für alle y ∈ (0, ∞)
gibt es genau ein x ∈ R mit ex = y. Dieses x ist durch y eindeutig bestimmt, es
heißt
x = ln y = loge y Logarithmus von y
Das definiert eine Funktion
ln : (0, ∞) → R
bzw. x 7→ ln x ,
die Logarithmus-Funktion, ln ist die Umkehrfunktion, Inverse der Exponentialfunktion. und nennt ln x den natürlichen Logarithmus von x. Es gilt eln y = y,
ln(ey ) = y und ln(xy) = ln x + ln y.
Aus der Funktionalgleichung (FG) der Exponentialfunktion folgt die Funktionalgleichung des Logarithmus
ln(x · y) = ln x + ln y
Denn es gilt für s = ln x + ln y:
FG
es = eln x+ln y = eln x · eln y = x · y,
damit ist s ∈ R die eindeutig bestimmte Zahl mit es = x · y und s = ln(x · y).
Ebenso einfach sieht man, dass
ln x → +∞ für x → +∞
ln x → −∞ für x & 0
22
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
Bevor wir uns der Ableitung von ln zuwenden, wollen wir einige allgemeine Betrachtungen über die Umkehrfunktion anstellen.
Sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → J streng monoton und surjektiv, d.h. für alle y ∈ J
existiert x ∈ I mit f (x) = y. Wegen der strengen Monotonie ist dieses x eindeutig
bestimmt. Wir können daher
g : J → I, y 7→ g(y) = x
definieren, g heißt Inverse, Umkehrfunktion von f ; oft schreiben wir g = f −1 (nicht
verwechseln mit f1 !).
1.20 Beispiel. (1) f : [0, ∞) → [0, ∞), f (x) = x2 . Hier ist f −1 (x) =
nicht f : R → [0, ∞) ?)
√
(2) f : R → R, f (x) = x3 . Hier ist f −1 (x) = 3 x.
√
x. (Warum
(3) exp : R → (0, ∞), exp−1 = ln nach Definition des ln.
Graph der Umkehrfunktion:
Ist (x, y) ∈ Graph f , also y = f (x), so ist x = g(y), also (y, x) ∈ Graph f −1 . Der
Graph g entsteht also aus Graph f durch Spiegelung an der Geraden x = y.
Ist g(x) = y, so ist f (y) = x. Wie verändert sich die Steigung? Aus m 6= 0, wird
1
m.
1.21 Satz. Sei f : I → J differenzierbar, streng monoton, surjektiv und g = f −1 . Ist
x0 ∈ J und f 0 (g(x0 )) 6= 0, so ist g an der Stelle x0 differenzierbar mit
g 0 (x0 ) =
1
f 0 (g(x0 ))
.
1.22 Beispiel. Für I = [0, ∞], f : I → J und f (x) = x2 ergibt sich J = [0, ∞]. Die
Berechnung von g erfolgt durch die Rechenschritte
(a) y = f (x) ⇔ x = g(y)
(b) Vertauschen von x und y
√
Die Rechnung für das Beispiel ergibt g(x) = x.
1.4. WICHTIGE FUNKTIONEN
23
Die Ableitung von g kann durch die Formel
g 0 (x) =
1
f 0 (g(x))
berechnet werden kann. Anwendung der Formel mit f (x) = ex und g(x) = ln x ergibt
g 0 (x) =
1
eg(x)
=
1
eln x
=
1
.
x
1.4.4 Die allgemeine Potenzfunktion
Sei x > 0, a ∈ R. Die allgemeine Potenzfunktion ist definiert durch
xa = (eln x )a := ea ln x .
(1) Unter Benutzung dieser Definition erhält man, daß xn = x · ... · x (n Faktoren).
1
Analog erhält man x−n = x·...·x
(selbst überprüfen).
(2) Leider nur für x > 0 definiert. Für a ∈ R ist fa (x) = xa : (0, ∞) → (0, ∞). Die
Ableitung ist fa0 (x) = axa−1 , denn
fa0 (x) =
(ea ln x )0 = ea ln x ·
a
= ea ln x e− ln x a = ae(a−1) ln x
x
= axa−1
Für a = 1 : 1 · x0 = 1.
Dadurch sind neben den gewöhnlichen Potenzen a = 0, 1, 2, ..., auch inverse Potenzen a = −1, −2, −3, ...
x−k =
1
,k∈N
xk
p
und Wurzeln x q (mit q > p ∈ Z) definiert
1
1
x2 · x2
1
Also ist x 2 =
√
1
x. Analog x 3 =
1
1
= e 2 ln x · e 2 ln x
1
1
= e 2 ln x+ 2 ln x = x.
√
3
x uw.
24
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
1.4.5 Die Winkelfunktionen
Im (u, v)-Koordinatensystem betrachtet man einen Kreis K mit Mittelpunkt M (0, 0)
und Radius r = 1. Sei P ein Punkt auf K sowie
u
v
x
Projektion von OP auf die u-Achse,
Projektion von OP auf die v-Achse,
Winkel (in Bogenmaß) zwischen der
positiven u-Achse und der Strecke OP .
Man definiert die Winkelfunktionen cos x und sin x über
cos x =
u
r
und
sin x =
v
r
und setzt diese periodisch auf ganz R fort. Ferner definiert man
tan x =
cot x =
sin x
cos x
cos x
sin x
x 6=
(2k + 1)π
,k∈Z
2
und
x 6= kπ , k ∈ Z .
Die trigonometrischen Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig, sogar beliebig oft differenzierbar. Die ersten Ableitungen berechnen sich nach
(cos x)0 = − sin x
(sin x)0 = cos x
1
(tan x)0 =
= 1 + tan2 x
cos2 x
−1
(cot x)0 =
= −1 − cot2 x.
sin2 x
Unter Benutzung von Potenzreihenentwicklung beweist man die Euler’sche Relation
eix = cos x + i sin x
(i – imaginäre Einheit).
Aus dieser Relation kann man Additionstheoreme herleiten, z.B.: sin2 x + cos2 x = 1.
1.5. INTEGRALRECHNUNG
25
1.5 Integralrechnung
Eine zweite wichtige Behandlungsmethode für Funktionen ist neben dem Differenzieren
das Integrieren.
Überblick:
Hauptsatz der Differential und Integralrechnung. Differenzieren und Integrieren
sind in gewisser Weise inverse Operationen.
Anschauliche Grundlage für die Definition des Riemann-Integrals ist die Berechnung von Flächen.
Idee:
Approximiere die gesuchte Fläche durch Vereinigung von Rechteckflächen
Ansatz:
Approximation des Flächeninhaltes zwischen einer nichtnegativen Funktion f und
der x-Achse in den Grenzen von x = a und
x = b durch
n−1
X
f (ti )(ti+1 − ti ) ,
i=0
wobei {t0 , ..., tn } eine Zerlegung des Intervalls [a, b] ist. Fehler wird kleiner, wenn
die Feinheit der Zerlegung
max
k=0,...,n−1
verkleinert wird.
| tk+1 − tk |
26
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
Falls die Feinheit der Zerlegung gegen Null geht, unterscheidet sich die gesuchte
Fläche immer weniger von den approximierenden Rechteckflächen.
Für eine Zerlegung Z = {t0 , ..., tn } von I = [a, b] nennen wir
XR
Z
f :=
n−1
X
f (tk )(tk+1 − tk )
k=0
die zur Funktion f gehörige Riemann-Summe und
|Z| =
max
k=0,...,n−1
| tk+1 − tk |
die Feinheit der Zerlegung. Wir setzen die Fläche als Grenzwert
Zb
f (x)dx = lim
|Z|→0
XR
Z
f,
a
an und hoffen, daß dieser Grenzwert für vernünftige Funktionen existiert. Tatsächlich werden wir diese Funktionen später Riemann-integrierbar nennen. Alle stetigen
Funktionen sind Riemann-integrierbar.
1.5. INTEGRALRECHNUNG
27
1.23 Beispiel. Mit Hilfe der Definition des Riemann-Integrals soll die Fläche unter
der Funktion f : [a, b] → R, f (x) = c berechnet werden. Für die Riemann-Summe
ergibt sich
XR
Z
f =c
n−1
X
(tk+1 − tk ) = c(b − a)
(spezielle Riemann-Summe) .
k=0
Für Z = {t0 , ..., tn } mit t0 = a und tn = b folgt
XR
Z
f=
n−1
X
f (tk )(tk+1 − tk )
k=0
Zb
⇒
f (x)dx = lim c(b − a) = c(b − a)
|Z|→0
a
1.24 Beispiel. Mit Hilfe der Definition des Riemann-Integrals soll die Fläche unter
dem Graphen der Funktion f : [0, ∞] → R mit f (x) = mx berechnet werden. Es gilt
XR
Z
f
=
n−1
X
f (tk )(tk+1 − tk )
k=0
=
m
n−1
X
(tk tk+1 − t2k )
k=0
=
n−1
X
1
mtk (tk+1 − tk ) + (tk+1 − tk ) m(tk+1 − tk )
2
k=0
n−1
X
1
−
(tk+1 − tk ) m(tk+1 − tk )
2
k=0
=: T1 − T2 .
Für | T2 | erhält man
n−1
1
X
| T2 | = (tk+1 − tk ) m(tk+1 − tk )
2
k=0
≤
max
k=0,...,n−1
| tk+1 − tk |
n−1
mX
(tk+1 − tk )
2
k=0
m
= | Z | (b − a) .
2
Es folgt, daß der Summand T2 bei Verfeinerung der Zerlegung Z verschwindet, denn
m
lim | T2 |= lim | Z | (b − a) = 0 .
2
|Z|→0
|Z|→0
28
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
Für den ersten Summanden T1 erhält man
n−1
X
1
T1 =
mtk (tk+1 − tk ) + (tk+1 − tk ) m(tk+1 − tk )
2
k=0
=
=
=
n−1
mX
(tk+1 − tk )(tk+1 + tk )
2
k=0
m 2
(t − t20 )
2 n
m 2
(b − a2 ) .
2
Für den Grenzwert für T1 − T2 bei |Z| → 0 erhält man somit
Zb
f (x)dx = lim (T1 − T2 ) = lim
|Z|→0
|Z|→0
hm
i m
(b2 − a2 ) = (b2 − a2 ) .
2
2
a
Bemerkung. Für variable obere Intervallgrenze x anstelle von fester oberer Intervallgrenze b erhalten wir für unsere zwei Beispiele
Zx
F (x) =
f (t)dt
mit f (t) = mt und
g(t)dt
mit g(t) = c
a
Zx
G(x) =
a
daß
m 2
(x − a2 ) ,
2
G(x) = c(x − a) ,
F (x) =
folglich
F 0 (x) = mx = f (x) und
folglich
G0 (x) = c = g(x) .
Somit gilt offensichtlich für obige Beispiele F 0 = f und G0 = g. Das ist kein Zufall,
sondern eine Konsequenz aus dem Hauptsatz der Integralrechnung. Für eine einfachere
Formulierung definieren wir:
1.25 Definition. Eine Funktion F : J → R heißt Stammfunktion von f , falls
F 0 = f gilt.
Bemerkung. Nicht jede Funktion besitzt eine Stammfunktion, aber jede stetige Funktion besitzt eine.
1.5. INTEGRALRECHNUNG
29
Sei f stetig und F definiert durch F (x) =
Rx
f (t)dt, dann gilt offenbar, daß
a
x+h
Z
F (x + h) − F (x)
=
f (t)dt
x
≈ f (x)h
(für h klein).
Damit folgt, daß
F (x + h) − F (x)
= f (x) .
h
Dies bedeutet, daß F differenzierbar ist und daß F 0 = f gilt. Aus dieser Eigenschaft
erhält man den folgenden Satz:
lim
h→0
1.26 Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Sei f : [a, b] 7→
Rx
R stetig und F (x) = f (t)dt. Dann ist F differenzierbar und F 0 = f . Wir nennen G
a
Stammfunktion von g, falls G0 = g.
Daraus folgt diese Regel:
1.27 Korollar. Ist f : [a, b] → R stetig, und F die Stammfunktion von f , so ist
Rb
f (t)dt = F (b) − F (a)
a
Das Berechnen von Stammfunktionen ist also dann einfach, wenn wir für die begrenzende Funktion die Stammfunktion kennen.
Funktion
1
x
Polynom vom Grad n
ex
sin x
xe
1
x
−x2
Stammfunktion
x
1 2
2x
Polynom vom Grad n+1
ex
− cos x
ln x
2
− 12 e−x
1.28 Beispiel.
(1) f (t) = t2 hat Stammfunktion F (x) = 31 x3 . Das heißt:
Zb
a
t2 dt =
b3
a3
−
3
3
30
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
(2) Sei C n (I) eine n mal stetig differenzierbare Funktion:
f ∈ C n (I) ⇒ f 0 ∈ C n−1 (I)
(3) f (x) = |x|
Stammfunktion:
1
2 x|x|
1 2
2x
− 12 x2
=
für x ≥ 0
für x < 0
Differenzieren macht die Funktion weniger “glatt”
Integrieren macht die Funktion “glatter”
(4) f (t) = cos t hat die Stammfunktion F (x) = sin x.
Zb
cos t dt = sin b − sin a.
a
Zum Beispiel
Rπ
cos t dt = 0.
−π
Beim Riemann-Intehral werden Flächen unterhalb der x-Achse negativ zählt.
(5) sinh x = 12 (ex − e−x )
Stammfunktion ist cosh x =
von cosh x.
1
2
(ex + e−x ). Umgekehrt ist sinh x Stammfunktion
Um Integrale (Flächen) zu berechnen, müssen wir also Stammfunktionen suchen. Das
ist nicht einfach und nicht immer möglich (im Sinne von geschlossenen Ausdrücken).
Es helfen einem aber die Differentiationsregeln, die wir schon kennen.
Integrationsregeln:
Z
Z
ku(x)dx = k
u(x)dx
Z
Z
Z
(u(x) + v(x))dx =
u(x)dx + v(x)dx
Aus der Produktregel ((uv)0 = u0 v + uv 0 ) folgt außerdem die Regel für die partielle
Integration:
Zb
Zb
0
(uv) dx = (uv)(b) − (uv)(a)
a
=
Zb
0
u vdx +
a
Zb
⇒
a
b
u0 vdx = uv −
Zb
a
a
b
Notation: f = f (b) − f (a)
a
uv 0 dx
a
uv 0 dx
1.5. INTEGRALRECHNUNG
31
1.29 Beispiel.
R1
(1)
0
x · |{z}
ex dx
|{z}
mit: (v 0 = 1, u = ex )
u0
v
1 R1
= x · ex − 1 · ex dx = e − (e − 1) = 1
0
0
unpraktisch:
R1
x · |{z}
ex dx =
|{z}
0
u0
x2
2
1 R1
· ex −
0
v
0
x2
2
· ex dx
π
π2 Rπ2
R2
2
π2
2
x · sin
x dx =
dx
=
x
·
sin
x
−
2x
·
sin
xdx
=
−
2
·
x
·
cos
x
4
|{z}
|{z}
|{z} | {z }
0
0
0
0
0
0
v
v
u
u
!
π2 Rπ2
π2 π2
π2
2 · −x · cos x + 1 · cos xdx = 4 − 2 · 0 + sin x
= 4 −2
π
R2
(2)
0
π2
4
−
0
0
(zweimal partiell integrieren)
Merke: Mit partieller Integration kann man manchmal eine Stammfunktion berechnen. So ist z.B. x · ex − ex eine Stammfunktion von x · ex (siehe 1. Beispiel). Das gleiche
ist auch im zweiten Beispiel möglich.
Aufgabe
(Fourier-Reihen):


Z∞ Z∞
 e−x cos pxdx dp
−∞
0
{z
|
Ip
}
Ip mit partieller Integration:
Z∞
e−x · cos px dx
|{z}
| {z }
0
u0
(u = −e−x , v 0 = −p · sin px)
v
Z∞
Z∞
∞
−x
= −e · cos px − p · e · sin pxdx = 1 − p |{z}
e−x · sin px dx
| {z }
0
u0
0
0
v


