MA S410 Geometrie

MA S410 Geometrie
Johanna Schönenberger-Deuel
31. Oktober 2010
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1
2 Isometrien oder Kongruenzabbildungen
2.1 Einführende Überlegungen . . . . . . . .
2.2 Geradenspiegelung Sg . . . . . . . . . . .
2.3 Isometrien der Ebene . . . . . . . . . . .
2.4 Dreispiegelungssatz . . . . . . . . . . . .
2.5 Die 5 Typen von Isometrien . . . . . . .
2.5.1 Punktspiegelung . . . . . . . . .
2.5.2 Rotation (Drehung) . . . . . . . .
2.5.3 Translation (Parallelverschiebung)
2.5.4 Schubspiegelung (Gleitspiegelung)
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3 Ähnlichkeitsabbildungen
3.1 Dilatationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Zentrische Streckung . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Harmonische Teilung und Apolloniuskreis . . . .
3.4 Verschiedene Ähnlichkeitsabbildungen . . . . . .
3.4.1 Ähnlichkeitsabbildungen allgemein . . .
3.4.2 Drehstreckungen und Klappstreckungen
3.4.3 Noch zwei Sätze . . . . . . . . . . . . . .
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4 Kreisgeometrie
4.1 Kreiswinkelsätze . . . . . .
4.2 Sehnensätze . . . . . . . .
4.3 Satzgruppe des Pythagoras
4.4 Orthogonale Kreise . . . .
4.5 Pol und Polare . . . . . .
4.6 Inversion am Kreis . . . .
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5 Goldener Schnitt
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5.1 Was ist der Goldene Schnitt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Konstruktionen des Goldenen Schnitts und Eigenschaften . . . . . . . . . . 73
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5.3
5.4
Goldene Rechtecke und Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Weitere Konstruktionen mit dem Goldenen Schnitt . . . . . . . . . . . . . 80
6 Reguläre Polygone
81
6.1 Definitionen und Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2 Konstruktionen regulärer n-Ecke mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . 84
6.3 Zwei Näherungskonstruktionen des regulären Siebeneck . . . . . . . . . . . 86
7 Symmetrien
7.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Die Gruppe der Isometrien . . . . . . . .
7.3 Die Gruppe der Ähnlichkeitsabbildungen
7.4 regelmässige Vielecke . . . . . . . . . . .
7.5 Bandornamente . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Flächenornamente (Parkette) . . . . . .
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8 Euklidische und Nichteuklidische Geometrien
8.1 Axiomensystem der ebenen euklidischen Geometrie . . .
8.2 Modelle nichteuklidischer Geometrien . . . . . . . . . . .
8.2.1 Beispiel einer elliptischen Geometrie . . . . . . . .
8.2.2 Kleinsches Modell einer hyperbolischen Geometrie
8.2.3 Poincaré- Modell einer hyperbolischen Geometrie
8.2.4 Künstlerischer Abschluss . . . . . . . . . . . . .
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9 Graphen und Algorithmen
9.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Über Grade von Ecken . . . . . . . . .
9.4 Bäume . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Minimal aufspannendeBäume (Minimal
9.6 Kürzeste Wege in Graphen . . . . . . .
9.7 Eulersche Graphen . . . . . . . . . . .
9.8 Hamiltonsche Graphen . . . . . . . . .
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Spanning Tree)
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Kapitel 1
Einführung
Die Geometrie ist die älteste, systematisierte mathematische Disziplin. Geometrie bedeutet Erdmessung. Ursprünglich waren geometrische Figuren Äcker, Wiesen, Felder. Zunächst ist die Geometrie die Lehre vom Messen und Berechnen von Längen, Winkeln,
Flächen und Volumina. Schon die Babylonier, die Ägypter und die Griechen haben sich
mit geometrischen Sachverhalten der menschlichen Umwelt auseinandergesetzt.
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Aber erst Thales von Milet (ca. 625 - ca. 547 v. Chr.)
erfand, was wir heute Wissenschaft nennen. So waren
seine geometrischen Figuren rein abstrakte Gebilde. Er
untersuchte das Sammelsurium geometrischer Rezepte,
Daumenregeln und empirischer Formeln, die aus Babylon und Ägypten überliefert wurden. Er merkte, dass
einige Regeln aus anderen hergeleitet werden konnten
und wollte die Geometrie als rein geistige Aktivität sehen.
Pythagoras von Samos (ca. 582 - 500 v. Chr.) hörte von Thales wissenschaftlichen Ideen. Vor allem dessen Geometrie begeisterte ihn. Er studierte in Ägypten.
Später gründete er in Kroton, einer griechischen Stadt
in Süditalien, die Schule der Pythagoräer, eine halb religiöse, halb politische Gemeinschaft, wo man sich mathematischen und philosophischen Fragestellungen widmete. In dieser so genannten Bruderschaft waren aber
Frauen und Männer völlig gleichberechtigt. So wurden
Frauen wichtige Personen in der Weiterentwicklung von
Mathematik und Naturwissenschaften.
Euklid (etwa 340 - 270v. Chr.) lebte in Athen und wurde später ans Museion in Alexandria berufen. Alexander der Grosse hatte diese neue Stadt am Nil gegründet.
Alexandria wurde das aktive Zentrum der Wissenschaften und Mathematik. Euklid hat das bis dahin bekannte
Material gesammelt und systematisch aufbereitet.
In seinen Elemente der Mathematik (insgesamt 13 Bücher) führt er eine axiomatische
Begründung der Geometrie ein. Die Schulbücher beruhen auch heute noch mindestens
indirekt auf den Elementen.
Euklid versucht zunächst, die Grundbegriffe wie ”Punkt”, ”Gerade” und ”Ebene” explizit
zu definieren (Ein Punkt ist, was keine Teile hat), führt dann Grundrelationen ”inzident”, ”zwischen” und ”kongruent” ein und formuliert in den Axiomen (Grundaussagen)
die einfachsten Eigenschaften. Damit kann er neue Begriffe explizit definieren und Sätze
beweisen, indem er sich nur auf sein Axiomensystem stützt.
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Zwei Anektoten über Euklid
Ein junger Student fragt Euklid: Was habe ich davon, wenn ich all diese Dinge lerne?
Euklid ruft seinen Diener und sagt zu diesem: Gib dem Mann eine Münze, denn er muss
einen Gewinn ziehen aus dem, was er lernt.
König Ptolemaios fragt Euklid: Gibt es in der Geometrie einen kürzeren Weg als die
Elemente?"
Darauf Euklid antwortet: Es gibt keinen K önigsweg zur Geometrie.
Die Elemente sind das älteste, uns überlieferte Beispiel eines axiomatischen Systems. Sie
etablierten sich als Standardwerk zur Einführung in die Geometrie und wurden mehrmals
abgeschrieben und immer wieder etwas verändert.
Theon von Alexandria (2. Hälfte des 4. Jh. n. Chr.) lehrte auch am Museion. Er war
einer der wichtigsten Herausgeber der Elemente. 700 Jahre nach Euklid revidierte er das
Original mit klaren Formulierungen, schob einige Zwischenschritte in den Beweisen der
Sätze ein und fand neue Sätze.
Theon unterrichtete selbst seine Tochter Hypatia (370 - 415). Er wollte ihr die bestmögliche Ausbildung geben, obwohl zu dieser Zeit die Frauen wie Sklaven behandelt wurden.
Sie sollte ein ”vollkommener Mensch” werden.
Hypatia studierte bei ihrem Vater, dann aber auch in
Athen und Italien. Zurück in Alexandria durfte sie offiziell Mathematik und Philosophie lehren. Ihre Schriften
sind Erklärungen und Ergänzungen zu den Büchern von
Euklid und Diophant, sowie zu den Lehren von Platon
und Aristoteles. Studenten aus aller Welt besuchten ihre
Vorlesungen, auch Juden und Christen.
In dieser Zeit gewannen die Christen im römischen Grossreich immer mehr an Bedeutung. Für sie war Mathematik und Philosophie nur eine Irrlehre. 412 wurde Cyrillus, ein
fanatischer Christ, Patriarch von Alexandria. Er verlangte von den Gelehrten, dass sie
den christlichen Glauben annahmen, denn er wollte die Stadt vom Heidentum reinigen.
Hypatia weigerte sich, ihre Lehren und ihre Ideale aufzugeben. So fiel sie einem grausigen
Mordkomplott zum Opfer. Dieser brutale Mord setzte der Verbreitung von Platons Lehre
im ganzen römischen Reich ein jähes Ende.
Hypatia wurde zum Symbol für das Ende der antiken Wissenschaft, denn der Westen
leistete für die nächsten tausend Jahre keine wesentlich neuen Erkenntnisse weder in Mathematik noch in Physik noch in Astronomie. Dafür interessierte man sich für Astrologie
und Mystizismus. Europa trat ins finstere Mittelalter ein, während dem die griechische
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Wissenschaft in Byzanz überlebte und in der arabischen Welt zu neuer Blüte gelangte.
Seit 1482 sind mehrere griechische Fassungen der Elemente wieder aufgetaucht, die alle
auf Theon und Hypatia zurückgehen.
Euklids Elemente bestehen aus 13 Büchern. Sie haben kein Vorwort, keine Einleitung.
Es werden keine Ziele formuliert, keine Motivation, kein Kommentar. Das Werk beginnt
abrupt mit 23 ”Definitionen”.
Definition 1: Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
Euklids Elemente unterscheiden sich von den heutigen axiomatischen Theorien wesentlich.
Euklid definiert auch die Grundbegriffe: ”Punkte”, ”Geraden”, ”Ebenen”.
Heute verzichtet man meist auf solch exakte Definitionen der Grundbegriffe. Seit David Hilbert(1862-1943)
werden in Axiomensystemen die Grundbegriffe nicht näher definiert, sondern man postuliert Eigenschaften gewisser Relationen zwischen den Grundbegriffen.
Euklids Modell hat sich über mehr als 2000 Jahre bewährt in Naturwissenschaft, Technik und Kultur. Es wurde auch für andere Wissenschaften zum Vorbild wissenschaftlicher
Darstellung von Theorien. Die sogenannte Euklidische Geometrie kann als die abstrakte Beschreibung unserer ebenen und räumlichen Erfahrung aufgefasst werden.
Der Anstoss zur weiteren Entwicklung der Geometrie hat das Parallelenaxiom gegeben,
das besagt, dass es zu jeder Geraden durch jeden Punkt genau eine Parallele gibt. Man
hat lange geglaubt, dass dieses Axiom aus den ersten vier hergeleitet werden kann. Erst
als man Ende des 18. Jahrhunderts die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms nachweisen
konnte, war der Weg frei zu anderen Geometrien, den sogenannten Nichteuklidischen
Geometrien.
Als erster erkannte Carl Friedrich Gauss (1777 1855), dass eine in sich widerspruchsfreie Geometrie entsteht, wenn man annimmt, dass zu einer Geraden durch
einen nicht auf ihr gelegenen Punkt mehrere Parallelen
gezogen werden können.
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Das war die ”Geburt” der Nichteuklidischen Geometrie. Aus Furcht vor dem Geschrei
engstirniger Philosophen hat Gauss seine Überlegungen nicht veröffentlicht. Gauss, dann
aber auch Janos Bolyai (1802 - 1860) und Nicolai Lobatschewsky (1793 - 1856) begründeten mit diesen neuen Gedanken die erste Nichteuklidische Geometrie.
In dieser Vorlesung werden wir vor allem die euklidische
Geometrie der Ebene studieren. Wir wollen uns aber
nicht nur auf Euklid beziehen, wo die starre Kongruenz von Dreiecken wichtig ist, sondern wir werden dynamisch vorgehen und den Abbildungsbegriff betonen. Die
Abbildungsgeometrie geht auf Felix Klein (1849-1925)
zurück. Gegen Schluss des Semesters werden wir aber
auch Modelle nichteuklidischer Geometrien kennenlernen, und zwar ein Modell von Felix Klein und eines von
Henri Poincaré.
Der Raumbegriff in der Mathematik und Physik unterliegt gerade heute vielfältigen Verallgemeinerungen. Es ist notwendig, dass man diesen Begriff nicht nur im Sinne Euklids
versteht. Im Gegenteil gibt es viele Räume, die man geometrisch untersuchen kann.
Zum Schluss wird eine Einführung in die Graphentheorie gegeben als Beispiel einer endlichen Geometrie und als Anwendung zu heute überall verwendeten Optimierungs-Algorithmen.
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Kapitel 2
Isometrien oder Kongruenzabbildungen
2.1
Einführende Überlegungen
Kongruente Figuren sind deckungsgleiche Figuren.
Eine Figur A wird so bewegt, dass sie mit einer anderen Figur B zur Deckung gebracht
werden kann. Auf diese Weise wird der Kongruenzbegriff auf spezielle geometrische Abbildungen zurückgeführt, die Kongruenzabbildungen oder Isometrien, die man auch Bewegungen nennt.
Eine Isometrie ist somit eine Abbildung, die eine geometrische Figur nur verlagert, ihre
Grösse und Form aber unverändert lässt. Allgemein interessiert man sich für das Verhalten
geometrischer Figuren bei gewissen bijektiven Abbildungen.
Definition 2.1.1.
1. Eine Abbildung φ der Ebene auf sich heisst bijektiv, falls φ umkehrbar ist; d.h. es
gibt nicht nur für jeden Punkt X genau einen Bildpunkt Y sondern umgekehrt gibt
es für jeden Punkt Y genau einen Punkt X, sodass gilt:
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φ(X) = Y.
2. Die Abbildung, die jedem Bildpunkt Y sein Urbild X zuordnet, heisst zu φ inverse
Abbildung und wird mit φ−1 bezeichnet.
φ−1 (Y ) = X.
.
3. Die Abbildung, die jeden Punkt X auf sich selbst abbildet, nennt man die identische Abbildung oder Identität.
id(X) = X
4. Verknüpfung von Abbildungen
Sind φ1 und φ2 Abbildungen, so nennt man φ2 ◦ φ1 die Verknüpfung (Hintereinanderschachtelung, Produkt) von φ1 und φ2 . (sprich: φ2 nach φ1 , φ2 Ring φ1 ) φ2 ◦ φ1
bildet jeden Punkt X ab auf φ2 [φ1 (X)] = Z
(φ2 ◦ φ1 )(X) = φ2 [φ1 (X)] = φ2 (Y ) = Z
Die Verknüpfung von Abbildungen ist assoziativ.
φ3 ◦ (φ2 ◦ φ1 ) = (φ3 ◦ φ2 ) ◦ φ1
=⇒ Die Verknüpfun von bijektiven Abbildungen ist wieder bijektiv.
5. Eine Isometrie oder Kongruenzabbildung φ der Ebene (oder des Raumes) auf
sich ist eine bijektive, längentreue Abbildung. Das heisst:
Für zwei Punkte A und B und ihre Bildpunkte A0 = φ(A) und B 0 = φ(B) sind die
Strecken AB und A0 B 0 gleich lang:
Bezeichnung: Die Länge der Strecke AB bezeichnen wir mit |AB|.
=⇒ Isometrien sind geradentreue Abbildungen, sie bilden Geraden auf Geraden ab.
=⇒ Die Verknüpfung von Isometrien ist wieder eine Isometrie.
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2.2
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Geradenspiegelung Sg
Die gesamte Abbildungsgeometrie wird auf den Geradenspiegelungen aufgebaut. Deswegen untersuchen wir zuerst diese Abbildung. Sie ist Ihnen von der Schule her sehr bekannt.
Die wichtigsten Eigenschaften der Geradenspiegelung Sg
1. Zu zwei Punkten P und Q gibt es genau eine Geradenspiegelung, die P auf Q
abbildet. Die Spiegelungsachse ist die Mittelsenkrechte von P Q.
2. Die Geradenspiegelung ist eine involutorische Abbildung, d.h. sie ist zu sich selbst
invers.
Sg ◦ Sg = id
3. Jeder Punkt von g ist Fixpunkt.
Für P ∈ g gilt: Sg (P ) = P
4. Jede zu g senkrechte Gerade ist Fixgerade.
Für P ∈
/ g liegt der Bildpunkt P 0 auf der anderen Seite von g. Die Verbindungsgerade
P P 0 steht senkrecht zu g, ist also Fixgerade.
5. Eine geschlossene Figur und ihr Bild haben entgegengesetzten Umlaufsinn.
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1. Beispiel
Gegeben sind eine Gerade g und zwei Punkte A und B auf derselben Seite von g. Gesucht
ist der kürzeste Weg vom Punkt A nach B via die Gerade g.
2. Beispiel
Gegeben sind eine Gerade g und zwei Kreise k1 und k2 . Konstruieren Sie Quadrate, die
zwei gegenüberliegende Ecken auf g haben und von denen je eine Ecke auf k1 und k2
liegen.
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2.3
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Isometrien der Ebene
Wir suchen alle Isometrien der Ebene auf sich und wollen die Strukturen dieser Isometrien untersuchen.
Aus ihrem Unterricht in der Sekundarschule oder im Gymnasium kennen Sie die folgenden
Isometrien:
• Geradenspiegelung
• Punktspiegelung
• Rotation (Drehung)
• Translation (Verschiebung)
• Schubspiegelung (vielleicht bekannt!)
Die Frage lautet: Sind das nun wirklich alle Isometrien der Ebene auf sich?
