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§ 9 Vektorprodukt - Lösung
§ 9 Vektorprodukt - Lösung
1. Berechne
 2   1  2  2  1 2   2 


a)  2    2    1  1  2  2    5 
 1   2   2  2  2   1   6 
    
  
 1   4   2  6  3  5   3 
    
  
b)  2    5    3  4  1 6    6 
 3   6   1 5  2  4   3 
    
  
 5   4   15  20  25   12    0 

  
c)  15    12   
25  4  5  20
  0
 25   20   5   12    15   4   0 

 
 
  
 a und b sin d parallel
a
 a   a  1   a  1  a   a    a   


 




2
d)  a  1   a    a  a   a    a  1    2a  a 
 a   a   a   a    a  1   a  1   2a 2  1 

 
 

 
2
1
 3
 
 
 
2. Gegeben sind die Vektoren a   1 ; b   2  ; c   1 
1
 3
 3
 
 
 




a) Berechne a  b  c und a  b  c und vergleiche.

 20 
 1


 
a  b  c   30  ; a  b  c   13 
 10 
 15 


 





b) Stelle a  b  c als Linearkombination von a , b und c dar. Deute dies
geometrisch
.
 a  b   c  14a  8b


Bedeutung: Der Vektor a  b  c liegt in der von a und b aufgespannten Ebene.
3. Berechne die Fläche des Parallelogramms ABCD
Zusatz: Berechne auch den Umfang, die Innenwinkel und die Koordinaten des Punktes D
des Parallelogramms!
a) A  0 | 0 | 0  , B 1 | 0 | 3 , C  4 | 6 | 1
F  23 ; D  5 | 6 | 2  ; U  2


10  65  22, 45 ;     64, 44;     115,56
b) A 1 | 0 | 1 , B 1 | 3 | 3 , C 5 | 3 | 2 


F  29 ; D 56 2 ; U  10  2 53  24, 6 ;     127,18;     52,82
W. Stark; Berufliche Oberschule Freising
www.extremstark.de
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§ 9 Vektorprodukt - Lösung
4. Berechne die Fläche des Dreiecks ABC
Zusatz: Berechne auch den Umfang und die Innenwinkel des Dreiecks!
a) A  2 | 2 | 3 , B  0 | 0 | 0  , C 3 | 2 | 0 
F  5,5
b) A  3 | 2 | 1 , B  5 | 2 | 1 , C  7 | 2 | 5
F  14
5. Bestimme die Länge der Höhe hc im Dreieck ABC mit
A  5 | 2 | 6  , B  7 | 0 | 9  , C  0 | 2 | 1
hc  7
1
5
 
 
6. Ein Dreieck ABC wird von den Vektoren a   2  und b   1  aufgespannt.
 3
 3 
 
 
a) Berechne sämtliche Innenwinkel.
b) Berechne die Fläche des Dreiecks ABC.
c) Berechne die Höhen h a , h b und h c .
2
 a 
 


7. Gegeben sind die Vektoren a   2a  und b   22 
 23 
 2a 
 


a) Berechne a  IR so, dass das von den Vektoren a und b aufgespannte Dreieck
gleichschenklig ist.
b) Berechnen Sie für a  7 einen Vektor, der den Winkel zwischen a und b
halbiert.
c) Berechnen Sie die Höhe h c .
d) Berechnen Sie den Vektor h c .
8. Berechne das Volumen V des von u , v und w aufgespannten Prismas:
 4 
 2 
 2
 
 
 
a) u   0  , v   5  , w   2 
V  72
 2
0
 3
 
 
 
1
 4
 3
 
 
 
b) u   2  , v   5  , w   2 
V 8
 3
 4
1
 
 
 
9. Berechne das Volumen V der dreiseitigen Pyramide ABCS
a) A 1
1 1 , B 144 , C 4
1 4 , S 441
V9
       
b) A  1 1 1 , B  00 2  , C  0 20  , S  200 
c) A  000  , B 123 , C  456  , S  789 
V
2
3
V0
10. Berechne das Volumen der (vierseitigen) Pyramide ABCDS mit
A 1
1 5 , B 5
1 5 , C 255 , D 035 , Spitze S 4
1 1

 
 
W. Stark; Berufliche Oberschule Freising
www.extremstark.de
 



V  16
2