Z∞
∞ Z∞
−x
−x
2


= 1 − p · −e · sin px + e · p · cos pxdx = 1 − p · e−x · cos pxdx
−x
0
0
⇒ Ip = 1 − p2 · Ip ⇒ Ip =
0
1
1+p2
Partielle Integration funktioniert meistens gut bei e-Funktionen und trigonometrischen
Funktionen (die entsrechen dann u0 ).
Aus der Produktregel folgt die partielle Integration“. Aus der Kettenregel folgt die
”
Substitutionsregel“. Die Substitutionsregel gibt eine Formel für Integrale nach Koor”
dinatentransformation.
32
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
Sei g : I 7→ R stetig, ϕ : J 7→ I stetig, differenzierbar. (Koordinatentransformation)
Sei G Stammfunktion von g. Nach der Kettenregel gilt:
d
G(ϕ(s)) = G0 (ϕ(s))ϕ0 (s) = g(ϕ(s))ϕ0 (s)
ds
ϕ(b)
Z
HDI
⇒
Zb
g(x)dx = G(ϕ(b)) − G(ϕ(a)) =
g(ϕ(s))ϕ0 (s)ds
a
ϕ(a)
Dies wird als Substitutionsregel bezeichnet:
ϕ(b)
Z
g(x)dx
x=ϕ(s)
ϕ(a)
Merkregel: x = ϕ(s),
1.30 Beispiel.
R∞
−∞
π
2
R
−π
2
1
0
1+tan2 ϕ (tan
dx
ds
Zb
=
g(ϕ(s))ϕ0 (s)ds
a
= ϕ0 (s) ⇒ dx = ϕ0 (s)ds“
”
1
1+p2 dp
π
2
ϕ)dϕ =
R
−π
2
Substitution: p = tan ϕ
1
1+tan2 ϕ (1
+ tan2 ϕ)dϕ = π
Wir haben schon eine Erweiterung (inoffiziell) des Riemann-Integrals betrachtet. Bei
Riemann-Integralen müssen die Intervallgrenzen und Funktionswerte reelwertig sein
und beschränkt. Beide Regeln können verletzt sein, das führt zu sogenannten uneigentlichen Riemann-Integralen.
Daher folgt nun die die Einführung des uneigentlichen Riemann-Integrals.
1.31 Definition. Seien dazu a, b ∈ [−∞, ∞], a ≤ b sowie f : (a, b) 7→ R so, dass für
a < ã ≤ b̃ < b die Funktion f auf [ã, b̃] Riemann-integrierbar ist:
Rb̃
Rb̃
Rb
Konvergiert f (x)dx, d.h. lim lim f (x)dx =: f (x)dx existiert , so heißt f uneiã
b̃→b ã→a ã
gentlich Riemann-integrierbar auf [a, b].
a
1.5. INTEGRALRECHNUNG
1.32 Beispiel.
33
(1) Wir betrachten auf (0, 1] die Funktionen xα , α ≤ 0.
Frage: Für welche α < 0 ist xα auf [0, 1] uneigentlich Riemann-integrierbar?
1 α+1
für α 6= −1
α+1 x
Stammfunktion von xα :
ln x
für α = −1
1
R1
→ α+1
falls α > −1
1
1
1
α 6= −1 : xα dx = α+1
xα+1 = α+1
(1 − aα+1 )
→ ∞ falls α < −1
a
α
1
R1
kritischer Fall: α = −1, x1 : für α = −1 : x1 dx = ln x = 0 − ln a → +∞ Fazit:
a
a
xα uneigentlich Riemann-integrierbar genau für α > −1
Merke: Je kleiner α, desto stärker die Singularität. Die Grenze der Integrierbarkeit liegt bei −1. Die Berechnung des Riemann-Integrals geht nur für α > −1,
1
3
z.B. x− 2 , x− 4 , ...
(2) Die Funktion xβ , β < 0 bei x = ∞ auf [1, ∞).
Frage: für welche β < 0 ist xβ uneigentlich Riemann-integrierbar?
Stammfunktion:
• β = −1 : ln x :
Rb
xβ dx = ln b → ∞
1
1
• β 6= −1 : 1+β
xβ+1 :
Rb β β6=−1 1 β+1
∞
x dx = β+1 (b
− 1) →
1
− β+1
1
, falls β > −1
, falls β < −1
Merke: Je kleiner β, desto besser. Der Grenzfall liegt bei β = −1. Die Integrierbarkeit ist bei ∞“ für β < −1 gegeben.
”
Fazit: Kritischer Fall für β = −1; uneigentlich Riemann-integrierbar für β < −1
→ xα für kein α auf (0, ∞) uneigentlich Riemann-integrierbar!
(3) Etwas schwieriger
•
R∞ sin x
0
x+1 dx
existiert als uneigentliches Riemann-Integral (Auslöschung durch
±), aber
R∞ | sin x|
•
x+1 dx existiert nicht als uneigentliches Riemann-Integral (divergiert un0
gefähr wie ln)
(4) Gamma-Funktion:
R∞
Γ(y) = e−t ty−1 dt für y > 0
0
existiert als uneigentliches Riemann-Integral:
34
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
t
t
a) bei ∞: e−t ty−1 ≤ Cy · e− 2 . Dabei ist e− 2 bei ∞ Riemann-integrierbar, weil
b
Rb − t
t
b
e 2 dt = −2 · e− 2 = 2 · (1 − e− 2 ) → 2 für b → ∞
0
0
−t y−1
b) bei 0 : e t
≈t
y−1
Riemann-integrierbar, da y − 1 > −1
Mit partieller Integration (Begründung siehe unten) sehen wir folgende Eigenschaft:
Γ(y + 1) = y · Γ(y)
Begründung:
Z∞
Γ(y + 1)
=
0
−t
e t| {z } dt = −e
|{z}
u0
∞ Z∞
· t − −e−t · y · ty−1 dt
y
v
Z∞
=
−t
(y+1)−1
0+y·
0
0
e−t ty−1 dt = y · Γ(y)
0
Außerdem:
Z∞
Γ(1)
=
∞
e−t dt = −e−t 0
0
Γ(2) = 1 · Γ(1) = 1
Γ(3) = 2 · Γ(1) = 2
...
...
Γ(n + 1) = n!
1.6 Kurven und Kurven/Linien-Integrale
Mathematisch ist eine Kurve im Rn einfach eine stetige Abbildung
γ : [a, b] → Rn ,
wobei [a, b] ⊂ R ein Intervall ist. Wir werden in der Regel nur stetig differenzierbare
Kurven betrachten.
Wichtig dabei ist eine strenge Unterscheidung zwischen γ (der Abbildung) und dem
Bild γ ∗ = {γ(t) : t ∈ [a, b]}.
t
1
1.33 Beispiel. (1) γ : [0, 1] → R2 , γ(t) = 1−t
⇒ γ 0 (t) = −1
. Das heißt γ
beschreibt die Kurve, die (0, 1) und (1, 0) verbindet“.
”
(2) Allgemeiner: Für x, y ∈ Rn ist die Verbindungsstrecke zwischen x und y parametrisiert durch
γ : [0, 1] → Rn ,
γ(t) = t · y + (1 − t) · x
1.6. KURVEN UND KURVEN/LINIEN-INTEGRALE
(3) Betrachte
γ : [0, 2π) → R2 , γ(t) =
cos t
sin t
γ parametrisiert die Einheitskreislinie. Bild γ ∗ = {x ∈ Rn : |x| = 1}
Anschaulich gesprochen ist γ : [a, b] → Rn Beschreibung einer Fahrt“.
”
Die Geschwindigkeit γ 0 zur Zeit t ist
γ(t + h) − γ(t)
h→0
h
γ 0 (t) = lim
Die Länge ` der Kurve γ ist
Zb
`(γ) =
|γ 0 (t)| dt
(γ ist stückweise differenzierbar)
a
Länge der Kurven in den obigen Beispielen:
t
(1) γ(t) = 1−t
, t ∈ [0, 1]
√
1
0
γ (t) = −1 (konstante Geschwindigkeit, |γ 0 | = 2)
Die Länge der Kurve beträgt
Z1
0
|γ (t)|dt =
`(γ) =
0
Z1 √
2 dt =
0
(2) γ(t) = t · (y − x) + x
γ 0 (t) = y − x, |γ 0 (t)| = |y − x|
Die Länge der Kurve beträgt
Z1
`(γ) =
|γ 0 (t)|dt = |y − x|
0
t
(3) γ(t) = cos
sin t ,t ∈ [0, 2π]
sin t
0
γ(t) = −cos
t , |γ (t)| = 1
Die Länge der Kurve beträgt
Z2π
`(γ) =
0
|γ 0 (t)|dt = 2π
√
2
35
36
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
Vorsicht: `(γ) ist nicht die Länge von γ∗, obwohl dies nach obigen Beispielen so
aussehen mag. Zum Beispiel:
cos t
2
γ2 : [0, 4π] → R , γ2 (t) =
⇒ `(γ2 ) = 4π (2 Runden!)
sin t
Bemerkung. Sei γ : [a, b] → Rn eine Kurve. Dann ist folgende Abbildung eine Parametertransformation:
ϕ : [c, d] → [a, b] (bijektive Abbildung mit ϕ(c) = a und ϕ(d) = b)
Dann wird durch γ ◦ ϕ : [c, d] → Rn ebenfalls eine Kurve definiert.
Die Länge von γ ◦ ϕ ist :
Zd
`(γ ◦ ϕ)
Zd
0
|γ ◦ ϕ (t)|dt =
=
c
ϕ 0≥ 0
Zd
=
|γ 0 (ϕ(t) · ϕ 0 (t)|dt
c
|γ 0 (ϕ(t))| · ϕ 0 (t)dt
Subst. x = ϕ(t)
c
ϕ(d)
Z
|γ 0 (x)|dx = `(γ)
⇒
ϕ(c)
1.34 Definition. Eine Kurve heißt regulär, wenn sie stetig differenzierbar ist mit
γ 0 6= 0. In diesem Fall ist s : [a, b] → [0, `(γ)] streng monoton steigend.
Diese Kurven kann mann durch ihre Bogenlänge parametrisieren. Dabei ist die Bogenlänge s : [a, b] → [0, `(γ)] einer Kurve γ : [a, b] → Rn gegeben durch
Zt
s(t) =
|γ 0 (t)|dt
a
Ist nun γ regulär und s streng monoton, existiert die Umkehrabbildung ϕ : [0, `(γ)] →
[a, b], man kann also γ umparametisieren:
γ
e = γ ◦ ϕ : [0, `(γ)] → Rn , die Kurve ist durch ihre Bogenlänge parametrisiert
f0 (t)|
Dazu berechnet man |γ
f0 (t)| = |γ 0 (ϕ(t)) · ϕ0 (t)|
|γ
Die Ableitung der Umkehrfunktion lautet
|γ 0 (ϕ(t))| ·
1
s0 (ϕ(t))
= |γ 0 (ϕ(t))| ·
Also ist die Bogenlänge von γ
e die Identität.
1
|γ
0 (ϕ(t))|
=1
1.6. KURVEN UND KURVEN/LINIEN-INTEGRALE
37
Die Ableitung der Bogenlänge ergibt
s0 (t) = |γ 0 (t)|
Verschiedene Arten von Linienintegralen: Sei zunächst M ⊂ Rn , F : M → Rn .
Z
F~ (~r) · d~r =
γ
Zb
dγ(t)
dt =
F~ (γ(t)) ·
dt
Zb
(F~ (γ(t))|γ 0 (t))dt
a
a
Bedeutung: Arbeitsintegral (F~ (x) ist ein Vektor), F heißt Vektorfeld.
Dieses Integral umschreibt die Projektion eines Vektors F~ (γ(t)) auf eine Kurve mit
dem Anfangspunkt γ(t) und dem Endpunkt γ(t + ∆t). Vektor F~ und die Kurve γ
stehen mit Winkel α aufeinander. Die projizierte Strecke s berechnet sich wie folgt:
s = |F | · cos α · |γ(t + ∆t) − γ(t)|
Die Arbeit von t bis ∆t
|F | · |γ(t + ∆t) − γ(t)| · cos α = F (γ(t)) ◦ (γ(t + ∆t) − γ(t))
Die Summe über diese Beträge lautet
Zb
(F (γ(t)) ◦ γ 0 (t))dt
a
1.35 Beispiel.
(1) Massenpunkt im konstanten Schwerefeld
Die Formeln dazu lauten
1
1
π π
· (0, 0, 1) + · (cos t, 0, sin t) , t ∈ [− , ]
2
2
2 2
1
γ 0 (t) = · (− sin t, 0, cos t)
2
bzw. γ : [a, b] → R3 mit γ(a) = A und γ(b) = B
A = (A1 , A2 , A3 ) , B = (B1 , B2 , B3 )
γ(t) =
Arbeit W :
π
Z2
=
−π
2
(F (γ(t)) ◦ γ 0 (t))dt
38
KAPITEL 1. EINLEITUNG (CRASHKURS)
π
Z2
= −m · g ·
((0, 0, 1) ◦
1
· (− sin t, 0, cos t))dt
2
−π
2
π
Z2
1
= −m · g · ·
2
(cos t)dt = −m · g ·
1
· 2 = −m · g
2
−π
2
Rechnung:
Zb
W =
(F (γ(t)) ◦ γ 0 (t))dt
a
Zb
= −m · g ·
((0, 0, 1) ◦ (γ10 (t), γ20 (t), γ30 (t)))dt
a
Zb
= −m · g ·
γ30 (t)dt = −m · g · γ3 |ba
a
Ergebnis:
= −m · g · (B3 − A3 )
Arbeit
(2) Arbeit im Coulomb-Feld
Eine kleine Probeladung q wird im elektrischen Feld der großen Ladung Q bewegt.
Der Weg lautet γ : [a, b] → R3 . Frage: Was ist die Arbeit?
Die Kraft zwischen Q im Punkt 0 und q im Punkt x beträgt:
F (x) = c ·
x
· q · Q,
|x|3
c·q·Q=1
Die Arbeit wird wie folgt berechnet:
Z
W
=
F~ (~x)d~x =
=
(F (γ(t)) ◦ γ 0 (t))dt
a
γ
Zb
Zb
γ(t)
0
◦ γ (t) dt
|γ(t)|3
a
Zb
=
a
1
(γ(t) ◦ γ 0 (t))dt
|γ(t)|3
1.6. KURVEN UND KURVEN/LINIEN-INTEGRALE
39
Nebenrechnung:
d
γ(t) ◦ γ 0 (t))
|γ(t)| =
dt
|γ(t)|
d
. . . ist Ableitung von ’irgendwas’
g(t) =
dt
1
(γ(t) · γ 0 (t))
g(t) =
·
|γ(t)|2
|γ(t)|
d
d
1
1
· |γ(t)| = − ·
=
|γ(t)|2 dt
dt |γ(t)|
Fortführung des Arbeitsintegrals:
Zb
Zb
0
(F (γ(t)) ◦ γ (t))dt =
a
Zb
g(t)dt = −
a
Zb
=−
1
d
·
dt
dt |γ(t)|
a
1
1
1
dt =
−
|γ(t)|
|γ(a)| |γ(b)|
a
Allgemeiner:
Sei F : Rd → Rd stetiges Vektorfeld, es gebe V : Rd → R mit ∂i V = Fi . Dann
gilt
Z
Zb
~
F (~x)d~x = (F (γ(t) ◦ γ 0 (t))dt = V (γ(b)) − V (γ(a))
γ
a
In diesem Fall wird −V Potential von F“ und F Potentialfeld. Warum Potential?
”
Beispiel:
Für F (x) =
x
|x|3
ist V (x) = −
1
|x|
ein Potential
Wenn gilt
Z
γ
F~ (~x)d~x =
Z
F~ (~x)d~x,
γ
e
also γ und γ
e gleiche Anfangs- und Endpunkt haben, so heißt F konservativ.
Insbesondere Potentialfelder sind konservativ. Konservativ bedeutet:
Z
F~ (~x)d~x = 0 falls γ(a) = γ(b)
γ
Es wird keine Arbeit auf geschlossenen Wegen verrichtet.
40
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
2 Die reellen Zahlen
2.1 Motivation und Geschichtliches
Nicht alle Längenverhältnisse sind rational. Der goldene Schnitt“ taucht im Pentagon
”
(dem Symbol der Pythagoräer) auf.
l
l+k
=
k
l
2.1 Beispiel.
√
(1) Verhältnis der Diagonalenlänge zur Seitenlänge eines Quadrates ( 2)
√
(2) Verhältnis der Diagonalenlänge zur Seitenlänge eines Fünfeckes ( 1+2 5 )
Beweis. zu (2) (indirekt)
√
√
Angenommen l = 1+2 5 wäre eine rationale Zahl. Dann muss auch 5 = 2l −1 rational
sein:
√
p
∃ p, q ∈ N, ggT (p, q) = 1 :
5= .
(2.1)
q
Damit gilt
5=
√
5·
√
5=
p2
,
q2
(2.2)
d.h. 5 ist ein Teiler von p2 . Da 5 eine Primzahl ist, muss sie auch ein Teiler von p selbst
sein, also:
5 | p2 ⇒ 5 | p ⇒ 52 | p2 ⇔ ∃ k ∈ Z : p2 = k · 25.
(2.3)
Mit Gleichung (2.2) erhält man für q:
5 · q 2 = p2 ⇒ q 2 = k · 5 ⇔ 5 | q 2
und analog zu (2.3) folgt, dass auch q durch 5 teilbar ist, also ist ggT (p, q) = 5.
Dies steht im Widerspruch zur Annahme (2.1).
Motivation für reelle Zahlen
Erweitere Q so, dass Grenzwerte möglich sind.
2.2. DER KÖRPER DER REELLEN ZAHLEN
41
Entscheidende Strukturen
• Arithmetik (Körperaxiome)
• Ordnungsstruktur
• Vollständigkeit
2.2 Der Körper der reellen Zahlen
Wir beginnen mit den Rechenregeln für reelle Zahlen.
2.2 Definition. Eine Menge (K, +, ·) für die die zwei Verknüpfungen
+ : K × K → K, (x, y) 7→ x + y
· : K × K → K, (x, y) 7→ x · y
und
definiert sind, heißt Körper, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
(1) ∀ x, y, z ∈ K :
(2) ∀ x, y ∈ K :
x + (y + z) = (x + y) + z
x+y =y+x
(3) ∃ 0 ∈ K :
∀x ∈ K : x + 0 = x
(4) ∀ x ∈ K :
∃ (−x) ∈ K : x + (−x) = 0
(5) ∀ x, y, z ∈ K :
(6) ∀ x, y ∈ K :
x · (y · z) = (x · y) · z
x·y =y·x
(7) ∃ 1 ∈ K :
∀x ∈ K : x + 1 = x
(8) ∀ x ∈ K :
∃ (x−1 ) ∈ K : x + (x−1 ) = 1
(9) ∀ x, y, z ∈ K :
(Assoziativität der Add.)