Als erstes suchen wir alle Isometrien, die einen Punkt festlassen, also einen Fixpunkt
besitzen.
Definition 2.3.1. Ein Punkt P heisst Fixpunkt der Abbildung φ , wenn gilt:
φ(P ) = P.
Satz 2.3.2. Isometrien der Ebene mit mindestens einem Fixpunkt
Ist φ eine Isometrie der Ebene und F ein Fixpunkt von φ:
φ(F ) = F.
Dann gilt:
• Entweder ist φ eine Rotation um F um einen Winkel α mit 0 < α < 360◦
• oder φ ist eine Spiegelung an einer Geraden durch F
• oder φ = id.
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Beweis
Der Beweis ist nur so präzis, wie die Begriffe definiert sind (Ebene, Raum, Geradenspiegelung, Drehung, ...). Wir gehen nicht auf das Axiomensystem ein. (Das Axiomensystem
studieren wir später!)
Voraussetzung: φ ist eine Isometrie mit einem Fixpunkt F : φ(F ) = F .
1. Fall: φ besitzt zwei Fixpunkte F 6= G
φ(F ) = F und φ(G) = G.
Wir zeigen, dass φ dann entweder die Identität oder eine Geradenspiegelung ist.
Alle PunkteZ auf der Geraden g durch die beiden Fixpunkte F, G sind Fixpunkte, da gilt:
|F Z| = |F φ(Z)| und |GZ| = |Gφ(Z)|, also φ(Z) = Z
Ein Punkt Y ∈
/ g wird mit der Isometrie φ entweder auf sich selbst oder auf den an g
gespiegelten Punkt Y abgebildet.
i) Sei φ(Y ) = Y .
Dann besitzt φ 3 nicht kollineare Fixpunkte F, G, Y . Ein anderer Punkt A ∈
/ g wird
mit der Isometrie φ auch entweder auf sich selbst oder auf den an g gespiegelten
Punkt A abgebildet.
Nehmen wir nun an, dass φ(A) = A0 , dann ist die Längentreue von φ nicht erfüllt:
Somit gilt f§r alle Punkte P : φ(P ) = P und φ= Identität.
ii) Sei φ(Y ) = Y 0 = Sg (Y ).
Dann gilt für alle Punkte P : φ(P ) = Sg (P ) = P 0 und φ = Sg
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2. Fall: φ hat genau einen Fixpunkt F
Hier zeigen wir, dass φ eine Rotation ist.
Für alle Punkte X 6= F gilt: φ(X) 6= X.
Wir wählen einen Punkt P . Sein Bildpunkt sei P 0 = φ(P ). Da |F P | = |F P 0 | , liegen
die beiden Punkte auf einem Kreis k mit Mittelpunkt F . Wir betrachten die Rotation
um F um den Winkel α = ^(P F P 0 ) und bezeichnen diese mit RF,α . Diese Rotation ist
bestimmt durch den gegebenen Punkt P und sein Bild P .
Zu zeigen bleibt: φ = RF,α .
Die Abbildung ψ = RF,−α ◦ φ besitzt 2 Fixpunkte F und P . Also gilt Fall 1:
Entweder ψ = RF,−α ◦ φ = id und damit φ = RF,α
oder ψ = RF,−α ◦ φ = Sg , also φ = RF,α ◦ Sg . Dies führt zu einem Widerspruch:
Wir wählen den Punkt Q zwischen P und P , so dass ^(P F P 0 ) = α2 . Damit gilt:
φ(Q) = RF,α ◦ Sg (Q) = RF,α (Q0 ) = Q .
Q ist ein weiterer Fixpunkt im Widerspruch zur Annahme.
Also ist φ eine Rotation.
Damit ist der Satz bewiesen. Er gibt einen Überblick über alle Isometrien der Ebene mit
mindestens einem Fixpunkt.
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Wie erhält man nun alle Isometrien der Ebene, auch z. B. die Translationen? Dazu beweisen wir den folgenden Satz.
Satz 2.3.3. Alle Isometrien der Ebene
Jede Isometrie der Ebene ist eine Verknüpfung einer Translation und einer Isometrie mit
Fixpunkt.
φ ∈ Iso ⇐⇒ φ = T~v ◦ ψ, wobei ψ eine Isometrie mit Fixpunkt
Beweis
i) Schluss von links nach rechts:
φ ∈ Iso
⇒
φ = T~v ◦ ψ, wobei ψ eine Isometrie mit Fixpunkt
Wir wählen einen Punkt P . Sein Bildpunkt sei P 0 = φ(P ). Wir betrachten den Vek−−→
tor ~v = P P 0 . Dieser Vektor definiert eine Translation um ~v : T~v . Diese Translation
ist abhängig vom gewählten Punkt P !
Die Translation in umgekehrter Richtung um −~v wird mit T−~v bezeichnet.
Es sind nun 2 Fälle möglich:
Ist P = P 0 , so ist ~v = ~0. Also ist φ eine Isometrie mit Fixpunkt.
Ist P 6= P 0 , dann betrachten wir die Abbildung ψ = T−~v ◦ φ.
Da ψ(P ) = P , ist ψ eine Rotation oder eine Geradenspiegelung oder die Identität
und φ = T~v ◦ ψ .
ii) umgekehrt: Da T~v und ψ Isometrien sind, ist auch φ = t~v ◦ ψ eine Isometrie.
Damit ist der Satz bewiesen und wir haben im Prinzip alle Isometrien gefunden. Die reine
Translation ist die Verknüpfung der Translation mit der Identität; die Schubspiegelung
die Verknüpfung einer Geradenspiegelung mit einer Translation (später).
Sind 2 Punkte und ihre Bilder bekannt, so beweisen wir nun, dass es genau zwei zugehörige
Isometrien gibt.
Satz 2.3.4.
Sind vier Punkte A, B, A0 , B 0 gegeben mit A 6= B und |AB| = |A0 B 0 | , so gibt es genau
2 Isometrien φ1 und φ2 , die A auf A0 und B auf B 0 abbilden und die sich nur durch eine
Spiegelung an der Geraden g = (A0 B 0 ) unterscheiden.
14
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JSD
φ1 oder φ2 = Sg ◦ φ1
Beweis
Sind A 6= B, φ(A) = A0 , φ(B) = B 0 , |AB| = |A0 B 0 | und g die Gerade durch A und B,
dann geht der Beweis in zwei Schritten.
i) Es gibt mindestens 2 Isometrien:
a) Sind A = A0 , B = B 0 , dann gibt es 2 Fixpunkte, also gilt:
entweder φ = φ1 = id
oder
φ = φ2 = Sg
b) Sind A = A0 , B 6= B 0 und m = Mittelsenkrechte auf BB 0 , dann gilt:
entweder φ = φ1 = Sm
oder
φ = φ2 = Sg ◦ Sm
c) Sind A 6= A0 , B 6= B 0 und m1 = Mittelsenkrechte auf AA0 und sind B1 =
Sm1 (B), A0 = Sm1 (A) und m2 = Mittelsenkrechte auf B1 B 0 , dann sind 2 Fälle
möglich.
c1 ) Ist B1 = B 0 , dann gilt:
entweder φ = φ1 = Sm1
oder
φ = φ2 = Sg ◦ Sm1
c2 ) Ist B1 6= B 0 , dann gilt:
entweder φ = φ1 = Sm2 ◦ Sm1
oder
φ = φ2 = Sg ◦ Sm2 ◦ Sm1
15
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JSD
Zwischenresultat:
Jede Isometrie ist mit 1 oder 2 oder 3 Geradenspiegelungen darstellbar.
ii) Es gibt höchstens 2 Isometrien: Ist C ein zu A und B nicht kollinearer Punkt,
so gibt es höchstens 2 Möglichkeiten für den Bildpunkt C 0 : C10 oder C20 .
Also gilt: Mit 3 Punkten und ihren Bildpunkten ist die Isometrie eindeutig
bestimmt.
Satz 2.3.5.
a) Eine Isometrie der Ebene auf sich ist eindeutig festgelegt durch die Bilder dreier
nicht kollinearer Punkte.
b) Eine Isometrie der Ebene auf sich mit drei nicht kollinearen Fixpunkten ist die
Identität.
Satz 2.3.6.
a) Jede Isometrie der Ebene auf sich ist darstellbar als Verknüpfung von höchstens 3
Geradenspiegelungen.
b) Jede Verknüpfung von endlich vielen Geradenspiegelungen ist eine Isometrie.
16
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JSD
c) Jede Verknüpfung von beliebig vielen Geradenspiegelungen lässt sich darstellen mit
höchstens 3 Geradenspiegelungen.
Bemerkungen
Grundsätzlich unterscheidet sich eine Geradenspiegelung von der Verknüpfung zweier
Spiegelungen schon wegen der Fixpunkteigenschaften.
• Bei der Spiegelung an einer Geraden g sind alle Punkte auf g Fixpunkte, und es
gibt keine weiteren Fixpunkte.
• Bei der Verknüpfung von zwei Spiegelungen muss die Lage der beiden Geraden
beachtet werden!
• Bei der Verknüpfung von Abbildungen ist die Reihenfolge zu beachten!
Wie können die bekannten 5 Isometrien durch Geradenspiegelungen dargestellt werden?
Dazu ist der im nächsten Abschnitt behandelte Satz, der so genannte Dreispiegelungssatz sehr nützlich. Nachher wird es ein Leichtes sein, die bekannten Isometrien durch die
Verknüpfung von höchstens 3 Geradenspiegelungen darzustellen.
17
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2.4
JSD
Dreispiegelungssatz
Wir wissen nun, dass sich jede Isometrie der Ebene auf sich als Verknüpfung von höchstens
drei Geradenspiegelungen darstellen lässt. Damit können wir einen Überblick über alle
Isometrien der Ebene gewinnen. Die Anzahl und die Lage der Spiegelungsachsen wird
wesentlich sein.
Satz 2.4.1. Dreispiegelungssatz
Die Verknüpfung dreier Geradenspiegelungen, wobei die drei Geraden entweder parallel oder kopunktal (genau einen Schnittpunkt) sind, ist darstellbar durch eine Geradenspiegelung.
Sind die 3 Geraden g, h, k entweder parallel (g||h||k) oder kopunktal (g ∩ h ∩ k = {A}),
dann gibt es eine Gerade m, so dass gilt:
Sk ◦ Sh ◦ Sg = Sm
Für die genaue Lage der Geraden m gilt:
a) Ist g ∩ h ∩ k = {A}, so ist der Winkel zwischen g und h gleich dem Winkel zwischen
m und k.
18
UZH Geometrie HS10
JSD
b) Ist g||h||k, dann ist der gerichtete Abstand von g zu h gleich dem gerichteten Abstand von m zu k
Bemerkung 2.4.2. Statt der obigen Gleichung
Sk ◦ Sh ◦ Sg = Sm
kann man auch durch Verknüpfung von links mit Sk (rsp von rechts mit Sg ) die oft
nützlichen äquivalenten Darstellungen erhalten.
Sh ◦ Sg = Sk ◦ Sm
oder
Sk ◦ Sh = Sm ◦ Sg
Jetzt gibt es auf jeder Seite der Gleichung 2 Geradenspiegelungen. Man kann also statt
an h und k auch an g und m spiegeln.
Damit kann man eine Verknüpfung von zwei Geradenspiegelungen ersetzen durch eine
andere Verknüpfung mit den entsprechenden Bedingungen.
Satz 2.4.3.
Eine Verknüpfung von vier Geradenspiegelungen ist stets darstellbar als Verknüpfung
von genau zwei Geradenspiegelungen.
Also ist jede Verknüpfung einer geraden Anzahl Geradenspiegelungen mit Hilfe von
genau zwei Geradenspiegelungen darstellbar.
Bemerkung 2.4.4.
1. Eine Verknüpfung von 3 Geradenspiegelungen kann aber nie durch zwei Geradenspiegelungen dargestellt werden.
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JSD
2. Die Isometrien der Ebene lassen sich in 2 Klassen einteilen:
(a) ungleichsinnige Isometrien: Verknüpfung einer ungeraden Anzahl Geradenspiegelungen (Umwendungen)
(b) gleichsinnige Isometrien: Verknüpfung einer geraden Anzahl Geradenspiegelungen (echte Bewegungen)
3. Lage der Spiegelungsachsen
(a) Bei den gleichsinnige Isometrien können die beiden Spiegelachsen parallel sein
oder sich schneiden, speziell können sie senkrecht aufeinander stehen.
(b) Die ungleichsinnige Isometrien können als eine oder als 3 Geradenspiegelungen
dargestellt werden.
20
UZH Geometrie HS10
2.5
JSD
Die 5 Typen von Isometrien
• Geradenspiegelung: Diese Abbildung haben wir schon untersucht.
• Punktspiegelung: Die beiden Spiegelungsachsen schneiden sich senkrecht.
• Rotation (Drehung): Die beiden Spiegelungsachsen schneiden sich unter einem
beliebigen Winkel.
• Translation (Parallelverschiebung): Die beiden Spiegelungsachsen sind parallel.
• Schubspiegelung (Gleitspiegelung): Verschiebung und Spiegelung erhält man
genau dann, wenn drei Geradenspiegelungen nicht durch eine ersetzt werden können.
Wir werden jetzt die einzelnen Abbildungen in obiger Reihenfolge behandeln. Dies führt zu
relativ einfachen Beweisen und zu wichtigen Sätzen der Elementargeometrie. Der Dreispiegelungssatz, der 3 Geradenspiegelungen durch eine ersetzt, ist ein wichtiges Beweismittel.
Die Lage der Spiegelungsachsen kann dadurch transformiert werden.
2.5.1
Punktspiegelung
Definition 2.5.1. Eine Abbildung SM der Ebene auf sich heisst Punktspiegelung, wenn
sie genau einen Fixpunkt M besitzt und jedem Punkt P den Bildpunkt P 0 so zuordnet,
dass die Strecke |P P 0 | durch M halbiert wird. M heisst das Zentrum der Punktspiegelung.
21
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JSD
Satz 2.5.2. Geradenspiegelung und Punktspiegelung
Stehen die beiden Geraden g und h senkrecht aufeinander mit Schnittpunkt M , so
Sh ◦ Sg = SM
Umgekehrt ist jede Punktspiegelung darstellbar als Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen an zueinander senkrechten Achsen.
Die wichtigsten Eigenschaften der Punktspiegelung SM
1. Zu zwei Punkten P und Q gibt es genau eine Punktspiegelung, die P auf Q abbildet.
2. Die Punktspiegelung ist eine involutorische Abbildung, d.h. SM ◦ SM = id.
3. In einem Spiegelungsprodukt Sh ◦ Sg sind die beiden Achsen genau dann vertauschbar, wenn g = h oder g⊥h.
4. Jede Gerade durch das Zentrum M ist Fixgerade. Eine beliebige Gerade g wird auf
eine zu g parallele Gerade g 0 abgebildet.
5. Die Punktspiegelung als Produkt zweier Geradenspiegelungen ist eine gleichsinnige
Isometrie.
6. Bei einer Punktspiegelung sind eine Gerade und ihr Bild entgegengesetzt orientiert.
Aus diesen Eigenschaften lassen sich nun Aussagen über das Parallelogramm folgern.
Definition 2.5.3. Ein Viereck, dessen Gegenseiten auf paarweise parallelen Geraden
liegen, heisst Parallelogramm.
22
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JSD
Satz 2.5.4. Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch in Bezug auf den Diagonalenschnittpunkt M als Mittelpunkt, d.h. mit der Punktspiegelung SM wird das Parallelogramm auf sich selbst abgebildet.
Daraus lassen sich weitere Eigenschaften herleiten:
1. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang.
2. Die Diagonalen halbieren sich.
3. Die gegenüberliegenden Winkel sind gross.
Beispiel 2.5.5. Es sind 3 Punkte M , P und Q gegeben. Konstruieren Sie ein Quadrat
mit dem Mittelpunkt M , von dem 2 gegenüberliegenden Seiten oder deren Verlängerungen
durch P und Q gehen.
23
UZH Geometrie HS10
2.5.2
JSD
Rotation (Drehung)
Definition 2.5.6. Eine Abbildung RM,α der Ebene auf sich heisst Rotation (Drehung),
wenn sie einen Fixpunkt M besitzt und wenn für jeden von M verschiedenen Punkt P
und sein Bild P 0 gilt:
|M P | = |M P 0 | ^(P M P 0 ) = α
Spezielfälle:
α = 0◦ , dann ist RM,0◦ = id.
α = 180◦ , dann ist RM,180◦ = SM (Punktspiegelung).
Satz 2.5.7. Rotation und Geradenspiegelung
a) Die Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen, deren Achsen g und h sich in einem
Punkt M schneiden, ist eine Drehung um M , deren Drehwinkel gleich dem doppelten
Schnittwinkel der beiden Achsen ist.
Ist g ∩ h = {M } und ^(g, h) = β, dann gilt: Sh ◦ Sg = RM,2β
b) Umgekehrt ist jede Drehung darstellbar als Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen, deren Achsen sich im Drehpunkt unter dem halben Drehwinkel als Schnittwinkel
schneiden.