(Kommutativität der Add.)
(Existenz der Null)
(Existenz des Negativen)
(Assoziativität der Mult.)
(Kommutativität der Mult.)
(Existenz der Eins)
(Existenz des Inversen)
(x + y) · z = x · z + y · z
2.3 Axiom. (R, +, ·) ist ein Körper.
2.4 Beispiel.
(1) (Q, +, ·) ist ein Körper
(2) (Z, +, ·) ist kein Körper, da Axiom (8) nicht erfüllt ist.
(3) F2 = {0, 1} ist kleinster Körper mit:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
·
0
1
0
0
0
1
0
1
Bemerkung. Sei (K, +, ·) ein Körper. Dann gilt:
(Distributivgesetz)
42
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
(1) Die 0 ist eindeutig. (Sei 0̃ ein weiteres Nullelement, d.h. 0̃ + x = x ∀ x ∈ K.
Insbesondere ist dann 0̃ = 0̃ + 0 = 0 + 0̃ = 0, da die Addition kommutativ ist.)
(2) Für alle x ∈ K ist 0x = 0, denn es gilt 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x. Dann ist aber
0 = 0x + (−0x) = 0x + 0x + (−0x) = 0x.
(3) Für x ∈ K ist die n–te Potenz definiert durch
x0N = 1K
!
A
A
xn+1 = xn · x
und
Diese rekursive Definition gilt für n ∈ N0 . Zwischen 1K und 1N sowie 0K und
0N0 muss sorgfältig unterschieden werden. Außerdem gilt xn xm = xn+m (Beweis
durch einfache Induktion).
N
P
Für x 6= 1 ist
xk = (xN +1 − 1)(x − 1)−1 .
k=0
(4) Ebenfalls rekursiv kann man auch das n-fache (n ∈ N0 ) von x ∈ K definieren:
0N 0 x = 0
!
A
A
und
(n + 1)x = nx + x
In F2 = 0, 1 ist 2x = 0 für alle x ∈ F2 .
Wir können alle arithmetischen Manipulationen wie gewohnt durchführen. Streng genommen müsste dabei aber jeder Rechenschritt mit Hilfe der Körpereigenschaften
bewiesen werden.
2.3 Anordnung von R
Aus der Schule wissen wir, dass sich die reellen Zahlen der Größe nach ordnen lassen.
Es gibt also eine Relation < bzw. ≤ zwischen Zahlen. In einem abstrakten Körper ist
eine solche Ordnungsrelation zweckmäßig, da gewisse Elemente des Körpers als positiv
ausgezeichnet werden.
x<y
⇔
x−y <0
⇔
y − x positiv
Um zu einer sinnvollen Struktur zu kommen, geht man wie folgt vor:
2.5 Definition. Sei (K, +, ·) ein Körper. K heißt angeordnet, wenn es eine Teilmenge
K + ⊂ K mit folgenden Eigenschaften gibt:
(01) Es existiert eine disjunkte Zerlegung
K = K + ∪ {0} ∪ {−x : x ∈ K + }
|
{z
}
+
=: −K
ausführlich: 0 6∈ K + ∪ (−K + ) und K + ∩ (−K + ) = ∅
2.3. ANORDNUNG VON R
(02) ∀ x, y ∈ K +
⇒
x + y ∈ K+
(03) ∀ x, y ∈ K +
⇒
x · y ∈ K+
43
Dann heißen die Elemente von K + positiv und die von −K + negativ.
Damit wird eine Ordnungsrelation induziert:
x>y
x≥y
x<y
x≤y
:
:
:
:
⇔
⇔
⇔
⇔
x−y
x−y
x−y
x−y
∈ K+
∈ K + ∪ {0}
∈ −K +
∈ (−K + ) ∪ {0}
größer“
”
größergleich“
”
kleiner“
”
kleinergleich“
”
Wenn (K, +, ·) angeordent ist, so muss nach (03) 1∈ K + sein, denn 1 · 1 = 1.
2.6 Axiom. (R, +, ·) ist ein angeordneter Körper.
2.7 Proposition. Sei K ein angeordneter Körper. Dann ist
J : N0 → K,
n 7→ n · 1K
eine injektive Abbildung (Beweis durch vollständige Induktion). Durch
I : Q → K,
p
7→ (p · 1K )(q · 1K )−1
q
ist ein injektiver Homomorphismus von Körpern definiert.
Um die reellen Zahlen zu charakterisieren, benötigen wir eine weiteres Axiom, denn
auch Q ist ein angeordneter Körper. Um die für die Analysis wesentliche Vollständigkeit
von R zu definieren, führen wir folgende Sprechweisen ein:
2.8 Definition. Sei (K, +, ·, <) ein angeordneter Körper. Sei M ⊂ K und κ ∈ K.
Dann heißt κ ∈ K
κ≥m
obere
Schranke von M , falls ∀ m ∈ M :
.
κ≤m
untere
Existiert eine obere/untere Schranke von M , so heißt M nach oben/unten beschränkt.
M heißt beschränkt, wenn es nach oben und nach unten beschränkt ist.
Ein s ∈ K heißt Supremum von M , wenn es die kleinste obere Schranke von M
ist. (Wenn s die kleinste ober Schranke ist, und s̃ eine weitere obere Schranke, so ist
s̃ ≥ s).
Ein i ∈ K heißt Infimum von M , wenn i die größte untere Schranke von M ist.
Ein Körper heißt ordnungsvollständig, wenn jede nach oben beschränkte nichtleere
Menge M ⊂ K, M 6= ∅ ein Supremum besitzt.
44
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
2.9 Axiom. (R, +, ·, <) ist ordnungsvollständig.
Bemerkung.
(1) Nicht alle Mengen in R sind beschränkt. Zu zeigen: Für jeden angeordneten
Körper K gilt: K ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.
(2) Nicht jeder Körper ist ordnugsvollständig.
2.10 Beispiel. In Q ist M = {x : x2 < 2} beschränkt, besitzt aber weder Supremum noch Infimum.
(3) Für a, b ∈ R sind die Intervalle definiert durch (a < b):
(a, b)
[a, b]
(a, b]
[a, b)
[a, ∞)
(a, ∞)
(−∞, b]
(−∞, b)
:= {x ∈ R : a < x < b} inf M = a, sup M = b
:= {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} wie oben
:= {x ∈ R : a < x ≤ b} wie oben
:= {x ∈ R : a ≤ x < b} wie oben
:= {x ∈ R : x ≥ a} inf M = a,kein Supremum
:= {x ∈ R : x > a} wie davor
:= {x ∈ R : x ≤ b} kein Infimum, sup M = b
:= {x ∈ R : x < b} wie davor
(4) Supremum und Infimum sind eindeutig (falls sie existieren).
Durch diese drei vorangegangen Axiome ist R eindeutig (bis auf Isomorphie“ be”
stimmt). Das wollen wir hier nicht zeigen, ebensowenig die Existenz der reellen Zahlen.
Wir werden jetzt noch eine Eigenschaft der reellen Zahlen beweisen, die in manchen
Zugängen als Axiom gefordert werden muss (Archimedisches Axiom).
2.11 Satz. Seien x, y ∈ R, x > 0. Dann ∃ n ∈ N mit n · x > y. (Statt R: K ordnungsvollständig, n · x hatten wir rekursiv definiert).
Beweis. Ist y ≤ 0, so ist nichts zu zeigen, denn dann ist 1 · x > 0 ≥ y.
Nun: y > 0. Betrachte M := {n · x : n ∈ N}. Angenommen, die Behauptung sei falsch.
Dann müsste ∀ n ∈ N : n · x ≤ y. Also wäre y obere Schranke von M . Dann existiert
also s = sup(M ). Da s obere Schranke von M ist, gilt:
∀ n ∈ N : (n + 1) · x ≤ s
⇒ ∀n ∈ N : n · x + x ≤ s
⇒ ∀n ∈ N : n · x ≤ s − x
⇒ s − x ist obere Schranke. Wenn s das Supremum ist und s − x eine obere Schranke
⇒s≤s−x⇒x≤0
Wir haben hier schon gesehen, dass es praktischer ist, mit Ungleichungen zu rechnen,
als mit K + zu argumentieren. Aus den Anordnungseigenschaften (01) - (03) aus der
Definition 2.5 folgen unmittelbar die folgenden Rechenregeln für Ungleichungen, die
wir ab sofort ohne weiteres verwenden werden:
2.3. ANORDNUNG VON R
45
Ungleichungsregeln:
Sei K ein angeordneter Körper und x, y, z ∈ K, dann gilt
(1) x < 0 ⇔ −x > 0
(2) x < y
y<z⇒x<z
(Transitivität)
(3) x < y ⇒ x + z < y + z
(4) z > 0 x < y ⇒ xz < yz
(5) x2 ≥ 0 x2 = 0 ⇔ x = 0
(6) x > 0 ⇔ x−1 > 0
(7) 0 < x < y
0 < y −1 < x−1
⇒
Beweis. Die Beweise sind einfach.
2.12 Definition. Der Betrag einer reellen Zahl x ∈ R ist definiert durch
x : x≥0
|x| :=
−x : x < 0
Rechenregeln für Betrag: Sei (K, +, ·, <) ein angeordneter Körper. Dann gilt:
(1) ∀ x ∈ K x ≤ |x|, −x ≤ |x|
(2) ∀ x ∈ K\{0} : |x| > 0
(3) |xy| = |x||y|
(4) |x + y| ≤ |x| + |y|
Dreiecksungleichung
Bemerkung (Existenzfragen).
Existiert mit (K, +, ·, <) ein ordnungsvollständiger Körper?
Ja, wenn eine unendliche Menge existiert.
Russelsche Antinomie
M := {die Menge aller Mengen}
B := {B ∈ M : B ∈
/ B}
B∈B⇒B∈
/B B∈
/ B ⇒ B ∈ B Widerspruch
Ist (K, +, ·, <) eindeutig ?
Sind K und K̈ vollständig angeordnete Körper, so gibt es eine bijektive Abbildung
J : K → K̈
mit folgenden Eigenschaften
J(x + y) = J(x) + J(y)
J(xy) = J(x)J(y)
J(K + ) = K̈ +
46
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
2.4 Intervallschachtelung und Folgen
In diesem Abschnitt geht es um alternative Beschreibungen der Vollständigkeit. In
unserem Zugang ergeben sie sich als Konsequenzen der Ordnungsvollständigkeit.
Wir erinnern an die Schreibweise (a, b), [a, b), ..., für Intervalle in R. Ist a ≤ b, so
definiert man:
2.13 Definition. Länge eines Intervalls:
|(a, b)| = |b − a|.
2.14 Definition. Eine Folge In (n ∈ N) abgeschlossener Intervalle heißt Intervallschachtelung, falls
(i) In+1 ⊂ In
(ii) |In | → 0
∀ n ∈ N,
d.h. ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N so dass |In | < ε für alle n > n0
2.15 Satz (Intervallschachtelungsprinzip). Für jede Intervallschachtelung gibt es
genau ein x ∈ R mit x ∈ In n ∈ N
\
In = {x}
n∈N
Beweis.
• Existenz:
Sei In = [an , bn ] gegeben, an ≤ bn und M = {an : n ∈ N}. Da In ⊂ I1 ,
gilt an ≤ bn ≤ b1 . Also ist M beschränkt. Wegen der Ordnungsvollständigkeit
existiert x = sup(M ). Aus an ≤ bn folgt, dass bn obere Schranke von M ist. Als
Eigenschaft des Supremum folgt x ≤ bn für alle n ∈ N. Damit x ≥ an x ≤
bn ⇔ x ∈ In für alle n ∈ N. x = sup an und x = inf bn existiert wegen
Ordnungsvollständigkeit.
• Eindeutigkeit:T
Es sei x, y ∈ n∈N In ⇒ |x − y| ≤ |In | für alle n ∈ N. Damit folgt x = y, da
|In | → 0.
Wie haben schon stillschweigend einen wichtigen Begriff vorweggenommen, den einer
Folge:
2.16 Definition (Folge). Sei X eine Menge. Eine Folge in X ist eine Abbildung
x : N → X sowie xn := x(n) das n-te Folgenglied. Oft schreibt man x := (xn )n∈N .
2.17 Beispiel.
(1) Für a ∈ R ist (a)n∈N n 7→ a eine Folge in R : die konstante Folge.
2.4. INTERVALLSCHACHTELUNG UND FOLGEN
(2) Durch xn =
1
n
für n ∈ N wird die Folge
1
n n∈N
47
in Q ⊂ R definiert.
(3) Für q ∈ R ist (q n )n∈N eine Folge in R.
Wichtig: Unterscheidung zwischen (xn )n∈N und der Trägermenge {xn : n ∈ N}.
2.18 Beispiel.
(1) ((−1)n )n∈N und {(−1)n : n ∈ N} = {−1, 1}
(2)
xn =
−1
1
: x=1
: sonst
und {−1, 1}
2.19 Definition (Konvergenz). Sei (xn )n∈N eine Folge in R. (xn ) heißt konvergent
gegen x, geschrieben xn → x für x → ∞, falls
∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N
∀ n ≥ n0
|x − xn | ≤ ε.
:
Falls dies nicht gilt, heißt (xn ) divergent.
Bemerkung. Konvergenz bedeutet, dass fast alle Folgenglieder, bis auf endlich viele, in
[x − ε, x + ε] liegen.
2.20 Beispiel. (von oben) Für die Folgen von eben gilt:
(1) a → a für n → ∞.
(2)
1
n
→ 0 für n → ∞.
(3) q n konvergiert für q ∈ (−1, 1]
Begründung. Es existiert n0 mit n0 ε > 1 wegen des Archimedischen Axioms. Da
0 < n0 < n ∈ N ⇒ n1 < n10 < ε gilt n1 → 0 für n → ∞.
• q = 1 ⇒ qn = 1 → 1
• |q| < 1 ⇒ qn → 0
• q = −1: Sei x ∈ R beliebig, dann gilt |x − 1| + |x + 1| ≥ 2.
⇒ dann gibt es kein n0 , sodass z.B. für ε ≤
da |x − (−1)n | + |x − (−1)n+1 | ≥ 2
1
2
|x − (−1)n | < ε
2.21 Proposition (Eindeutigkeit des Grenzwertes). Seien (xn ), (yn ) Folgen in
R, x, y ∈ R mit xn → x und xn → y, dann ist x = y.
Beweis. Sei ε > 0 beliebig, dann gilt
xn → x ⇒ ∃ n1 ∈ N : |x − xn | < ε für n ≥ n1
xn → y ⇒ ∃ n2 ∈ N : |y − xn | < ε für n ≥ n2
für n0 ≥ max(n1 , n2 ) gilt dann
|x − y| = |x − xn + xn − y| ≤ |x − xn | + |xn − y| ≤ 2ε
also |x − y| → 0 ⇒ x = y
48
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
Ist (xn ) konvergent, so gibt es genau ein x ∈ R mit xn → x und wir schreiben
x := lim xn
Limes oder Grenzwert von xn .
n→∞
2.22 Definition (Teilfolge). Sei xn eine Folge in R und sei (nk )k∈N eine Folge
natürlicher Zahlen mit nk < nk+1 für alle k ∈ N, dann heißt (xnk )k∈N Teilfolge
von (xn )n∈N .
2.23 Beispiel. (1) Die Teilfolgen ((1)2k )k∈N und ((−1)2k+1 )k∈N sind zwei Teilfolgen
von ((−1)n )n∈N . Es gibt unendlich viele Teilfolgen.
(2) (( 12 )k )k∈N ist Teilfolge von
1
n
mit ( n1 )n=2k .
2.24 Satz (Satz von Bolzano–Weierstraß). Jede beschränkte Folge reeller Zahlen
besitzt eine konvergente Teilfolge.
Dabei heißt (xn ) in R natürlich beschränkt, wenn die Menge {xn : n ∈ N} beschränkt
ist, d.h. wenn es a, b ∈ R gibt mit a ≤ xn ≤ b (n ∈ N).
2.25 Beispiel.
(1) (−1n ) ist beschränkt.
(2) (n) ist unbeschränkt, besitzt also auch keine konvergente Teilfolge.
(3) (n(1 + (−1)n ), n ∈ N ist unbeschränkt, hat aber konvergente Teilfolgen, z. B. für
ungerade n.
Beweis. [Satz (2.24) von Bolzano–Weierstraß]
(1) Beweis mit Induktion:
Seien a, b ∈ R eine untere bzw. obere Schranke von xn . Für k ∈ N0 gibt es ein
Intervall Ik mit
• |Ik | = (b − a) · 2−k
• Ik+1 ⊂ Ik
(k ∈ N0 )
(k ∈ N0 )
• Für alle k ∈ N hat {n ∈ N : xn ∈ Ik } unendlich viele Elemente.
Induktionsanfang:
Da {xn : n ∈ N} ⊂ [a, b], kann mit I0 = [a, b] begonnen werden.
Induktionsschritt:
k)
Sei Ik gegeben, Ik = [ak , bk ], und sei ck = (ak −b
. Dann ist {n ∈ N : xn ∈
2
Ik } = {n ∈ N : xn ∈ [ak , ck ]}∪ {n ∈ N : xn ∈ [ck , bk ]}. Also eine der beiden
letzteren Mengen ist unendlich. Sei die erstere der beiden unendlich. Dann ist
Ik+1 = (ak , ck ), sonst Ik+1 = (ck , bk ) Es folgt: |Ik+1 | = 12 |bk − ak | = 12 |Ik | =
1
−k
= (b − a) · 2−(k+1) ⇒ Ik+1 ⊂ Ik und nach Konstruktion ist
2 (b − a) · 2
{n ∈ N : xn ∈ Ik+1 } unendlich. Somit Induktion erfolgreich abgeschlossen.
(2) Konstruktion von (nk ) in N mit nk+1 > nk (k ∈ N) und xnk ∈ Ik . (Das ist die
Teilfolge.)
Induktion:
2.4. INTERVALLSCHACHTELUNG UND FOLGEN
49
• k = 1 : Da unendlich viele Folgenglieder in I1 liegen, gibt es ein n1 mit
xn1 ∈ I1 .
• k → k + 1 : für k gilt also xnk ∈ Ik , außerdem ist {n ∈ N : xn ∈ Ik }
unendlich. {n ∈ N : xn ∈ Ik+1 und n > nk } ist ebenfalls unendlich. ⇒ es
gibt nk+1 > nk mit xnk+1 ∈ Ik+1 .
(3) Zusammensetzen:
Nach (1) wurde eine Intervallschachtelung (Ik )k∈N T
konstruiert. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip existiert x ∈ R mit {x} = k∈N Ik .
Behauptung: xnk → x. Sei dazu ε > 0 gegeben, z.B. ε = 10−42 . Weil n1 → 0 und
damit 2−k → 0 für k → ∞, gibt es ein n0 ∈ N mit (b − a) · 2−k < ε, k ≥ n0 . Für
k ≥ n0 ist xnk ∈ Ik , x ∈ Ik ⇒ |x − xnk | ≤ |Ik | ≤ (b − a) · 2−k ≤ ε, also sind wir
fertig.
2.26 Definition (Cauchy-Folge). Eine Folge xn heißt Cauchy-Folge, wenn für
alle ε > 0 ein N ∈ N existiert, so daß für alle n, m ≥ N : |xm − xn | ≤ ε. D.h. die
Folgenglieder rücken beliebig dicht zusammen.
2.27 Proposition.
(1) Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
(2) Ist (xn ) eine Cauchy-Folge und besitzt (xn ) eine konvergente Teilfolge (xnk ),
so ist die Teilfolge selbst konvergent.
Beweis. (1) Sei ε > 0. Dann existieren wegen der Konvergenz ein x ∈ R und ein
N ∈ N: |x − xn | ≤ 2ε (n ≥ N ). Sind n, m ≥ N , so gilt: |xn − xm | = |xn − x +
(x − xm )| ≤ |xn − x| + |x − xm | ≤ 2ε + 2ε = ε.
(2) Sei (xn ) eine Cauchy-Folge, und xnk → x, k → ∞. Zu zeigen ist xn → x. Dazu
sei ε > 0. Dann existiert ein k0 ∈ N : |xnk − x| ≤ 2ε (k ≥ k0 ), weil (xn ) eine
Cauchy-Folge ist, existiert ein N ∈ N mit |xn − xm | ≤ 2ε (n, m ≥ N ). Sei n0 =
max{nk0 , N }. Für n ≥ n0 ist |x−xn | = |x−xnk +xnk −xn | ≤ |x−xnk |+|xnk −xn |
≤ 2ε + 2ε ≤ ε für k ≥ k0 , nk ≥ N .
2.28 Satz (Vollständigkeit von R). Jede Cauchy-Folge in R ist konvergent.
Beweis. Aus (xn )n∈N Cauchy-Folge folgt: (xn ) ist beschränkt. Für ε = 1 existiert ein
N1 mit |xn − xm | ≤ 1, n, m ≥ N1 ⇒ {xn : n ≥ N1 } ⊂ [xN1 − 1, xN1 + 1].
Wähle a = min{xn : n ≥ N1 }∪ {xN1 − 1} und b = max{xn : n ≥ N1 } vereinigt mit
xN1 + 1 ⇒ a ≤ xn ≤ b , für alle n ∈ N ⇒ (Satz (2.24) von Bolzano–Weierstraß) (xn )
besitzt konvergente Teilfolge. ⇒ (Proposition (2.27)) (xn ) ist konvergent.
Zusammenfassung:
Folgende vier Gruppen von Aussagen sind äquivalent:
(1)
• K ist angeordenter Körper
50
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
• K erfüllt das Archimdesche Axiom. (zu jeder denkbaren Zahl gibt es eine
natürliche, die noch größer ist)
• K erfüllt das Axiom der verschachtelten Intervalle
• K ist angeordneter Körper
(2)
• K ist ordnungsvollständig
• K ist angeordenter Körper
(3)
• K erfüllt das Archimdesche Axiom. (zu jeder denkbaren Zahl gibt es eine
natürliche, die noch größer ist)
• K ist vollständig
• K=R
(4)
2.5 Rechnen mit Folgen
Hier zeigen wir, daß Konvergenz und Arithmetik der rellen Zahlen zusammenpassen.
2.29 Satz. Seien (xn ) und (yn ) Folgen in R mit xn → x und yn → y. Dann gilt:
(1) xn + yn → x + y für n → ∞
(2) xn · yn → x · y für n → ∞
(3)
xn
x
→ für n ≥ n0 , n → ∞ (Ist y 6= 0, so gibt es ein n0 ∈ N mit yn 6= 0, (n ≥
yn
y
n0 ).
Beweis.
(1) Sei ε > 0. Da xn → x, gibt es ein n1 ∈ N mit
|x − xn | ≤ 2ε (n ≥ n2 ). Wähle n0 = max{n0 , n1 }. Dann gilt für n ≥ n0 :
|(x + y) − (xn + yn )| = |x − xn + y − yn | ≤ |x − xn | + |y − yn | < 2ε + 2ε = ε
(2) Nebenrechnung: |x · y − xn · yn | = |x · y − y · xn + y · xn − xn · yn | = |y(x − xn ) +
xn (y − yn )| ≤ |y| · |x − xn | + |xn | · |y − yn |
Sei ε > 0. Da (xn ) konvergiert, gibt es ein M mit |xn | ≤ M (n ∈ N) Außerdem
gibt es ein n1 ∈ N mit |x − xn | · |y| < 2ε (n ≥ n1 ) Wegen yn → y gibt es ein
n2 ∈ N mit |y − yn | · M < 2ε (n ≥ n2 ). Für n0 := max{n1 , n2 } und n ≥ n0 :
|x · y − xn · yn | = ... (Nebenrechnung) ... ≤ |y| · |x − xn | + |xn | · |y − yn | ≤
ε
ε
ε
2 + M |y − yn | ≤ 2 + 2 = ε
(3) Für ε − |y|
2 > 0 existiert ein n0 ∈ N mit |yn − y| ≥ ε (n ≥ n0 ). Behauptung: Für
(n ≥ n0 ) ist yn 6= 0, denn:
|yn | = |y − (yn − y)| ≥ |y| − |yn − y| ≥
|y|
>0
2
(1)
2.5. RECHNEN MIT FOLGEN
51
• 1. Fall: xn = 1 für alle n ∈ N. Sei ε > 0. Da yn → y existiert ein n1 mit
|y − yn | < ε ·
|y|
(n ≥ n1 )
2
(2)
Wähle n2 = max{n1 , n0 }. Für n ≥ n2 : | y1n − y1 | =
|y−yn |
|y|2
|y−yn |
|y·yn |
≤ (nach (1)) 2 ·
≤ (nach (2)) ε.
• Allgemeiner Fall: Im 1. Fall wurde gezeigt, dass
xn · y1n ⇒ (nach 2) x · y1 = xy
1
yn
→
1
y.
Nun ist
xn
yn
=
(1) Mit xn → x, k ∈ N0 ⇒ xkn → xk
2.30 Beispiel.
(2) c ∈ R, xn → x ⇒ c · xn → c · x
(3)
1
n2
→0
(4) (1 + n1 )n → e
√
(5) n n → 1
(6) 1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
1
6
± . . . → ln(2)
2.31 Satz. Seien (xn ), (yn ) konvergente Folgen in R mit xn ≤ yn für alle n ∈ N.
Dann ist
x := lim xn ≤ lim yn := y.
n→∞
n→∞
Beweis. Angenommen nicht, dann ist ε := x−y
> 0 Also existiert ein n0 ∈ N mit
2
|x − xn | < 2ε für n ≥ n0 . Außerdem existiert ein n1 ∈ N mit |y − yn | < 2ε für n ≥ n1 .
Für n = max{n0 , n1 } : yn ≤ (∗)y+ 2ε ≤ x− 2ε ≤ xn ⇒ yn < xn . Das ist ein Widerspruch.
2.32 Definition. Eine Folge (xn ) heißt monoton
fallend
, wenn für alle n ∈ N
steigend
xn+1 ≤ xn
.
xn+1 ≥ xn
2.33 Satz. Jede beschränkte monotone Folge (xn ) ∈ R ist konvergent.
Beweis. Ohne Einschränkung sei (xn ) monoton steigend (anderer Fall analog). ⇒ (Satz
(2.24) von Bolzano-Weierstraß) (xn ) besitzt eine konvergente Teilfolge (xnk ). Sei x :=
lim (xnk ). Wegen des vorherigen Satzes ist xn ≤ x, denn für k 6= n gilt: xn ≤ (xnk )
n→∞
(⇒ xn ≤ x) ⇒ (Satz) xn = lim xn ≤ x = lim (xnk ).
k→∞
k→∞
Sei ε > 0 und k0 ∈ N so groß, daß |x − xnk | < ε (k 6= k0 )
Wähle n0 = nk0 , dann gilt für n 6= n0 : x − ε < xnk0 = xn0 ≤ xn ≤ x < x + ε ⇒
|x − xn | < ε (n 6= n0 )
52
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
Ist xn < yn und geht xn gegen x und yn gegen y, so folgt daraus nicht, daß x < y.
2.34 Beispiel. xn = 0 und yn =
1
n
Für eine beschränkte, monoton steigende Folge (xn ) ist
lim xn = sup{xn , n ∈ N}
n→∞
bzw.
lim xn = inf{xn , n ∈ N}
n→∞
Warum?
Sei x = lim xn ⇒ (nach Voraussetzung), also obere Schranke von {xn : n ∈ N}.
n→∞
Angenommen, dies ist nicht das Supremum {xn : n ∈ N}. Dann existiert ein x0 < x
und x0 sei obere Schranke von xn . Daraus folgt xn ≤ x0 (n ∈ N). Nach Grenzübergang
folgt dann: x ≤ x0 , ein Widerspruch!
Bemerkung. Sei M 6= ∅, M ⊂ R nach oben beschränkt. Dann ist sup(M ) = S genau
dann, wenn
(1) S ist obere Schranke von M .
(2) Für alle ε > 0 : (S − ε, S] vereinigt mit M 6= ∅.
Insbesondere gibt es eine Folge (xn ) ∈ M , mit xn → S; dabei kann (xn ) monoton
steigend gewählt werden.
Begründung. (1) Sei S = sup(M ) ⇒. Sei ε > 0, dann ist S − ε < S, damit ist
S − ε keine obere Schranke. Also existiert ein x ∈ M : x > S − ε ⇒ M und
(s − ε, ∞) = M und (s − ε, S] 6= ∅. Damit ⇒ gezeigt.
(2) Seien umgekehrt (1) und (2) erfüllt. Dann ist zu zeigen, daß S = sup(M ). Offenbar ist S eine obere Schranke (nach (1)). Ist es auch die kleinste obere Schranke?
Dazu sei ς obere Schranke von M . Mit (2) folgt: S − ε ≤ σ(ε > 0) −→ S ≤ ς
Zur Existenz von xn : Für n ∈ N existiert xn ∈ M und (S − n1 , S] ⇒ xn → ς,
für n → ∞. Monotone Folge induktiv definieren: (xn+1 ∈ M und [xn , S] und
[S − n1 , S]
Jetzt eine Folgerung aus dem archimedischen Prinzip (2.11): Inhalt: Bezüglich Konvergenz ist R nicht viel größer als Q.
2.35 Satz. Für alle x, y ∈ R, x < y gibt es eine rationale Zahl, die zwischen x und y
liegt. q ∈ Q, x < q < y. Insbesondere ist Q dicht in R, d.h. für alle x ∈ R und ε > 0
beliebig: Q und (x − ε, x + ε) 6= ∅.
Beweis. Da y−x > 0, existiert nach dem archimedischen Prinzip ein m ∈ N: m(y−x) >
k
1. Setze nun M := {k ∈ Z : k < my} = {k ∈ Z : m
< y} ⇒ M nach oben
n
beschränkt. Also existiert ein n := sup(M ) ⇒ n ∈ M, also m
< y (1) Außderdem
n
folgt m > x (2) (denn mit n ≤ mx und (y − x)m > 1 ⇒ n + 1 < mx + m(y − x) = my
⇒ n + 1 ∈ M , da aber n = sup(M ), folgt ein Widerspruch!) Aus (1) und (2) folgt:
n
∈ Q und (x, y)
x < n/m < y d.h. q = m
!
A
A
2.5. RECHNEN MIT FOLGEN
53
Bemerkung. Eine Menge X heißt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung a :
N → X gibt, oder überabzählbar, falls nicht.
Nach Cantor ist
(1) Q ist abzählbar.
(2) R ist überabzählbar.
54
KAPITEL 3. METRISCHE RÄUME
3 Metrische Räume
3.1 Definition und Beispiele
In diesem Abschnitt wird eine Struktur vorgestellt, mit deren Hilfe sich Konvergenz
gut definieren läßt. Desweiteren wird der Begriff der Stetigkeit eingeführt.
3.1 Definition. Sei M 6= 0 eine Menge und d : M × M → [0, ∞) eine Abbildung mit
folgenden Eigenschaften:
(M1) Symmetrie: Für alle x,y ∈ M gilt: d(x, y) = d(y, x)
(M2) Für x 6= y ist d(x, y) > 0, d(x, x) = 0
(M3) Dreiecksungleichung: Für x,y,z ∈ M gilt: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Dann heißt d Metrik (d ∼ distance) auf M und (M, d) heißt Metrischer Raum. Oft
wird d nicht extra erwähnt.
3.2 Beispiel.
(1) Für M 6= 0 ist die diskrete Metrik ddiskret durch
0 wenn x = y
ddiskret (x, y) :=
1 sonst
definiert. ⇒ ddiskret ist eine recht langweilige Metrik.
(2) Auf R ist durch d(x, y) := |x − y| die übliche (euklidische) Metrik definiert.
p
(3) Auf C wird mit d(z, w) = |z − w| = (z − w)(z − w) die euklidische Metrik
definiert.
(4) Sei n ∈ N. Auf Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R} wird für p ∈ [1, ∞) durch
!1/p
n
X
p
dp (x, y) :=
|xi − yi |
i=1
p
die l -Metrik definiert. Für p = 2 ist d2 die übliche euklidische Metrik. Für p = ∞
ist
d∞ (x, y) := sup |xi − yi |
i=1,...,n
die Supremumsmetrik. Dass es sich hierbei jeweils um Metriken handelt, werden
wir für p 6= 1 und p 6= ∞ später sehen. Im Fall p = 2 ergibt sich die euklidische
Metrik (aus dem Crash-Kurs bekannt).
3.1. DEFINITION UND BEISPIELE
55
Begründung. Für p = 1: Symmetrie: |xi − yi | = |yi − xi |, x = y
⇒ dp (x, y) =
X 1/p
0
= 0.
Noch zu zeigen: d1 (x, z) ≤ d1 (x, y) + d1 (y, z): Dazu:
d1 (x, z)
n
X
=
i=1
n
X
≤
i=1
n
X
=
|zi − xi | =
n
X
|zi − yi + yi − xi |
i=1
(|zi − yi | + |yi − xi |)
|zi − yi | +
i=1
n
X
(nach Dreiecksungleichung)
|yi − xi | = d(y, z) + d(y, x)
i=1
Fehlt noch die Begründung der Dreiecksungleichung für d∞ : mit x,y,z ∈ Rn und
i = 1, . . . , n:
|xi − zi |
= |xi − yi + yi − zi | ≤ |xi − yi | + |yi − zi | ≤ d∞ (x, y) + d∞ (y, z)
⇒ max |xi − zi | = d∞ (x, y) ≤ d∞ (x, y) + d∞ (y, z)
i
In metrischen Räumen kann man einen vernünftigen Konvergenzbegriff einführen:
3.3 Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum, (xn ) eine Folge in M , x ∈ M . Wir
sagen (xn ) konvergiert gegen x in (M, d) bezüglich der Metrik d, falls:
∀ε > 0
∃ n0 ∈ N : d(xn , x) ≤ ε
(n ≥ n0 )
Offensichtlich stimmt das mit Definition (2.19) überein.
Weiter definieren wir die Kugel im metrischen Raum (M, d) für x ∈ M, r ≥ 0,
durch:
Br (x)
Ur (x)