Die wichtigsten Eigenschaften der Rotation RM,α
1. Jede Rotation ist eine Isometrie (geradentreu, längentreu, winkeltreu).
2. Jede Rotation mit Drehwinkel α 6= 0 besitzt genau einen Fixpunkt.
24
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JSD
3. Eine Rotation mit α 6= 0, 180◦ besitzt keine Fixgeraden.
4. Die zur Rotation RM,α inverse Abbildung ist wieder eine Rotation um M aber
um den Winkel −α.
(RM,α )−1 = RM,−α
Beispiel 2.5.8. Gegeben sind ein Punkt A sowie zwei Geraden b und d. Konstruieren Sie
ein Quadrat ABCD, dessen Ecken B auf b und D auf d liegen.
25
UZH Geometrie HS10
2.5.3
JSD
Translation (Parallelverschiebung)
Definition 2.5.9. Eine Abbildung der Ebene auf sich heisst Translation (Parallelverschiebung) um den Vektor ~v , wenn für alle Punkte P der Ebene und ihre Bildpunkte P 0
gilt:
−−→0
P P = ~v
Die Translation um ~v wird mit T~v bezeichnet.
Spezielfall: T~0 = id.
Satz 2.5.10.
Zu zwei Punkten A und B gibt es genau eine Translation T~v , die A auf B abbildet, ; sie
−→
ist gegeben durch den Vektor ~v = AB.
Satz 2.5.11. Translation und Geradenspiegelung
a) Die Verknüpfung zweier Geradenspiegelungen an parallelen Geraden g und h ist eine
Translation um den doppelten Abstandsvektor von g und h.
~ h) der Abstandsvektor von g und h, dann gilt: Sh ◦ Sg = T ~
Ist g| |h und d~ = d(g,
2d
b) Umgekehrt ist jede Translation um einen Vektor ~v darstellbar als eine Verknüpfung
zweier Geradenspiegelungen, deren Achsen parallel sind und deren Abstandsvektor
1
~v beträgt.
2
Die wichtigsten Eigenschaften der Translation T~v
1. Jede Translation ist eine Isometrie (geradentreu, längentreu, winkeltreu).
26
UZH Geometrie HS10
JSD
2. Eine Translation, die nicht die Identität ist, besitzt keinen Fixpunkt
3. Bei einer Translation werden Geraden auf parallele Geraden abgebildet.
4. Geraden, deren Richtung parallel zum Translationsvektor verlaufen, sind Fixgeraden.
5. Die zur Translation T~v inverse Abbildung ist wieder eine Translation, aber um den
Vektor −~v .
(T~v )−1 = T−~v
Satz 2.5.12.
Eine bijektive Abbildung der Ebene auf sich, die jede Gerade auf eine parallele Gerade
abbildet und die keinen Fixpunkt besitzt, ist eine Translation.
φ : g → g 0 || g ohne Fixpunkt =⇒ φ = Translation
Satz 2.5.13. Translation und Punktspiegelung
a) Die Verknüpfung zweier Punktspiegelungen ist eine Translation.
SN ◦ SM = T~v , mit ~v = 2 → M N
b) Jede Translation um einen Vektor ~v ist darstellbar als die Verknüpfung zweier Punktspiegelungen SN ◦ SM , wobei für die Zentren M und N gilt:
−−→ 1
M N = ~v
2
Anwendung: Mittelparallele im Dreieck
−→ 1 −→
P Q = AB
2
−
→ = T−→
SQ ◦ SP = T2−
PQ
AB
27
UZH Geometrie HS10
JSD
Satz 2.5.14.
Die Verknüpfung von zwei Translationen ist wieder eine Translation und zwar um den
Summenvektor.
Tw~ ◦ T~v = T~v ◦ Tw~ = T~v+w~
Beispiel 2.5.15.
1. Gegeben sind zwei Kreise k1 und k2 , sowie eine Gerade g. Bestimmen Sie je einen
Punkt A auf k1 und B auf k2 mit Abstand d, sodass die Verbindungsgerade (AB)||g.
2. Bestimmen Sie die Lage der 5 Punkte A, B, C, D, E, wenn folgendes gilt:
SE ◦ SD ◦ SC ◦ SB ◦ SA = SC .
28
UZH Geometrie HS10
2.5.4
JSD
Schubspiegelung (Gleitspiegelung)
Definition 2.5.16. Eine Abbildung der Ebene auf sich heisst Schubspiegelung (Gleitspiegelung) genau dann, wenn sie aus einer Spiegelung an einer Geraden r und einer
Translation um einen Vektor ~v zusammengesetzt wird, wobei ~v ||r.
Die Gerade r heisst Schubspiegelachse.
Bezeichnung: Sr,~v .
Sr,~v = Sr ◦ T~v = T~v ◦ Sr
Die Schubspiegelung Sr,~v kann dann folgendermassen darstellbar:
Sr,~v = Sr ◦ Sq ◦ Sp , wobei r||~v und p||q⊥r
Spezielfälle:
1. Eine reine Geradenspiegelung ist auch eine Schubspiegelung mit ~v = ~0.
2. Eine Geradenspiegelung nennt man auch uneigentliche Schubspiegelung.
Ist ~v 6= ~0, so spricht man von einer eigentlichen Schubspiegelung.
Damit ist jede ungleichsinnige Isometrie eine Schubspiegelung.
29
UZH Geometrie HS10
JSD
Das ist die letzte zu untersuchende Isometrie. Es müssen nur noch die Produkte von drei
Geradenspiegelungen untersucht werden. Schneiden sich die drei Geraden in einem Punkt
oder sind sie alle drei parallel, so kann das Produkt als eine einzige Geradenspiegelung
dargestellt werden. (Dreispiegelungssatz)
Satz 2.5.17.
Ein Produkt aus drei Geradenspiegelungen Sk ◦ Sh ◦ Sg , das nicht durch eine einzige
Geradenspiegelung ersetzt werden kann, ist eine Schubspiegelung Sr,~v .
Die Schubspiegelung ist dann darstellbar als Produkt von drei Geradenspiegelungen, wobei
eine Gerade r zu zwei parallelen Geraden p und q senkrecht steht.
Sk ◦ Sh ◦ Sg = Sr,~v = Sr ◦ Sq ◦ Sp
Zum Beweis untersuchen wir nun das Produkt von drei Spiegelungen an Geraden mit
mehr als einem Schnittpunkt für den Fall, dass g ∩ h = {A} und ^(g, h) = α2 , aber
h ∩ k 6= {A}.
Zuerst transformieren wir das Produkt Sh ◦ Sg mit dem Dreispiegelungssatz zu Sh0 ◦ Sg0 ,
wobei die Gerade h0 durch A senkrecht zu h gewählt wird:
Sk ◦ Sh ◦ Sg = Sk ◦ Sh0 ◦ Sg0
Es ist Sk ◦ Sh0 = SM mit {M } = k ∩ h0 , also
Sk ◦ Sh ◦ Sg = Sk ◦ Sh0 ◦ Sg0 = SM ◦ Sg0
Nochmalige Anwendung des Dreispiegelungssatzes mit h∗ ||g 0 und k ∗ ⊥h∗ ergibt
Sk ◦ Sh ◦ Sg = Sk ◦ Sh0 ◦ Sg0 = SM ◦ Sg0 = Sk∗ ◦ Sh∗ ◦ Sg0
30
UZH Geometrie HS10
JSD
~ 0 , h∗ ).
Die Spiegelachse ist also k ∗ und der Translationsvektor ~v = 2d(g
Sk ◦ Sh ◦ Sg = Sk∗ ◦ Sh∗ ◦ Sg0 = Sk∗ ,~v
Die wichtigsten Eigenschaften der Schubspiegelung Sr,~v
1. Jede Schubspiegelung ist eine Isometrie (geradentreu, längentreu, winkeltreu).
2. Eine eigentliche Schubspiegelung besitzt keinen Fixpunkt.
3. Die Schubspiegelachse ist die einzige Fixgerade.
4. Achsenparallele Geraden werden auf gleichorientierte parallele Geraden abgebildet.
5. Zur Achse senkrechte Geraden werden um ~v verschoben und entgegengesetzt orientiert.
6. Bei Sr,~v sind die Spiegelung an r und die Translation um ~v vertauschbar.
7. Liegt der Punkt P nicht auf der Spiegelachse und ist P 0 sein Bild bei der Schubspiegelung, so wird die Strecke P P 0 von der Spiegelachse halbiert.
8. Die zur Schubspiegelung Sr,~v inverse Abbildung ist
(Sr,~v )−1 = Sr,−~v = Sr ◦ T−~v .
Beispiel 2.5.18.
1. Gegeben sind die beiden kongruenten Strecken AB und A0 B 0 . Konstruieren Sie die
Achse g und den Translationsvektor ~v der Schubspiegelung, die A in A0 und B in
B 0 überführt.
2. Was für eine Schubspiegelung ist φ = Sr ◦ Sq ◦ Sp , wenn p, q, r ein gleichseitiges
Dreieck bilden?
3. Bestimmen Sie mit Achsentransformationen die Isometrie φ = Sh,~b ◦ Sg,~a , wenn g||h,
d(g, h) = 4 cm, |~a| = 4 cm, |~b| = 5 cm. Um welche einfache Isometrie handelt es
sich?
31
UZH Geometrie HS10
JSD
32
Kapitel 3
Ähnlichkeitsabbildungen
Die Isometrien sind bijektive Abbildungen, die längentreu, geradentreu und winkeltreu
sind. Kongruente Figuren sind deckungsgleiche Figuren (F ∼
= F 0 ).
Verzichtet man auf die Längentreue erhält man die Ähnlichkeitsabbildungen.
Definition 3.0.19. Eine geradentreue und winkeltreue, bijektive Abbildung der Ebene
auf sich heisst eine Ähnlichkeitsabbildung.
Die Bildfigur entsteht durch Vergrösserung des Urbildes (oder Verkleinerung). Jede Strecke wird im gleichen Massstab verändert (z.B. verdoppelt). Die Längenverhältnise zweier
Strecken im Urbild und im Bild sind gleich.
Bezeichnung: zwei ähnliche Figuren A und A : A ∼ A.
33
UZH Geometrie HS10
3.1
JSD
Dilatationen
Fordert man zusätzlich, dass jede Gerade auf eine zu ihr parallele Geraden abgebildet
wird, so spricht man von Dilatation.
Definition 3.1.1.
Eine bijektive Abbildung der Ebene auf sich heisst Dilatation, wenn jede Gerade auf
eine zu ihr parallele Gerade abgebildet wird.
Eigenschaften der Dilatation
1. Die Dilatationen sind winkeltreu, also Ähnlichkeitsabbildungen.
2. Die Translationen sind Dilatationen. Sie sind die einzigen Dilatationen ohne Fixpunkt.
ϕ Translation (6= id) ⇐⇒ ϕ Dilatiation ohne Fixpunkt
3. Bei einer Dilatation mit Fixpunkt ist jede Gerade durch einen Fixpunkt eine Fixgerade.
34
UZH Geometrie HS10
JSD
4. Eine von der Identität verschiedene Dilatation hat höchstens einen Fixpunkt.
Eine Dilatation mit genau einem Fixpunkt S heisst zentrische Streckung.
Beweis?
35
UZH Geometrie HS10
3.2
JSD
Zentrische Streckung
Definition 3.2.1.
Eine Dilatation mit genau einem Fixpunkt S heisst zentrische Streckung. Der Fixpunkt
S heisst Streckzentrum.
Die zentrischen Streckungen sind ausser der Identität die einzigen Dilatationen mit Fixpunkt.
Eigenschaften der zentrischen Streckung
1. Bei einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum S liegen ein beliebiger Punkt P
(6= S) und sein Bild P 0 auf einer Geraden durch den Fixpunkt S.
2. Bei einer zentrischen Streckung wird jede Gerade g, die nicht durch das Zentrum S
geht, auf eine von g verschiedene Parallele abgebildet.
3. Eine zentrische Streckung ist durch ihr Zentrum S und durch einen von S verschiedenen Punkt A und sein Bild A0 eindeutig festgelegt.
Satz 3.2.2.
Bei einer zentrischen Streckung mit Zentrum S gilt für jeden Punkt A und sein Bild A0 :
−−→0
−→
SA = k · SA
wobei k (6= 0) eine feste reelle Zahl ist. k heisst Streckfaktor.
Bezeichnung: zentrische Streckung mit Streckzentrum S und Streckfaktor k: ZS,k
Bemerkung
|k| > 1: Vergrösserung der Entfernung von S
|k| < 1: Verkleinerung der Entfernung von S
k > 0: Urbild und Bild liegen auf derselben Seite von S
k < 0: Urbild und Bild liegen auf entgegengesetzten Seiten von S
36
UZH Geometrie HS10
JSD
Beweis von Satz 1: Untersuchung der Längenverhältnisse
−→ −−→
1. Wir wählen einen beliebigen Punkt P , sein Bild sei P 0 . Die Vektoren SP , SP 0 seien
gleichgerichtet und
−−→
−→
m
|SP 0 | = k|SP |, wobei k ∈ Q, k > 0, k = , m, n ∈ N
n
Nun wählen wir den Punkt E, so dass gilt:
−→ −→
nSE = SP
Damit wird
−−→0
−→ m −→
SP = k SP = nSE
n
Liegt der Punkt Q nicht auf der Geraden g durch S und P und ist h die Gerade
durch S und Q, so schneiden die Parallelen zu P Q durch alle Teilpunkte von g auf
der Geraden h kongruente Teilstrecken aus.
−→
−→
Der Vektor SE auf g entspricht dem Vektor SF auf h und es gilt:
37
UZH Geometrie HS10
JSD
−→
−→
SQ = nSF
−−→0
−→ m −→
SQ = mSF = SQ
n
Liegt der Punkt R auf der Geraden g, so kann jetzt wie vorher, aber von der Geraden h aus argumentiert werden.
Ist k ∈ R irrational, dann muss die irrationale Zahl durch rationale Zahlen ( z.B.
mit Intervallschachtelungen) approximiert werden.
−→ −−→
2. Sind die Vektoren SP , SP 0 parallel, aber entgegengesetzt, alsok < 0, dann spiegelt
man zuerst A0 an S, ergibt A∗ und folgert wie bei 1.
3. Ist k = 0, also , dann wird jeder Punkt auf S abgebildet. Diese Abbildung ist aber
nicht injektiv!
Beweisende!
Auch die Umkehrung von Satz 1 ist richtig. Damit kann man eine zur Definition der
zentrischen Streckung äquivalente Definition angeben.
Satz 3.2.3.
Eine Abbildung ϕ = ZS,k der Ebene auf sich ist genau dann eine zentrische Streckung mit
Zentrum S und Streckfaktor k, wenn gilt:
Jedem Punkt A wird ein Punkt A0 so zugeordnet, dass A und A0 auf einer Geraden durch
S liegen mit
−−→0
−→
SA = k SA
Damit gilt die folgende Verallgemeinerung.
38
UZH Geometrie HS10
JSD
Satz 3.2.4.
Bildet die zentrische Streckung ZS,k A auf A0 und B auf B 0 ab, dann gilt für die Vektoren:
−−
→
−→
A0 B 0 = k AB
Das Bild einer Strecke hat also die |k|- fache Länge der Urbildstrecke.
Bemerkung
k = 1: Die Identität ist ein Spezialfall einer zentrischen Streckung.
k = −1: Die Punktspiegelung ist auch eine spezielle zentrische Streckung.
Die obigen Sätze sind gleichbedeutend mit den Strahlensätzen.
Satz 3.2.5.
1. Strahlensatz
Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen (oder deren entgegengesetzte
Strahlen) von parallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Längen der Abschnitte auf dem einen Strahl wie die Längen der entsprechenden Abschnitte auf
dem anderen Strahl.
|SB 0 |
|SA0 |
=
= |k|
|SA|
|SB|
39
UZH Geometrie HS10
JSD
2. Strahlensatz
Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Längen der Abschnitte auf den Parallelen wie die der
zugehörigen Scheitelabschnitte auf einem Strahl.
|A0 B 0 |
|SA0 |
=
= |k|
|AB|
|SA|
Weitere Eigenschaften der zentrischen Streckung ZS,k
1. Das Längenverhältnis zweier Bildstrecken ist gleich dem Längenverhältnis ihrer Urbildstrecken.
2. Ein Dreieck und sein Bild haben dieselbe Orientierung.
3. Die Flächeninhalte von Bild und Urbild verhalten sich wie
k2
.
1
4. Die zur zentrischen Streckung ZS,k inverse Abbildung hat dasselbe Streckzentrum
und den Streckfaktor k1 .
(ZS,k )−1 = ZS, 1
k
Die Eigenschaft 3 überlegt man sich zuerst für Dreiecke. Dann betrachtet man Polygone (geschlossene Streckenzüge), die man vollständig mit Dreiecken ausschöpfen kann.
Schliesslich können krummlinig begrenzte Figuren durch Dreiecke beliebig genau approximiert werden.
Beispiel 3.2.6.
1. In ein Dreieck ABC soll ein Quadrat P QRS mit P, Q ∈ AB, R ∈ BC, S ∈ AC
eingezeichnet werden.
2. Konstruieren Sie durch den Schnittpunkt S zweier Kreise k1 und k2 eine Sekante,
so dass die beiden auf ihr liegenden Sehnen sich wie 2 : 3 verhalten.