:= {y ∈ M : d(x, y) ≤ r}
:= {y ∈ M : d(x, y) < r}
abgeschlossene d-Kugel
offene d-Kugel
Damit gilt: xn → x ⇔ Für jeden Radius ε > 0 existiert ein n0 ∈ N mit xn ∈ Bε (x) für
alle n ≥ n0
3.4 Beispiel. Verschiedene Kugeln in verschiedenen Metriken:
(1) diskrete Metrik: B1 (x) = M , U1 (x) = {x} = Br (x) für 0 ≤ r < 1. Was heißt
das für Konvergenz? xn → x in (M, dd ) , wenn ein n0 existiert mit d(xn , x) ≤
1/2 für n ≥ n0 , d.h. xn = x für n ≥ n0
(2) R mit üblicher Metrik:
Bε (x) = [x − ε, x + ε]
und Uε (x) = (x − ε, x + ε)
56
KAPITEL 3. METRISCHE RÄUME
(3) Kugeln in C mit üblicher Metrik: übliche Kugeln.
(4) Einheitskugeln B1 (0) in (R2 , dp ) für p = 1, 2 und ∞:
• p = 1: Bezüglich d1 :
B1 (0) = {y ∈ R2 : d1 (y, 0) ≤ 1} = {y ∈ R2 : |y1 − 0| + |y2 − 0| ≤ 1}
• p = 2: B1 (0) bez. euklidischer Metrik ist {y ∈ R2 : |y1 |2 + |y2 |2 ≤ 1}, also
eine “gewöhnliche” Kugel.
• p = ∞: Bezüglich d∞ :
B1 (0) = {y ∈ R2 : max{|y1 |, |y2 |} ≤ 1} = {y ∈ R2 : |y1 | ≤ 1 und |y2 | ≤ 1}
3.5 Proposition (äquivalent zu (2.21)). Sei (M, d) ein metrischer Raum sowie
(xn ) eine Folge in M . Weiter seien x, y ∈ M und xn → x und xn → y für n → ∞.
Dann ist x = y.
Beweis. Seien x, y, (xn ) wie im Satz gefordert und sei ε > 0. Dann existiert n1 ∈ N
mit
ε
d(x, xn ) ≤
für n ≥ n1 .
2
Außerdem existiert n2 ∈ N mit
d(y, xn ) ≤
ε
2
für n ≥ n2 .
Dann gilt für n ≥ n1 + n2 :
d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , y) ≤
ε ε
+ =ε
2 2
Weil ε > 0 beliebig war, folgt d(x, y) = 0 und also x = y.
3.6 Lemma (auch Definition). Es seien d1 und d2 zwei Metriken auf M. Wir
nennen d1 und d2 äquivalent, wenn es c1 , c2 ∈ R gibt mit:
d1 (x, y) ≤ c1 d2 (x, y) ≤ c2 d1 (x, y)
(x, y ∈ M )
In diesem Fall konvergiert eine Folge(xn )n∈N genau dann bezüglich d1 , wenn sie bezüglich d2 konvergiert.
3.7 Beispiel. (1) Auf Rn sind alle Metriken dp äquivalent und damit ist die Konvergenz bezüglich dp äquivalent zur Konvergenz bezüglich d∞ ; letztere ist äquivalent
zur Konvergenz der Koordinatenfolgen.
(2) Die übliche und die diskrete Metrik sind nicht äquivalent auf R.
3.1. DEFINITION UND BEISPIELE
57
Beweis. (zu (3.6)). Sei xn → x bezüglich d1 und sei ε > 0. Dann existiert n0 ∈ N mit
d(x, xn ) ≤
ε
c1
c2
für n ≥ n0
Für dieses n0 und n ≥ n0 ist nach Definition der Äquivalenz:
d2 ≤
c2
c2 c1
d1 ≤
· ε=ε
c1
c1 c2
Also konvergiert xn bezüglich d2 . Analog zeigt man, dass aus der Konvergenz von xn
bezüglich d2 stets die Konvergenz bezüglich d1 folgt.
3.8 Lemma. Auf Rn betrachte die Metriken dp , p ∈ [1, ∞] mit
n
X
dp ((x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )) =
! p1
p
|yi − xi |
.
i=1
(1) Für alle p, q ∈ [1, ∞] sind dp und dq äquivalent.
(2) Sei (xk ) Folge in Rn mit xk = (x1k , x2k , . . . , xnk ) für k ∈ N.
Dann gilt:
xk → x in (Rn , dp ) ⇔ xik → xi in R
∀ i = 1, . . . , n.
Beweis.
(1) Wir zeigen, dass für alle p dp äquivalent zu d∞ ist. Für x = (x1 , . . . , xn ) und
y = (y 1 , . . . , y n ) gilt
dp (x, y)
=
n
X
! p1
p
|yi − xi |
i=1
≤
n
X
! p1
p
(max |yi − xi |)
i=1
=
n
X
! p1
d∞ (x, y)p
1
= n p d∞ (x, y)
Also ist d∞ ≤ dp (x, y).
(2) Wegen (1) ist es belanglos, welche Metrik dp verwendet wird. Sei nun xk → x in
Rn und sei ε > 0. Dann existiert n0 ∈ N mit
d∞ (xk , x) < ε
für n ≥ n0 .
58
KAPITEL 3. METRISCHE RÄUME
Für dieses n0 und beliebige i ∈ {1, . . . , n} muss gelten (k ≥ n0 ):
|xik − xi | ≤ max |xik − xi | = d∞ (xk , x) < ε
i=1,...,n
Also folgt xik → xi für k → ∞.
Umgekehrt setzen wir voraus, dass für alle i ∈ {1, . . . , n} die Folgen xik → xi
konvergieren. Dann gibt es für ε > 0 jeweils ni ∈ N, sodass
∀ k ≥ ni :
|xik − xi | < ε
Sei weiter n0 = maxi=1,...,n ni . Für k ≥ n0 ist dann |xik − xi | < ε (i = 1, . . . , n).
Also ist auch d∞ (xk , x) = maxi=1,...,n |xik − xi | < ε.
Bild für die dp -Kugeln mit r = 1 um 0 :
Damit können wir Konvergenz im Rn auf Konvergenz in R zurückführen. Schreiben
wir
x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , so ist xi die i-te Koordinate;
definiere
pri : Rn → R,
(x1 , ..., xi , ..., xn ) 7→ xi .
Damit können wir Lemma (3.8) wie folgt umformulieren:
Sei (xk ) eine Folge in (Rn , dp ), 1 ≤ p ≤ ∞. Dann gilt:
xk → x in (Rn , dp ) ⇔ pri (xk ) → pri (x) für k → ∞
pri ( lim xk ) = lim pri (xk )
k→∞
k→∞ | {z }
|
{z
}
∈R
∈R
3.2 Offene Mengen, Umgebungen und Stetigkeit
3.9 Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum.
(1) Sei x ∈ M . Eine Menge U ⊂ M heißt Umgebung von x, wenn es ein r > 0 gibt
mit Ur (x) = {y ∈ M : d(x, y) ≤ r} ⊂ U .
3.2. OFFENE MENGEN, UMGEBUNGEN UND STETIGKEIT
59
(2) Eine Menge U ⊂ M heißt offen, wenn U für jedes x ∈ U eine Umgebung von x
ist, d.h. wenn ∀ x ∈ U ∃ rx > 0 :
Urx (x) ⊂ U .
(3) Eine Menge A ⊂ M heißt abgeschlossen, wenn Ac = M \A offen ist.
3.10 Beispiel.
(M, d).
(1) M, ∅ sind offen und abgeschlossen in jedem metrischen Raum
(2) Ur0 (x0 ) = {y ∈ M : d(x0 , y) < r0 } ist offen in jedem metrischen Raum.
(3) Br (x) = {y ∈ M : d(x, y) ≤ r} ist abgeschlossen in jedem metrischen Raum.
(4) In R ist [a, b) mit b > a weder offen noch abgeschlossen. Für x ∈ (a, b) existieren
Umgebungen, nicht jedoch für a!
(5) In C ist H = {z ∈ C : Re {z} ≤ 0} abgeschlossen und G = {z ∈ C : Re {z} > 0}
offen.
Begründung.
(1) Für x ∈ M ist B1 (x) ⊂ M , also ist M offen. ⇒ M c = ∅ ist abgeschlossen. Da es
kein x ∈ ∅ gibt, ist ∅ offen.
(2) Sei x ∈ Ur0 (x0 ). Dann liegt für r = 12 (r0 − d(x, x0 )) die Kugel Br (x) in Ur0 (x0 ).
Es ist nämlich für y ∈ Br (x):
1
d(x0 , y) ≤ d(x0 , x) + d(x, y) ≤ d(x0 , x) + (r0 − d(x, x0 ))
2
1
1
1
1
=
r0 + d(x0 , x) < r0 + r0 = r0
2
2
2
2
(3) Um zu zeigen, dass Br0 (x0 ) abgeschlossen ist, müssen wir zeigen, dass U :=
Br0 (x0 )c offen ist. U = {x ∈ M : d(x, x0 ) > r0 }. für x ∈ U , r = 21 (d(x, x0 ) − r0 )
ist Br (x) ⊂ U . Denn: für y ∈ Br (x) gilt:
d(x0 , x) ≤ d(x0 , y) + d(x, y)
⇒ d(x0 , y) ≥ d(x0 , x) − d(x0 , y) ≥ d(x0 , x) − r =
d(x0 , x) r0
+
> r0
2
2
(4) Betrachte [a, b) ⊂ R, a < b. Bezüglich der Metrik in R ist Br (x) = [x − r, x + r],
Br (a) 6⊂ [a, b), denn a − r 6∈ [a, b) ⇒ [a, b) ist nicht offen.
[a, b) ist nicht abgeschlossen: [a, b)c = (−∞, a) ∪ [b, ∞), und für r > 0 genügend
klein ist b − r 6∈ (−∞, a) ∪ [b, ∞), also enthält [a, b)c keine r-Kugel um b.
(5) H ist abgeschlossen und G offen: einfach
60
KAPITEL 3. METRISCHE RÄUME
Bemerkung. Sei (M, d) ein metrischer Raum.
(1) Für r > 0 und x ∈ M sind Br (x) und Ur (x) Umgebungen von x.
(2) Für alle x ∈ M, r > 0 ist Ur (x) offen.
(3) xn → x ⇔ Für jede Umgebung U von x gibt es ein nv ∈ N mit ∀ n ≥ nv : xn ∈ U
Begründung. ⇒“ Sei xn → x und U eine Umgebung von x, d.h. es gibt ein ε > 0
”
mit Bε (x) ⊂ V . Da xn → x, ∃ n0 ∈ N mit d(x, xn ) ≤ ε für n ≥ n0 . Wir können
nv = n0 wählen, denn für n ≥ nv = n0 ist xn ∈ Bε (x) ⊂ V
⇐“ Kugeln Bε (x) sind Umgebungen, nε := nBε (x) .
”
3.11 Definition. Seien (M1 , d1 ), (M2 , d2 ) metrische Räume, f : M1 → M2 eine Abbildung und x0 ∈ M1 . Dann heißt f stetig an der Stelle x0 , wenn für alle ε > 0 ein
δ > 0 existiert mit f (Bδ (x0 )) ⊂ Bε (f (x0 ))
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 :
d(x, x0 ) ≤ δ
⇒ d(f (x), f (x0 )) ≤ ε
3.12 Satz. Seien (M1 , d1 ), (M2 , d2 ) metrische Räume, f : M1 → M2 und x0 ∈ M1 .
Dann sind äquivalent:
(1) f ist stetig in x0 ∈ M1 .
(2) Aus xn → x0 für eine Folge (xn )in M1 folgt f (xn ) → f (x0 ) in M2 . f ist
”
folgenstetig“.
3.13 Beispiel. (1) Die Identität id : M → M, id(x) = x ist in jedem metrischen
Raum überall stetig.
(2) Sei M = R mit üblicher Metrik. Dann ist f : R → R, f (x) = x2 eine stetige
Funktion.
(3) Konstante Funktionen sind stetig.
(4) Die Koordinatenabbildungen pri : Rn → R, (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ xi sind stetig von
(Rn , dp ), p beliebig, nach R mit üblicher Metrik.
Begründung. zu (1)
Sei x0 ∈ M beliebig und 0 < δ < ε. Dann ist id(Uδ (x0 )) = Uδ (x0 ) ⊂ Uε (id(x0 )).
3.2. OFFENE MENGEN, UMGEBUNGEN UND STETIGKEIT
61
Begründung. zu (2)
Sei x0 ∈ R, ε > 0. Wenn f (x) stetig bei x0 ist, muss es zu jedem ε ein δ > 0 geben, so
dass gilt: f (x0 + δ) = x20 + 2x0 δ + δ 2 < x20 + ε. Dies ist z.B. erfüllt, wenn |2x0 δ| < 2ε
und δ 2 < 2ε .
n
p o
Man wähle sich ein δ < min 4|xε 0 | , 2ε . Damit gilt für alle h ∈ R mit |h| < δ:
|2hx0 | <
ε
2
und h2 < 2ε , bzw.
−ε < 2hx0 + h2 < ε
x20 − ε < (x0 + h)2 < x20 + ε
f (Uδ (x0 )) = f ( (x0 − δ, x0 + δ) ) ⊂ (x20 − ε, x20 + ε) = Uε (f (x0 ))
Begründung. zu (3)
Bei konstanten Funktionen ist die Definition der Stetigkeit für beliebige δ > 0 erfüllt.
Begründung. zu (4)
Die Funktion pri ist folgenstetig (Lemma 3.8) und damit lt. Satz 3.12 stetig.
Beweis. (zu Satz 3.12) Sei (xn ) eine konvergent Folge in (M1 , d1 ) mit xn → x0 .
⇒: Vor: f (x) ist stetig bei x0
Beh: f (x) ist folgenstetig bei x0 : f (xn ) → f (x0 )
Sei ε > 0. Wir müssen ein n0 ∈ N finden mit f (xn ) ∈ Uε (f (x0 )) (n ≥ n0 ). Wegen
der Stetigkeit von f an der Stelle x0 ∃ δ > 0 mit f (Uδ (x0 )) ⊂ Uε (f (x0 )).
Da xn → x0 , ∃ nδ ∈ N : xn ∈ Uδ (x0 ) (n ≥ nδ ) und für n0 := nδ gilt dann:
f (xn ) ∈ f (Uδ (x0 )) ⊂ Uε (f (x0 )) (n ≥ n0 ),
d.h. f (xn ) → f (x0 ) bzw. f ist folgenstetig bei x0 .
⇐:
Vor:
f (x) ist nicht stetig bei x0 :
∃ ε > 0 ∀ δ > 0 : f (Uδ (x0 )) 6⊂ Uε (f (x0 ))
Beh: f (x) ist nicht folgenstetig bei x0 :
∃ (xn ) in (M1 , d1 ) : xn → x0 und f (xn ) 6→ f (x0 ) in (M2 , d2 )
Da f nicht stetig in x0 , ∃ ε > 0 für δ = n1 > 0, n ∈ N beliebig, so dass f (U n1 (x0 )) 6⊂
Uε (f (x0 )), d.h. ∃ xn ∈ U n1 (x0 ) mit f (xn ) 6∈ Uε (f (x0 )). Die so definierte Folge (xn )
erfüllt:
d1 (x0 , xn ) < n1 → 0,
also xn → x0
d2 (f (x0 ), f (xn )) ≥ ε > 0, also f (xn ) 6→ f (x0 )
Damit ist auch f nicht folgenstetig in x0 .
3.14 Proposition. Seien (M1 , d1 ) und (M2 , d2 ) metrische Räume, f : M1 → M2
eine Abbildung und x0 ∈ M1 . Dann sind äquivalent:
(1) f stetig bei x0
(2) Für jede Umgebung U von f (x0 ) ist f −1 (U ) = {x ∈ M1 : f (x) ∈ U } eine
Umgebung von x0 .
62
KAPITEL 3. METRISCHE RÄUME
3.15 Beispiel. Sei
g : R → R, g(x) =
0
für x 6∈ Q
.
max{ 1q : x = pq , p ∈ Z, q ∈ N} für x ∈ Q
Dann ist g stetig in allen Punkten x0 ∈ R\Q und unstetig in allen Punkten x0 ∈ Q.
3.16 Proposition. Seien (M, d) ein metrischer Raum und die Abbildungen f, g :
M → R stetig in x0 ∈ M . Dann sind auch (f + g) und (f · g) stetig in x0 .
Begründung. Folgt aus den Rechenregeln für Folgen (Satz 2.29) und Satz 3.12.
63
4 Reihen
Reihen sind Folgen der Form
a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3 , . . . , a1 + a2 + · · · ,
wobei (an ) eine Zahlenfolge ist. Das heißt, durch addieren der Glieder einer Folge reeller
Zahlen erhält man eine Reihe“. Die Frage der Konvergenz kann hier ohne Kenntnis
”
des Grenzwertes durch verschiedene Konvergenzkriterien entschieden werden.
Viele wichtige Zahlen und Funktionen können durch Reihen beschrieben werden.
4.1 Reihen: Definition und einige Eigenschaften
Es ist
1
1
1
1
1
+ + + + + ···,
0! 1! 2! 3! 4!
wobei ’=’ und ’· · ·’ noch näher erläutert werden müssen:
n
P
1
1
1
Definiert man sn :=
∈ Q, kann ’· · ·’ durch die Folge
k! = 1 + 1 + 2 + ... + n!
k=0
|
{z
}
e=
endliche Summe
(sn )n∈N beschrieben werden. Wenn (sn ) einen Grenzwert besitzt, gilt auch e = lim sn .
n→∞
4.1 Definition. Sei n0 ∈ N0 und (ak )k≥n0 eine Folge reeller Zahlen. Wir nennen
sn :=
n
X
ak = an0 + ... + an
k=n0
die
P n-te Partialsumme der Folge (ak )k≥n0 . Die Folge (sn )n≥n0 (auch
ak ) wird als Reihe der Folge (ak ) bezeichnet.
P
ak oder
k≥n0
Eine Reihe heißt konvergent,P
wenn ein s ∈ R existiert mit sn → s für n → ∞. Es
heißt s die Summe der Reihe
ak und wird mit
s=
∞
X
k=n0
bezeichnet.
ak
64
KAPITEL 4. REIHEN
Mit dieser Definition ist insbesondere erklärt, wann eine Reihe konvergent heißt, nämlich definitionsgemäß, wenn die Folge der Partialsummen (d.h. die Reihe) konvergiert.
Da man Reihen oft zum Definieren von Zahlen verwendet, ist es wichtig, etwas über
die Konvergenz sagen zu können ohne den Grenzwert der Reihe zu kennen.
4.2 Beispiel.
(1) Für ak = a ∀ k ∈ N0 ist die Folge (sn ) mit
sn =
n
X
ak = (n + 1)a
k=0
nicht konvergent, wenn a 6= 0.
(2) Für ak = (−1)k
∀ k ∈ N0 ,
n0 = 0 ist die Folge (sn ) mit
n
X
1
1 für n gerade
k
n
sn =
(−1) = (1 + (−1) ) =
0 für n ungerade
2
k=0
nicht konvergent.
(3) Für ak =
1
k(k+1)
∀ k ∈ N,
n0 = 1 ist die Folge (sn ) konvergent mit
∞
X
k=1
1
= 1.
k(k + 1)
Begründung. (Partialbruchzerlegung):
n
n X
X
1
1
1
1 1 1 1
1
1
sn =
=
−
= − + − + ··· + −
k(k + 1)
k k+1
1 2 2 3
n n+1
k=1
=
k=1
1
1
−
1 n+1
ist konvergent und sn =
(4) harmonische Reihe
Für ak = k1 ∀ k ∈ N,
1
1
−
1
n+1
→ 1 für n → ∞
n0 = 1 ist die Folge (sn ) mit
sn =
n
X
1
k
k=1
nicht konvergent.
Begründung (indirekt). Angenommen die harmonische Reihe wäre konvergent
mit dem Grenzwert g ∈ R. Teilt man die Glieder der Reihe in Brüche mit geraden
und ungeraden Nennern auf, erhält man:
∞
∞
∞
∞
∞
X
X
X
1
1
1
1X1 X 1
=g=
+
=
+
k
2k
2k − 1
2 n=1 k
2k − 1
k=1
k=1
k=1
k=1
4.1. REIHEN: DEFINITION UND EINIGE EIGENSCHAFTEN
bzw.
∞
∞
k=1
k=1
65
X 1
g X 1
=
,
=
2
2k
2k − 1
was im Widerspruch steht zu
n
X
k=1, 2-k
n
X
1
−
k
k=1, 2|k
1
1 1
1 1
1
1
1
= + + ··· − − − ··· = +
+ ··· > .
k
1 3
2 4
2 12
2
(5) geometrische Reihe
Für ak = q k ∀ k ∈ N,
n0 = 0,
sn =
n
X
q ∈ R ist die Folge (sn ) mit
qk =
k=0
q k+1 − 1
q−1
Für |q| < 1 ist (sn ) konvergent mit sn →
nicht konvergent.
4.3 Definition.
für q 6= 1 .
1
1−q ,
in allen anderen Fällen ist (sn )
(1) Wir nennen
lim sn = lim
n→∞
die Summe der Reihe
P
n→∞
n
X
∞
X
ak =:
k=n0
ak
k=n0
ak , falls die Reihe konvergiert.
k≥n0
(2) Eine Reihe
P
an heißt absolut konvergent, wenn
k≥n0
P
|an | konvergiert.
k≥n0
P1
n
Bemerkung.
Die Reihe
n (−1) konvergiert, ist aber nicht absolut konvergent, da
P 1
n
| n (−1) | divergiert (harmonische Reihe).
4.4 Lemma. Seien (ak )k≥n0 und (bk )k≥n0 Folgen in R.
P
P
(1)
ak konvergent ⇔ ∃ n1 ≥ n0 :
ak konvergent
k≥n0
k≥n
P1
⇔ ∀ n1 ≥ n0 :
ak konvergent
k≥n1
P
(2) Gilt für k ≥ n1 ≥ n0 : |ak | ≤ bk und konvergiert
bk , so konvergiert
k≥n1
P
ak
k≥n0
absolut. Die Folge (bk ) wird Majorante von (ak ) genannt (Majorantenkriterium).
(3) Ist bk ≥ 0 für alle k ≥ n0 , so gilt
X
k≥n0
bk konvergent ⇐⇒
n
X
k=n0
!
bk
beschränkt.
n∈N
66
KAPITEL 4. REIHEN
(4) Gilt ak ≤ bk
P
∀ k ≥ n0 und sind
k≥n0
∞
X
P
ak ,
bk konvergent, so gilt:
k≥n0
ak ≤
∞
X
bk .
k=n0
k=n0
P
Insbesondere gilt für absolut konvergente Reihen
ak die verallgemeinerte
k≥n0
Dreiecksungleichung:
∞
X
|
ak | ≤
k=n0
Begründung.
∞
X
|ak |.
k=n0
zu (1)
Die Partialsummen sn =
n
P
ak und s̃n =
k=n0
n
P
ak unterscheiden sich durch eine
k=n1
Konstante:
sn − s̃n =
nX
1 −1
ak = const. ∀ n ≥ n1 .
k=n0
Es ist also s̃n = sn + c und damit konvergiert (s̃n ) genau dann, wenn (sn )
konvergiert.
zu (2)
Sei sn =
n
P
n
P
ak und σn =
k=n0
bk . Da (σn ) konvergiert, ist (σn ) eine
k=n1
Cauchyfolge (Proposition 2.27): ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N : |σn − σm | < ε
m ≥ N ). Damit gilt:
n
n
n
m
X
X
X
X
ak ≤
|ak |
|sn − sm | = ak −
ak = ≤
k=n0
n
X
k=n0
k=m+1
bk = |σn − σm | < ε
(n ≥
k=m+1
(0 ≤ |ak | ≤ bk ) ,
k=m+1
d.h. auch (sn ) ist eine Cauchyfolge und somit konvergent (Vollständigkeit von
R, Proposition 2.27).
zu (4)
Folgt aus den “Rechenregeln” für Grenzwerte (Satz (2.29)): Unter der Voraussetzung bk ≥ 0 gilt, dass
sn =
n
X
bk ≤ sn+1 =
k=n0
n+1
X
bk .
k=n0
Die Partialsummen sind also monoton.
(sn ) beschränkt + monoton. Daraus folgt wegen der Vollständigkeit die Konvergenz von (sn ) =⇒ (sn ) beschränkt.
4.2. KONVERGENZKRITERIEN
4.5 Lemma. Es seien
P
ak und
k
(1)
P
(ak + bk )
P
67
bk konvergente Reihen sowie λ ∈ R. Dann gilt:
k
ist konvergent mit
∞
∞
∞
P
P
P
(ak + bk ) = ak + bk
k
k
(2)
∞
P
λak = λ
k
∞
P
k
k
ak .
k
Beweis. Folgt sofort, wenn man die Rechenregeln für Folgen auf Partialsummen anwendet.
4.2 Konvergenzkriterien
Die Vollständigkeit von R liefert
4.6 Satz (Cauchy-Kriterium). Sei (an ) Folge in R. Dann gilt:
X
an konvergiert
⇔
∀ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ N ≤ m ≤ n :
n
n
X ak ≤ ε
k=m
Beweis. Klar, denn es gilt
n
X |sn − sm−1 | = ak k=m
4.7 Definition (Notation). Die Konvergenz von
P
bk < ∞ geschrieben.
P
bk wird abkürzend auch als
k
k
4.8 Satz (Majoranten bzw. Minoranten-Kriterium). Sei (an ) Folge in R sowie
(bn ) in [0, ∞) und |an | ≤ bn . Dann gilt:
∞
X
bk < ∞
k
Analog folgt für an ≥ bn und
⇒
∞
X
ak < ∞
k
P
bn divergent, dass auch
n
4.9 Beispiel. Die Summe
P
n
| n12 | ≤
2
n(n+1)
für n ∈ N.
P
an divergiert.
n
1
n2
ist konvergent, weil
P
n
2
n(n+1)
konvergent ist und
68
KAPITEL 4. REIHEN
4.10 Satz (Reihen mit positiven P
Gliedern). Sei (bn ) Folge in [0, ∞). Dann sind
Konvergenz und Beschränktheit von
bn äquivalent.
n
Beweis. Wegen bk ≥ 0 ist sn :=
n
P
bk monoton wachsend. Aus Monotonie und Be-
k
schränktheit folgt sofort die Konvergenz.
Andersherum folgt aus der Konvergenz natürlich sofort die Beschränktheit.
4.11
Satz (Leibniz-Kriterium). Ist (an ) eine positive Nullfolge in R, so ist
P
(−1)k ak konvergent.
k
4.12 Beispiel.
(1) Betrachte:
∞
P
k=1
(2) Betrachte:
∞
P
k=1
(−1)k
k
(−1)k+1
2k−1
=
π
4
= − ln 2
Beweis. Setze f (x) =
∞
P
k=1
(−1)k k
k x
für |x| < 1. Dann gilt:
∞
∞
∞
k=1
k=1
k=0
X
1
d X (−1)k k X
x =
(−1)k xk−1 = −
(−x)k = −
dx
k
1+x
Das letzte Gleichheitszeichen kann dabei wegen der vorliegenden geometrischen
Reihe gesetzt werden. Durch Integration erhält man f (x) = − ln(1 + x) und also
f (1) = − ln 2. Allerdings wurden hier Integration und Differentiation ausgenutzt,
die noch gar nicht eingeführt sind.
Aus dem Majorantenkriterium folgt das Quotientenkriterium:
4.13 Satz (Quotientenkriterium). Sei (an ) Folge in R. Wenn es ein 0 < θ < 1
und N ∈ N gibt mit an 6= 0 und
an+1 an ≤ θ ∀ n ≥ N ,
P
so konvergiert
an absolut.
n
Beweis. Für dieses N definiere die Folge
bn := |aN |θn−N
wobei n ≥ N
Mit Induktion folgt dann |an | ≤ |bn |.
Induktionsanfang (n = N ): |an | ≤ |an | ist wahr.
Induktionsschritt:
|an+1 | ≤ |an |θ ≤ bn θ = bn+1
4.2. KONVERGENZKRITERIEN
69
wobei Voraussetzung aus dem Satz, Induktionsvoraussetzung
sowie die Definition
P
P von
bn benutzt wurden. Da also die geometrische Reihe
bk eine Majorante für
|an |
n
k
P
ist, muss
an absolut konvergieren.
n
4.14 Beispiel (Exponentialreihe). Für alle x ∈ R konvergiert
exp(x) :=
X xn
n!
n≥0
absolut. Dazu wende man das Quotientenkriterium an:
an+1 x |x|
1
n+1
=
wenn |x| ≤
an n + 1 = n + 1 ≤ 2
2
Wähle N ∈ N so, dass |x| ≤
Quotientenkriterium erfüllt.
N +1
2 .
Für dieses N und θ =
1
2
ist die Bedingung aus dem
4.15 Definition. Wir nennen
e=
∞
X
1
= exp(1)
n!
n=0
4.16 Beispiel. Für an =
1
n
die Eulersche Zahl und ist ∈ R \ Q
ist
an+1 n
an = n + 1 < 1
P
Dennoch folgt daraus nicht, dass
an konvergiert, denn es gibt eben kein festes
n
0 < θ < 1, mit dem die Bedingung aus dem Quotientenkriterium erfüllt ist, weil
gegen 1 konvergiert.
n
n+1
4.17 Satz (Wurzel-Kriterium). Sei (an ) Folge in R. Es gebe 0 < θ < 1 und N ∈ N
mit
p
n
|an | ≤ θ
wenn n ≥ N.
P
Dann konvergiert
an absolut.
n
Beweis. Nach Voraussetzung ist eine geometrische Reihe Majorante für
P
n
somit absolut konvergent, denn es gilt
X
n
|an | ≤
X
n
θn
|an | und
!
A
A
70
KAPITEL 4. REIHEN
4.3 Die realen Zahlen: Dezimalbrüche
4.18 Definition. Ein Dezimalbruch ± a0 a1 . . . al , al+1 . . . ist eine Reihe der Form
z=±
∞
X
ak 10l−k
mit ak ∈ {0, 1, . . . , 9}
k=0
(1) 42 = 4 · 101 + 2 · 100
4.19 Beispiel.
(2) 0, 9 =
9
10
∞
P
10−k =
k=0
9
1
1
10 1− 10
=1
4.20 Proposition. Jeder Dezimalbruch konvergiert und stellt eine reelle Zahl dar.
Beweis. Man wende Majorantenkriterium und eine geometrische Reihe an.
4.21 Satz. Sei x ∈ R, x ≥ 0 und (bn ) Folge in (0, ∞) mit bn → 0 und b0 > x. Dann
∞
P
gibt es eine Folge (an ) in N0 mit an bn < bn−1 für n ∈ N und es existiert x =
an bn
n=1
Bild:
0
b3
b2
b1
x
b0
(Hier wäre a1 = 1, x1 = b1 , a2 = 0, x2 = x1 , a3 = 1, x3 = b1 + b3 usw.)
Beweis. Wir definieren an und xn rekursiv durch a1 := max{k : kb1 ≤ x} < ∞
nach dem Archimedischen Prinzip sowie x1 = a1 b1 . Sind a1 . . . an und x1 . . . xn schon
gewählt, definiere an+1 := max{xn + kbn+1 ≤ x} sowie xn+1 := xn + an+1 bn+1 . Es
folgt x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn ≤ x und xn + bn > x. Damit ist xn ≤ x < xn + bn . Also gilt
|x − xn | ≤ bn , und wegen bn → 0 folgt xn → x.
4.22 Korollar. Jede reelle Zahl ist als Dezimalbruch darstellbar, d.h. für alle x ∈
R, x ≥ 0 gibt es l ∈ N sowie (ak )k∈N0 mit
x = a0 . . . al , al+1 . . . =
∞
X
ak 10l−k
k=0
Beweis. Es gibt l ∈ N mit x < 10l . Definiere bn := 10l−n . Dann folgt nach dem letzten
∞
P
bn−1
Satz die Existenz einer Folge (an ) in N0 mit x =
und an bn < bn−1 . Da
=
bn
n=1
10l−(n−1)
= 10, ist an < 10. Damit an ∈ {0, 1, . . . , 9}. Also ist x Dezimalbruch.
10l−n
Bemerkung. Die Basis 10 hat keine ausgezeichnete Rolle. Stattdessen können beliebige
b > 1 zugelassen werden und jede Zahl besitzt eine eindeutige b-adische Darstellung.
Von besonderer Bedeutung sind b = 2 (Dualzahlen). Dabei sind die Ziffern stets ∈
{0, . . . , b − 1}
4.4. MANIPULATION VON REIHEN
71
4.23 Beispiel (Dualzahlen).
10, 00110 = 1 · 21 + 0 · 20 + 0 · 2−1 + 0 · 2−2 + 1 · 2−3 +
1
1
3
1 · 2−4 + 0 · 2−5 = 2 + +
=2
8 16
16
Abgesehen von b = 2 spielen noch b = 8 (Oktalzahlen) sowie b = 16 (Hexadezimalzahlen) eine besondere Rolle.
4.4 Manipulation von Reihen
Zunächst stellt sich die Frage:
Darf man Summanden einer Reihe vertauschen (Kommutativität)?
Manchmal, aber nur manchmal!
Gegenbeispiel: Wir betrachten die Reihe
1−1+
1 1 1 1 1 1
− + − + − + ... = 0
2 2 3 3 4 4
Nun benötigen wir folgende Definition:
P
P
4.24 Definition. Ist
an eine Reihe und τ : N0 → N0 bijektiv, so heißt
aτ (n)
n≥0
n≥0
P
eine Umordnung von
an .
Weiter im Beispiel: Nach der Umordnung erhalten wir
1
1
1
1
1
1 1
−1 +
+
... +
− + ...
1 + + + ... +
2 3
k
k+1 k+2
n
2
|
{z
}
|
{z
}
mit n ∈ N so daß ≥ 1
mit k ∈ N so daß ≥ 2
Die so umgeordnete Reihe ist divergent (unendlich großer Summenwert).
4.25 Satz. Sei
X
an absolut konvergent mit
∞
X
an = a. Dann ist jede Umordnung
n=0
dieser Reihe ebenfalls absolut konvergent mit der selben Summe.
P
4.26 Satz. (Riemannscher Umordnungssatz ). Ist
an konvergent, aber nicht absolut
konvergent, so gibt es zu jeder Zahl s ∈ R eine Umordnung
X
n≥0
aτ (n)
mit
∞
X
n=0
Des weiteren gibt es divergente Umordnungen.
aτ (n) = s .
72
KAPITEL 4. REIHEN
Beweis. (Idee). Wir setzen
an falls an ≥ 0
+
an =
0
falls an < 0
a−
n
und
an
0
=
falls an ≤ 0
falls an > 0 .
Anschließend argumentiert man wie folgt:
( P
P
a+
an nicht absolut konvergent und
n divergent (+∞)
⇒
P −
P
an ist konvergent
an divergent (−∞) .
Wir wenden uns nun einer etwas anderen Fragestellung zu. Sei aij ∈ R für i, j ∈ N0 .
Gilt dann folgendes?
∞ X
∞
∞ X
∞
X
X
?
aij =
aij
i=0 j=0
j=0 i=0
Auch hier kann man diese Frage nur manchmal mit ja beantworten.
4.27 Satz. Sei ai,j ∈ R für i, j ∈ N0 . Es existiere eine Konstante M ≥ 0 mit der
m
X
Eigenschaft, daß
|ai,j | ≤ M für alle m ∈ N. Dann folgt:
i,j=0
(1) Ist τ : N0 → N0 × N0 injektiv, so ist die Reihe
X
aτ (n) absolut konvergent.
n≥n0
Insbesondere sind sowohl die Zeilenreihen
tenreihen
∞
X
∞
X
ai,j für jedes j als auch die Spal-
i=0
ai,j für jedes i absolut konvergent.
j=0
(2) Die beiden Reihen
X
i≥0