40
UZH Geometrie HS10
3.3
JSD
Harmonische Teilung und Apolloniuskreis
Gegeben ist eine Strecke AB (B 6= A) und ein Streckfaktor k (6= 1).
Wo liegt das Streckzentrum S?
Es gilt:
−→
−→
SB = k SA
Definition 3.3.1. Ist |k2 | = k1 = k (> 0), so wird die Strecke AB durch die Punkte S1
und S2 harmonisch geteilt.
|AS2 |
|AS1 |
=
=k
|BS1
|BS2 |
Die Konstruktionsideen werden durch folgende Beispiele klar.
Beispiel 3.3.2. Die Strecke AB soll harmonisch im Verhältnis 2 : 3 geteilt werden.
41
UZH Geometrie HS10
JSD
Beispiel 3.3.3. Kennt man die Strecke AB und einen Teilpunkt S, so ist der andere
Teilpunkt T eindeutig bestimmt.
Satz 3.3.4.
Teilen die Punkte S und T die Strecke AB harmonisch im Verhältnis k, so teilen die
Punkte A und B die Strecke ST auch harmonisch, und zwar im Verhältnis
λ=
k+1
.
k−1
(Beweis in den Übungen!)
Zeichnen Sie im Dreieck ABC die Winkelhalbierende des Winkels γ. Diese schneidet die
gegenüberliegende Seite AB = c im Punkt D. In welchem Verhältnis teilt D die Seite c?
42
UZH Geometrie HS10
JSD
Satz 3.3.5.
a) In einem Dreieck teilt die Winkelhalbierende eines Innenwinkels die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten.
b) Ist das Dreieck nicht gleichschenklig, so teilt auch die Winkelhalbierende des Aussenwinkels die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten.
Damit erhalten wir den berühmten Satz des Apollonius.
Satz 3.3.6. Kreis des Apollonius
Die Menge aller Punkte, für die das Abstandsverhältnis zu zwei festen Punkten A und B
den konstanten Wert k annimmt, ist der Kreis mit dem Durchmesser ST , wobei S und T
die Strecke AB harmonisch im Verhältnis k teilen.
43
UZH Geometrie HS10
JSD
Beispiel 3.3.7. Konstruieren Sie ein Dreieck aus den Seiten b = 6, c = 3und der Winkelhalbierenden wα = 3.5.
Satz 3.3.8.
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S, der jede Seitenhalbierende innen im Verhältnis 2 : 1 teilt. S heisst der Schwerpunkt des Dreiecks.
Satz 3.3.9.
In einem Dreieck schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt.
44
UZH Geometrie HS10
3.4
3.4.1
JSD
Verschiedene Ähnlichkeitsabbildungen
Ähnlichkeitsabbildungen allgemein
Satz 3.4.1.
Eine Ähnlichkeitsabbildung ϑ ist durch drei nicht kollineare Punkte und ihre Bildpunkte
eindeutig bestimmt.
a) Zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn zwei Winkel des einen Dreiecks gleich
den entsprechenden Winkeln des anderen Dreiecks sind.
b) Zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn sie in den Verhältnissen der drei
Seitenlängen übereinstimmen.
a0 a
a0
a
= 0 , = 0 , α = α0 , β = β 0 , γ = γ 0
b
b c
c
Satz 3.4.2.
Eine Abbildung ist genau dann eine Ähnlichkeitsabbildung ϑ, wenn sie darstellbar ist als
Verknüpfung einer Isometrie ϕ und einer zentrischen Streckungen ZS,k .
ϑ = Ähnlichkeitsabbildung
⇐⇒
ϑ = ZS,k ◦ ϕ
Beweis
00
⇐=00 :
Ist ϕ eine Isometrie und ZS,k eine zentrische Streckung, so ist die Verknüpfung der beiden
Abbildungen eine Ähnlichkeitsabbildung.
00
=⇒00 :
Ist ϑ eine Ähnlichkeitsabbildung, dann ist sie durch 3 nicht kollineare Punkte und ihre
Bilder eindeutig bestimmt.
ϑ : 4ABC −→ 4A0 B 0 C 0
45
UZH Geometrie HS10
JSD
Man kann die Abbildung zum Beispiel zerlegen in eine Translation gefolgt von einer Rotation und einer zentrischen Streckung.
−→
ϑ = ZA0 ,k ◦ RA0 ,µ ◦ T−
AA0
46
UZH Geometrie HS10
3.4.2
JSD
Drehstreckungen und Klappstreckungen
Definition 3.4.3. Eine Drehstreckung ist die Verknüpfung einer zentrischen Streckung
und einer Rotation mit demselben Zentrum.
ϑ = RS,α ◦ ZS,k
Es gilt:
ϑ = RS,α ◦ ZS,k = ZS,k ◦ RS,α
Spezielle Drehstreckungen
i) α = 0: zentrische STreckung
ii) k = 1: Rotation
iii) k = 1, α = 0: Identität
Es gilt weiter:
Eine Drehstreckung, die nicht die Identität ist, hat genau einen Fixpunkt.
Bei Drehstreckungen genügt es, positive k zu betrachten, denn
ϑ = RS,α ◦ ZS,k = RS,α+180◦ ◦ ZS,−k
47
UZH Geometrie HS10
JSD
Definition 3.4.4. EineKlappstreckung ist die Verknüpfung einer zentrischen Streckung
und einer Geradenspiegelung, deren Achse durch das Streckzentrum geht.
ϑ = Sg ◦ ZS,k
Es gilt:
ϑ = Sg ◦ ZS,k = ZS,k ◦ Sg
Spezielle Klappstreckung:
k = 1: Geradenspiegelung
Es gilt weiter:
Eine Klappstreckung mit |k| =
6 1 hat genau einen Fixpunkt.
Satz 3.4.5.
a) Die Verknüpfung einer gleichsinnigen Isometrie und einer zentrischen Streckung (k 6=
1) ist eine Drehstreckung.
b) Die Verknüpfung einer ungleichsinnigen Isometrie und einer zentrischen Streckung
(k 6= 1) ist eine Klappstreckung.
48
UZH Geometrie HS10
3.4.3
JSD
Noch zwei Sätze
Satz 3.4.6.
Die Verknüpfung zweier zentrischer StreckungenZS2 ,k2 ◦ZS1 ,k1 mit verschiedenen Zentren S1 6= S2 und k = k2 · k1 ist:
a) eine zentrische Streckung ZS,k , falls k 6= 1.
Das neue Zentrum S liegt auf der Geraden S1 S2 in folgender Lage
−−→
1 − k2 −−→
S1 S2
S1 S =
1 − k1 k2
b) eine Translation T~v , falls k = 1.
Der Vektor ~v ist parallel zur Geraden S1 S2 und es gilt
−−→
~v = (1 − k2 )S1 S2
Satz 3.4.7.
Gegeben sind eine Translation T~v und eine zentrische Streckung ZS,k (k 6= 1).
Dann ist die Verknüpfung wieder eine zentrische Streckung.
−−→
ZS,k ◦ T~v = ZS ∗ ,k , wobei SS ∗ =
49
k
~v .
1−k
UZH Geometrie HS10
JSD
50
Kapitel 4
Kreisgeometrie
4.1
Kreiswinkelsätze
Definition 4.1.1.
1. Zwei Punkte A und B auf einem Kreis k teilen diesen in zwei zueinander komplementäre Bögen. Die Strecke AB = s heisst Sehne.
2. Ist b ein Kreisbogen mit Endpunkten A und B und liegt der Punkt C auf b, so heisst
der Winkel γ = ^ACB Peripheriewinkel (Umfangswinkel) zum Bogen b.
3. Der Winkel µ = ^AM B Zentriwinkel Mittelpunktswinkel) zum Bogen b.
4. Die Tangente t an den Kreis k in A steht senkrecht auf dem Berührradius r = AM ,
sie bildet mit der Sehne AB den Sehnentangentenwinkel α.
51
UZH Geometrie HS10
JSD
Satz 4.1.2.
a) Ein Peripheriewinkel über einem Kreisbogen ist halb so gross wie der zugehörige
Zentriwinkel und gleich gross wie der zugehörige Sehnentangentenwinkel.
b) Alle Peripheriewinkel über demselben Bogen sind gleich gross.
c) Die Peripheriewinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen sich auf 180◦ .
Zwei Beweise
1. klassisch
2. mit Geradenspiegelungen
52
UZH Geometrie HS10
JSD
Bemerkung 4.1.3.
a) Spezialfall: Thaleskreis
s = Durchmesser, γ = 90◦
b) Sehnenviereck
α + γ = 180◦
β + δ = 180◦
Definition 4.1.4. Der Kreisbogen, auf dem die Scheitelpunkte aller gleich grossen Peripheriewinkel liegen, heisst Ortsbogen (Fasskreisbogen) über der Sehne s.
Grundkonstruktion des Ortsbogenpaares Gegeben ist die Strecke AB der Länge
s = 6 und der Winkel β = 60◦ . Konstruieren Sie das Ortsbogenpaar über AB zum Winkel
β.
53
UZH Geometrie HS10
JSD
Es gilt auch die Umkehrung des vorherigen Satzes.
Satz 4.1.5.
Sieht man die Strecke AB von einem Punkt P aus unter dem Winkel γ, dann liegt P auf
dem Ortsbogen-Paar über AB zum Winkel γ.
Beweis
P innerhalb Ortsbogen
P ausserhalb Ortsbogen
Damit gelangt man zu einem neuen geometrischen Ort.
54
UZH Geometrie HS10
JSD
Satz 4.1.6.
Der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus eine Strecke unter dem Winkel γ
erscheint, ist das Ortsbogen-Paar über der Strecke zum Winkel γ.
Beispiel 4.1.7. Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn folgende Grössen bekannt sind.
b = 4cm, hb = 3cm, β = 60◦
55
UZH Geometrie HS10
4.2
JSD
Sehnensätze
Satz 4.2.1. Sehnensatz
Haben 2 Sehnen durch einen Punkt P im Inneren eines Kreises die Endpunkte A, A0 und
B, B 0 , so gilt:
|P A| · |P A0 | = |P B| · |P B 0 |
Satz 4.2.2. Sekantensatz
Haben 2 Sekanten durch einen Punkt P ausserhalb eines Kreises die Endpunkte A, A0 und
B, B 0 mit dem Kreis, so gilt:
|P A| · |P A0 | = |P B| · |P B 0 |
56
UZH Geometrie HS10
JSD
Satz 4.2.3. Sekanten-Tangentensatz
Von einem Punkt P ausserhalb des Kreises berührt eine Tangente den Kreis im Punkt A
und schneidet eine Sekante den Kreis in den Punkten B, B 0 . Dann gilt:
|P A|2 = |P B| · |P B 0 |
57
UZH Geometrie HS10
4.3
JSD
Satzgruppe des Pythagoras
Die meisten Menschen mit einer gewissen Schulbildung kennen den Satz von Pythagoras,
und zwar nur in der Form
a2 + b 2 = c 2 .
Oft wissen sie aber nicht mehr, dass sich die Formel auf ein rechtwinkliges Dreieck bezieht.
Am rechtwinkligen Dreieck benützt man oft die folgenden Bezeichnungen.
• a, b: Katheten
• c: Hypotenuse
• h: Höhe auf Hypotenuse
• p, q: Hypotenusenabschnitte
58
UZH Geometrie HS10
JSD
Satz 4.3.1. Kathetensatz des Euklid
Das Quadrat über einer Kathete ist gleich dem Produkt von Hypotenuse und Hypotenusenabschnitt.
Der Kathetensatz kann mit dem Sehenensatz bewiesen werden. Es gilt auch die Umkehrung des Kathetensatzes.
Satz 4.3.2. Umkehrung des Kathensatzes
Gilt für ein Dreieck ABC die Beziehung
|BC|2 = |AB| · |BD|,
wobei D der Höhenfusspunkt der Höhe von C auf AB,
dann ist das Dreieck rechtwinklig bei C.
59
UZH Geometrie HS10
JSD
Satz 4.3.3. Höhensatz des Euklid
Das Quadrat über der Höhe ist gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte.
Der Höhensatz kann mit dem Sekanten-Tangentensatz bewiesen werden. Es gilt auch die
Umkehrung des Höhensatzes.
Satz 4.3.4. Umkehrung des Höhensatzes
Gilt für ein Dreieck ABC die Beziehung
|CD|2 = |AD| · |BD|,
wobei D der Höhenfusspunkt der Höhe von C auf AB,
dann ist das Dreieck rechtwinklig bei C.
Aus dem Katheten- und dem Höhensatz kann schliesslich der berühmte Satz von Pythagoras bewiesen werden. Es gibt natürlich hunderte von Beweisen dieser Sätze!
60
UZH Geometrie HS10
JSD
Satz 4.3.5. Satz von Pythagoras
Die Summe der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.
a2 + b 2 = c 2
Auch hier gilt die Umkehrung.
Satz 4.3.6. Umkehrung des Satzes von Pythagoras
Gilt für ein Dreieck ABC die Beziehung
|BC|2 + |AC|2 = |AB|2
dann ist das Dreieck rechtwinklig bei C.
61
UZH Geometrie HS10
JSD
Anwendungen
1. Verwandeln Sie ein gegebenes Rechteck mit den Seitenlängen a und b in ein flächengleiches Quadrat sowohl mit dem Höhensatz wie auch mit dem Kathetensatz.
√
2. Konstruieren Sie 6 auf zwei Arten, indem Sie die Gleichungen 6 = 1·6 und 6 = 2·3
verwenden.
3. Ein Quadrat mit der Seite a = 5cm soll in ein flächengleiches Rechteck mit den
Seitenlängen b, c verwandelt werden, so dass gilt
a) b + c = 11cm
b) b − c = 6cm
4. Ein Parallelogramm mit a = 6cm, ha = 1cm, α = 45◦ soll unter Beibehaltung des
Winkels α in ein flächengleiches Parallelogramm verwandelt werden.
Die folgende Figur zeigt zwei flächengleiches Parallelogramme.
62
UZH Geometrie HS10
4.4
JSD
Orthogonale Kreise
Definition 4.4.1.
Zwei Kreise schneiden sich orthogonal, wenn sich die Tangenten im Schnittpunkt senkrecht schneiden.
Satz 4.4.2. orthogonale Kreise - harmonische Teilung
1. Schneiden sich zwei Kreise orthogonal, so wird jeder Durchmesser des einen Kreises
vom anderen Kreis harmonisch geteilt.
2. Wird der Durchmesser eines Kreises durch einen anderen Kreis harmonisch geteilt,
so schneiden sich die beiden Kreise orthogonal.
63
UZH Geometrie HS10
4.5
JSD
Pol und Polare
Wir konstruieren von einem Punkt P ausserhalb eines Kreises k die Tangenten an den
Kreis und verbinden die Beü§hrungspunkte. Diese Verbindungsgerade p untersuchen wir
nun näher.
Für jeden Punkt X ∈ p gilt wegen des Kathetensatzes
|M X| · cos ϕ · |M P | = r2
Definition 4.5.1.
Die durch (4.1) definierte Gerade p heisst die Polare des Kreises k zum Pol P .
Die Gleichung (4.1) gilt auch im Grenzfall P ∈ p.
64
(4.1)
UZH Geometrie HS10
JSD
Liegt der Punkt P innerhalb des Kreises k, so liegt die Polare p ausserhalb.
Satz 4.5.2.
Sei p die Polare des Kreises k zum Pol P .
(i) Für Q ∈ p gilt: Die Polare q zum Pol Q geht durch P .
(ii) Für q 3 P gilt: Der Pol Q zur Polaren q liegt auf p.
65
UZH Geometrie HS10
4.6
JSD
Inversion am Kreis
Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r.
Definition 4.6.1.
Die Abbildung ϕ sei folgendermassen definiert:
ϕ : P → P 0 (P 6= M ), so dass P 0 auf der Halbgeraden von M nach P liegt :
P 0 ∈ g + = (M P )+
|M P | · |M P 0 | = r2
ϕ heisst Spiegelung am Kreis k oder Inversion am Kreis k.
Bei der Inversion am Kreis k werden alle Punkte innerhalb von k (ausser dem Punkt M )
auf Punkte ausserhalb von k abgebildet und umgekehrt.
Satz 4.6.2. Eigenschaften der Inversion am Kreis
1. ϕ ist bijektiv.
2. Fixpunkte von ϕ sind genau die Punkte der Kreislinie k.
3. Jede Gerade durch M (ohne M ) wird auf sich abgebildet.
66
UZH Geometrie HS10
JSD
4. Jede Gerade, die nicht durch M geht, wird auf einen Kreis durch M (ohne M )
abgebildet und umgekehrt.
5. Jeder Kreis, der nicht durch M geht, wird auf einen Kreis abgebildet, der auch nicht
durch M geht.
6. Ein Kreis ist genau dann ein Fixkreis, wenn er den Inversionskreis rechtwinklig
schneidet.
Bemerkung 4.6.3.
Die Inversion am Kreis ist ein Beispiel einer Abbildung, die nicht geradentreu ist.
Beispiel 4.6.4. schwierig!
Gegeben sind 2 Kreisek1 , k2 und ein Punkt P . Konstruieren sie einen Kreis k durch P ,
der die beiden Kreise k1 und k2 berührt.
Eine Anwendung
Wie fängt ein Mathematiker einen Löwen in der Wüste? - Er stellt sich in einen kreisrunden
Käfig und muss nur aufpassen, dass sich der Löwe ausserhalb des Käfigs befindet. Mit einer
Inversion am Kreis ist der Löwe im Käfig gefangen und unser Mathematiker ist frei.
Was passiert, wenn sich unser Mathematiker anfangs genau in die Mitte gestellt hat? - Er
landet im Jenseits.
67
UZH Geometrie HS10
JSD
68
Kapitel 5
Goldener Schnitt
Die Geometrie birgt zwei grosse Schätze: der eine ist der Satz von Pythagoras, der andere
ist der Goldene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gold vergleichen, den
zweiten dürfen wir ein kostbares Juwel nennen. Johannes Kepler, 1571 Ð 1630.
Der Goldene Schnitt ist das wohl berühmteste Zahlenverhältnis.
Abbildung 5.1: Pentagramm: auch wichtiges Zeichen in der Magie (Drudenfuss: Schutzzeichen von Hexen und Druden).
In der Antike ist das Pentagramm ein Symbol f§ü dunkle, unergründliche Zusammenhänge. Es war das Erkennungszeichen des pythagoräischen Geheimbundes. Beim pythagoräischen Weltbild beruhen alle Harmonien auf ganzzahligen Verhältnissen.
69
UZH Geometrie HS10
JSD
Abbildung 5.2: Rathaus Leipzig
70
UZH Geometrie HS10
5.1
JSD
Was ist der Goldene Schnitt?
Aufgabe Untersuchen Sie das regelmŁssige F§nfeck. Zeichnen Sie die Diagonalen. Welches ist das VerhŁltnis von Diagonale zu Seite?
71
UZH Geometrie HS10
JSD
Hippasos von Metapont hat aber schon um 450 v. Chr. entdeckt, dass gerade im
Pentagramm das Verhältnis von Diagonale zu Seite kein gemeinsames Mass enthält; das
Verhältnis ist also irrational. Dies haben Sie in der obigen Aufgabe herausgefunden.
σ=
s
Seite
=
Diagonale
d
τ=
Diagonale
d
=
Seite
s
Die Verhältnisse σ und τ sind irrationale Zahlen. In der Geometrie kommen diese Verhältnisse auch in anderen Zusammenhängen vor.
Definition 5.1.1.
Der Punkt T teilt die Strecke AB stetig oder im im Goldenen Schnitt, wenn gilt: Die
ganze Strecke d verhält sich zum längeren Abschnitt s, wie der längere Abschnitt s zum
kürzeren d − s.
Abbildung 5.3: stetige Teilung
Der länger Abschnitt heisst Major, der kürzere Minor.
Ähnliche Dreiecke: 4ABD ∼ 4BT A
|AD|
|AB|
=
|AB|
|BT |
1
τ=
τ −1
τ=
1
σ
=
σ
1−σ
⇒
d
s
=
s
d−s
√
2
⇒
τ −τ −1=0
⇒
⇒
σ2 + σ − 1 = 0
⇒
72
5+1
2
√
5−1
σ=
2
τ=
UZH Geometrie HS10
JSD
Abbildung 5.4: reguläres Fünfeck - Pentagramm
5.2
Konstruktionen des Goldenen Schnitts und Eigenschaften
Die Strecke d = 10 cm soll im Goldenen Schnitt geteilt werden.
Warum besitzen d und s kein gemeinsames Mass m?
Hätten d und s ein gemeinsames Mass m, dann gäbe es natürliche Zahlen p und q, so dass
d = p · m und s = q · m. Dann wäre ds = pq ∈ Q.
Beweisidee von Hippasos
Hippasos von Metapont (ca. 450 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker aus dem
73
UZH Geometrie HS10
JSD
Abbildung 5.5: gemeinsames Mass?
Kreis der Pythagoräer.
Nach den Überlieferungen hat Hippasos zur glänzenden antiken Musiktheorie Wesentliches beigetragen. Er entwickelte Tonleitertheorien und Ähnliches.
Abbildung 5.6: Hippasos
Auch wird heute angenommen, dass er es war, der die berühmte Inkommensurabilität
von Seite und Diagonale im Fünfeck (Pentagramm), dem pythagoräischen Ordenssymbol,
fand.
74
UZH Geometrie HS10
JSD
Versucht man nämlich durch Wechselwegnahme zwischen Seite und Diagonale eine kleinste gemeinsame Teilstrecke zu finden, so stösst man auf ein kleineres Pentagramm, in dem
die Streckenverhältnisse wieder der Ausgangssituation gleich sind und so weiter.
Es gibt die Legende, dass die Pythagoräer Hippasos im Meer ertränkt haben sollen, weil
er diesen berühmten Beweis veröffentlicht hat.
Eine andere Beweisidee
Abbildung 5.7: Hippasos
Fügt man Fünfecke so aneinander, dass die Seite sn des n-ten Fünfecks die Diagonale
dn+1 des dn+1 -ten Fünfecks wird, so gilt für jedes n:
dn+1 = sn
⇒
dn
sn
dn+1
=
=
sn
sn+1
sn+1
⇒
τ=
dn
dn+1
=
= ···
sn
sn+1
Hätten dn und sn ein gemeinsames Mass m, dann hätten es auch dn+1 und sn+1 . Nun
werden aber die Fünfecke mit wachsendem n immer kleiner, also kleiner als jedes Mass
m. Das ist nicht möglich, also gibt es kein gemeinsames Mass m.
Der Name Goldener Schnitt ist im 19. Jahrhundert entstanden, wahrscheinlich aus sectio
divina (Kepler) undregula aurea (goldene Regel). Der Goldene Schnitt spielt in der Kunst
eine grosse Rolle.
Warum der Name stetige Teilung? Trägt man bei einer stetig geteilten Strecke a den Minor (die kürzere Strecke) auf dem
Major s (längere Strecke) ab, so wird diese wieder im Goldenen Schnitt geteilt. (Beweis?)
75
UZH Geometrie HS10
JSD
Weitere Beziehungen von τ und σ
Da τ > 0 und τ 2 = 1 + τ , erhalten wir für τ die Wurzelfolge
s
r
r
q
q
q
√
√
√
√
τ = 1 + τ = 1 + 1 + τ = 1 + 1 + 1 + τ = 1 + 1 + 1 + 1 + ...
Für σ gilt 1 = σ 2 + σ = σ(σ + 1), also σ =
1
1+σ
und damit erhalten wir für σ den
Kettenbruch
σ=
1
1
1
1
=
1 =
1
1+σ
1 + 1+σ
1 + 1+ 1 1 + 1+
1+σ
1
1
1
1+ 1+...
Man kann auch Näherungswerte für σ berechnen:
σ7 = 0.619 . . . ist ein guter Näherungswert für σ = 0.618dots.
Vergleichen Sie das Rechteck R mit den Seitenlängen 13 und 21 und das Goldene Rechteck
mit den Seitenlängen 13 und 13τ (= 21.034)!
Vergleichen Sie auch die Zahlenfolge der Zähler sowie diejenige der Nenner!
Sie erkennen bestimmtdie Fibonacci-Folge.
76
UZH Geometrie HS10
5.3
JSD
Goldene Rechtecke und Dreiecke
Definition 5.3.1.
• Ein Rechteck mit SeitenverhŁltnis
heisst Goldenes Rechteck.
• Goldene Dreiecke sind gleichschenklige Dreiecke mit SeitenverhŁltnis
Somit gibt es spitzwinklige oder stumpfwinklige Goldene Dreiecke.
Aufgabe
Zeichnen Sie im regulären Fünfeck die beiden Arten Goldener Dreiecke ein.
77
UZH Geometrie HS10
JSD
Die Rechtecke Rn mit den Seiten dn und sn sind Goldene Rechtecke. Die kürzere Seite des
grösseren Rechtecks Rn ist immer die längere Seite des nachfolgenden kleineren Rechtecks
Rn−1 .
Abbildung 5.8: Goldene Rechtecke
Bemerkung: Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT zweier
natürlicher Zahlen kann man schön zeigen, dass f§r Goldene Rechtecke kein gemeinsames
Mass der beiden Seiten existiert.
Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT von a und b (a > b)
ggT (a, b) = ggT (b, a − b) = . . .
denn aus ggT (a, b) = m, folgt a = pm und b = qm fürp, q ∈ N, also a − b = m(p − q).
z.B. ggT (15, 9) = ggT (9, 6) = ggT (6, 3) = ggT (3, 3) = 3.
Zeichnen Sie dazu ein Rechteck mit Seitenlängen 15 und 9. Von diesem Rechteck nimmt
man solange ein Quadrat (Seitenlänge = kleinere Rechteckseite) weg, bis ein Quadrat
übrig bleibt. Mit diesem Quadrat lässt sich das gegebene Rechteck auspflastern, seine
Seite ist das grösste gemeinsame Mass der Rechteckseiten.
Folgerung
Erscheint beim Verfahren des Euklidischen Algorithmus ein Rechteck, das zum gegebenen
ähnlich ist, so kann nie ein Quadrat übrig bleiben, es gibt also kein gemeinsames Mass
der Rechteckseiten.
78
UZH Geometrie HS10
JSD
Beispiele
1. In Rechtecken des DIN-Formats ist das Verhältnis der Seiten
Vergleichen Sie die beiden Rechtecke!
√
2
Abbildung 5.9: DIN-Rechteck und Näherung
2. Vergleichen Sie das Goldene Rechteck mit dem Seitenverhältnis τ und ein Rechteck
mit Seitenverhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen.
79
UZH Geometrie HS10
JSD
Abbildung 5.10: Goldenes Rechteck und Näherung
5.4
Weitere Konstruktionen mit dem Goldenen Schnitt
1. Goldenes Rechteck mit gegebener Breite b
2. Reguläres 5- Eck mit gegebener Seite s
3. Reguläres 5- Eck und 10-Eck mit gegebenem Umkreis r
80
Kapitel 6
Reguläre Polygone
Abbildung 6.1: Max Bill
81
UZH Geometrie HS10
6.1
JSD
Definitionen und Berechnungen
Definition 6.1.1.
1. Ein Polygon ist ein Streckenzug. Dieser kann geschlossen oder offen sein. (Wir
betrachten nur ebene Polygone.)
Die Ecken werden aufeinander folgend nummeriert: A0 , A1 , . . . , An .
Gilt A0 = An , so ist das Polygon geschlossen.
Abbildung 6.2: Polygone
2. Ein geschlossenes ebenes Polygon heisst konvex, wenn mit je zwei Punkten im
Innern des Polygons auch deren Verbindungsstrecke im Innern liegt.
Abbildung 6.3: Polygone
3. Ein geschlossenes Polygon heisst regulär, wenn alle Seite gleich lang und alle Innenwinkel gleich gross sind.
82
UZH Geometrie HS10
JSD
Kreisteilung
Zu jedem n ≥ 3 gibt es ein konvexes reguläres n-Eck: Ê
1. Konstruieren Sie ein reguläres Sechseck (und ein reguläres Sternsechseck).
2. Reguläres n -Eck
Abbildung 6.4: Kreisteilung
Für festes n sind je zwei konvexe reguläre n-Ecke ähnlich.
Bezeichnungen am regulären n-Eck:
sn = Seite
rn = Umkreisradius
ρn = Inkreisradius
Welche Zusammenhänge bestehen zwischen sn , rn , ρn ?
Berechnen Sie die Innenwinkel des regulären n-Ecks.
Welches ist der Flächeninhalt?
83
UZH Geometrie HS10
6.2
JSD
Konstruktionen regulärer n-Ecke mit Zirkel und Lineal
Euklid schränkte die für die Konstruktion zulässigen Hilfsmittel ein auf Zirkel und Lineal. In seinem Standardwerk Elemente (um 300 v. C.) gibt er Konstruktionen für das
gleichseitige Dreieck, das Quadrat, das regelmässige Fünf- und Fünfzehneck an.
Durch fortgesetzte Winkelhalbierung können also die folgenden n-Ecke konstruiert werden.
n
n
n
n
=
=
=
=
3, 6, 12, 24, . . .
4, 8, 16, 32, . . .
5, 10, 20, 40, . . .
15, 30, 60, 120, . . .
Welche weiteren regulären n-Ecke kŽnnen mit Euklids Hilfsmittel konstruiert werden?
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) hat diese Frage mit 19 Jahren beantwortet.
Satz von Gauss
Ein reguläres n-Eck kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden,
wenn in der Primfaktorzerlegung von n jeder ungerade Primfaktor eine Fermat-Zahl Fk
ist und nur in erster Potenz vorkommt.
Die k-te Fermat-Zahl ist definiert durch
k
Fk = 2(2 ) + 1
Also gilt
reguläres n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ⇔ n = 2i · Fl · · · Fm
Fermat-Zahlen
F0
F1
F2
F3
F4
F5
=
=
=
=
=
=
3
5
17
257
665537
232 + 1 =
Primzahl
Primzahl
Primzahl
Primzahl
Primzahl
4294967297 = 641.6700417 keine Primzahl
(Fermat hielt diese Zahl fälschlicherweise für prim.)
Auch für die nächsten 11 Wertek = 6, 7, . . . 15, 16 ist die Fermat-Zahl keine Primzahl.
84
UZH Geometrie HS10
JSD
Kleines Fermat-Problem
Es ist eine offene Frage, ob es ausser F0 F4 noch weitere Fermat-Zahlen gibt, die prim sind!
Nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind also die folgenden regulären n-Ecke:
n = 7, 9 (= 32 ), 11, 13, 18 (= 2 · 32 ), 19, 114(= 2 · 3 · 19), . . .
H.W. Richmond fand 1893 eine einfache Konstruktion des reguläres 17-Ecks.
Gauss hat nur bewiesen, dass das 65 537-Eck konstruierbar ist.
Johann Gustav Hermes hat dieses Polygon konstruiert. Man kann dies nachlesen in
Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. Nachrichten von der Gesellschaft der
Wissenschaften zu GŽttingen, Math.-Phys.Klasse, Bd. 1894, Heft 3, S. 170-186.
Hermes war Mathematiklehrer in Lingen, arbeitete 10 Jahre am regulären 65537-Eck und
deponierte das Manuskript in einem grossen, flachen Handkoffer im mathematischen Institut der Universität Göttingen. Dieses Diarium der Kreisteilung enthält auf 191 Blättern
vom Format 47cm × 55 cm Konstruktionen und riesige Tabellen. Felix Klein hat Hermes f§r diese Fleissarbeit den Doktortitel der Universität Göttingen verliehen (datiert
1879, Königsberg in Preussen). Die Richtigkeit der Konstruktion hat wohl nie jemand
nachgeprüft.
Abbildung 6.5: Konstruktion des 65537-Ecks
85
UZH Geometrie HS10
6.3
JSD
Zwei Näherungskonstruktionen des regulären Siebeneck
Abbildung 6.6: Dobrodaner Ornament: reguläres 7-Eck
1. Glaserkonstruktion
Gegeben ist der Umkreis mit MittelpunktM und Radius r.
AE sei ein Durchmesser, D die Mitte von EM .
Die Senkrechte zu AE durch D schneidet den Kreis in B und C.
s7 ≈ |BD| =
Wie gross ist der absolute Fehler?
86
s3
2
UZH Geometrie HS10
JSD
2. Schreinerkonstruktion
Gegeben ist wieder der Umkreis mit MittelpunktM und Radius r.
• M B senkrecht auf Durchmesser AA0
• Durchmesser in n (= 7) gleiche Teile teilen
• Strecken M A und M B um je ein Teilstück des Durchmessers verlängern
• Strecke ED schneidet den Kreis in F und G
• C ist von A aus der 3. Teilpunkt des Durchmessers
s7 ≈ |CF |
Wie gross ist hier der absolute Fehler?
Bemerkung: In gleicher Weise kann das reguläre 9-, 11-, 13-Eck konstruiert werden.
C bleibt immer der 3. Teilpunkt. .
87
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JSD
88
Kapitel 7
Symmetrien
7.1
Gruppen
Geometrische und algebraische Untersuchungen werden vergleichbar wegen ihrer Strukturen.
Definition 7.1.1.
Eine Verknüpfung ◦ auf einer Menge M ist eine Abbildung, die zwei Elementen von
M wieder ein Element von M zuordnet.
◦ : M × M → M, (x, y)?x ◦ y ∈ M.
Die Verknüpfung heisst assoziativ, falls gilt:
x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z
Beispiel 7.1.2. assoziative Verknüpfungen
1. M = Menge aller Abbildungen ϕ einer Menge A auf sich.
Die Verknüpfung ◦ sei definiert als Hintereinanderschachtelung von Abbildungen.
(ϕ1 ◦ ϕ2 )(x) = ϕ1 [ϕ2 (x)]
Dann ist sie assoziativ.
ϕ1 ◦ (ϕ2 ◦ ϕ3 ) = (ϕ1 ◦ ϕ2 ) ◦ ϕ3 = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ ϕ3
2. (N, +) : Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung
+ : N × N → N, (x, y) → x + y
89
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3. (N, +) : Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung
+ : N × N → N, (x, y) → x · y
Definition 7.1.3.
Eine Gruppe (G, ◦) besteht aus einer Menge G und einer assoziativen Verknüpfung ◦ ,
so dass gilt:
◦ : G × G → G, (x, y) → x ◦ y ∈ G.