!
∞
∞
X
X X

ai,j  und
ai,j sind absolut konvergent.
j=0
j≥0
i=0
Ferner gilt
∞
X
i=0


!
!
∞
∞
∞
∞
k
X
X
X
X
X

ai,j  =
ai,j =
ak−l,l .
j=0
j=0
i=0
k=0
l=0
|
{z
}
Diagonalsumme
4.28 Korollar. (Cauchy-Produkt ). Sind die beiden Reihen
X
ai und
i≥0
X
j≥0
konvergent, dann gilt


! ∞ 
!
∞
∞
k
∞
∞
X
X
X
X
X
X

ak−l bl =
ai bj  .
ai · 
bj  =
i=0
j=0
k=0
l=0
i=0
j=0
bj absolut
4.5. DIE EXPONENTIALFUNKTION
73
Das mittlere Produkt heißt Cauchy-Produkt.
Beweis. Wähle ai,j = ai bj und wende Aussage b) des letzten Satzes an.
4.5 Die Exponentialfunktion
Die Definitionen und Kriterien für Reihen übertragen sich ohne Schwierigkeiten auf
n
P
komplexe Reihen. Sei dazu (cn ) eine Folge in C. Dann heißt
ck n-te Partialsumme
k=n0
und
X
n
X
ck =
!
ck
k=n0
k≥n0
n∈N
wird als Reihe der Folge (ck ) bezeichnet.
Konvergenz und absolute Konvergenz sind wie für reelle Reihen definiert. Komplexe
Folgen konvergieren genau dann, wenn Real- und Imaginärteil konvergieren.
Re {cn } =: an , Im {cn } =: bn
X
X
X
ck konvergiert ⇐⇒
ak konvergiert ∧
bk konvergiert
k≥n0
k≥n0
mit
∞
X
ck =
k=n0
k≥n0
∞
X
∞
X
ak + i
k=n0
bk
k=n0
und
∞
X
k=n0
!
ck
=
∞
X
ck .
k=n0
4.29 Definition. Die komplexe Exponentialfunktion wird definiert durch
exp : C → C,
exp(z) (= ez ) =
∞
X
zn
.
n!
n=0
Absolute Konvergenz für beliebige z ∈ C (wie im Reellen) folgt aus dem Quotientenkriterium.
4.30 Satz.
(1) Die Exponentialfunktion exp : C → C ist stetig.
N
P
|z|N +1
zn für |z| ≤
(2) Es gilt: exp(z) −
n! ≤ 2 · (N +1)!
n=0
N +1
2
(3) Die Exponentialfunktion erfüllt die Funktionalgleichung
exp(z + z̃) = exp(z) · exp(z̃)
∀ z, z̃ ∈ C.
74
KAPITEL 4. REIHEN
Bemerkung. Aus derQlinearen Algebra ist bekannt:
Qm−1
n
Produktzeichen:
j=m aj = am · am+1 · . . . · an ( und
j=m aj := 1 )
Qk n−j+1
n(n−1)· ... ·(n−k+1)
n
Durch k := j=1 j
=
werden die Binomialkoeffizienten
1·2· ... ·k
definiert.
Lemma:
n!
(1) Es gilt nk = 0 falls k > n und nk = (n−k)!
k! .
(2) nk ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.
n−1
(3) Für 1 ≤ k ≤ n gilt: nk = n−1
k−1 +
k .
Hiermit erhält man wieder mit einer einfachen Induktion den folgenden Satz:
4.31 Satz (Binomischer Lehrsatz). Für z, z̃ ∈ C und n ∈ N0 ist
n
(z + z̃) =
n X
n
k=0
k
z k z̃ n−k
Beweis. Vollständige Induktion
Beweis. (Satz 4.30 über die Exponentialfunktion)
(1) Stetigkeit
a) bei z0 = 0: Fehlerabschätzung für N = 0 (exp(0) = 1):
| exp(z) − 1| ≤ 2 · |z|
Um die Stetigkeit zu zeigen, wähle man δ =
|z − 0| ≤ δ
⇒
ε
2
für ein ε > 0:
| exp(z) − exp(0) | ≤ 2 · |z| < 2δ = ε
| {z }
=1
Also ist exp stetig.
b) Sei nun z0 ∈ C beliebig. Ist (zn ) Folge in C mit zn → z0 , so muss exp(zn ) →
exp(z0 ) gezeigt werden. Das gilt aber, da
exp zn = exp(zn − z0 + z0 ) = exp(zn − z0 ) exp(z0 ) → exp(z0 ),
weil exp(zn − z0 ) → 0, denn exp ist nach (a) stetig in 0.
(2) Fehlerabschätzung: Für |z| ≤ 1 + N2 sowie n ≥ N ist
n+1 z
(n+1)! n = |z| ≤ |z| ≤ 1
z n+1
N +1
2
n! 4.5. DIE EXPONENTIALFUNKTION
75
Durch Induktion erhält man
n
N +1
z 1 z n−1 ≤ . . . ≤ |z|
2N +1−n
n! 2 (n − 1)! (N + 1)!
für n ≥ N + 1
Daraus folgt:
∞
N
∞
X
X
z n X z n |z|N +1 N +1−n
2
exp(z) −
=
≤
n! n! (N + 1)!
n=0
n=N +1
∞
X
N +1
=
|z|
(N + 1)!
n=N +1
∞
X
N +1
2N +1−n =
n=N +1
|z|
|z|N +1
2−n = 2
(N + 1)! n=0
(N + 1)!
(3) Funktionalgleichung : Durch “Ausrechnen”:

! ∞
∞
X
z i X z̃ j 
exp(z) · exp(z̃) =
i!
j!
i=0
j=0
!
∞
k
X
X
z k−l
z̃ l
=
·
(k − l)! l!
k=0
∞
X
1
=
k!
k=0
∞
X
1
=
k!
=
k=0
∞
X
k=0
(Cauchy-Produkt (4.28))
l=0
k
X
k!
· z k−l z̃ l
(k − l)! l!
l=0
!
k X
k
z k−l z̃ l
l
!
l=0
1
(z + z̃)k
k!
nach Binomischem
Lehrsatz (4.31)
= exp(z + z̃)
Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion halten wir in folgendem Korollar fest:
4.32 Korollar.
(1) ∀ z ∈ C : exp(z) 6= 0
(2) ∀ x ∈ R : exp(x) > 0
(3) ∀ n ∈ Z : exp(n) = en
(4) exp : R 7→ R ist streng monoton
(5) exp(z) = exp(z̄), z ∈ C
76
KAPITEL 4. REIHEN
(6) | exp(it)| = 1, t ∈ R
Beweis.
(1) 1 = exp(0) = exp(z − z) = exp(z) exp(−z)
1
⇒ exp(z) 6= 0, exp(−z) = exp(z)
∞
P
(2) x ∈ R, x ≥ 0 : exp(x) =
Für x < 0 ist exp(x) =
xn
n!
n=0
1
exp(−x)
=1+
∞
P
n=1
xn
n!
≥1
>0
(3) n ∈ N ⇒ exp(n) = exp(1 + .... + 1) = exp(1)... exp(1) = en
(4) Sei y > x ⇒ exp(y) = exp(x + (y − x)) = exp(x) exp(y − x) > exp(x)
∞
P
(5) exp(z) =
n=0
zn
n!
=
∞
P
n=0
zn
n!
∞
P
=
n=0
zn
n!
= exp(z̄)
(6) Für t ∈ R ist 1 = exp(it − it) = exp(it) exp(−it) = exp(it) exp(it) =
exp(it)exp(it) = | exp(it)|2
eit
ei0
Frage: Was macht eit , wenn t die reellen Zahlen durchläuft?
Antwort: eit läuft gegen den Uhrzeigersinn mit
|Geschwindigkeit| = 1.
it
4.33 Satz. Für t>
< 0 erhält man exp(it) = e , indem man von 1 aus startend
Uhrzeigersinn auf dem Einheitskreis die Bogenlänge |t| abträgt.
entgegen
im
Beweis.
(a) z 7→ iz ist Drehung um 90◦ gegen den Uhrzeigersinn.
z 7→ −iz ist Drehung um
90◦ im Uhrzeigersinn. Für
z = x+iy ist iz = −y +ix.
(b) Für 0 < s < 1 liegt ei(t+s) auf dem Viertelkreis, der eit gegen den Uhrzeigersinn
folgt ei(t+s) , falls s ∈ (0, 1). Sei dazu eis = a + ib.
eis =
=
∞
X
(is)k
k=0
∞
X
k=0
k!
,
(i2k = (−1)k , i2k+1 = (−1)k i)
∞
(is)2k X (is)2k+1
+
(2k)!
(2k + 1)!
k=0
4.5. DIE EXPONENTIALFUNKTION
=
∞
X
(−1)k s2k
(2k)!
k=0
2
+i
∞
X
(−1)k s2k+1
k=0
6
4
77
(2k + 1)!
s
s
s2
s4
s6
s
+
−
+ ...) + is(1 −
+
−
+ ...)
2
4!
6!
3!
5!
7!
⇒ eis = a + ib mit a > 0, b > 0 für 0 < s < 1
ei(s+t) = eis eit = (a + ib)eit = aeit + ibeit , |a|2 + b2 = 1
= (1 −
eit bewegt sich gegen den Uhrzeigersinn.
(c)
L4 L
3
L2
L1
Länge des Bogens von 1 bis eit (mit Umläufen
gerechnet) ist |t|, für t > 0.
Berechne: Ln (t) = Länge des Polygonzuges
2t
nt
(1, ei n , ..., ei n )
Idee: lim Ln (t) ist die gesamte Bogenlänge.
n→∞
t
2
Ln (t) = |ei n − 1| + |ei n t − 1| + ... + |ei
=
n−1
X
|ei
k+1
n t
− ei n t |
k
1
n−1
n t
|
k
k=0
=
n−1
X
k
|ei n t ei n t − ei n t |
k=0
=
n−1
X
k
1
|ei n t (ei n t − 1)|
k=0
=
n−1
X
k
1
1
|ei n t ||ei n t − 1| = n|ei n t − 1|
k=0
1
ei n − 1 = |t| → |t|
nt
4.34 Lemma. Für zn → 0, zn 6= 0 ⇒
ezn −1
zn
schreiben lässt.
Beweis.
ez − 1 =
∞
∞
X
X
zn
zn
−1=
n!
n!
n=1
n=0
→ 1, was sich auch als lim
n→0
e0+n −e0
n
=1
78
KAPITEL 4. REIHEN
⇒
∞
ez − 1 X z n−1
=
z
n!
n=1
⇒
∞
∞
∞
X
X
X
ez − 1
z n−1
z n−1
z n−2
−1=
+1−1=
=z
z
n!
n!
n!
n=2
n=2
n=2
Mit k = n − 2 folgt
∞
X
ez − 1
zk
−1=z
z
(k + 2)!
k=0
z
∞
X
e − 1
|z|k
≤ |z|
−
1
z
(k + 2)!
k=0
≤ |z| exp(|z|)
Für zn → 0 folgt also:
z
e n − 1
zn − 1 ≤ |zn | exp(|zn |) → 0
4.35 Definition. π :=
1
2
ist der Umfang des Einheitskreises.
4.36 Satz.
(1) eiπ = −1, e2πi = 1
(2) Jedes z ∈ C mit |z| = 1 hat die Form z = eit mit t ∈ R (t ∈ [0, 2π) eindeutig).
(3) Ist z ∈ C\{0}, so folgt |z| =: r > 0 und zr = 1. Damit zr = eiϕ mit ϕ ∈ R
und jedes z ∈ C lässt sich schreiben als z = reiϕ mit r = |z| und ϕ =: arg(z)
(Argument von z). Dies liefert die geometrische Interpretation der Multiplikation
komplexer Zahlen als Winkeladdition:
z z̃ = |z||z̃|eiϕ eiϕ̃ = |z||z̃|ei(ϕ+ϕ̃)
4.37 Korollar. Für ϕ ∈ R ist ei(ϕ+2kπ) = eiϕ , k ∈ Z. Mit anderen Worten t 7→ eit
ist 2π − periodisch bzw. die komplexe e-Funktion ist periodisch mit Periode 2πi.
4.38 Definition (Winkelfunktionen). Wir definieren die Winkelfunktionen
cos ϕ = Re eiϕ sowie sin ϕ = Im eiϕ .
Da Re z = 21 (z + z̃), Im z =
1
2i (z
− z̃) folgen

cos ϕ = 12 (eiϕ + e−iϕ ) 
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
Eulersche Formeln

1
(eiϕ − e−iϕ )
sin ϕ = 2i
4.5. DIE EXPONENTIALFUNKTION
79
Benutze i2k = (−1)k , i2k+1 = i(−1)k um die Parameterdarstellung von cos und sin zu
erhalten:
eiϕ
=
=
∞
X
(iϕ)2k
k=0
∞
X
(2k)!
+
∞
X
(iϕ)2k+1
(2k + 1)!
k=0
∞
X
(−1) ϕ
ϕ2k+1
+i
(−1)k
(2k)!
(2k + 1)!
k=0
k=0
|
{z
} |
{z
}
k
2k
∈R
⇒ cos ϕ
sin ϕ
=
=
∈R
∞
X
(−1)k ϕ2k
k=0
∞
X
k=0
(2k)!
(−1)k ϕ2k+1
(2k + 1)!
80
KAPITEL 5. STETIGE REELLE FUNKTIONEN
5 Stetige reelle Funktionen
Wir betrachten auf R stets die übliche Metrik d(x, y) = |x − y|. Aus Kapitel 3 wissen
wir, was Stetigkeit bedeutet.
5.1 Grenzwerte von Funktionen
Wir beginnen mit
(1) f : (0, ∞) → R,
5.1 Beispiel.
1
x
f (x) =
lim f (x) = ∞ sowie
:
x→0
lim f (x) = 0
x→∞
(2) g : (0, ∞) → R,
g(x) = ex :
(3) h : (0, ∞) → R,
h(x) = sin
lim g(x) = 1
x→0
1
x
:
lim g(x) = ∞
x→∞
lim h(x) existiert nicht; lim h(x) = 0
x→∞
x→0
Bei diesen Definitionen macht das ∞ Schwierigkeiten, dazu:
5.2 Definition.
(1) Sei (xn ) Folge in R, wir sagen xn ist bestimmt divergent gegen +∞, in
Zeichen lim (xn ) = ∞ oder xn → ∞ für n → ∞, wenn
n→∞
∀ R > 0 ∃ nR ∈ N :
xn ≥ R
∀ n ≥ nR
Entsprechend heißt xn bestimmt divergent gegen −∞, falls lim (−xn ) =
n→∞
+∞.
Notation:
Beispiel:
lim (xn ) = −∞
n→∞
∞
X
1
= +∞
n
n=1
(2) Sei D ⊂ R, dann heißt D = {x ∈ R : ∃ (xn ) in D mit xn → x} Abschluss von
D.
(Beispiel: (0, 1) = [0, 1] )
5.1. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN
81
(3) Sei D ⊂ R, f : D → R, x0 ∈ D ∪ {±∞}. Wir sagen f (x) → y0 für x → x0 wenn
∀ (x) in D mit xn → x0 ; f (x) → y0 (y0 ∈ R ∪ {±∞})
Damit gilt für Beispiel (5.1).
(1)
1
= +∞,
x→0 x
lim
1
=0
x→∞ x
lim
(2)
lim g(x) = 1,
x→0
g(x) → +∞ für x → ∞
(3) lim h(x) existiert nicht, da verschiedene Teilfolgen in (0, ∞) unterschiedliche
x→0
Grenzwerte besitzen.
5.3 Proposition. Sei f : D → R und D ⊂ R.
(1) Ist x0 ∈ D, so gilt: lim f (x) = y0 ⇔ y0 ∈ R und f (x0 ) = y0 und f ist stetig
x→x0
bei x0
(2) Ist x0 ∈ D ∩ R: lim f (x) = y0 ∈ R
x→x0
⇔ Es existiert Fortsetzung g : D → R von f und g stetig bei x0 mit g(x0 ) = y0 .
Beweis.
(1) ”⇒” Wegen konstanter Folge (x0 ) ist y0 ∈ R und f (x0 ) = y0 .
Folgenstetigkeit ⇒ (metr. Räume) Stetigkeit
”⇐” f stetig bei x0 ⇒ f folgenstetig bei x0
(2) ”⇒” folgt aus 1.