(i) Es gibt ein Element e, das neutrale Element von G, mit der Eigenschaft:
a ◦ e = e ◦ a = a ∀a ∈ G
.
(ii) Zu jedem Element a ∈ G gibt es das inverse Element a−1 mit der Eigenschaft:
∀a ∈ G ∃a ∈ G : a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e
.
Eine Gruppe heisst Abelsch, falls die Verknüpfung kommutativ ist.
Beispiel 7.1.4. Gruppen
1. (Z, +) : Die Menge aller ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung ist eine
Gruppe.
+ : Z × Z → Z, (x, y) → x + y
Das neutrale Element ist 0, das zu x inverse Element ist −x.
2. (Q, ·) : Die Menge aller von 0 verschiedenen rationalen Zahlen mit der Multiplikation
als Verknüpfung ist eine Gruppe.
+ : Q × Q → Q, (x, y) → x · y
Das neutrale Element ist 1, das zu x inverse Element ist x−1 = x1 .
Eigenschaften von Gruppen Ist (G, ą ) eine Gruppe, so ist das Neutralelement e eindeutig
bestimmt. Ist (G, ą ) eine Gruppe, so ist das inverse Element eindeutig bestimmt.
90
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JSD
Definition 7.1.5.
Zwei ebene Figuren F1 und F2 heissen kongruent, wenn es eine Isometrie ϕ gibt, so dass
gilt:
ϕ(F1 ) = F2
Man schreibt: F1 ∼
= F2 .
Satz 7.1.6.
Die Kongruenz von Figuren ist eine Äquivalenzrelation. Es gilt:
1. Reflexivität: F1 ∼
= F1
2. Symmetrie: F1 ∼
= F2 ⇐⇒ F2 ∼
= F1
3. TransitivitŁt: F1 ∼
= F2 und F2 ∼
= F3 =⇒ F1 ∼
= F3
91
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7.2
JSD
Die Gruppe der Isometrien
Die Isometrien der Ebene sind spezielle Abbildungen der Ebene.
Definition 7.2.1.
Iso = Menge aller Isometrien der Ebene (bzw. des Raumes)
Satz 7.2.2.
(Iso, ◦) ist eine Gruppe, die Isometrie-(Kongruenz-)gruppe der Ebene (bzw. des Raumes)
auf sich.
Sie heisst auch die Bewegungsgruppe der Ebene (bzw. des Raumes).
Das neutrale Element ist die identische Abbildung id, das zu ϕ inverse Element ist ϕ−1 .
Die Gruppe ist nicht kommutativ.
Definition 7.2.3.
Ist M eine Teilmenge der Ebene (bzw. des Raumes), dann bezeichnet Iso(M ) die Menge
aller Isometrien von M auf sich selbst, also die Symmetrien von M .
M kann auch die ganze Ebene (bzw. der ganze Raum) sein: Iso.
Struktur von Iso(M )
- Sind ϕ, ψ ∈ Iso(M ), dann auch ϕ ◦ ψ ∈ Iso(M ).
- Jedes ϕ ∈ Iso(M ) ist bijektiv und ϕ−1 ∈ Iso(M ).
Definition 7.2.4.
Sei (G, ◦) eine Gruppe.
Eine Teilmenge H von G heisst Untergruppe von (G, ◦), wenn folgendes gilt:
e ∈ H, g ◦ h ∈ H ∀g, h ∈ H, g −1 ∈ H ∀g ∈ H
Satz 7.2.5.
(Iso(M ), ◦) ist eine Untergruppe von (Iso, ◦).
Iso(M ) nennt man auch die volle Symmetriegruppe von M .
92
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Beispiel 7.2.6. Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks.
G = {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ψ1 , ψ2 , id}
Die 3 Abbildungen ϕi sind die Spiegelungen an den Seitenhalbierenden; die ψi sind die
Rotationen um 120◦ bzw. um 240◦ .
Welche Teilmengen von G bilden mit der Verknüpfung ◦ eine Untergruppe?
93
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7.3
JSD
Die Gruppe der Ähnlichkeitsabbildungen
Satz 7.3.1.
Die Menge der Ähnlichkeitsabbildungen mit der Verknüpfung von Abbildungen ◦ bildet
eine Gruppe.
Satz 7.3.2.
Untergruppen der Ähnlichkeitsabbildungsgruppe sind:
1. die Menge der gleichsinnigen Ähnlichkeitsabbildungen
Dagegen bildet die Menge der ungleichsinnigen Ähnlichkeitsabbildungen keine Untergruppe.
2. die Menge Dilatationen (wegen der Sätze 16 und 17)
3. die Menge der Translationen, sogar eine kommutative Untergruppe der Gruppe der
Dilatationen.
4. die Menge der zentrischen Streckungen mit gleichem Zentrum, eine kommutative
Gruppe.
Das gilt nicht für zentrischen Streckungen mit verschiedenen Zentren.
5. die Menge aller Drehstreckungen mit gleichem Zentrum, eine kommutative Gruppe.
6. die Menge aller Drehstreckungen und Klappstreckungen mit einem gemeinsamen
Fixpunkt S, eine nicht kommutative Gruppe.
94
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7.4
JSD
regelmässige Vielecke
Definition 7.4.1.
1. Eine Figur F heisst symmetrisch, wenn es mindestens eine Isometrie ϕ(6= id) gibt,
die F auf F abbildet.
2. Gilt ϕ(F ) = F , dann heisst ϕ eine Symmetrie von F .
Eine ebene Figur F kann folgende Symmetrien aufweisen:
- achsensymmetrisch
- punktsymmetrisch
- rotationssymmetrisch
- translationssymmetrisch
- schubspiegelsymmetrisch
Satz 7.4.2.
Die Menge der Symmetrien einer Figur bildet bezüglich der Verknüpfung von Abbildungen
eine Gruppe.
Satz 7.4.3.
Jedes reguläre n-Eck besitzt 2n Symmetrien, nämlich
- n Rotationen (Sie bilden die Drehgruppe des n -Ecks)
- n Achsenspiegelungen
Definition 7.4.4.
Die Symmetriegruppe des regulären n-Ecks heisst Diedergruppe Dn .
(Dieder heisst Zweiflächner, Polyeder Mehrflächner)
D1 = Abbildungsgruppe eines gleichschenkligen Dreiecks (oder eines Drachenvierecks)
D1 = {id, sa }
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JSD
D2 = Diedergruppe des SZweiecks", Abbildungsgruppe eines Rechtecks
D2 = {id, sa , sb , sM }Kleinsche Vierergruppe
D3 =Diedergruppe des gleichseitigen Dreiecks
D3 = {id, sa , sb , sc , RS,120◦ , RS,240◦ }
R3 = {id, RS,120◦ , RS,240◦ }
R3 = ist die Drehgruppe des gleichseitigen Dreiecks; sie ist eine zyklische Untergruppe
von D3 , wobei RS,120◦ die Untergruppe R3 erzeugt.
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JSD
D4 = Diedergruppe des Quadrates (und ihre Untergruppen, Haus der Vierecke)
97
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7.5
JSD
Bandornamente
Bis jetzt untersuchten wir die Symmetriegruppen von Vielecken. Diese bestehen immer
aus endlich vielen Geradenspiegelungen, Punktspiegelungen und Rotationen.
Nimmt man noch die Translationen dazu, kann man Parkettierungen und Bänder untersuchen.
Ein Bandornament ist ein Bandmuster mit fester Höhe, das sich auf beide Seiten unendlich fortsetzt und (mindestens) Translationssymmetrie aufweist.
Welche Symmetrien weisen die obigen Bänder auf?
Suchen Sie noch weitere Bandornamente mit anderen Symmetrien. Wie viele verschiedene
Klassen finden Sie?
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JSD
Die 7 Symmetrieklassen der Bandornamente
Die einfachste Symmetrieklasse besitzt nur Translationssymmetrie.
Die weiteren Symmetrieklassen können Achsensymmetrien an vertikalen Achsen und an
der Mittelparallelen oder auch Punktsymmetrien und Schubspiegelungen aufweisen.
(Die folgenden Beispiele f§r die Symmetrieklassen sind einem Skript von Hans Walser von
der Uni Basel entnommen.)
Abbildung 7.1: Symmetrieklasse F1 : nur Translation
Abbildung 7.2: Symmetrieklasse F2 : Translationen, Punktspiegelungen
Abbildung 7.3: Symmetrieklasse F3 : Translationen, Spiegelung an horizontaler Achse
Abbildung 7.4: Symmetrieklasse F4 : Translationen, Spiegelungen an vertikalen Achsen
99
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JSD
Abbildung 7.5: Symmetrieklasse F5 : Translationen, Punktspiegelungen, Spiegelung an
horizontaler Achse, Spiegelungen an vertikalen Achsen
Abbildung 7.6: Symmetrieklasse F6 : Translationen, Punktspiegelungen, Spiegelungen
an vertikalen Achsen
Abbildung 7.7: Symmetrieklasse F7 : Translationen, Schubspiegelung
100
UZH Geometrie HS10
7.6
JSD
Flächenornamente (Parkette)
Ein Flächenornament ist eine Figur der Ebene, die zwei Translationssymmetrien besitzt,
und zwar in 2 Richtungen. Die beiden Translationen werden durch zwei linear unabhängige
Vektoren ~u und ~v bestimmt, so dass jede Translation um den Vektor
w
~ = λ~u + µ~v (λ, µ ∈ Z)
die Figur auf sich selbst abbildet.
Wählt man die beiden Vektoren ~u und ~v mit möglichst kleiner Länge, so heisst das von
aufgespannte Parallelogramm ein Elementarbereich des Flächenornaments. Alle Elementarbereiche haben aber den gleichen Flächeninhalt.
c
Abbildung 7.8: 1949
M:C: Escher Foundation - Baarn - Holland. All rights reserved
Die 17 Symmetrieklassen der Flächenornamente
Auch bei zweidimensionalen Flächenornamente gibt es nur endlich viele Symmetrieklassen. Der Kristallograph E. S. Fedorov hat 1891 gezeigt, dass es 17 Symmetrieklassen gibt.
Diese wurden 1924 von George Polya (1887 - 1985, ETH Zürich und Stanford) und Paul
Niggli (1888 - 1953, ETH und UNI Zürich) wiederentdeckt.
101
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JSD
Abbildung 7.9: aus L Tarassow. Symmetrie, Symmetrie, Spektrum Verlag, Heidelberg,
Berlin, 1999.
102
Kapitel 8
Euklidische und Nichteuklidische
Geometrien
8.1
Axiomensystem der ebenen euklidischen Geometrie
Euklids Elemente bestehen aus 13 Büchern. Sie haben kein Vorwort, keine Einleitung.
Es werden keine Ziele formuliert, keine Motivation, kein Kommentar. Das Werk beginnt
abrupt mit 23 Definitionen.
Definition 8.1.1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
Abbildung 8.1: Wo ist der Punkt?
Wie gross ist ein Punkt?
Euklids Elemente unterscheiden sich von den heutigen axiomatischen Theorien wesentlich.
Euklid definiert auch die Grundbegriffe: Punkte, Geraden, Ebenen.
Heute verzichtet man meist auf solch exakte Definitionen der Grundbegriffe.
103
UZH Geometrie HS10
JSD
Seit David Hilbert(1862-1943) werden in Axiomensystemen die Grundbegriffe nicht
näher definiert, erhalten also keine inhaltliche Bedeutung. Dafür werden Eigenschaften
gewisser Relationen zwischen den Grundbegriffen postuliert.
Euklids Modell hat sich über mehr als 2000 Jahre bewährt in Naturwissenschaft, Technik
und Kultur. Es wurde auch für andere Wissenschaften zum Vorbild wissenschaftlicher
Darstellung von Theorien. Die sogenannte Euklidische Geometrie kann als die abstrakte
Beschreibung unserer ebenen und räumlichen Erfahrung aufgefasst werden.
Der Abdruck eines Axiomensystems ist dem folgenden Buch entnommen. H: Scheid, W.
Schwarz: Elemente der Geometrie, Elsevier Spektrum akademischer Verlag, 4. Auflage,
2007, p. 247-250.
104
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JSD
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UZH Geometrie HS10
JSD
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JSD
108
UZH Geometrie HS10
8.2
JSD
Modelle nichteuklidischer Geometrien
Der Anstoss zur weiteren Entwicklung der Geometrie hat das Parallelenaxiom gegeben,
das besagt, dass es zu jeder Geraden durch jeden Punkt genau eine Parallele gibt.
Man hat lange geglaubt, dass dieses Axiom aus den ersten vier hergeleitet werden kann.
Erst als man Ende des 18. Jahrhunderts die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms nachweisen konnte, war der Weg frei zu anderen Geometrien, den sogenannten nichteuklidischen
Geometrien.
Als erster erkannte Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), dass eine in sich widerspruchsfreie Geometrie entsteht, wenn man annimmt, dass zu einer Geraden durch einen nicht
auf ihr gelegenen Punkt mehrere Parallelen gezogen werden kŽnnen.
Das war die "Geburt"der nichteuklidischen Geometrie. Aus Furcht vor dem Geschrei
engstirniger Philosophen hat Gauss seine Ęberlegungen nicht verŽffentlicht.
Gauss, dann aber auch Janos Bolyai (1802 - 1860) und Nicolai Lobatschewsky
(1793 - 1856) begründeten mit diesen neuen Gedanken die erste nichteuklidische Geometrie.
Felix Klein (1849 - 1924) kreierte dafür den Namen hyperbolische Geometrie. (hyperbole heisst griechisch der Überschuss: in der neuen Geometrie gibt es einen Überschuss
an parallelen zu einer Gerade durch einen Punkt!).
Eine Geometrie ohne Parallelen heisst elliptisch und die Euklidische Geometrie parabolisch.
109
UZH Geometrie HS10
8.2.1
JSD
Beispiel einer elliptischen Geometrie
Definieren wir auf der Kugeloberfläche die Grundbegriffe folgendernassen:
Definition 8.2.1.
• PUNKT: Paar diametral entgegengesetzter Punkte
• GERADE: Grosskreis auf der Kugel
Damit bestimmen 2 PUNKTE genau eine GERADE und 2 GERADEN genau einen
PUNKT.
Zu einer gegebenen Gerade gibt es durch einen PUNKT ausserhalb der GERADEN keine
Parallele!
Dies ist ein Beispiel einer Geometrie ohne Parallelen.
Bemerkung 8.2.2.
Eine elliptische Geometrie ist auf einer Fläche mit positiver Krümmung lokalisiert (z.B.
Kugeloberfläche).
Einsteins allgemeine Relativitätstheorie (1916) gilt in einer elliptischen Geometrie. Die
Geometrie des Universums ist elliptisch, da dem Weltraum wegen der Verteilung der
Massen im Gravitationsfeld eine positive Krümmung zugeschrieben wird. Nach Einstein
ist der Krümmungsradius mindestens 1.5 · 107 Lichtjahre.
Die euklidische Geometrie als parabolische Geometrie hat die Krümmung null.
Eine hyperbolische Geometrie ist auf einer Fläche mit negativer Krümmung lokalisiert
(z.B. auf einer Pseudosphäre).
110
UZH Geometrie HS10
8.2.2
JSD
Kleinsches Modell einer hyperbolischen Geometrie
Das Kleinsche Modell einer hyperbolischen Geometrie heisst auch Bierdeckelgeometrie.
Definition 8.2.3.
• Unter einer Ebene versteht man das Innere eines Kreises.
• Eine Gerade ist jede durch den Rand des Kreises begrenzte Strecke.
• Ein Punkt ist ein euklidischer Punkt im Kreisinnern.
Dann ist jede Gerade, die nicht durch das Innere des Winkels AP B geht, eine
Parallele zu g durch P .
• Die Bewegungen sind Spiegelungen, die durch Polarenspiegelungen definiert sind.
(gewöhnliche Geradenspiegelung, falls g durch den Kreismittelpunkt geht.)
Die Spiegelung ist involutorisch, d.h. Sg ◦ Sg = id.
Die Axiome (13) bis (16) gelten.
111
UZH Geometrie HS10
JSD
Die Verknüpfungen von Spiegelungen sind invertierbar, damit ist Axiom (13) erfüllt, d.h.
die Bewegungen bilden eine Gruppe bezüglich der Verknüpfung.
Auch Axiom (14) ist erfüllt: Die Abbildung einer Strecke ist die Strecke der abgebildeten
Endpunkte. (Axiome 15 und 16 nicht erklärt)
Bemerkung 8.2.4. Die Länge einer Strecke ABim Kleinschen Modell wird folgendermassen definiert:
Zuerst betrachtet man die Gerade (Sehne), auf der die beiden Punkte liegen. Diese Gerade
hat die euklidischen Endpunkte U, V . Die Länge l der Strecke AB im Kleinschen Modell
wird definiert durch die Gleichung
|AV
|
|AU
|
:
l = l(AB) = ln
|BU | |BV | Dabei wird der natürliche Logarithmus genommen und |AU | (usw) sind die euklidischen
Längen der entsprechenden Strecken.
Ist dies eine vernünftige Längendefinition?
1. l(AA) = 0, denn ln 1 = 0
2. l(AB) = l(BA)
3. Nähert sich A dem (euklidischen) Punkt U , so wird limA→U l(AB) = ∞
4. l(AB) = l(AC) + l(CB) für einen Punkt C auf AB.
5. Bei einer Spiegelung ändert sich die Länge nicht.
Was heisst wohl orthogonal in diesem Modell?
Der Mittelpunkt des die Kleinsche Ebene definierenden Kreises sei M . Warum ist die
Menge der Punkte X in der Kleinschen Ebene mit der Eigenschaft l(XM | = c, c > 0 ein
euklidischer Kreis?
112
UZH Geometrie HS10
8.2.3
JSD
Poincaré- Modell einer hyperbolischen Geometrie
Henri Poincaré (1854 Ð 1912) war ein berühmter französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph, der wesentliche Beiträge zur Himmelsmechanik, Thermodynamik,
Elektrizitätslehre und Optik veröffentlichte.
Henri Poincaré und Felix Klein haben beide die wesentlichen Theorien, die im 19. und
anfangs 20. Jahrhundert entstanden, zu einem krönenden Abschluss gebracht und sich in
ihren späten Jahren mit allgemeinen Fragen beschäftigt, Poincaré mit philosophischen,
Klein mit ädagogischen.
Im Poincaré-Modell einer hyperbolische Geometrie ist die Ebene eine sehr grosse Kreisfläche oder eine Halbebene.
Ebene
Inneres C eines sehr
grossen Kreises k
Halbebene Σ, durch euklidische
Gerade s begrenzt
Punkt
Euklidischer Punkt
Euklidischer Punkt
Gerade
Kreisdurchmesser
zu s orthogonale Halbgeraden
Ê
auf s orthogonale Halbkreise
Kreisteile, die k orthogonal
schneiden
Spiegelung
an g
Ê
gewöhnliche Geradenspiegelung, gewöhnliche Geradenspiegelung,
wenn g Kreisdurchmesser
wenn g zu s orthogonale Halbgerade
Ê
Inversion am Kreis,
Inversion am Kreis,
wenn g Kreisteil
wenn g Halbkreis
Dieses Modell kann auch in Form einer Geschichte erzählt werden. Dadurch kann man
113
UZH Geometrie HS10
JSD
technische Schwierigkeiten vertuschen und erhält trotzdem eine Idee einer nichteuklidischer Geometrie.
Die folgende Geschichte stammt aus dem Buch von Trudeau (siehe Literaturliste)
114
UZH Geometrie HS10
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115
UZH Geometrie HS10
8.2.4
JSD
Künstlerischer Abschluss
Das Poincaré-Modell einer hyperbolischen Geometrie ist im Buch von H.S.M. Coxeter
(1907 - 2003) illustriert. M. C. Escher (1898 - 1972), der bekannte niederländische Künstler, hat darin neue Möglichkeiten für seine Annäherungen an die Unendlichkeit gefunden.
Abbildung 8.2: Coxeter: Poincaré-Modell
Abbildung 8.3: Escher: Kreislimit I, 1958
116
UZH Geometrie HS10
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Abbildung 8.4: Escher: Kreislimit I, 1959
117
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Zum Abschluss noch etwas Poetisches von Christian Morgenstern (1871 Ð 1914)
Die zwei Parallelen
Ê
Es gingen zwei Parallelen
ins Endlose hinaus,
zwei kerzengerade Seelen
und aus solidem Haus.
Ê
Sie wollten sich nicht scheiden
bis an ihr seliges Grab;
das war nun einmal der beiden
geheimer Stolz und Stab.
Ê
Doch als sie zehn Lichtjahre
gewandert neben sich hin,
da wardÕs dem einsamen Paare
nicht irdisch mehr zu Sinn.
Ê
WarÕn sie noch Parallelen?
Sie wusstenÕs selber nicht,
sie flossen wie zwei Seelen
zusammen durch ewiges Licht.
Ê
Das ewige Licht durchdrang sie,
da wurden sie eins in ihm;
die Ewigkeit verschlang sie,
als zwei Seraphim.
118
Kapitel 9
Graphen und Algorithmen
9.1
Einführung
Das klassische Einführunsproblem der Graphentheorie ist
Das Königsberger Brücken Problem
Die Abbildung zeigt die Stadt Königsberg im 18. Jahrhundert. Die beiden Arme des
Flusses Pregel umfliessen die Insel, den Kneiphof. Es gibt insgesamt 7 Brücken §ber den
Fluss.
Abbildung 9.1: Königsberg
Ist es möglich, von der Insel aus einen Rundgang durch die Stadt zu unternehmen, wäh119
UZH Geometrie HS10
JSD
renddessen man jede Brücke genau einmal überquert und am Schluss zum Ausgangspunkt
zurückkehrt?
Leonhard Euler (1707 Basel Ð 1783 St.Petersburg) beantwortete 1736 diese Frage mit
einer Methode, welche die moderne Graphentheorie begründete.
Abbildung 9.2: Leonhard Euler
Anwendungen: Optimierungsprobleme auf Graphen
• Gütertransport von Produzenten zu Verbrauchern soll kostenminimal werden
• Kostengünstiges Netz von Versorgungsleitungen und kostenminimaler oder grösster
Durchfluss durch das Netz
• Kürzeste Wege in Verkehrsnetzen
• Tourenplanung: schnellst mögliche Belieferung von Kunden
• Terminplanung von Projekten
Oft lassen sich sehr grosse Probleme (z.B. Verkehrsnetze mit Hunderten von Strassen) mit
graphentheoretischen Methoden mit relativ geringem, d.h. polynomialem Rechenaufwand
lösen. Aber es gibt auch sehr schwere Probleme, die wahrscheinlich nur mit exponentiellem Rechenaufwand zu lösen sind.
Viele Probleme sind in populärer Form sehr bekannt und wirken eher wie eine Knobelaufgabe. Ihre Anwendungsmöglichkeiten sind heute mit den schnellen Computern aber
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UZH Geometrie HS10
JSD
enorm.
Aufgabe: Brunnenproblem
Vor langer Zeit in einem fernen Königreich standen drei Häuser in einem Tal und es gab
in der Nähe drei Brunnen und das Wasser war rein und klar. Es war ein friedliches Tal,
solange bis Zwietracht dort einkehrte. Die drei Höfe fielen in Feindschaft und der Streit
wollte kein Ende nehmen. An Versöhnung war nicht zu denken. Die Menschen in den
drei Höfen bestanden darauf, drei direkte Pfade zu den drei Brunnen zu haben. Die Pfade
sollten aber die der Nachbarn nicht kreuzen. Wenn es von jedem Hof aus diese Wege gäbe,
wären alle zufrieden und im Tal könnte Frieden einkehren. Doch bis heute herrscht dort
Streit.
Kann es jemals Frieden geben?
Mit zwei Brunnen ist das Problem einfach! Aber mit drei Brunnen ist es hoffnungslos!
Skizzieren Sie das Problem mit 2 und 3 Brunnen.
Im Kern handelt dieses Problem vom Zeichnen von Figuren in der Ebene ohne mit dem
Stift abzusetzen. Sie kennen wohl aus ihrer Kindheit das Zeichnen der Laterne (auch Haus
des Nikolaus genannt)
Abbildung 9.3: Haus des Nikolaus
Ein praktisches Beispiel dazu ist das Postbotenproblem.: Ein Briefträger muss in seinem Dorf allen Leuten die Post verteilen. Dazu muss er alle Strassen mindestens einmal
durchlaufen. Welcher Weg ist der kürzeste? Kann man diesen Weg in vertretbarer Zeit
berechnen?
Ein weiteres Problem ist die Routenplanung, zum Beispiel im GPS.
121
UZH Geometrie HS10
JSD
Abbildung 9.4: GPS
Abbildung 9.5: Verkehrsplan
Ein anderes Beispiel handelt vom Design von Computerchips: Stehen in einem Schaltkreis
die Positionen der einzelnen Komponenten auf der Platine schon fest, können dann die
Verbindungen auf der Oberfläche ohne Kreuzungen verlaufen? Oder eine andere Frage:
Welche Position der Komponenten und der Verdrahtung auf der Platine beansprucht den
geringsten Platz?
122
UZH Geometrie HS10
JSD
Abbildung 9.6: Computerchips
Solche angewandten Probleme gehŽren zusammen mit dem Design effizienter Algorithmen
allesamt zur Graphentheorie.
123
UZH Geometrie HS10
9.2
JSD
Grundbegriffe
Eine einfache Struktur auf einer Menge wird erzeugt durch eine binäre Relation. Zwei
Elemente stehen in einer vorgegebenen Beziehung oder eben nicht. Das sind genau die
Graphen. Sie sind die fundamentale Datenstruktur der diskreten Mathematik.
Definition 9.2.1. Ein Graph G(V, E) besteht aus einer endlichen Menge V und einer
Menge E ⊂ V × V .
Die Elemente von V heissen Ecken (Knoten, vertices) und die Elemente von Eheissen
Kanten (edges).
Beispiele
1. V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {{1, 2}, {1, 4}, {1, 56}, {2, 3}, {2, 4}, {4, 5}}
2. Graph zum Königsberger Brückenproblem
Abbildung 9.7: Königsberger Brückenproblem
124
UZH Geometrie HS10
JSD
Definitionen
1. Ein Graph kann parallele Kanten (Mehrfachkanten) haben.
2. Eine Ecke kann mit sich selbst verbunden sein, eine solche Kante heisst Schlinge.
3. Eine Ecke, von der aus keine Kanten gehen, heisst isolierte Ecke.
4. Ein Graph ohne Mehrfachkanten und ohne Schlingen heisst einfach.
5. Ein Graph kann zusammenhängend oder nicht zusammenhängend sein (dann
besteht er aus mehreren Teilen.
6. Zwei Ecken heissen benachbart (adjazent), wenn sie durch eine Kante miteinander verbunden sind.
7. Zwei Kanten heissen inzident, wenn sie eine Ecke gemeinsam haben.
8. Die Ordnung eines Graphen ist |V | = Anzahl Ecken.
9. Die Grösse des Graphen ist |E| = Anzahl Kanten.
125
UZH Geometrie HS10
JSD
10. Der Grad einer Ecke A ist die Anzahl Kanten, die von dieser Ecke ausgehen; er
wird mit d(A) (degree) bezeichnet. Ist d(A) = 0, so ist A eine isolierte Ecke.
Abbildung 9.8: Grad einer Ecke
11. Unter einem vollständigen Graphen Kn mit n Ecken versteht man einen Graphen,
bei dem jede Ecke mit jeder durch eine Kante verbunden ist.
Abbildung 9.9: vollständige Graphen
Wie viele Kanten hat ein vollständiger Graph mit n Ecken?
126
UZH Geometrie HS10
9.3
JSD
Über Grade von Ecken
Beispiel: Tennisturniere
Bei einem Tennisturnier spielt jeder gegen jeden einmal. Nach einer gewissen Zeit sind
folgenden Spiele gespielt:
Der Graph ist einfach, denn jeder spielt gegen jeden genau einmal und keiner spielt gegen
sich selbst. Beim jetzigen Spielstand zählen wir nur die gespielten Spiele und nicht die
Ergebnisse.
Es gibt Leute, welche die gleiche Anzahl Spiele gespielt haben. Ist das bei jedem Turnier
so?
Welches sind die möglichen Spielstände bei n Personen?
Abbildung 9.10: mögliche Spielstände
F§r n = 2, 3 gibt es jedes Mal mindestens 2 Personen mit der gleichen Anzahl Spiele; also
127
UZH Geometrie HS10
JSD
mindestens 2 Ecken mit demselben Grad.
Das gilt sicher nicht, wenn der Graph nicht einfach ist, wie das folgende Beispiel zeigt.
Abbildung 9.11: mögliche Spielstände
Satz 9.3.1. In jedem einfachen Graph gibt es mindestens 2 Ecken mit demselben Grad.
Beweis. Der Graph habe n Ecken (n = |V |) ⇒ 0 ≤ Eckgrad ≤ n − 1
i) Eine Ecke a1 habe den Grad n − 1.
Dann ist a1 mit allen anderen Ecken verbunden und keine Ecke hat den Grad 0.
Auf die n − 1 verbleibenden Ecken müssen die Eckgrade 1, 2, ..., n1 verteilt werden.
Also muss eine Zahl zweimal vorkommen.
ii) Keine Ecke hat den Grad n − 1.
Also müssen die Zahlen 0, 1, 2, ..., n − 2 auf n Ecken verteilt werden.
Damit muss eine Zahl zweimal vorkommen.
Satz 9.3.2. In jedem Graph ist die Summe der Grade der Ecken gleich der doppelten
Anzahl Kanten.
X
d(ai ) = 2|E|
ai ∈V
Beweis. Jede Kante verbindet 2 Ecken. Gibt es q Kanten, so hat es 2q Enden. Damit ist
die Summe der Eckgrade gleich 2q.
Bemerkungen
1. Dieser Satz gilt auch für nicht einfache Graphen, also Graphen mit Schlingen und
Mehrfachkanten.
2. Der zweite Satz ist auch als handshaking lemma bekannt:
In einer Gruppe von Menschen begrüssen sich einige per Handschlag andere nicht.
Notiert man bei jedem , wie viele Hände er geschüttelt hat und addiert die Zahlen,
so erhält man stets eine gerade Zahl.
Aus dem zweiten Satz folgt sofort der nächste.
128
UZH Geometrie HS10
JSD
Abbildung 9.12: Beweis dritter Satz
Satz 9.3.3. In jedem Graph ist die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad gerade.
Beweis. Ist die Summe von ungeraden Zahlen gerade, so ist die Anzahl Summanden
gerade.
Definition 9.3.4. Zwei Graphen heissen isomorph, wenn der eine durch kontinuierliche
Verformung aus dem anderen hervorgeht.
Mathematisch heisst dies:
Zwei Graphen sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung f : V → V 0 gibt, so dass
gilt:
{x, y} ∈ E ⇔ {f (x), f (y)} ∈ E 0
Beispiele
1. Sind die beiden Graphen isomorph?
2. Skizzieren Sie einen Graphen, dessen Ecken die Grade 1, 2, 3, 4 haben. Gibt es einen
einfachen solchen Graph?
3. Wie viele Kanten besitzt ein Graph mit n Ecken, wenn alle Ecken denselben Grad
g haben?
4. Beschreiben Sie den Isomorphismus für die beiden Graphen.
129
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JSD
Abbildung 9.13: Beispiel 4
Definition 9.3.5.
1. Eine Folge aufeinander folgender Kanten (e1 , e2 , . . . , en ) mit ei = (vi−1 , vi ) ist ein
Kantenzug.
Die Ecken vi (i = 0, ..., n) müssen nicht notwendigerweise verschieden sein.
2. Ein Kantenzug heisst geschlossen, wenn v0 = vn .
3. Ein Weg oder eine Kette ist ein Kantenzug, der jede Ecke höchstens einmal enthält.
4. Ein Kreis ist ein geschlossener Weg v0 = vn .
130
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9.4
JSD
Bäume
Die Theorie der Bäume stammt ursprünglich aus der Chemie, entwickelt aus dem Studium
der Kohlenwasserstoffverbindungen und anderer Isomere.
Abbildung 9.14: Bäume in der Chemie
Bäume sind die fundamentalen Bausteine der Graphen. Sie ergeben auch die geeignete
Datenstruktur f§r viele diskrete Probleme, vor allem f§r Such- und Sortierprobleme.
Definition 9.4.1.
1. Ein Graph heisst ein Baum, wenn er zusammenhängend ist und keine Kreise enthält. Ein Graph, dessen Komponenten Bäume sind, heisst ein Wald.
Abbildung 9.15: Bäume mit höchstens 5 Ecken
2. G(V, E) sei ein zusammenhängender Graph. Ein Untergraph T von G heisst ein
aufspannender Baum (spanning tree), wenn T ein Baum der Ordnung n = |V |
ist.
131
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JSD
Jeder zusammenhängende Graph besitzt aufspannende Bäume:
Entweder ist G schon ein Baum oder G besitzt einen Kreis. Entfernt man von diesem Kreis
eine Kante, so ist G immer noch zusammenhängend. Entweder haben wir jetzt schon einen
aufspannenden Baum oder wir müssen noch eine Kante eines Kreises entfernen. Auf alle
Fälle sind wir in endlich vielen Schritten fertig.
Satz 9.4.2. Folgende Aussagen sind äquivalent:
1. G(V, E) ein Baum.
2. Je zwei Ecken in G sind durch genau einen Weg verbunden.
3. G ist zusammenhängend und es gilt: |E| = |V | − 1.
in Worten: Ein Baum hat eine Ecke mehr als Kanten.
Weiter gilt für einen Baum T der Ordnung n ≥ 2 und der Gradfolge der Ecken (d1 , d2 , . . . , dn )
der folgende Satz.
Satz 9.4.3. In einem Baum ist die Summe der Grade der Ecken gleich der doppelten
Kantenzahl.
n
X
dk = 2(n − 1)
k=1
Frage: Wie viele aufspannende Bäume besitzt ein Graph? Ð Schwierigeres Problem
Satz 9.4.4. Satz von Cayley
Der vollständige Graph Kn auf {1, 2, ..., n} mit n ≥ 2 besitzt nn−2 aufspannende Bäume.
132
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JSD
Frage: Wie findet man in einem Graphen einen aufspannenden Baum oder einen aufspannenden Wald? Wie erkennt man, ob ein Graph zusammenhängend ist?