 f (x) für x ∈ D
y0
für x0
”⇐” definiere g(x) =

42
für x0 ∈ D\(D ∪ {x0 })
für f (x) → y0 folgt (x → x0 ):
∀ (xn ) in D mit xn → x0 : g(xn ) → g(x0 ) = y0
⇒ g folgenstetig ⇒ (metr. Raum) g stetig bei x0
5.4 Proposition.
(1) Für (xn ) in (0, ∞) :
xn → ∞ ⇔
1
xn
→0
82
KAPITEL 5. STETIGE REELLE FUNKTIONEN
(2) ∀ k ∈ N :
xk
x→∞ ex
ex
lim k
x→∞ x
lim
=
0
bzw.
(5.1)
= ∞
(5.2)
Beweis. Gleichung (5.1) und Gleichung (5.2) sind äquivalent.


k
∞
X
1 X xi
xk+1
xj 
ex
=
+
+
xk
xk i=0 i!
(k + 1)!
j!
j=k+1
=
k
X
i=0
und
x
xi−k
+
+
i!
(k + 1)!
∞
X
j=k+1
xj−k
x
≥
j!
(k + 1)!
für x ≥ 0
x
ex
→ ∞ für x → ∞ damit ist auch lim k = ∞
x→∞ x
(k + 1)!
(Normale Rechenregel für bestimmt divergente Folgen.)
5.2 Der Zwischenwertsatz
5.5 Satz (Zwischenwertsatz). Sei I ⊂ R ein Intervall und f : I → R setig. Dann
ist f (I) ein Intervall.
Äquivalentes Korollar:
5.6 Korollar. Sei a < b ∈ R, f : [a, b] → R stetig, f (a) ≤ f (b). Dann gibt es
∀ ξ ∈ [f (a), f (b)] ein x ∈ [a, b] mit f (x) = ξ. (Dies folgt sofort aus dem Satz und
umgekehrt)
Beweis. Sei
y−
y+
= inf f (I) ∈ R ∪ {−∞}
= sup f (I) ∈ R ∪ {+∞}
Wir zeigen (y− , y+ ) ⊂ f (I) ⊂ [y− , y+ ] ∩ R
⇒ f (I) ist Intervall.
Wähle y ∈ (y− , y+ ) für y− < y+ (somit trivial) und (x− , x+ ) ⊂ I ⊂ [x− , x+ ].
A−
A+
:= {x ∈ I : f (x) < y}
:= {x ∈ I : f (x) > y}
5.2. DER ZWISCHENWERTSATZ
83
Damit gilt: A− ∩ A+ = ∅ und A− ∪ A+ = I. Weil f stetig ist, ist A− offen und A− 6= ∅
(somit wäre inf(I) = y− = y)
analog ist A+ 6= ∅, A+ ist offen
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei A+ ∩ {ξ ∈ R : ξ > x} =
6 ∅
Behauptung: f (x) = y
Da x = inf(A+ ∩ (x, ∞)) gibt es (xn ) in A+ ∩ (x, ∞) mit xn → x und A+ ∩ (x, ∞)
offen.
(1) ⇒ f (x) = lim f (x) ≥ y mit f (x) > y, da xn ∈ A+
n→∞
(2) x − n1 ∈ A− ist für n groß genug und damit
f (x) = lim (f (x − n1 )) ≤ y
n→∞
Aus 1. und 2. folgt f (x) = y
1
5.7 Beispiel. ∀ a ≥ 0, n ∈ N gibt es genau ein Wak mit (Wak )k = a, Wak =: a k
Begründung. Betrachte f (x) = xk auf [0, ∞), f (0) = 0 und
f (x) → ∞ für x → ∞ ⇒ f ([0, ∞)) = [0, ∞) nach dem Zwischenwertsatz. D.h. ∀ a ≥
gibt es ein x mit xk = a. Da f streng monoton auf [0, ∞) ist x eindeutig.
Eigentlich steht hinter dem Zwischenwertsatz (5.5) ein allgemeines Prinzip (stetige
Bilder zusammenhängender Mengen sind zusammenhängend) und konkrete Aussagen
über R: (zusammenhängende Mengen in R sind Intervalle).
5.8 Definition. Sei (M, d) ein metrischer Raum
(1) M heißt zusammenhängend, wenn jede Zerlegung von M in offene, disjunkte
Mengen trivial ist, d.h. [U, V offen, U ∩ V = ∅ und U ∪ V = M ⇔ U = ∅ oder
V = ∅].
(2) X ⊂ M heißt zusammenhängend, wenn (X, d) zusammenhängen.
nicht zusammenhängend
5.9 Beispiel.
zusammenhängend
(1) [0, 1) ∪ (2, 3] nicht zusammenhängend in R.
(2) Alle Intervalle sind zusammenhängend.
84
KAPITEL 5. STETIGE REELLE FUNKTIONEN
Der folgende Satz ist einfach zu beweisen, aber wichtig:
5.10 Satz. Seien (M1 , d1 ), (M2 , d2 ) metrische Räume, f : M1 → M2 stetig, X ⊂ M1 ,
zusammenhängend ⇒ f (X) ⊂ M2 ist zusammenhängend.
Das nächste Resultat ist natürlich wieder eine Konsequenz aus der Ordnungsvollständigkeit der reellen Zahlen:
5.11 Satz. M ⊂ R ist genau dann zusammenhängend, wenn M ein Intervall ist.
5.3 Kompaktheit
Kompaktheit ist ein fundamentaler Begriff. Sehr viele Existenzsätze (z.B. Existenz von
Lösungen gewisser Differenzalgleichungen) gründen sich auf Kompaktheit in geeigneten
Räumen.
5.12 Definition. Sei (M, d) metrischer Raum, K ⊂ M .
(1) Eine offene Überdeckung von K ist eine Familie (Ul )l∈I offener Mengen, wobei
I beliebige Indexmenge, mit
[
Ul ⊃ K,
l∈I
d.h. ∀ x ∈ K ∃ l ∈ I :
x ∈ Ul .
(2) K heißt kompakt, wenn für jede offene Überdeckung (Ul )l∈I von K eine endliche
Teilüberdeckung existiert, d.h. wenn es für jede offene Überdeckung (Ul )l∈I von
K endlich viele l1 , l2 , ..., ln ∈ I gibt mit
Ul1 ∪ Ul2 ∪ ... ∪ Uln ⊃ K.
5.13 Beispiel. (1) Menge (0, 1) ⊂ R, Indexmenge I = N, für n ∈ I sei Un =
( n1 , 1). ⇒ Un ist eine offene Überdeckung von (0, 1). Es gibt jedoch keine endliche
Teilüberdeckung von (Un )n∈I ⇒ (0, 1) nicht kompakt.
(2) Menge R, Indexmenge I = R und für x ∈ R sei Ux = (x − 1, x + 1) .
⇒ (Ux )x∈R offene Überdeckung von R, denn x ∈ Ux
keine endliche Teilüberdeckung ⇒ R nicht kompakt.
∀ x ∈ R. Es gibt jedoch
(3) K = [0, 1], Ux = (x − 12 , x + 12 ) für x ∈ R ⇒ Ux ist eine offene Überdeckung von
[0, 1] und es gibt eine endliche Teilüberdeckung:
1 7
U 13 ∪ U 23 = − ,
⊃ [0, 1]
6 6
Im folgendem Satz wird der Begriff der Folgenkompaktheit eingeführt. In metrischen
Räumen ist diese äquivalent zur Kompaktheit! (ohne Beweis)
5.3. KOMPAKTHEIT
85
5.14 Satz. Sei (M, d) metrischer Raum, K ⊂ M .
Folgende Aussagen sind äquivalent:
(1) K ist kompakt.
(2) K ist folgenkompakt, d.h. jede Folge (xn )n∈N mit xn ∈ K(n ∈ N) besitzt eine in
K konvergente Teilfolge (xnj )j∈N :
∀ (xn ) ∈ K ∃
Teilfolge
(xnj )j∈N
von
(xn )
mit
xnj → x, x ∈ K, j → ∞
Unter Verwendung des Satzes (2.24) von Bolzano-Weierstraß folgt:
5.15 Satz. Sei K ⊂ R. Dann sind äquivalent:
(1) K ist kompakt.
(2) K ist abgeschlossen und beschränkt.
Beweis. (Wir verwenden Folgenkompaktheit):
(1) ⇒ (2) Sei K kompakt. Zu zeigen: K ist abgeschlossen. (Erinnerung: d.h. K c
ist offen. ⇔ Für jede konvergente Folge (xn ) mit (xn ) in K ist lim xn ∈ K).
n→∞
Sei also (xn ) eine Folge in K und lim xn = x. Da K kompakt ⇒ ∃ (xnj ) mit
n→∞
lim xnj = y ∈ K. Da xn → x, muss auch xnj → x ⇒ x = y ∈ K. K ist
n→∞
beschränkt, sonst gäbe es (xn ) in K mit |xn | > n. Diese Folge besitzt garantiert
keine konvergente Teilfolge. (Jede Teilfolge ist unbeschränkt).
(2) ⇒ (1) Zeige: K ist folgenkompakt. Sei (xn ) eine Folge in K; da K beschränkt
ist, ist (xn ) beschränkt. ⇒ (Satz (2.24) von Bolzano-Weierstraßs) ∃ eine konvergente Teilfolge (xnk )k∈N . Da K abgeschlossen ist, ist lim xnk ∈ K.
k→∞
5.16 Beispiel. M 6= ∅ mit der diskreten Metrik
0 wenn x = y
d(x, y) =
1 sonst
⇒ {x} = U 21 (x) ist offen. Damit gilt: U ⊂ M ist kompakt ⇔ U ist endlich. (⇒
(Ux )x∈K , Ux = {x}). 6⇐ K abgeschlossen und beschränkt.
In M sind alle Mengen abgeschlossen und beschränkt.
5.17 Satz. Seien (M1 , d1 ), (M2 , d2 ) metrische Räume, f : M1 → M2 stetig und
K ⊂ M1 kompakt. Dann ist auch f (K) kompakt. “Das stetige Bild kompakter Mengen
ist kompakt.”
Beweis. Wieder über Folgenkompaktheit:
Sei (yn ) eine Folge in f (K). Wähle xn ∈ K mit yn = f (xn ). Da K kompakt ist, gibt
es eine konvergente Teilfolge (xnk ) mit lim xnk = x ∈ K. Mit der Stetigkeit von f
k→∞
folgt f (xnk ) =: yn → f (x) ∈ f (K). Damit: f (K) folgenkompakt.
!
A
A
86
KAPITEL 5. STETIGE REELLE FUNKTIONEN
5.18 Korollar. Sei (M, d) ein metrischer Raum, f : M → R stetig, K ⊂ M kompakt.
Dann ist f auf K beschränkt und nimmt sein Maximum und Minimum an. D.h. es
gibt xmax ∈ K, xmin ∈ K mit
f (xmax ) = sup{f (x) : x ∈ K} = max{f (x) : x ∈ K}
f (xmin ) = inf{f (x) : x ∈ K} = min{f (x) : x ∈ K}
sowie
Beweis. Nur für das Maximum:
f (K) ist nach (5.17) eine kompakte Teilmenge von R, also beschränkt. Sei s :=
sup f (K): da s das Supremum ist, existiert (sn ) in f (K) mit sn → s, da sn ∈ f (K)
gibt es xn ∈ K mit f (xn ) = sn .
Da K kompakt ist, gibt es eine konvergente Teilfolge (xnk ) mit lim xnk = x ∈ K. ⇒
n→∞
(f stetig) f (xnk ) = snk → f (x) = s. Damit ist x das gesuchte xmax .
5.19 Beispiel.
(1) f : (0, 1) → R, f (x) = x1 ist stetig, f (0, 1) = (1, ∞) nicht beschränkt. Minimum
wird nicht angenommen.
(2) g : (0, 1) → R, g(x) = x ist stetig, g((0, 1)) = (0, 1) beschränkt, aber nimmt auf
(0, 1) weder Supremum noch Infimum an.
5.20 Korollar. Sei I ⊂ R ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und f : I → R.
Dann ist f (I) ein abgeschlossenes, beschränktes Intervall.
5.4 Umkehrfunktionen, Stetigkeit und allgemeine
Potenzen
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die Inverse streng monoton stetiger Funktionen wieder stetig ist.
Ist f : A → B bijektiv, so gibt es für jedes b ∈ B genau ein a ∈ A mit f (a) = b.
Wir schreiben a = f −1 (b) und f −1 : B → A heißt Umkehrabbildung oder Inverse
von f .
In R erhält man Injektivität (stetiger) Funktionen durch Monotonie:
steigend
5.21 Definition. Für D ⊂ R, f : D → R gilt: f heißt monoton
genau
fallend
dann, wenn
f (x̃) ≥ f (x)
:⇔ ∀ x, x̃ ∈ D, x̃ > x :
f (x̃) ≤ f (x)
gilt. Eine Funktion heißt streng monoton fallend bzw. steigend, wenn sie monoton
>
fallend bzw. steigend ist und injektiv ist (d.h. ∀ x, x̃ ∈ D, x̃ > x : f (x̃) < f (x)).
f ist monoton, genau dann wenn f monoton steigend oder monoton fallend ist.
f ist streng monoton, genau dann wenn f streng monoton fallend oder steigend ist.
5.4. UMKEHRFUNKTIONEN, STETIGKEIT UND ALLGEMEINE
POTENZEN
87
5.22 Satz. Sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → R stetig und streng monoton. Dann ist
f injektiv, f (I) =: J ⊂ R ist ein Intervall, und f −1 : J → R ist streng monoton und
stetig.
Beweis.
(1) ohne Einschränkung: f ist streng monoton steigend.
f ist injektiv, da streng monoton; f (I) = J ist nach dem Zwischenwertsatz (5.5)
zusammenhängend und also ein Intervall: f : I → J ist also bijektiv. Wir zeigen
nun: f −1 : J → I ist streng monoton steigend: Für y < ỹ werde f −1 (y) ≥ f −1 (ỹ)
angenommen. Durch Anwendung von f erhält man:
y = f (f −1 (y)) ≥ f (f −1 (ỹ)) = ỹ
(2) Bleibt zu zeigen: f −1 ist stetig. Wähle dazu y0 ∈ J, ε > 0. Gesucht wird ein
δ > 0 mit
|f −1 (y) − f −1 (y0 )| < ε falls |y − y0 | < δ
• x0 liegt nicht im Rand von I, d.h. ∃ ε̃ > 0 mit [x0 − ε̃, x0 + ε̃] ⊂ I.
Ohne Einschränkung: ε̃ < ε. Setze y1 = f (x0 −ε̃), y2 = f (x0 +ε̃) ⇒ (f streng
monoton) y1 < y0 < y2 . Damit gibt es δ > 0 mit y1 < y0 − δ < y0 + δ < y1 .
Dieses δ tut’s!
f −1 ((y0 − δ, y0 + δ)) ⊂ f −1 ((y1 , y2 )) = (x0 − ε̃, x0 + ε̃) ⊂ (x0 − ε, x0 + ε)
• x0 ist linker Randpunkt: (x0 , x0 + ε̃) . . . weiter wie vorher
• x0 ist rechter Randpunkt: wie 2.
5.23 Definition (Folgerung). Die Exponentialfunktion exp: R → R ist streng monoton steigend und stetig mit Wertebereich exp(R) = (0, ∞). Die Umkehrfunktion
exp−1 =: ln : (0, ∞) → R ist streng monoton steigend und stetig. Sie erfüllt die
Funktionalgleichung
ln(x · y) = ln x + ln y
Beweis. Strenge Monotonie, Stetigkeit und exp(R) ⊂ (0, ∞) wurden schon gezeigt.
Für x → ∞ geht exp(x) → ∞. Für x → −∞ ist
1
inf(exp(R)) = 0
exp(x) =
→0
⇒
sup(exp(R)) = ∞.
exp(−x)
Nach dem Zwischenwertsatz (5.5) ist dann exp(R) = (0, ∞).
5.24 Definition. Sei k ∈ N, f : [0, ∞) → R, f (x) = xk ist streng monoton. Die stetige
√
Umkehrfunktion ist die k-te Wurzel, f −1 (y) = k y.
5.25 Definition (Allgemeine Potenzen). Sei a > 0, x ∈ R
ax := expa (x) := exp(x · ln a)
88
KAPITEL 5. STETIGE REELLE FUNKTIONEN
Rechenregeln dazu: Für a,b > 0, x, y ∈ R:
(1) ln(ax ) = x · ln a
(2) (ax )y = ax·y
(3) ax · bx = (a · b)x
Begründung. (ax )y = exp(x · ln a)y = exp(ln b · y) = exp(y · x · ln a) = exp((x ·
|
{z
}
y) · ln a) := ax·y
(4)
1
ax
b
= a−x
Wichtige Grenzwerte:
(1) xk · exp(−x) → 0 für x → ∞
(2)
xk
ln x
→ ∞ für x → ∞, k > 0
Begründung.
xk
exp(k · ln x)
exp(k · ln x)
=
=k·
→∞
ln x
ln x
k · ln x
denn für x → ∞ strebt k · ln x → ∞
(3) Für alle a > 0 : xa = exp(a · ln x) → ∞ für x → ∞