EIn Algorithmus zur Konstruktion eines aufspannenden Baums ist der folgende.
BREADTH-FIRST-SEARCH (Breitensuche)
1. Wähle beliebige Ecke und gib ihr die Nummer 1: aktuelle Ecke
2. Aktuelle Ecke habe Nummer iund die Nummern 1, ..., r seien vergeben.
Falls r = n: STOP
Sonst: Gib den nicht nummerierten Nachbarn von i die Nummern r + 1, r + 2, . . .
und füge Kanten ein: i(r + 1), i(r + 2), . . .
Falls i + 1 nicht existiert: STOP
Sonst: Gehe zur Eckei + 1, das ist die neue aktuelle Ecke, und iteriere 2.
Beispiele
1. Suchen Sie einen aufspannenden Baum mit dem Breath-First-Search-Algorithmus
2. G ist durch folgende Nachbarschaftslisten gegeben. Wenden Sie den Breath-FirstSearch-Algorithmus an und beantworten Sie damit die Frage, ob G zusammenhängend ist.
133
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9.5
JSD
Minimal aufspannendeBäume (Minimal Spanning
Tree)
Gegeben sei der Plan eines Kommunikationsnetzes mit Kosten f§r den Leitungsbau. Die
Schaltelemente sind die Ecken, die Verbindungen zwischen den Schaltelementen die Kanten. Die Zahlen §ber den Kanten sind die Kosten. Gesucht ist ein Schaltplan, sodass jedes
Element mit jedem kommunizieren kann und die Kosten f§r den Leitungsbau minimal
werden.
Modellierung durch einen gewichteten Graphen.
Gegeben ist ein zusammenhängender GraphG(V, E) und eine Gewichtfunktion w . Gesucht ist ein aufspannender Baum T mit minimalem Gewicht.
X
w(T ) =
∈ E(T )w(e)
e
Beispiel: Mit Breath-First-Search kann ein aufspannender Baum konstruiert werden. Dieser muss noch nicht optimal sein.
Greedy-Strategy (gierige Strategie)
Arbeite nach folgender Maxime:
Erledige immer als nächstes den noch nicht bearbeiteten fettesten (optimalen) Teilbrocken. Die folgenden beiden Algorithmen arbeiten nach der Greedy-Strategie.
1. Kruskal-Algorithmus Beim Kruskal-Algorithmus wird immer die Kante mit minimalem Gewicht gewählt, aber so, dass keine Kreise entstehen.
134
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JSD
Abbildung 9.16: Beispiel mit Kruskal-Algorithmus
2. Algorithmus von Prim Sei G(V, E) ein gewichteter zusammenhŁngender Graph
mit n Ecken. (Jeder minimal aufspannende Baum hat also n − 1 Kanten.)
(a) Wähle eine Kante minimalen Gewichts aus (samt den dadurch gegebenen
Ecken). Diese Kanten stellen samt ihren Ecken den Anfangsbaum T dar, der
im folgenden systematisch zu einem minimal aufspannenden Baum ausgebaut
wird.
(b) Solange der aufzubauende Baum T weniger als n − 1 Kanten hat, führe folgendes aus:
Suche unter denjenigen Kanten mit einer Ecke in T und einer Ecke ausserhalb
T eine Kante mit minimalem Gewicht aus, sodass kein Kreis entsteht und füge
sie zu T dazu (samt des dadurch bestimmten Knotens).
Der mit Hilfe von Prims Algorithmus konstruierte Teilgraph T ist ein minimal aufspannender Baum des ursprünglichen Graphen G.
Bemerkungen zum Beweis: Da der Graph endlich ist und bei jedem Teilschritt eine
neue Kante dazu kommt, bricht der Algorithmus nach endlich vielen Schritten ab.
Nach Abbruch des Algorithmus sind n − 1 Kanten konstruiert, also alle n Ecken
benützt. Mit Induktion könnte man jetzt zeigen, dass der konstruierte aufspannende
Baum T minimal ist. Die Konstruktion ist nicht eindeutig.
135
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JSD
Abbildung 9.17: Beispiel mit Algorithmus von Prim
Abbildung 9.18: Beispiel zu beiden Algorithmen
136
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9.6
JSD
Kürzeste Wege in Graphen
Optimierungsprobleme auf gewichteten Graphen:
• Strassenplan: in möglichst kurzer Zeit oder mit möglichst wenig Kilometern von A
nach B gelangen
• Verkehrsnetz: Schienennetz, Gewichtung der Kanten können die Fahrkosten, die
Reisezeit, die Entfernung sein. Die Bahnverbindung vonA nach B soll möglichst
billig, möglichst kurz sein.
• Kommunikationsnetz: Übertragungskosten oder Übertragungszeit als Gewicht der
Kanten. Gesucht ist der kostengünstigste Weg eines Datenpakets von einem Knoten
zu einem anderen.
Meistens wird vorausgesetzt, dass der Ausgangsknoten den Graphen vollständig kennt.
Im Schienenverkehr oder im Strassenverkehr kennt man gewöhnlich den ganzen Graphen.
Im Internet ist das nicht immer der Fall: Knotenausfall Überlastung von Kanten.
Kürzeste Wege Problem:
• Der kürzeste Weg zwischen zwei Knoten.
• Die kürzesten Wege zwischen einem Knoten und zu allen anderen Knoten.
• Der kürzeste Weg in einem Graphen, bei dem alle Knoten (ev. genau einmal) besucht
werden.
Abbildung 9.19: Welcher Weg ist der kürzeste?
Gegeben ist ein zusammenhängender Graph G und eine Gewichtsfunktion
w : E → R+ = {x ≥ 0}
Sei u ∈ V gegeben. Für einen Weg P = P (u, v) von u nach v ist die gewichtete Länge
von P :
X
l(P ) =
∈ E(P )w(e)
e
137
UZH Geometrie HS10
JSD
Gesucht ist ein kürzester Weg von u nach v, d.h. l(P ) soll minimal werden.
Die Länge eines kürzesten Weges bezeichnet man als den Abstand d(u, v).
Der berühmte Algorithmus von Dijkstra konstruiert, ausgehend von einer fest gewählten Ecke u, einen aufspannenden Baum, dessen Weg von u nach v stets ein kürzester ist
für alle Ecken v des Graphen.
Abbildung 9.20: Edsger Wybe Dijkstra, 1930 - 2002, holländischer Mathematiker, Algorithmus 1959
Wir erläutern den Algorithmus hier an einem Beispiel.
Beispiel zum Dijkstra Algorithmus
1. Startknoten grün
2. Alle Nachbarknoten blau, Abstand vom Startknoten anschreiben
3. Wähle als neuen Startknoten denjenigen mir kürzestem Abstand zum Start: grün
(samt Kante zum vorherigen Startknoten)
4. zurück zu 1. (verbotene Kanten: rot)
138
UZH Geometrie HS10
JSD
Abbildung 9.21: Beispiel zum Dijkstra-Algorithmus
Beispiel zum Dijkstra Algorithmus
Abbildung 9.22: Tabelle zum Beispiel
Noch ein Beispiel: Vom Knoten a aus alle kürzesten Wege berechnen.
Abbildung 9.23: noch ein Beispiel
139
UZH Geometrie HS10
9.7
JSD
Eulersche Graphen
Beim Königsberger Brückenproblem sucht man einen speziellen Kantenzug. Dieser sollte
die folgenden Eigenschaften besitzen.
1. Der Kantenzug enthŁlt keine Kante doppelt.
2. Der Kantenzug enthŁlt alle Kanten des Graphen.
3. Anfang und Ende des Kantenzugs stimmen §berein.
Definition 9.7.1. Eine Tour ist ein Kantenzug nur mit der 1. Eigenschaft; er enthält
also keine Kante doppelt.
Eine Eulertour ist ein Kantenzug mit allen 3 obigen Eigenschaften. Jede Kante des Graphen wird also genau einmal durchlaufen und der Kantenzug ist geschlossen.
Ein Graph mit einer Eulertour heisst auch Eulerscher Graph.
Gibt es beim Königsberger Brückenproblem eine Eulertour?
Abbildung 9.24: Königsberg
Beispiel 9.7.2. Suchen sie in den untenstehenden Graphen geschlossenen Touren und
Eulertouren.
Welche Grade der Ecken kommen in den Graphen vor?
Gibt es Touren mit der Eigenschaft 2, also Kantenzüge, die jede Kante genau einmal
enthalten?
Ergänzen Sie den letzten Graph, so dass eine Eulertour möglich ist.
140
UZH Geometrie HS10
(a)
JSD
(b)
(c)
Satz 9.7.3. Ein zusammenhängender Graph ist genau dann eulersch (d.h. es gibt eine
Eulertour), wenn der Grad jeder Ecke gerade ist.
Beweis.
A) Ist der Graph G eulersch, dann ist der Grad jeder Ecke gerade, denn man verlässt
jede Ecke genau so oft wie man wie man hereinkommt!
B) Die andere Richtung lässt sich algorithmisch beweisen. Es handelt sich um den
Algorithmus von Hierholzer, 1973.
Voraussetzung: Sei G(V, E) ein zusammenhängender Graph, dessen Knoten alle geraden Grad aufweisen.
(a) Wähle eine Ecke A, beginne einen Pfad und markiere jede durchlaufene Kante.
Jede so erreichte Ecke kann wieder verlassen werden bis sich der Kantenzug
schliesst, da die Gradzahl jeder Ecke gerade ist. So entsteht ein Kreis.
(b) Vernachlässige nun alle Kanten dieses Unterkreises.
(c) Hat es noch unmarkierte Kanten, so beginnt eine in einer bereits traversierten
Ecke B. Von B aus kann wieder ein Kreis konstruiert werden, der dann in den
zuerst konstruierten eingebaut werden kann.
(d) Konstruiere nun weiter solche Kreise, bis alle Kanten aufgebraucht sind.
Das Resultat ist eine Eulertour.
Bemerkung: Die Komplexität diesses Algorithmus ist linear in der Anzahl Kanten.
Satz 9.7.4. Es sei G(V, E) ein zusammenhängender Graph mit k Knoten ungeraden
Grades. Dann gilt folgendes.
1. Ist k = 0, so gibt es auf G eine Eulertour.
2. Ist k = 2, so gibt es auf G eine Tour, die alle Kanten des Graphen enthält. Man
kann den Graph in einem Zug zeichnen, ohne eine Kante doppelt zu zeichnen.
141
UZH Geometrie HS10
JSD
Abbildung 9.25: Algorithmus von Hierholzer
3. Ist k > 2, so gibt es auf G keine Tour, die alle Kanten enthält.
zum Beweis:
1. Dies wurde im letzten Satz mitdem Algorithmus von Hierholzer bewiesen.
2. Verbinde die beiden Ecken ungeraden Grades durch eine zusätzliche Kante. Konstruiere jetzt mit (1) eine Eulertour. Lösche nun die eingefügte Kante.
Abbildung 9.26: zum Beweis (2)
3. klar wegen (1) und (2).
Was passiert, wenn man jede Kante zweimal durchläuft?.
Satz 9.7.5. In jedem zusammenhängenden Graph gibt es einen Kantenzug, der jede
Kante genau zweimal durchläuft.
Beweis: Man zeichnet einfach zu jeder Kante eine zweite parallele Kante. So erhält jede Ecke einen geraden Grad. Wegen des vorherigen Satzes gibt es eine Eulertour. Nun
verschmelzt man die neuen Kanten wieder mit den ursprünglichen und erhält so einen
Kantenzug, der jede Kante genau zweimal durchläuft.
142
UZH Geometrie HS10
JSD
Beispiel 9.7.6. Bildergalerie
Meistens sind die Bilder längs Gängen aufgehängt. Auf einem Rundgang durch die Ausstellung möchte man alle Bilder sehen, ohne aber zweimal an denselben Bildern vorbeizukommen. Am Ende mŽchte man wieder beim Eingang ankommen, der zugleich Ausgang
ist. Ist ein solcher Rundgang überhaupt möglich?
Abbildung 9.27: Ausstellungsraum
143
UZH Geometrie HS10
9.8
JSD
Hamiltonsche Graphen
Europareise Eine Gruppe Jugendlicher möchte von Berlin aus mit der BAhnalle eingezeichneten Städte genau einmal besuchen und am Schluss wieder nach Berlin zurückkehren. Ist das möglich?
Abbildung 9.28: Eisenbahn-Netzplan
Bei dieser Reise soll jede Stadt genau einmal besucht werde. Es ist aber egal, ob jede
Eisenbahnstrecke benützt wird oder nicht. Es ist also keine Eulersche Tour gesucht.
Definition 9.8.1. Ein Hamiltonscher Kreis ist ein geschlossener Kantenzug, der jede Ecke des Graphen genau einmal enthŁlt. Ein Graph, der einen Hamiltonschen Kreis
enthält, heisst ein Hamiltonscher Graph.
(a) Hamiltonscher Graph
(b) kein Hamiltonscher Graph
144
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JSD
Abbildung 9.29: W.R.Hamilton (1805 - 1865)
Beispiel 9.8.2. Der Netzplan des Dodekaeders besitzt einen Hamiltonzyklus. Suchen Sie
145
UZH Geometrie HS10
JSD
einen solchen Kreis! Im Spiel von Hamilton “Around the World“ soll man solche Touren
finden, die jede Stadt (Ecken) des Dodekaederplans genau einmal besucht.
Abbildung 9.30: Netzplan des Dodekaeders
Beispiel 9.8.3. Billige Reise
Jetzt soll die Reise eine Rundfahrt durch die 4 Städte St. Gallen, Zürich, Basel und Bern
sein. Die Kosten sollen minimal werden.
Abbildung 9.31: Billige Reise
Wie viele Hamiltonsche Kreise gibt es? Welche Reise ist die billigste?
Bemerkung Der obige Graph ist vollständig, d.h. von jeder Ecke gibt es zu jeder Ecke
eine Kante.
Hat ein vollständiger Graph n Ecken, so kann man von einer beliebigen Ecke aus die
Hamiltonsche Reise beginnen, man hat noch n − 1 Ecken zur Auswahl. Bei der nächsten
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UZH Geometrie HS10
JSD
Ecke sind es noch n − 2 usw. Im Ganzen hat man also (n − 1)(n − 2) · · · 2 × 1 = (n − 1)!
Möglichkeiten.
Ist uns die Richtung, wie der Hamiltonsche Kreis durchlaufen wird egal, so erhält man
nur die Hälfte der Möglichkeiten. Also gilt
Satz 9.8.4.
Kreise.
In einem vollständigen Graph mit n Ecken gibt es
(n−1)!
2
Hamiltonsche
In der obigen Reise mit 4 Städten gibt es nur 3 Hamiltonsche Kreise. Unter diesen möchte
man den billigsten finden.
Zahlenbeispiel
Bei 6 Städten gibt es schon 5!2 = 60 Hamiltonsche Kreise.
Aber bei 20 Städte sind es etwa 60 Billiarden Hamiltonsche Kreise. Mit 1 Million Rechenoperationen pro Minute braucht man etwa 2 × 106 Jahre.
Wer interessiert sich dann noch für dieses Problem!
Das ist das berühmte Traveling Salesman Problem.
Ein Handelsreisender hat Kunden in n Städten{S1 , S2 , . . . , Sn }. Es gebe Strassen von jeder
Stadt zu jeder anderen mit vorgegebenen Längen d(Si , Sj ), der Distanz längs der Kante
SiSj. Welche Route soll er wählen, wenn er jede Stadt genau einmal besuchen will, der Weg
möglichst kurz sein soll und unser Reisender am Schluss zum Anfangspunkt zurückkehren
soll?
Gesucht ist also ein Hamiltonscher Kreis minimaler Länge.
Bemerkung 9.8.5. Ê
• Im Allgemeinen ist es schwierig zu entscheiden, ob ein Graph einen Hamiltonschen
Kreis enthŁlt.
• Bis heute ist kein Algorithmus bekannt, der in polynomialer Zeit einen Hamiltonschen Kreis findet oder ausschliesst.
In polynomialer Zeit bedeutet, dass die Anzahl erforderlicher Rechenschritte h öchstens mit einer festen Potenz der Anzahl Knoten und Kanten wächst.
• Ebenso ist nicht bekannt, ob ein Algorithmus existiert, der in polynomialer Zeit den
kürzesten Weg findet. Man hält es auch für unwahrscheinlich, dass überhaupt ein
solcher Algorithmus existiert.
• Das Travelling-Salesman-Problem (TSP), bei dem man durch jeden Knoten genau
einmal geht, ist nicht zu verwechseln mit dem Chinesischen Postbotenproblem, bei
147
UZH Geometrie HS10
JSD
dem jede Kante mindestens einmal durchlaufen wird und der Weg minimale Länge
haben soll.
• Zu diesen beiden Standardproblemen gibt es tausende von Anwendungen, die alle
unter dem Titel Routenplanung bezeichnet werden kŽnnen:
Das TSP tritt auf in der Routenplanung von Speditionen, der M§llabfuhr, von Lieferungen, Car-Pooling, beim automatischen Bohren, LŽten, Schweissen von Leiterplatten, usw.
• Interessante Informationen zum TSP finden Sie im Internet, z.B. unter:
http://www.math.Princeton,edu/tsp/
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Abbildung 9.32: TSP
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Abbildung 9.33: TSP
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